Введение в пучки, расслоения и классы Черна

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
С. М. Натанзон
Введение в пучки, расслоения
и классы Черна
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 515.176.3
ББК 22.15
Н33
Натанзон С. М.
Введение в пучки, расслоения и классы Черна
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
46 с.
ISBN 978-5-4439-2029-0
Пучки, расслоения и их инварианты | это фундаментальные понятия современной геометрии, позволяющие исследовать глобальные
свойства многообразий.
Книга содержит основные определения и первые шаги этой теории. Подробно обсуждаются, в частности, когомологии со значениями в пучках и классы Черна расслоений.
Книга является записью курса лекций, которые автор неоднократно читал для студентов 2{4 курсов Независимого московского
университета.
Подготовлено на основе книги: С. М. Натанзон. Введение в пучки, расслоения и классы Черна. | М.: МЦНМО, 2010.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2029-0
c
Натанзон С. М., 2010
c
МЦНМО, 2014

Содержание
§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
§ 2. Пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
§ 3. Когомологии с коэффициентами в пучке
. . . . . . . . . . .
8
3.1. Каноническая резольвента пучка
. . . . . . . . . . . .
8
3.2. Когомологии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
§ 4. Точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.1. Мягкие пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
4.2. Длинная точная последовательность . . . . . . . . . . .
15
§ 5. Аксиоматическая теория когомологий . . . . . . . . . . . . .
16
5.1. Ацикличные резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
5.2. Аксиоматический подход . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 6. Когомологии Чеха
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6.1. Когомологии покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6.2. Теорема Лере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
§ 7. Когомологии де Рама
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.1. Пучки модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
7.2. Теорема де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§ 8. Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.1. Определения и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
8.2. Универсальные расслоения
. . . . . . . . . . . . . . . .
27
§ 9. Связности в расслоениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
9.1. Связности и метрики
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
9.2. Кривизна связности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 10. Классы Черна
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
10.1. Инвариантные однородные формы . . . . . . . . . . .
33
10.2. Классы Черна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 11. Комплексные многообразия
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
11.1. Дифференциальные формы
. . . . . . . . . . . . . . .
38
11.2. Когомологии Дольбо. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 12. Линейные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
12.1. Каноническая связность. . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
12.2. Пучки и классы Черна. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3

§ 1. Введение
Хорошо известно, что непостоянная функция, голоморфная на комплексной плоскости, неограничена. Другими словами, в некоторых случаях по локальным свойствам функций (например, голоморфности)
можно судить о ее глобальных свойствах. Взаимосвязь локальных и
глобальных свойств позволяет исследовать явление в целом начиная с
его локальных, обычно проще контролируемых свойств.
Необходимый для этого математический аппарат был создан в середине прошлого века. Он основан на теории пучков. Свойства пучков
автоматизируют свойства тензорных полей на многообразиях. Пучкам
отвечают коммутативные группы, называемые группами когомологий
со значениями в пучке, и специальные элементы групп когомологий
многообразия со значениями в постоянном пучке, называемые классами Черна. Группы когомологий и классы Черна определяют важнейшие фундаментальные свойства многообразия. Эти понятия являются
основным языком всех разделов современной геометрии. Настоящий
курс является введением в теорию пучков и связанных с ней структур.
Первая часть курса (§ 1|7) посвящена когомологиям со значениями
в пучках. Мы даем несколько по виду совершенно непохожих друг на
друга конструкций когомологий: с помощью ацикличных резольвент,
через семейства покрытий (когомологии Чеха) и, для гладких многообразий, с помощью дифференциальных форм (когомологии де Рама) и
сингулярных коцепей (сингулярные когомологии). Мы доказываем, что
все эти конструкции приводят к одинаковым группам когомологий (теоремы Лере и де Рама). Более того, мы показываем, что когомологии
реализуют единственный естественный функтор из категории пучков
абелевых групп в категорию абелевых групп, переводящий короткую
точную последовательность пучков в длинную точную последовательность групп.
Вторая часть курса посвящена самому «массовому» типу пучков |
локально свободным пучкам, т. е. пучкам сечений локально тривиальных векторных расслоений. После описания категории таких пучков
(§ 8) мы определяем и исследуем свойства эрмитовых связностей в расслоениях (§ 9). Далее (§ 10) мы определяем классы Черна как миноры
матриц кривизны эрмитовых связностей, исследуем функториальные
свойства классов Черна и обсуждаем другие определения классов Черна. В последних двух параграфах мы исследуем простейшие свойства
пучков и расслоений на комплексных многообразиях. В § 11 мы определяем когомологии Дольбо и числа Ходжа. В § 12 мы доказываем,
что первый класс Черна голоморфного расслоения ранга 1 описывается
4

оператором Бокштейна и, таким образом, двойствен классу линейной
эквивалентности дивизора мероморфного сечения расслоения.
Книга является записью курса, который автор неоднократно читал
для студентов 2|4 курсов Независимого московского университета.
§ 2. Пучки
2.1. Основные определения. Напомним, что топологическим
пространством называется множество X с такой системой подмножеств U, что
1) X; ∅ ∈ U;
2) объединение U произвольного числа подмножеств U ∈ U принадлежит U;
3) пересечение U конечного числа подмножеств U ∈ U принадлежит U.
Подмножества из U называются открытыми множествами. Дополнение X \ U к отрытому множеству U ∈ U называется замкнутым множеством.
Предпучком F над топологическом пространством (X; U) называется
a) набор множеств {F(U) | U ∈ U}, называемых сечениями над U;
б) набор отображений {rU
V : F(U) → F(V ) | U; V ∈ U; V ⊂ U}, называемых ограничениями и удовлетворяющих следующим условиям:
1) rU
U = 1U | тождественное отображение;
2) rU
W = rV
W rU
V при W ⊂ V ⊂ U.
Предпучок F называется предпучком групп (колец, модулей и т. п.),
если все множества F(U) являются группами (соответственно кольцами, модулями и т. п.) и все отображения rU
V являются гомоморфизмами
соответствующих структур.
Пучком называется предпучок F, в котором выполнены следующие
аксиомы.
1. Пусть U = Ui, s; t ∈ F(U) и rU
Ui(s) = rU
Ui(t) для всех Ui. Тогда
s = t.
2. Пусть U = Ui, si ∈ F(Ui) и rUi
Ui∩Uj(si) = rUj
Ui∩Uj(sj) для всех i; j.
Тогда существует такое s ∈ F(U), что rU
Ui(s) = si.
Пример 2.1 (пучок отображений множества X в множество Y ). Здесь F(U) | множество всех отображений множества U в
множество Y , а rU
V |ограничение отображения на подмножество. Если
все множество Y является группой (соответственно кольцом, модулем
5

и т. п.), то возникает пучок групп (соответственно колец, модулей и
т. п.).
Пример 2.2. Если в предыдущем примере в качестве F(U) рассматривать лишь множество локально постоянных отображений, то возникает пучок, называемый постоянным.
Пример 2.3. Если в примере 2.1 считать, что Y | топологическое
пространство и F(U) | множество непрерывных функций, то возникает пучок непрерывных отображений.
Пример 2.4. Если в предыдущем примере считать, что X | гладкое (соответственно комплексное) многообразие, Y | поле вещественных (соответственно комплексных) чисел и F(U) | множество гладких
(соответственно голоморфных) функций, то возникает пучок гладких
(соответственно голоморфных) функций.
Пример 2.5. Если, как и в предыдущем примере, считать, что
X | гладкое или комплексное многообразие, а F(U) | множество тензорных полей на нем, то возникает пучок тензорных полей.
Упражнение 2.1. Докажите, что конструкции, описанные в примерах, действительно порождают пучки.
Упражнение 2.2. Придумайте предпучок, не являющийся пучком.
Пусть F и G | предпучки на X. Их морфизмом h: F → G называется такой набор отображений {hU : F(U) → G(U) | U ∈ U}, что
hV rU
V = rU
V hU. Ядра и образы этих отображений порождают подпучки Ker(h) ⊂ F и Im(h) ⊂ G. Если F и G являются предпучками групп,
колец, модулей и т. п., то морфизмами таких предпучков считаются
лишь морфизмы {hU}, порождающие гомоморфизмы соответствующих
структур. Морфизм называется изоморфизмом, если все отображения
взаимно однозначны.
Упражнение 2.3. Будем считать, что в примере 2.5 множество
F(U) состоит из гладких или голоморфных (когда X | комплексное
многообразие) тензорных полей. Докажите, что такое множество F(U)
также порождает пучок, называемый пучком гладких (соответственно
голоморфных) тензорных полей. Докажите, что этот пучок мономорфно отображается в пучок всех тензорных полей из примера 2.5.
2.2. Накрытия. Сюръективный локальный гомеоморфизм топологических пространств : Y → X назовем накрытием (это определение
отличается от стандартного, но удобно для изучения пучков).
6

Наша ближайшая цель | сопоставить произвольному предпучку
F = {F(U); rU
V } на X некоторое накрытие пространства X. Обозначим через Fx = lim
x∈U F(U) индуктивный предел множеств F(U)
относительно отображений ограничения rU
V . По определению множество Fx состоит из классов эквивалентности
Ux
F(U)= ∼x, где
s ∈ F(V ) ∼x t ∈ F(W), если существует такое открытое множество
U ⊂ V ∩ W, что rV
U (s) = rW
U (t).
Положим F = x∈X
Fx. Пусть s ∈ F(U). Тогда каждой точке x ∈ U отвечает класс эквивалентности sx ∈ Fx сечения s. Объединение всех таких классов образует подмножество sU ⊂ F. Зададим на F топологию,
считая, что открытыми являются все множества sU и все объединения
таких множеств.
Упражнение 2.4. Докажите, что описанная конструкция действительно задает структуру топологического пространства на F. Докажите, что отображение : F → X, где (Fx) = x, является накрытием.
Сечением накрытия : Y → X на подмножестве U ⊂ X называется
такое отображение s: U → Y , что s = 1U | тождественное отображение. Обозначим через F(U) множество непрерывных сечений на U ⊂ X.
Упражнение 2.5. Докажите, что множества сечений {F(U) | U ∈
∈ U} вместе с естественными отображениями ограничений сечений
на подмножества образуют пучок. Он называется пучком сечений
накрытия.
Таким образом, всякий предпучок F порождает пучок —
—
F сечений
накрытия : F → X. Если F является предпучком с алгебраической
структурой (т. е. является предпучком групп, модулей и т. п.), то этой
же структурой обладает и порожденный пучок. Сечению s ∈ F(U) отвечает множество sU, образующее сечение —
s ∈ —
—
F(U). Соответствие s → —
s
порождает отображение U : F(U) → —
—
F(U).
Упражнение 2.6. Докажите, что семейство отображений F(U) →
→ —
—
F(U) образует морфизм предпучков F : F → —
—
F. Более того, если
F |пучок групп, то —
—
F тоже пучок групп и F |морфизм пучков групп.
Упражнение 2.7. Докажите, что морфизм предпучков h: A → B
естественно порождает непрерывное отображение ~
h: A → B, которое,
в свою очередь, естественно порождает такой морфизм предпучков
—
h: —
—
A → B, что Ah = —
hB:
Теорема 2.1. Если F |пучок, то  : F → —
—
F |изоморфизм пучков.
7

Доказательство. 1. Докажем инъективность. Пусть s; s∈ F(U) и
U(s) = U(s). Рассмотрим произвольную точку x ∈ U. Тогда rU
x (s) =
= rU
x (s). Следовательно, существует такое содержащее точку x открытое множество V x ⊂ U, что rU
V x(s) = rU
V x(s). Таким образом, существует такое покрытие U = x∈X
V x, что rU
V x(s) = rU
V x(s). Согласно
первой аксиоме пучка отсюда следует, что s= s.
2. Докажем сюръективность. Пусть  ∈ —
—
F(U). Рассмотрим произвольную точку x ∈ U. Тогда (x) представляет собой класс эквивалентности сечения sx ∈ F(V x), где x ∈ V x ⊂ U. Сечение sx порождает сечение накрытия x = V x(sx) ∈ —
—
F(V x). Сечения накрытия  и x совпадают в точке x и, следовательно, совпадают в некоторой окрестности
W x ⊂ V x. Таким образом,
|W x = x|W x = rV x
W x(V x(sx)) = W x(rV x
W x(sx)) = W x(^
sx)) ;
где ^
sx = rV x
W x(sx).
Взяв такую окрестность W x для каждой точки x ∈ U, получаем такое покрытие U = x∈U
W x, что |W x = W x(^
sx). В частности,
W x(^
sx) = W y(^
sy) на W x ∩ W y. Ввиду уже доказанной инъективности отсюда следует, что rW x
W x∩W y(^
sx) = rW y
W x∩W y(^
sy). Таким образом,
согласно второй аксиоме пучка существует такое сечение ^
s ∈ F(U),
что ^
sx = rU
W x(^
s). Следовательно, U(^
s)|W x = W x(rU
W x(^
s)) = W x(^
sx) =
= |W x.
Следствие 2.1. Каждый пучок изоморфен пучку непрерывных сечений некоторого накрытия.
§ 3. Когомологии с коэффициентами в пучке
3.1. Каноническая резольвента пучка. Далее мы считаем, что
все рассматриваемые пучки являются пучками коммутативных групп.
Говорят, что пучок A является подпучком пучка B (и пишут A ⊂ B),
если A(U) ⊂ B(U) для любого открытого множества U.
Упражнение 3.1. Докажите, что в этом случае соответствие U →
→ B(U)=A(U) порождает предпучок.
Пучок C, порожденный предпучком U → B(U)=A(U), называется
факторпучком.
Говорят, что последовательность гомоморфизмов групп A
g
−
→ B
h
−
→
h
−
→ C точна в B, если Im(g) = Ker(h). Говорят, что последовательность
8

морфизмов A
g
−
→ B
h
−
→ C пучков групп над X точна в B, если для любого
x ∈ X последовательность групп Ax
g
−
→ Bx
h
−
→ Cx точна в Bx.
Упражнение 3.2. Докажите, что естественное вложение подпучка
в пучок вместе с естественной проекцией пучка на факторпучок порождают точную последовательность пучков 0 → A → B → C → 0.
Упражнение 3.3. Пусть O | пучок голоморфных функций на
C \ 0, рассматриваемый как группа по сложению, Z | подпучок постоянных целочисленных функций и O∗ | пучок не обращающихся в 0 голоморфных функций на C \ 0, рассматриваемый как группа по умножению. Докажите, что тогда последовательность пучков
0 → Z
i
−
→ O
exp
−
−
→ O∗ → 0, где exp(f)(z) = e2if(z), точна, а последовательность гомоморфизмов групп 0 → Z(C \ 0)
i
−
→ O(C \ 0)
exp
−
−
→ O∗(C \ 0) → 0
не точна.
Предыдущее упражнение дает пример точной последовательности
пучков, порождающей последовательность сечений, которая не является точной. Неточности такого типа характеризуют пучок и являются,
по существу, предметом теории когомологий.
Точная (во всех членах) последовательность пучков вида
0 → F

−
→ F0 0
−
→ F1 1
−
→ F2 2
−
→ : : :
называется резольвентой пучка F.
Упражнение 3.4. Докажите, что последовательность групп
0 → F(X)
~

−
→ F0(X)
~
0
−
→ F1(X)
~
1
−
→ F2(X)
~
2
−
→ : : : ;
индуцированная резольвентой 0 → F

−
→ F0 0
−
→ F1 1
−
→ F2 2
−
→ : : : ; удовлетворяет условиям ~
0~
 = ~
n+1~
n = 0 и Ker(~
0) = Im(~
)
Рассмотрим пучок F и изоморфный ему пучок —
—
F непрерывных сечений накрытия : Y → X. Рассмотрим пучок E(U) = {s : U → Y | s = 1}
всех сечений накрытия . Естественное вложение непрерывных сечений в произвольные порождает точную в F последовательность пучков
0 → F

−
→ E(F).
Положим F0 = E(F), F1 = E(F0=Im()) и обозначим через 0 : F0 →
→ F0=Im() → E(F0=Im()) = F1 композицию естественных гомоморфизмов пучков. Мы получили последовательность гомоморфизмов 0 →
→ F

−
→ F0
0
−
→ F1. Далее положим Fn+1 = E(Fn=Im(n−1)) и обозначим через n : Fn → Fn=Im(n−1) → E(Fn=Im(n−1)) = Fn+1 композицию естественных гомоморфизмов пучков.
9

Упражнение 3.5. Докажите, что последовательность пучков
0 → F

−
→ F0 0
−
→ F1 1
−
→ F2 2
−
→ : : :
является резольвентой.
Построенная резольвента 0 → F

−
→ F0 0
−
→ F1 1
−
→ F2 2
−
→ : : : называется канонической резольвентой пучка F.
3.2. Когомологии. Пусть F |пучок над X, 0→F

−
→F0 0
−
→F1 1
−
→
1
−
→ F2 2
−
→ : : : | его каноническая резольвента и
0 → F(X)
~

−
→ F0(X)
~
0
−
→ F1(X)
~
1
−
→ F2(X)
~
2
−
→ : : :
| индуцированная последовательность групп. Тогда группы
H0(X; F) = Ker(~
0) = F(X);
Hn(X; F) = Ker(~
n)=Im(~
n−1)
называются n-ми группами когомологий пространства X с коэффициентами в пучке F. Их прямая сумма H∗(X; F) называется (полной)
группой когомологий пространства X с коэффициентами в пучке F.
Это понятие позволяет сопоставить группу произвольному пучку и
использовать методы алгебры для изучения геометрических объектов.
Для простейших (и важнейших) пространств и пучков это соответствие
(другими методами) было впервые построено А. Пуанкаре. Следующая
теорема показывает, что соответствие является функториальным.
Теорема 3.1. Морфизм A
h
−
→ B пучков над X порождает такие
гомоморфизмы групп когомологий hn : Hn(X; A) → Hn(X; B), что
1) h0 = hX : A(X) → B(X) | гомоморфизм глобальных сечений;
2) если h | тождественный морфизм, то hn | тождественный
гомоморфизм для любого n;
3) если A
h
−
→ B
l
−
→ C | последовательность морфизмов пучков, то
(lh)n = lnhn.
Доказательство. Рассмотрим накрытия f : Y → X и g: Z → X,
пучки непрерывных сечений которых изоморфны пучкам A и B соответственно. Морфизм h порождает гомеоморфизм, замыкающий коммутативную диаграмму
Y
f
h
Z
g
X
X
10

Диаграмма порождает морфизм h0(s) = hs пучков всех сечений накрытий. Этот морфизм замыкает коммутативную диаграмму
0
A

h
A0
h0
0
B