Введение в современную теорию чисел

Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин

Введение в современную
теорию чисел

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 511
ББК 122.130
М23

Манин Ю. И., Панчишкин А. А.
Введение в современную теорию чисел
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
552 с.
ISBN 978-5-4439-2027-6

Предлагаемая читателю книга — это переработанная и дополненная версия книги «Теория чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И. Манина и
А. А. Панчишкина (М.: ВИНИТИ, 1989) и ее английского перевода (Encyclopaedia of Mathematical Sciences, v. 49, Springer-Verlag, 1995). Книга состоит из вводных глав к различным разделам теории чисел. Все главы объединены общей концепцией: вместе с читателем пройти от наглядных примеров
теоретико-числовых объектов и задач, через общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени, к некоторым новейшим достижениям
и в ´идениям современной математики и наброскам для дальнейших исследований. Новые разделы, написанные для данного издания, включают в себя
сжатое изложение доказательства Уайлса великой теоремы Ферма, недавно
открытый полиномиальный алгоритм проверки на простоту числа, обзор счета рациональных точек на многообразиях и другие сюжеты; заключительная
часть книги посвящена арифметическим когомологиям и некоммутативной
геометрии.

Подготовлено на основе книги: Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. Введение
в современную теорию чисел.— 2-е изд., испр.— М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2027-6
© Манин Ю. И., Панчишкин А. А., 2009.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Часть I. Задачи и приемы

Глава 1. Элементарная теория чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

§1.1. Задачи о целых числах. Делимость и простота . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.1.1.
Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.1.2.
Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.1.3.
Основная теорема арифметики и алгоритм Евклида . . .. . . . . .
24
1.1.4.
Вычисления с классами вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.5.
Квадратичный закон взаимности и распознавание простоты
числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
29
1.1.6.
Распределение простых чисел
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
32
§1.2. Диофантовы уравнения первой и второй степени. . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.2.1.
Уравнение ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.2.2.
Диофантовы системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . .
38
1.2.3.
Уравнения второй степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.2.4.
Принцип Минковского—Хассе для квадратичных форм
. . . . .
42
1.2.5.
Уравнение Пелля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.2.6.
Представление целых чисел и квадратичных форм квадратичными формами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
46
1.2.7.
Связь с аналитической теорией чисел
. . . . . . . .. . . . . . . . . .
51
1.2.8.
Эквивалентность бинарных квадратичных форм . . . .. . . . . . . .
54
§1.3. Кубические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.3.1.
Проблема существования рационального решения . . .. . . . . . .
56
1.3.2.
Сложение точек на кубической кривой . . . . . . . .. . . . . . . . . .
57
1.3.3.
Строение группы рациональных точек на кубической кривой . .
59
1.3.4.
Кубические сравнения по простому модулю
. . . . . .. . . . . . . .
66
§1.4. Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби . . . . . . . . .
68
1.4.1.
Диофантовы приближения иррациональных чисел . . . . . . . . .
68
1.4.2.
Ряды Фарея . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.4.3.
Непрерывные (цепные) дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
1.4.4.
SL2-эквивалентность чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
1.4.5.
Периодические цепные дроби. Решение уравнения Пелля . . . .
72
§1.5. Диофантовы приближения и иррациональность . . . . .. . . . . . . . . . . .
73
1.5.1.
Идеи доказательства иррациональности числа
z(3) . . . . . . . . .
73

Оглавление

1.5.2.
Мepa иррациональности числа . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
74
1.5.3.
Теорема Туэ—Зигеля—Рота, трансцендентные числа,
диофантовы уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
75
1.5.4.
Вывод тождеств (1.5.1) и (1.5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.5.5.
Рекуррентные последовательности an и bn . . . . . . . . . . . . . .
78
1.5.6.
Трансцендентные числа и седьмая проблема Гильберта . . . . . .
80
1.5.7.
Работа Ю. В. Нестеренко о e

p [610]
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Глава 2. Некоторые приложения элементарной теории чисел . . . . . . . .
81

§2.1. Разложение и кодирование с открытым ключом . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.1.1.
Временн ´ые затраты для разложения чисел . . . . . . . . . . . . .. .
81
2.1.2.
Односторонние функции и кодирование с открытым ключом
. .
81
2.1.3.
Криптосистема с открытым ключом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.1.4.
Статистика и массовое производство простых чисел . .. . . . . . .
84
2.1.5.
Вероятностные методы проверки на простоту . . . . .. . . . . . . .
85
2.1.6.
Проблема дискретного логарифма и протокол обмена ключами
Диффи—Хеллмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.1.7.
Вычисление дискретного логарифма для эллиптических кривых
над конечными полями (ECDLP) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
86
§2.2. Детерминированные проверки на простоту. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.2.1.
Тест на простоту Адлемана—Померанса—Румели: основные
идеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.2.2.
Гауссовы суммы и их использование в тестах на простоту . . . .
89
2.2.3.
Детальное описание теста на простоту . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.2.4.
Простые числа лежат в классе P . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
97
2.2.5.
Алгоритм М. Агравала, Н. Каяла и Н. Саксены . . . . . . . . . . . 100
2.2.6.
Практические и теоретические доказательства простоты.
Алгоритм ECPP (Elliptic Curve Primality Proving), построенный
Ф. Мореном [142]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.7.
Арифметические прогрессии из простых чисел
. . . . . . . . . . . 102
§2.3. Разложение больших чисел на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3.1.
Сравнение сложности тестов на простоту и разложения чисел
на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 103
2.3.2.
Разложение чисел и квадратичные формы
. . . . . . .. . . . . . . . 104
2.3.3.
Вероятностный алгоритм CLASNO . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 105
2.3.4.
Метод цепных дробей (CFRAC) и вещественные квадратичные
поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.5.
Использование эллиптических кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Часть II. Идеи и теории

Глава 3. Индукция и рекурсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§3.1. Элементарная теория чисел с точки зрения логики . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.1.
Элементарная теория чисел . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 115
3.1.2.
Логика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§3.2. Диофантовы множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Оглавление
5

3.2.1.
Перечислимость и диофантовы множества . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.2.
Диофантовость перечислимых множеств . . . . . . .. . . . . . . . . . 117
3.2.3.
Свойства диофантовых множеств . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 118
3.2.4.
Диофантовость и уравнение Пелля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.5.
График экспоненты диофантов . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 119
3.2.6.
Диофантовость и биномиальные коэффициенты . . . . . . . . . . . 120
3.2.7.
Биномиальные коэффициенты как остатки . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2.8.
Диофантовость факториала . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 120
3.2.9.
Факториал и алгоритм Евклида
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 120
3.2.10. Дополнительные результаты . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 121
§3.3. Частично рекурсивные функции и перечислимые множества . . . . . . . . 122
3.3.1.
Частичные функции и вычислимые функции . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.2.
Простейшие функции . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.3.
Элементарные операции над частичными функциями
. . . . . . . 122
3.3.4.
Частично рекурсивное описание функций . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.5.
Другие рекурсивные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.6.
Дальнейшие свойства рекурсивных функций . . . . . . . . . . . . . 127
3.3.7.
Связь с множествами уровня . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 127
3.3.8.
Связь с проекциями множеств уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.9.
Теорема Матиясевича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.10. Существование некоторых биекций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.11. Операции на примитивно перечислимых множествах
. .. . . . . . 130
3.3.12. Функция Гёделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.13. Свойства перечислимых множеств
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 131
§3.4. Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость . . . . . . . . 131
3.4.1.
Алгоритмическая нераспознаваемость и неразрешимость . . . . . 131
3.4.2.
План доказательства теоремы Матиясевича . . . . . . . . . . . . . 132

Глава 4. Арифметика алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

§4.1. Алгебраические числа: реализации и геометрия . . . .. . . . . . . . . . . . . 134
4.1.1.
Присоединение корней многочленов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.2.
Расширения Галуа и элементы Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.3.
Тензорное произведение полей и геометрическое изображение
алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 138
4.1.4.
Единицы, логарифмическое отображение и регулятор . . . . . . . 140
4.1.5.
Точки решетки в выпуклом теле . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 142
4.1.6.
Вывод теоремы о единицах из леммы о выпуклом теле . . .. . . . 144
§4.2. Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и нормирования . . . 145
4.2.1.
Простые идеалы и однозначность разложения на множители . . 145
4.2.2.
Конечность числа классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.3.
Разложение простых идеалов в расширениях
. . . . . . . . . . . . 148
4.2.4.
Разложение простых идеалов в циклотомических полях
. . . . . 150
4.2.5.
Простые идеалы, показатели и нормирования . . . . .. . . . . . . . 152
§4.3. Локальные и глобальные методы . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.1.
p-адические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.2.
Приложения p-адических чисел к решению сравнений . . . . . . 158

Оглавление

4.3.3.
Символ Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.4.
Алгебраические расширения поля Qp и поля Тэйта
. . . . . . . . 161
4.3.5.
Нормализованные нормирования
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 163
4.3.6.
Точки числовых полей. Формула произведения . . . . . . . . . . . 165
4.3.7.
Адели и идели . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3.8.
Геометрия аделей и иделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§4.4. Теория полей классов . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.4.1.
Абелевы расширения поля рациональных чисел . . . . . . . . . . . 174
4.4.2.
Элементы Фробениуса числовых полей и отображение взаимности Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.3.
Теорема Чеботарева о плотности простых идеалов . . .. . . . . . . 179
4.4.4.
Закон разложения и отображение взаимности . . . . .. . . . . . . . 179
4.4.5.
Ядро отображения взаимности . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 180
4.4.6.
Символ Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.4.7.
Глобальные свойства символа Артина . . . . . . . .. . . . . . . . . . 181
4.4.8.
Связь символа Артина и локальных символов . . . . . . . . . . . . 183
4.4.9.
Свойства локального символа
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 184
4.4.10. Явная конструкция абелевых расширений локального поля и вычисление локального символа
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 185
4.4.11. Абелевы расширения числовых и функциональных полей
. . . . 188
§4.5. Группа Галуа в арифметических задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5.1.
Деление круга на n равных частей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5.2.
Расширения Куммера и символ степенного вычета . . . . . . . . . 195
4.5.3.
Когомологии Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.5.4.
Когомологическое определение локального символа . . . . . . . . 201
4.5.5.
Группа Брауэра, закон взаимности и принцип
Минковского—Хассе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 203

Глава 5. Арифметика алгебраических многообразий . . . . . . . . . . . . . . 209

§5.1. Арифметические многообразия: схемы конечного типа над кольцом целых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.1.
Решение уравнений и кольца . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 209
5.1.2.
Множество решений систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.3.
Пример: «язык сравнений» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.4.
Эквивалентность систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.1.5.
Решения системы как гомоморфизмы K-алгебр . . . . . . . . . . . 210
5.1.6.
Спектр кольца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.7.
Функции на спектрах . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.8.
Топология пространства Spec A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.1.9.
Схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.1.10. Точки схемы со значениями в кольцах . . . . . . . .. . . . . . . . . . 217
5.1.11. Решения уравнений и точки схем
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 217
5.1.12. Теорема Шевалле
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1.13. Некоторые геометрические понятия . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 219
§5.2. Геометрические методы изучения диофантовых уравнений. . . . . . . . . . 221
5.2.1.
Основные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 221

Оглавление
7

5.2.2.
Геометрическая классификация
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 223
5.2.3.
Существование рациональных точек и препятствия к принципу
Хассе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2.4.
Конечные и бесконечные множества решений . . . . . . . . . . . . 227
5.2.5.
Число точек ограниченной высоты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2.6.
Высота и геометрия Аракелова . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 233
5.2.7.
Рациональные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§5.3. Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы. . . . 236
5.3.1.
Алгебраические кривые и римановы поверхности . . . . . . . . . . 236
5.3.2.
Эллиптические кривые . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 238
5.3.3.
Кривая Тэйта и ее точки конечного порядка . . . . . . . . . . . . . 245
5.3.4.
Теорема Морделла—Вейля и когомологии Галуа . . . . . . . . . . 247
5.3.5.
Абелевы многообразия и якобианы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.3.6.
Формула Зигеля и числа Тамагавы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 259
§5.4. Диофантовы уравнения и представления Галуа . . . . .. . . . . . . . . . . . . 266
5.4.1.
Модуль Тэйта эллиптической кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.4.2.
Теория комплексного умножения
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 268
5.4.3.
Характеры l-адических представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.4.4.
Представления в характеристике p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.4.5.
Модуль Тэйта числового поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§5.5. Теорема Фальтингса и проблемы конечности в диофантовой геометрии
276
5.5.1.
Сведение гипотезы Морделла к гипотезе Шафаревича
. .. . . . . 276
5.5.2.
Теорема Шафаревича . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 278
5.5.3.
Переход к абелевым многообразиям . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 279
5.5.4.
Проблемы конечности и гипотеза Тэйта . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.5.5.
Сведение гипотез Тэйта к свойству конечности для изогений . . 282
5.5.6.
Высота Фальтингса—Аракелова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.5.7.
Гипотеза T и поведение высоты при изогениях . . . . .. . . . . . . . 287

Глава 6. Дзета-функции и модулярные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

§6.1. Дзета-функции арифметических схем . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 289
6.1.1.
Определение дзета-функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.1.2.
Аналитическое продолжение дзета-функций . . . . . . . . . . . . . 291
6.1.3.
Схемы над конечным полем и теорема Делиня . . . . . .. . . . . . . 291
6.1.4.
Дзета-функции и тригонометрические суммы . . . . . . . . . . .. . . 295
§6.2. L-функции, теория Тэйта и явные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.2.1.
L-функции рациональных представлений Галуа . . . . . . . .. . . . 300
6.2.2.
Формализм Артина
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 302
6.2.3.
Пример: дзета-функция Дедекинда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.2.4.
Характеры Гекке и теория Тэйта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.2.5.
Явные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.2.6.
Группа А. Вейля и ее представления
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . 316
6.2.7.
Дзета-функции, L-функции и мотивы
. . . . . . . . . . . . . . . . . 318
§6.3. Модулярные формы и эйлеровы произведения . . . . . .. . . . . . . . . . . . 324
6.3.1.
Связь между алгебраическими многообразиями и L-функциями
324
6.3.2.
Классические модулярные формы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 325

Оглавление

6.3.3.
Приложение: кривая Тэйта и полустабильные эллиптические
кривые
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.4.
Аналитические семейства эллиптических кривых и конгруэнцподгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.5.
Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп . . . . . . 329
6.3.6.
Теория Гекке . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3.7.
Примитивные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.3.8.
Обратная теорема в форме Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
§6.4. Модулярные формы и представления Галуа . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 344
6.4.1.
Сравнения Рамануджана и представления Галуа
. . . .. . . . . . . 344
6.4.2.
Связь с конструкцией Эйхлера—Шимуры
. . . . . . . . . . . . . . 346
6.4.3.
Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля
. . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.4.4.
Гипотеза Берча—Свиннертон-Дайера
. . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.4.5.
Гипотеза Артина и параболические формы . . . . . . . . . . . . . . 355
6.4.6.
Модулярные представления над конечными полями . . .. . . . . . 358
§6.5. Автоморфные формы и программа Ленглендса . . . . . .. . . . . . . . . . . . 359
6.5.1.
Связь классических модулярных форм с теорией представлений
359
6.5.2.
Автоморфные L-функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 363
6.5.3.
Принцип функториальности Ленглендса . . . . . . .. . . . . . . . . . 366
6.5.4.
Автоморфные формы и гипотезы Ленглендса
. . . . . .. . . . . . . 367

Глава 7. Великая теорема Ферма и семейства модулярных форм . . . . . 369

§7.1. Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и высшие законы взаимности . . . 369
7.1.1.
Задача Пьера де Ферма (1601—1665) . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.1.2.
Ошибка Г. Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.1.3.
Краткий обзор замечательного доказательства Уайлса
. . . . . . 371
7.1.4.
STW-гипотеза
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.1.5.
Связь с квадратичным законом взаимности
. . . . . .. . . . . . . . 373
7.1.6.
Полное доказательство STW-гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.1.7.
Модулярность полустабильных кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.1.8.
Структура доказательства теоремы 7.13 (полустабильной STWгипотезы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 378
§7.2. Теорема Ленглендса—Туннелла и модулярность по модулю 3 . . . . . . . 380
7.2.1.
Представления Галуа: подготовка . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 380
7.2.2.
Модулярность по модулю p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.2.3.
Переход от параболических форм веса один к параболическим
формам веса два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 383
7.2.4.
Предварительный обзор этапов доказательства теоремы 7.13
о модулярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 384
§7.3. Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
7.3.1.
Представления Галуа над локальными нётеровыми алгебрами
385
7.3.2.
Деформации представлений Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.3.3.
Модулярные представления Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.3.4.
Допустимые деформации и модулярные деформации . . .. . . . . . 390
7.3.5.
Универсальные кольца деформаций . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 392

Оглавление
9

§7.4. Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец . . 394
7.4.1.
Идеи доказательства основной теоремы 7.33 . . . . .. . . . . . . . . 394
7.4.2.
Сюръективность отображения
fΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7.4.3.
Построения универсального кольца деформаций RΣ . . . . . . . . 396
7.4.4.
Набросок построения универсального кольца модулярных деформаций TΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.4.5.
Универсальность и теорема плотности Чеботарева . . . . . . . . . 399
7.4.6.
Критерии изоморфизма локальных колец . . . . . . .. . . . . . . . . 399
7.4.7.
Второй критерий изоморфизма локальных колец и J-структуры
400
§7.5. Шаг индукции по Уайлсу: применение критериев и когомологии Галуа
401
7.5.1.
Шаг индукции по Уайлсу при доказательстве основной теоремы
7.33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.5.2.
Формула, связывающая #ΦRΣ и #ΦRΣ′ : подготовка . . . . . . . . 403
7.5.3.
Группа Зельмера и ΦRΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.5.4.
Инфинитезимальные деформации . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 404
7.5.5.
Деформации типа DΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
§7.6. Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай 410
7.6.1.
Относительный инвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
7.6.2.
Основное неравенство
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 412
7.6.3.
Минимальный случай . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 414
§7.7. Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.7.1.
Теорема об абсолютной неприводимости
. . . . . . .. . . . . . . . . 416
7.7.2.
От p = 3 к p = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 419
7.7.3.
Семейства эллиптических кривых с фиксированным r5,E . . . . . 420
7.7.4.
Окончание доказательства . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 422

Часть III. Аналогии и в ´идения

Глава III-0. Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание . . 427

§III.1. Аналогии и различия между числами и функциями: точка на бесконечности, архимедовы свойства и т. д.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
III.1.1. Формула Коши о вычетах и формула произведения
. . . . . . . . 427
III.1.2. Арифметические многообразия . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 428
III.1.3. Бесконечно малые окрестности слоев
. . . . . . . . . . . . . . . . . 428
§III.2. Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Грина (по Жилле—Суле) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 429
III.2.1. Арифметические группы Чжоу . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 430
III.2.2. Арифметическая теория пересечений и теорема
Римана—Роха
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
III.2.3. Геометрическое описание замкнутых слоев над бесконечностью
433
§III.3. Теория дзета-функций, локальные множители для ∞, Γ-множители
Серра и общее описание дзета-функций как определителей арифметических
Фробениусов: программа Денингера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
III.3.1. Архимедовы L-множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 437
III.3.2. Формулы Денингера . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 437

Оглавление

§III.4. Предположение, что недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
III.4.1. Типы и примеры некоммутативных пространств и как с ними
обращаться. Некоммутативная геометрия и арифметика . . . . . 438
III.4.2. Общие сведения о спектральных тройках . . . . . . . . . . . . . . . 442
III.4.3. Содержание части III: описание основных этапов данной программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

Глава 8. Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
(по К. Конзани и М. Марколли, [278]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

§8.1. Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова. . . . .. . . . . . . . . . . . 446
8.1.1.
Мотивировки и контекст работы Конзани—Марколли
. . . . . . 446
8.1.2.
Аналитическая конструкция вырождающихся кривых над полными локальными полями и геометрия Аракелова (по Мамфорду, см. [601])
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
8.1.3.
Группы Шоттки и новые перспективы в геометрии Аракелова . . 452
8.1.4.
Гиперболические тела с ручками . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 456
8.1.5.
Геометрия Аракелова и гиперболическая геометрия . .. . . . . . . 459
§8.2. Когомологические конструкции, архимедов оператор Фробениуса и регуляризованные определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.2.1.
Архимедовы когомологии
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 463
8.2.2.
Локальный множитель и архимедовы когомологии . . . . . . . . . 467
8.2.3.
Когомологические конструкции . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 468
8.2.4.
Дзета-функция специального слоя и кручение Райдемайстера
469
§8.3. Спектральные тройки, динамика и дзета-функции . . . . . . . . . . . . . . . 472
8.3.1.
Динамическая теория на бесконечности . . . . . . .. . . . . . . . . . 475
8.3.2.
Гомотопический фактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
8.3.3.
Фильтрация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.3.4.
Гильбертово пространство и градуировка . . . . . .. . . . . . . . . . 479
8.3.5.
Алгебра Кунца—Кригера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 479
8.3.6.
Арифметические поверхности: гомологии и когомологии . . . . . 482
8.3.7.
Архимедовы множители с точки зрения динамики
. . . .. . . . . . 484
8.3.8.
Динамическая теория для кривых Мамфорда
. . . . . .. . . . . . . 484
8.3.9.
Когомологии пространства W (∆/Γ)T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
8.3.10. Спектральные тройки и кривые Мамфорда . . . . . . . . . . . . . . 491
§8.4. Редукция по модулю ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.4.1.
Гомотопические факторы и «редукция по модулю бесконечности» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.4.2.
Отображение Баума—Конна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

Предисловие

Данная книга — переработанная и дополненная версия книги «Теория
чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И. Манина и А. А. Панчишкина, изданной в 1989 г. в Москве (издательство ВИНИТИ) [72], а также английского перевода [549] 1995 г. (Springer-Verlag).
Исходно книга была задумана как часть большого проекта «Encyclopedia of Mathematical Sciences». Соответственно, нашей задачей было написать ряд вводных эссе к различным главам теории чисел и провести читателя от наглядных примеров теоретико-числовых объектов и задач через
общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени многими
исследователями, к некоторым ключевым моментам современной математики и важным, порой еще смутным, наброскам для будущих поколений.
При подготовке данного издания, мы попытались сохранить исходную
концепцию нетронутой. Представлено много точных определений, но иногда отсутствуют детали и полные доказательства. Мы попытались показать
логику теоретико-числовой мысли и осветить широкий контекст, в котором
совершаются многие конструкции, но для более детального изучения соответствующего материала читателю рекомендуется обратиться к исходным
статьям или другим монографиям. К сожалению, из-за недостатка времени
и места нам пришлось опустить много значительных результатов.
Новые разделы, написанные для этого издания, включают в себя сжатый образ доказательства Уайлса великой теоремы Ферма и описание соответствующей техники, возникающей из сочетания различных теорий изложенных во второй части книги; часть III целиком посвящена арифметическим когомологиям и некоммутативной геометрии; также в книгу включен обзор счета точек на многообразиях с большим числом рациональных
точек, недавно открытый полиномиальный алгоритм проверки на простоту
и некоторые другие сюжеты.
Более детальное описание содержания книги, а также советы для дальнейшего чтения находятся во введении.
Авторы с радостью выносят глубокую благодарность проф. М. Марколли за ее существенное содействие при подготовке последней части нового издания. Мы очень благодарны проф. Анри Коэну за его помощь
по улучшению книги, особенно главы 2. Особую благодарность мы хотим
выразить проф. Ю. Чинкелю за очень полезные советы, замечания и улучшения; он любезно переписал § 5.2 для данного издания. Мы благодарны
Р. Хиллу и А. Гевиртцу за редактирование некоторых новых разделов это

Предисловие

го издания, а также Ст. Кюнляйну (Саарский Университет) за детальный
список замечаний по первому изданию.
Мы выражаем глубокую благодарность Институту Фурье (UJF, Grenoble-1) и Математическому институту Макса Планка (Бонн) за великолепные условия для работы и замечательную атмосферу.
Мы также очень благодарны Рут Аллевельт, Катрионе М. Бирн и Мартину Петерсу (издательство Springer-Verlag) за их внимание к нашей работе и за практическую помощь.
Авторы сердечно благодарят С. О. Горчинского за очень большую работу по подготовке издания нашей книги.

Ю. И. Манин
А. А. Панчишкин

Введение

Теория чисел среди математических дисциплин выделяется скорее психологической установкой, чем предметом «целые числа». Более сильное
утверждение было бы неверным: в теоретико-числовых работах исследуются и алгебраические, и трансцендентные числа; или, вообще, не числа,
а, скажем, аналитические функции очень специального вида (ряды Дирихле, модулярные формы); или геометрические объекты (решетки, схемы
над Z). Принадлежность результатов статьи к теории чисел определяется
принятой автором системой ценностей: если арифметика в нее не входит,
то и статья не теоретико-числовая, хотя бы в ней шла речь исключительно
о сравнениях и классах вычетов; если же входит, то что угодно — динамические системы или теория гомотопий — может оказаться мощным теоретико-числовым инструментом. Только по этой причине комбинаторика
и теория рекурсивных функций обычно не считаются теоретико-числовыми дисциплинами, а теория модулярных форм считается.
В этой книге мы будем понимать теорию чисел широко. К тому есть
серьезные основания.
Прежде всего, целые числа образуют первичную материю математики
вообще (точнее, одну из двух первопричинных материй; вторая — это «фигуры», геометрия). История элементарной теории чисел поэтому столь же
длинна, как история всей математики, а историю современной математики
можно было бы условно начинать с того момента, когда «числа» и «фигуры» прочно объединились в идее координатизации, которая, по замечанию
И. Р. Шафаревича, лежит в основе алгебры, см. [108].
Далее, целые числа как универсум идеи дискретного являются также
универсумом любых логических конструкций, в том числе любых математических рассуждений, оформленных как таковые. Мы подчеркиваем,
что математика как акт индивидуального творчества, конечно, к логике не
сводится, но в коллективном сознании нашей эпохи существует в виде потенциально завершимой огромной и точной логической конструкции. Если
этот образ постоянно размывается его, так сказать, нежизненностью, то
и восстанавливающие его тенденции сильны; сейчас к ним добавились компьютерная реальность с ее чрезвычайно жесткими требованиями к логической структуре математической продукции в виде программного обеспечения.
Пониманием того, что свойства целых чисел суть свойства дискретного вообще и, стало быть, свойства мира математических рассуждений

Введение

в частности, мы обязаны математике двадцатого века, в первую очередь
Гильберту и Гёделю. При желании это понимание может быть оформлено
внутри математики в виде теоремы о том, что задача доказуемости внутри
любой формальной системы равносильна задаче о разрешимости в целых
числах подходящего диофантова уравнения (см. ниже). Этот парадоксальный факт — свидетельство того, что теория чисел, будучи малой частью
математического знания, в потенции все это знание содержит. Если знаменитая метафора Гаусса о теории чисел 1) нуждается в оправдании, его
можно усмотреть в цитированной теореме.
Если бы мы поставили перед собой (неразрешимую) задачу дать очерк
теории чисел в целом, то, следуя довольно традиционным принципам классификации, мы могли бы разделить его примерно на следующие части.
• Элементарная теория чисел.
• Арифметика алгебраических чисел.
• Теоретико-числовая структура континуума
(теория приближений,
трансцендентные числа, геометрия чисел в стиле Минковского, метрическая теория чисел и т. д.).
• Аналитическая теория чисел (круговой метод, экспоненциальные
суммы, ряды Дирихле и явные формулы, модулярные формы).
• Алгебро-геометрические методы в теории диофантовых уравнений.
• Разное («мусорный ящик»).
Мы, однако, предпочли другую систему акцентов и разделили этот материал, опустив (по незнанию или недостатку места) огромное количество
важных результатов, на три следующие части.
Часть I. Задачи и приемы. Отбирая материал для этой части, мы
исходили из следующего.
В теории чисел, как ни в какой другой области математики, велика
роль изобретательства, математического остроумия, которое может проявить молодой человек с минимумом знаний или профессионал с иной
подготовкой. Элементарных задач, до сих пор нерешенных или полурешенных, очень много. Теоретико-числовое воспитание — это воспитание
вкуса; никто не может сказать заранее, что проблема о дружественных
числах — плохая задача, а гипотеза Ферма — хорошая, но за нее нельзя
браться с голыми руками.
В элементарной теории чисел накоплен набор поставленных и решенных классиками задач (гл. 1), впоследствии выросших в теоремы, и приемов работы, впоследствии ставших большими теориями. Более того, этот

1)«...Mathematik ist die Königin von Wissenschaften und Arithmetik die Königin von
Mathematik. ...in allen Relationen sie wird zum ersten Rank erlaubt». Gauss. («Математика —
царица наук, а теория чисел — царица математики. Она часто оказывается служанкой
астрономии и других естественных наук, но во всех отношениях она возводится в высший
ранг». Гаусс. Sartorius von Walterhausen. Gauss zum Gedachtniss. (Лейпциг, 1856), с. 79.)

Введение
15

набор пополняется, хотя и реже, чем хотелось бы: пример тому — доказательство иррациональности числа
z(3) по Апери. Знакомство с таким
набором, вероятно, полезно любому профессионалу.
Чтобы не ограничиваться очень давно известными результатами, мы
подчеркнуто внимательны к алгоритмической стороне дела, а также к таким современным приложениям теории чисел, как кодирование с открытым
ключом (гл. 2). Вообще, теоретико-числовые методы обработки информации, ориентированные на компьютерную математику (например, быстрое
преобразование Фурье), — это область, в которой классическая элементарная теория чисел молодеет и приобретает новое дыхание.
Часть II. Идеи и теории. Здесь мы хотели изложить последующее
состояние ряда теоретико-числовых концепций, в которых частные приемы
и задачи систематизируются, аксиоматизируются и попадают в монографии
и книги, ориентированные на экспертов.
Элементарная теория чисел с такой точки зрения состоит из всех теорем, которые можно вывести из аксиом Пеано, самым сильным средством
среди которых является аксиома индукции. В такой формулировке она
приобретает математический вкус и долго развивается как часть математической логики — теория рекурсивных функций. С доказательством замечательной теоремы Матиясевича в ней выделился законченный теоретико-числовой фрагмент — теория диофантовых множеств, — который
достоин завершать любой курс элементарной теории чисел.
Диофантовым множеством называется любое подмножество натуральных чисел, которое совпадает с проекцией на одну из осей множества целых решений диофантова уравнения от нескольких переменных. Теорема
Матиясевича утверждает, что любое множество, порождаемое алгоритмом
(на техническом языке — перечислимое), диофантово. В частности, таково множество номеров доказываемых теорем любой формальной системы,
скажем, всей аксиоматизированной математики (гл. 3).
Следующая крупная глава современной арифметики (гл. 4) связана с
расширением области целых чисел до области целых алгебраических чисел. Последняя не является конечно порожденным кольцом, и сходство
с классической арифметикой сохраняют лишь ее подкольца, состоящие из
целых чисел конечных расширений поля Q. Исторически необходимость
расширения кольца Z была вызвана прямыми арифметическими нуждами, скажем, для исследования уравнения Ферма методом спуска очень
полезна теория делимости в кольце, порожденном корнями из единицы.
Но постепенно на первый план выдвигалось принципиально новое обстоятельство—существование фундаментальной группы симметрий теории чисел — группы Галуа поля всех алгебраических чисел Gal(Q/Q). Вероятно,
Гаусс был первым, кто ясно понял это. Уже в его юношеской работе о построении правильных многоугольников подчеркнуто, что возможность по

Введение

строения циркулем и линейкой зависит не от видимой геометрической симметрии задачи, а от глубоко скрытой симметрии Галуа. Его последующее
глубокое обдумывание квадратичного закона взаимности (семь или восемь
доказательств!) показывает, что он предвидел его истинную роль в современной теории полей классов. К сожалению, в современных курсах элементарной теории чисел обычно не объясняют, почему квадратичный закон
взаимности есть нечто большее, чем красивый курьез. Суть же дела состоит в том, что простые числа, традиционный материал арифметики, имеют
второе, скрытое воплощение в виде элементов Фробениуса в группе Галуа. Как таковые, они действуют в качестве симметрий на алгебраические
числа, и понимание этого действия кодирует много больше теоретико-числовых фактов, чем обычные сведения о распределении простых чисел в Z.
Следующие две главы этой части нашего обзора посвящены алгебро-геометрическим методам, дзета-функциям схем над целыми числами
и модулярным формам. Три эти дисциплины, тесно связанные, доставляют основной арсенал технических средств для исследования диофантовых
уравнений.
Для геометра алгебраическое многообразие есть множество всех решений полиномиальной системы уравнений, скажем, над комплексными числами. У него есть целый ряд инвариантов, прежде всего топологических:
размерность, числа Бетти, группы (ко)гомологий; далее, аналитических:
геометрический род, когомологии степеней канонического пучка, модули,
наличие групповой структуры и т. п. Важнейший принцип состоит в том,
что эти инварианты определяют качественные черты соответствующей диофантовой задачи: может ли система уравнений иметь бесконечное множество решений, как оно велико, каково поведение числа решений ограниченного размера, какими алгоритмами можно изучать его структуру и т. д.
(см. гл. 5). Это лишь принцип, а не теорема; но его конкретные воплощения принадлежат к самым важным достижениям теории чисел двадцатого
века: программа А. Вейля и ее реализация А. Гротендиком и П. Делинем,
доказательство гипотезы Морделла Г. Фальтингсом.
Дзета-функции (см. гл. 6) — это аналитическая техника для превращения качественных утверждений в количественные. Самым принципиальным средством в этой технике являются «явные формулы», восходящие
к Риману, который в своем знаменитом мемуаре открыл третье (исторически второе) лицо простых чисел — нули дзета-функции. Двойственность,
связывающая нули различных дзета-функций с решениями диофантовых
уравнений над конечными и алгебраическими полями, находится в центре
внимания современной арифметики.
Модулярные формы со времен Эйлера и Якоби доставляли красивые
и загадочные теоретико-числовые результаты; одно только сравнение коэффициентов Фурье тэта-ряда и его разложения в линейную комбинацию

Введение
17

рядов Эйзенштейна и параболических форм позволяет получить массу замечательных тождеств. Последние десятилетия значительно прояснили то,
что посредством преобразования Меллина модулярные формы дают также
ключ к аналитическим свойствам различных дзета-функций.
Материал, заслуживающий включения в эту центральную часть обзора,
огромен, и мы слишком многое обошли молчанием или упомянули скороговоркой. Мы опустили также классические методы, многократно изложенные в монографиях, такие как круговой метод Харди—Литлвуда
и метод тригонометрических сумм Виноградова, в надежде, что они
найдут отражение в других статьях в общем контексте аналитической теории чисел (см. [108], [45], и т. д.). Мы едва затронули вопросы, связанные
с диофантовыми приближениями и трансцендентными методами, в частности знаменитые методы Гельфонда—Бейкера и Гельфонда—Шнайдера
(см. [342], [614], [149], [817], [229], [191] и т. д.).
Программа Ленглендса имеет целью проникновение в структуру
группы Галуа поля алгебраических чисел и завязывает в сложный узел
гипотетические свойства представлений этой группы, дзета-функции
и модулярные (автоморфные) формы.
Наконец, в конце второй части мы попытались дать обстоятельное описание чудесного доказательства Уайлса великой теоремы Ферма, а также
гипотезы Шимуры—Таниямы—Вейля, являющегося удивительным примером сочетания различных глубоко развитых теорий, таких как алгебраическая теория чисел, теория колец, алгебраическая геометрия, теория
эллиптических функций, теория представлений, теория Ивасавы и теория
деформаций представлений Галуа. Уайлс использовал много сложной техники и идей, принадлежащих ему и многим другим математикам (К. Рибет,
Г. Фрей, И. Эллегуарш, Ж.-М. Фонтен, Б. Мазур, Х. Хида, Ж.-П. Серр,
Дж. Туннелл и др.).
Это поистине историческое событие подвело итог целой эпохе в теории
чисел и в то же время открывает новый период развития, который тесно переплетается с осуществлением общей программы Ленглендса. Действительно, гипотеза Таниямы—Вейля может быть рассмотрена как специальный случай общего предполагаемого соответствия Ленглендса между
арифметическими алгебраическими многообразиями (мотивами), представлениями Галуа и автоморфными формами.
Часть III. Аналогии и в ´идения. Эта часть была задумана как иллюстрация некоторых общих интуитивных идей, стоящих за современным
взглядом на теорию чисел. Один из таких сюжетов можно было бы назвать аналогии между числами и функциями. Мы включили под этим
заголовком введение в некоммутативную геометрию, геометрию Аракелова, программу Денинигера, идеи Конна о формуле следа в некоммутативной геометрии и нулях дзета-функции Римана, и т. д. Отметим прекрас

Введение

ную книгу [428], которая представляет собой обзор определяющих гипотез
в арифметической алгебраической геометрии. Они включают в себя гипотезы Бейлинсона, гипотезу Берча—Свиннертон-Дайера, Шимуры—Таниямы—Вейля, гипотезы Тэйта и др. Обратим также внимание на работы
[795], [849], [545], [546] о многообещающих достижениях в области гипотез Старка.
В геометрии Аракелова пополнение арифметической поверхности достигается за счет расширения группы дивизоров формальными линейными комбинациями «замкнутых слоев над бесконечностью». Двойственный граф любого такого замкнутого слоя может быть описан в терминах
бесконечной связки ограниченных геодезических в гиперболическом теле
с ручками, снабженном униформизацией Шоттки. В последней главе 8,
во многом основанной на недавних работах Катерины Конзани и Матильды Марколли, рассматривается арифметическая поверхность над кольцом
целых элементов числового поля со слоями рода g ⩾ 2. Можно использовать теорию Конна, чтобы связать гиперболическую геометрию с архимедовыми когомологиями Денингера и когомологиями конуса локальной
монодромии N вокруг арифметической бесконечности.
Мы используем стандартную систему ссылок внутри книги.

Рекомендуемая дальнейшая литература

Множество интересных докладов по теории чисел содержится в трудах
международных математических конгрессов в Мадриде, 2006 г., в Пекине,
2002 г., в Берлине, 1998 г., и в Цюрихе, 1994 г. (см. [652], [651], [650]).
Довольно подробное представление о развитии различных областей
теории чисел можно получить из следующих докладов на семинаре Бурбаки: [313], [165], [346], [624], [236], [728], [194], [729], [625], [378], [476]
[532], [816], [112], [339], [575], [258], [204], [544], [324], [484], [219],
[414], [635], [636], [242], [259], [260], [170].
Более детальное изложение теории алгебраических чисел, диофантовой
геометрии и теории трансцендентных чисел можно найти в томах «Теория
чисел»-2, -3, и -4, вышедших в серии «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления» (либо в томах Number Theory II,
III и IV в Encyclopaedia of Mathematical Sciences) см. [52], [505], [342].
Существует также великолепная монография Й. Нойкирха [612], дополненная книгой [613]. Рекомендуется книга [126] по арифметической геометрии, возникшая после летней школы для аспирантов в Математическом
институте в IAS/Park City.