Краткий курс математического анализа

С. М. Натанзон

Краткий курс
математического анализа

МЦНМО

С. М. Натанзон

МЦНМО, 2014

УДК 517
ББК 22.16
Н33

Натанзон С.М.
Краткий курс математического анализа
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
95 с.
ISBN 978-5-4439-2028-3

Эта публикация является краткой записью прочитанного автором курса
лекций для студентов 1 курса Независимого Московского университета в
1997—1998, 2002—2003 и 2008—2009 учебных годах.

Подготовлено на основе книги: С.М.Натанзон. Краткий курс математического анализа.— 2-е изд., стереотип.— М.: МЦНМО, 2008.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83

http://www.m

me.
ru

ISBN 978-5-4439-2028-3
c⃝ С.М.Натанзон, 2004, 2008.
c⃝ МЦНМО, 2014.

Оглавление

Часть 1. Функции одной переменной
5
1.
Вещественные числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.
Пределы последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.
Пределы функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4.
Непрерывные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.
Равномерная непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6.
Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.
Производная на интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.
Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9.
Первообразная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.
Методы интегрирования рациональных
комбинаций элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . 23
11.
Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
12.
Разложение Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
13.
Локальное поведение кривых на плоскости
. . . . . . . . . . 31
14.
Бесконечные ветви кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
15.
Построение кривых на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . 35
16.
Полярные координаты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
17.
Положительные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
18.
Признак Гаусса и гипергеометрический ряд
. . . . . . . . . . 41
19.
Произвольные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
20.
Функциональные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
21.
Степенные ряды и ряды Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . 50

Часть 2. Функции нескольких переменных
53
1.
Топология пространства Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.
Компакты в Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.
Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.
Дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.
Свойства дифференциала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.
Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.
График функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.
Теорема о неявной функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.
Теорема о неявном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.
Приведение отображений к каноническому виду . . . . . . . . 70
11.
Лемма Морса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
12.
Условный экстремум. Множители Лагранжа . . . . . . . . . . 76
13.
Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

14.
Теорема Фубини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15.
Множества меры 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
16.
Критерий Лебега интегрируемости по Риману. . . . . . . . . . 83
17.
Несобственные интегралы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
18.
Разбиение единицы. Замена переменных
в интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
19.
Интегралы, зависящие от параметра. . . . . . . . . . . . . . . 90
20.
Г- и B-функции Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4

Ч а с т ь 1

Функции одной переменной

§1. Вещественные числа

Определение вещественного числа основано на определении рационального числа (т. е. m/n, где m и n принадлежат множеству Z целых
чисел). Рациональным числом является, в частности, конечная десятичная
дробь
C0,C1C2 . . . Ck

= C0

+ C1 · 10−1

+ . . .
+ Ck · 10−k,

где C0 ∈ Z, Ci ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Определение. Десятичной дробью называется конечная или бесконечная последовательность C0,C1C2 . . ., где C0 ∈ Z, Ci ∈ {0, 1, . . . , 9}. Бесконечные десятичные дроби C0,C1C2 . . . Ck99 . . . (где Ck ̸= 9) и C0,C1C2 . . .
. . . Ck−1(Ck

+ 1)00 . . .
считаются эквивалентными конечной десятичной
дроби C0,C1C2 . . . Ck−1(Ck

+ 1). Класс эквивалентности десятичных дробей называется вещественным числом. Множество вещественных чисел
обозначается R.
Далее, если не оговорено противное, под числом понимается вещественное число, а под последовательностью понимается бесконечная
последовательность вещественных чисел. Десятичной последовательностью вещественного числа r
= C0,C1C2 . . . называется бесконечная
последовательность q1, q2, q3, . . ., где qk

= C0,C1C2 . . . Ck.
Пусть
e — бесконечная десятичная дробь. Мы считаем, что ˜r − r ⩽
e,
если ˜r
= r или если существует конечная десятичная дробь
d из десятичной
последовательности числа
e такая, что ˜qk − qk

<
d для любого k, начиная
с некоторого n.
Подмножество [a, b]
= {r ∈ R: a − r ⩽ 0, r − b ⩽ 0} называется (замкнутым) отрезком с концами a и b, а множество (a, b)
= [a, b] \
({a} ∪ {b}) — (открытым) интервалом с концами a и b. Неравенство
| ˜r − r|
<
e означает, что ˜r − r
<
e и r − ˜r
<
e.
Определение. Последовательности r
= (r1, r2, . . .) и ˜r
= ( ˜r1, ˜r2, . . .) называются эквивалентными (r ∼ ˜r), если для любого
e
> 0 существует n
такое, что для любого i
> n выполнено неравенство |ri − ˜ri|
<
e.
Далее вместо условий такого типа мы будем писать формулу

∀
e
> 0 ∃n ∈ N ∀i
> n: |ri − ˜ri|
<
e,

используя стандартные кванторы ∀ — любой, ∃ — существует и символ N
для множества натуральных чисел.

Задача 1.1. Докажите, что если r ∼ r′ и r′ ∼ r′′, то r ∼ r′′.
Задача 1.2. Докажите, что несовпадающим вещественным числам отвечают неэквивалентные десятичные последовательности.
Определение. Последовательность r1, r2, . . . называется последовательностью Коши, если

∀
e
> 0 ∃n ∈ N ∀i, j
> n: |ri − rj|
<
e.

Задача 1.3. Докажите, что бесконечная десятичная последовательность
вещественного числа является последовательностью Коши.
Лемма 1.1. Пусть a
= (a1, a2, . . . ) и b
= (b1, b2, . . . ) — последовательности Коши. Тогда (a
+ b)
= ((a1

+ b1), (a2

+ b2), . . .), (−a)
=

= ((−a1), (−a2), ...) и (ab)
= ((a1b1), (a2b2), ...) —тоже последовательности Коши. Если |ai|
> M
> 0 для всех i, то и a−1

= (a−1
1 , a−1
2 , . . .) —
тоже последовательность Коши.
Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию

∀
e
> 0 ∃n ∈ N ∀i, j
> n: |ai − aj|
<

e
2, |bi − bj|
<

e
2.

Но тогда |(ai

+ bi) − (aj

+ bj)|
= |(ai − aj)
+ (bi − bj)| ⩽ |ai − aj|
+ |bi − bj|
<

<

e
2

+

e
2

=
e. Остальные доказательства строятся аналогично.

Теорема 1.1. Всякая последовательность Коши r
= (r1, r2, . . .) эквивалентна десятичной последовательности вещественного числа.
Для доказательства нам понадобятся еще одно определение и две леммы. Пусть r
= (r1, r2, . . .) — последовательность Коши. Отрезок [a, b] ⊂ R
назовем тяжелым, если он содержит бесконечно много точек последовательности r.
Лемма 1.2. Если [a, b] и [c, d] — тяжелые отрезки, то [a, b] ∩
∩ [c, d] ̸= ∅.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что b
< c. Тогда

∀n ∈ N ∃i, j
> n: ri ∈ [a, b], rj ∈ [c, d]

и |ri − rj|
> c − b. Но это противоречит определению последовательности
Коши.

Лемма 1.3. Если [a, b] и [b, c] — тяжелые отрезки, то последовательность r эквивалентна десятичной последовательности точки b.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (b1, b2, . . .) — десятичная последовательность точки b, не содержащая «хвоста девяток», b′

= b′
n

= bn − 10−n−1,
b′′

= b′′
n

= bn

+ 10−n − 10−n−1. Тогда существует
˜n такое, что при n
> ˜n
выполнены неравенства a
< b′

< b
< b′′

< c. Зафиксируем произвольное
n, удовлетворяющее этим условиям. В этом случае согласно лемме 1.2
в каждой из пар отрезков ([a, b′], [b, b′′]), ([b′, b], [b′′, c]), ([a, b′], [b′′, c])

6

содержится не более одного тяжелого отрезка. Кроме того, каждая из
пар ([a, b′], [b′, b]) и ([b, b′′], [b′′, c]) содержит не менее одного тяжелого отрезка. Следовательно, [a, b′] и [b′′, c] — легкие отрезки. Таким
образом, существует L
> n такое, что ri ∈ [b′, b′′] при i
> L, и, значит,
|ri − bi|
< |b′ − b′′|
= 10−n.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 1.1. Для каждого n ∈ N разобьем R
на отрезки [q · 10−n, (q
+ 1) · 10−n], где q ∈ Z. Если одно из разбиений содержит два тяжелых отрезка, то по леммам 1.2 и 1.3 они имеют общую
точку и ее десятичная последовательность эквивалентна последовательности {ri}. А в противном случае тяжелые отрезки образуют вложенную
последовательность [q0, q0

+ 1], [q1 · 10−1, (q1

+ 1) · 10−1], . . . Следовательно, {ri} ∼ {qi · 10−i}, причем последняя последовательность является десятичной последовательностью некоторого числа.

Определение. Пусть a, b — вещественные числа и {ai}, {bi} — их
десятичные последовательности. Как следует из леммы 1.1, {ai

+ bi},
{aibi} — последовательности Коши. Согласно теореме 1.1, они эквивалентны десятичным последовательностям некоторых чисел c1, c2 ∈ R.
Положим a
+ b
def

= c1, ab
def

= c2.
Задача 1.4. Докажите, что R — поле (в частности, докажите, что
a(b
+ c)
= ab
+ ac).

§2. Пределы последовательностей

Определение. Говорят, что последовательность чисел a1, a2, . . . имеет предел a, если ∀
e
> 0 ∃n ∈ N ∀i
> n: |ai − a|
<
e. Пишут lim
i→∞ ai

= a.

Пример. Десятичная последовательность числа сходится к этому числу.
Задача 2.1. Докажите, что всякая последовательность имеет не более
одного предела и если он существует, то любая ее бесконечная подпоследовательность имеет тот же самый предел.
Теорема 2.1. Если lim
n→∞ an

= a и lim
n→∞ bn

= b, то lim
n→∞(an

+ bn)
= a
+ b.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию

∀
e
> 0 ∃m ∈ N ∀n
> m: |an − a|
<

e
2, |bn − b|
<

e
2.

Значит, при n
> m мы имеем

|(an

+ bn) − (a
+ b)|
= |(an − a)
+ (bn − b)| ⩽ |an − a|
+ |bn − b|
<
e.

Задача 2.2. Пусть lim
n→∞ an

= a и lim
n→∞ bn

= b. Докажите, что lim
n→∞(−an)
=

= −a, lim
n→∞(anbn)
= ab, lim
n→∞(an) −1

= a−1, если an ̸= 0, a ̸= 0.

Лемма 2.1. Пусть lim
n→∞ an

= a, lim
n→∞ bn

= b и an ⩾ bn. Тогда a ⩾ b.

7

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что a
< b. Положим
e
= b − a

2
.
Тогда
∃m ∈ N ∀n
> m: |an − a|
<
e, |bn − b|
<
e.

Таким образом, an

< a
+ b
2

< bn, что противоречит условию леммы.

Задача 2.3. Докажите, что эквивалентные последовательности или обе
не имеют предела, или имеют одинаковый предел.
Теорема 2.2 (критерий Коши). Последовательность a1, a2, . . . имеет предел, если и только если она является последовательностью
Коши.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть lim
n→∞ an

= a. Тогда

∀
e
> 0 ∃m ∈ N ∀n
> m: |an − a|
<

e
2.

Следовательно, если i, j
> m, то

|ai − aj|
= |(ai − a)
+ (a − aj)| ⩽ |ai − a|
+ |aj − a|
<
e,

т. е. a1, a2, . . . — последовательность Коши. Обратно: если a1, a2, . . . последовательность Коши, то по теореме 1.1 она эквивалентна десятичной
последовательности некоторого числа и сходится к этому числу.

Теорема 2.3 (теорема Больцано—Вейерштрасса). Из всякой (бесконечной) последовательности на отрезке можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a1, a2, . . . ∈ [b, c]
= I1. Поделим I1 на равные отрезки [b, b1] и [b1, c]. Один из них (назовем его I2) содержит бесконечное число элементов последовательности. Разделим теперь его пополам
и т.д. В результате мы получим бесконечную последовательность вложен
ных отрезков I1, I2, . . . , длина которых равна c − b

2i−1
и стремится к нулю.

Каждый из них содержит бесконечное число точек последовательности.

Возьмем из каждого отрезка по одной точке ci ∈ Ii. Тогда |ci − cj|
< (c − b)

2m−1
при i, j
> m. Следовательно, согласно критерию Коши последовательность
c1, c2, . . . имеет предел.

Задача 2.4. Докажите, что из любого покрытия отрезка открытыми
интервалами можно выбрать конечное подпокрытие.
Определение. Последовательность a1, a2, . . . называется монотонно
возрастающей, если ∀i ∈ N: ai +1

> ai, и монотонно убывающей, если
∀i ∈ N: ai

> ai +1.
Задача 2.5. Докажите, что ограниченная монотонно возрастающая последовательность имеет предел.

8

Определение. Говорят, что последовательность a1, a2, . . . стремится
к
+∞, если ∀ A ∈ R ∃ n ∈ N ∀ i
> n: ai

> A. Обозначение lim
i→∞ ai

=
+∞.

Равенство lim
i→∞ ai

= −∞ означает, что lim
i→∞(−ai)
=
+∞.

Задача 2.6. Пусть lim
n→∞ an

=
+∞, lim
n→∞ bn

=
+∞, lim
n→∞ cn

= c ∈ R. Дока
жите, что lim
n→∞(an

+ cn)
=
+∞; lim
n→∞(ancn)
=
+∞, если c
> 0; lim
n→∞(a−1
n )
= 0;

lim
n→∞(c−1
n )
=
+∞, если c
= 0 и cn

> 0. Что можно сказать о пределах по
следовательностей (an − bn) и an

bn ?

§3. Пределы функций

Определение. Функцией f на подмножестве I ⊂ R называют отображение f: I → R.
Определение. Пусть c ∈ R таково, что для любого
d
> 0 существует
x ∈ I, такое что 0
< |x − c|
<
d. Говорят, что функция f стремится к l при
x, стремящемся к c, и пишут lim
x→c f(x)
= l, если

∀
e
> 0 ∃
d
> 0 ∀0
< |x − c|
<
d: |f(x) − l|
<
e.

Существование правого предела lim
x→c +0 f(x)
= l означает, что

∀
e
> 0 ∃
d
> 0 ∀0
< x − c
<
d: |f(x) − l|
<
e.

Равенство
lim
x→+∞ f(x)
= l означает, что

∀
e
> 0 ∃
d
> 0 ∀x
>
d: |f(x) − l|
<
e.

Задача 3.1. Дайте определения левого предела lim
x→c−0 f(x)
= l и предела

lim
x→−∞ f(x)
= l.

Задача 3.2. Докажите, что если функция имеет предел, то он единственный.
Задача 3.3. Дайте определение монотонной функции и докажите, что
монотонная ограниченная функция, определенная на интервале, имеет пределы справа и слева в каждой точке этого интервала.
Теорема 3.1. Если lim
x→c f1(x)
= l1 и lim
x→c f2(x)
= l2, то существуют пре
делы lim
x→c(f1

+ f2) (x)
= l1

+ l2, lim
x→c(f1f2) (x)
= l1l2, lim
x→c

f1

f2

(x)
= l1

l2 (если l2 ̸= 0);

если f1(x) ⩽ f2(x), то l1 ⩽ l2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим
e
> 0. Тогда

∃
d
> 0 ∀0
< |x − c|
<
d: |f1(x) − l1|
<

e
2
и
|f2(x) − l2|
<

e
2.

9

Следовательно, |(f1(x)
+ f2(x)) − (l1

+ l2)|
<
e. Остальные доказательства
проведите самостоятельно.

Задача 3.4. Сформулируйте и докажите критерий Коши для пределов
функций.
Определение. Говорят, что lim
x→c f(x)
=
+∞, если

∀r ∈ R ∃
d
> 0 ∀0
< |x − c|
<
d: f(x)
> r.

Говорят, что lim
c→c f(x)
= −∞, если lim
x→c(−f(x))
=
+∞. Равенство lim
x→c f(x)
= ∞
означает, что
∀r ∈ R ∃
d
> 0 ∀0
< |x − c|
<
d: |f(x)|
> r.

Задача 3.5. Сформулируйте и докажите теорему о пределах функций,
аналогичную теореме 3.1, в случае, когда один или оба предела принимают
значения −∞,
+∞, ∞.
Теорема 3.2. Пусть lim
x→a f(x)
= b, причем

∃
e0

> 0 ∀0
< |x − a|
<
e0 : f(x) ̸= b,

и lim
x→b g(x)
= l, причем функция g определена в точках f(x) для всех x,

достаточно близких к a. Тогда lim
x→a g(f(x))
= l.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
e
> 0. Тогда

∃
d1

> 0 ∀0
< |y − b|
<
d1 : |g(y) − l|
<
e.

Кроме того,

∃0
<
d
<
e0 ∀0
< |x − a|
<
d: 0
< |f(x) − b|
<
d1,

и, следовательно, |g(f(x)) − l|
<
e.

Задача 3.6. Что получится, если в теореме 3.2 убрать условие

«∃
e0

> 0 ∀0
< |x − a|
<
e0 : f(x) ̸= b»?

Определение. Говорят, что функции f(x) и g(x) эквивалентны при
x → x0, если в окрестности точки x0 существует функция h(x), такая что
f(x)
= g(x)h(x) при x ̸= x0 и lim
x→x0 h(x)
= 1. Эквивалентность обозначается

f ∼ g.
Пример. Если lim
x→x0 f(x)
= l, l ̸= 0, то f ∼ l при x → x0.

Задача 3.7. Докажите, что sin x ∼ x при x → 0.
Задача 3.8. Пусть f1 ∼ f2 и g1 ∼ g2, при x → x0, причем g1g2 ̸= 0 в

окрестности точки x0. Докажите, что f1g1 ∼ f2g2 и f1

g1 ∼ f2

g2 при x → x0.

Верно ли, что f1

+ g1 ∼ f2

+ g2?
Задача 3.9. Докажите, что если f1 ∼ f2 и f2 ∼ f3, то f1 ∼ f3.

10

Определение. Если f ∼ axn (a ̸= 0) при x → 0, то говорят, что f(x) есть
бесконечно малая порядка n.
Обозначение. Обычно пишут «f
= o(g) при x → x0», если при x ̸= x0
f(x)
= g(x) × h(x), где lim
x→x0 h(x)
= 0. Аналогично пишут «f
= O(g) при

x → x0», если f(x)
= g(x)h(x) при x ̸= x0, где функция h(x) ограничена в
окрестности точки x0.

§4. Непрерывные функции

Определение. Функция f, определенная на множестве I ⊂ R, называется непрерывной в точке x0 ∈ I, если

∀
e
> 0 ∃
d
> 0 ∀ (x ∈ I, |x − x0|
<
d) : |f(x) − f(x0)|
<
e.

Задача 4.1. Докажите, что если lim
x→x0 f(x)
= f(x0), то функция f не
прерывна в точке x0. Докажите, что если функция f непрерывна в точке x0 и определена на некотором интервале, содержащем точку x0, то
lim
x→x0 f(x)
= f(x0).

Задача 4.2. Докажите, что функция f, определенная на множестве
I ⊂ R, непрерывна в точке x0, если и только если f переводит любую
последовательность, принадлежащую I и сходящуюся к точке x0, в последовательность, сходящуюся к f(x0).
Определение. Функция f называется непрерывной справа в точке x0,
если
lim
x→x0

+0 f(x)
= f(x0), и непрерывной слева, если
lim
x→x0−0 f(x)
= f(x0).

Определение. Функция f называется непрерывной на множестве
I ⊂ R, если она непрерывна в каждой точке множества I.
Задача 4.3. Докажите, что суперпозиция, сумма, разность и произведение непрерывных функций f и g тоже непрерывны. Кроме того, если

g(x) ̸= 0, то непрерывна и функция f(x)

g(x) .

Напомним, что множество I ⊂ R называется ограниченным сверху
(снизу), если существует M ∈ R (m ∈ R), такое что ∀x ∈ I: x ⩽ M (x ⩾ m).
Обозначим через sup(I) наименьшее из чисел b таких, что ∀x ∈ I: x ⩽ b.
Обозначим через inf(I) наибольшее из чисел a, таких что ∀ x ∈ I: a ⩽ x.
Задача 4.4. Пусть I ⊂ R. Докажите, что тогда 1) если множество I
ограничено сверху, то sup(I) существует; 2) если множество I ограничено
снизу, то inf(I) существует.
Задача 4.5. Пусть множество I ⊂ R состоит из рациональных чисел.
Может ли sup(I) или inf(I) быть иррациональным?
Определение. Пусть f — функция на I. Говорят, что f достигает
максимума на I, если существует y ∈ I, такое что ∀ x ∈ I: f(x) ⩽ f(y).

11