Лекции по математическому анализу

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
С. М. Львовский
Лекции по математическому анализу
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 517
ББК 22.161
Л89
Львовский С. М.
Лекции по математическому анализу
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
296 с.
ISBN 978-5-4439-2024-5
Книга представляет собой записки продвинутого курса анализа,
прочитанного автором в 2006/07 годах в Независимом московском
университете. В курсе на раннем этапе вводится понятие гладкого
многообразия и уделяется много внимания векторным полям, дифференциальным формам, ориентациям и прочему материалу, лежащему между курсами анализа и дифференциальной геометрии. Из
менее традиционных тем отметим пример Уитни и доказательство
(в ослабленном варианте) теоремы регулярности для эллиптических
систем.
Подготовлено на основе книги: С. М. Львовский. Лекции по математическому анализу. | 2-е изд., испр. | М: МЦНМО, 2013.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2024-5
c
Львовский С. М., 2008
c
МЦНМО, 2014

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой записки трехсеместрового курса анализа, прочитанного автором в 2006/07 годах (а до этого|в 1999/2000)
в Независимом московском университете. Текст довольно точно соответствует второй версии курса, но «лекции», на которые разбит текст,
не всегда соответствуют устным лекциям.
В соответствии с традициями Независимого университета в курсе
на раннем этапе вводится понятие гладкого многообразия и уделяется
много внимания векторным полям, дифференциальным формам, ориентациям | одним словом, тому материалу, который кто-то (Д. В. Аносов?) назвал «ничьей землей, лежащей между курсами анализа и дифференциальной геометрии». Благодаря тому, что в 2006 году набор
студентов оказался на редкость сильным даже по меркам НМУ, в курс
удалось включить кое-что и из тех разделов анализа, на которые в НМУ
времени обычно не хватает: меру и интеграл Лебега, распределения
(обобщенные функции), преобразование Фурье в Rn. Из менее традиционных тем отметим пример Уитни, демонстрирующий нарушение теоремы Сарда при недостаточной гладкости, а также доказательство (в
ослабленном варианте) теоремы регулярности для эллиптических систем.
Схему изложения теории пределов, использованную в курсе, я узнал
от Ю. М. Бурмана; она, наверное, не идеальна, но никак не хуже «предела по базе» (читай: предела базиса фильтра) и представляет собой,
видимо, разумный компромисс. Теория интеграла Римана в курсе не
излагается: для нужд первого семестра нам достаточно интегралов от
кусочно-непрерывных функций, что проще сделать с помощью «интеграла Коши», а второй семестр начинается уже с интеграла Лебега;
такой подход к построению курса анализа был, как известно, предложен Ж. Дьедонне. При изложении нужного нам частного случая теоремы Уитни о продолжении я следовал книге Б. Мальгранжа «Идеалы
дифференцируемых функций», а при изложении теории меры и теоремы регулярности|учебникам У. Рудина (W. Rudin) «Real and Complex
Analysis» и «Функциональный анализ».
Я глубоко благодарен Ю. М. Бурману, М. Н. Вялому и В. В. Доценко,
без тесного сотрудничества с которыми курсы бы не состоялись; я благодарю также С. С. Анисова, С. М. Архипова, В. О. Бугаенко, С. А. Дориченко, С. Ю. Немировского, А. В. Ошмян, М. З. Ровинского и А. Шеня. М. Г. Быкова обнаружила много прекрасных ошибок и опечаток в
записках лекций, на которых основана эта книга.

Предисловие
Некоторые из ошибок, исправленных в этом издании, я обнаружил
самостоятельно, но на большинство из них мне указали колееги, которым я за это искренне признателен. Особенно я хотел бы поблагодарить Сергея Дориченко, Алексея Пирковского и Ивана Ященко.
Наверняка немало неточностей, ошибок и опечаток так и остались
незамеченными. Призываю читателей сообщать мне о них по адресу lvovski@gmail.com.
Требования к подготовке читателя
Математический анализ на первом курсе НМУ излагался, как правило, не «с нуля»; не является исключением и эта книга. Для ее чтения
необходимо знакомство с началами анализа в объеме программы сильной математической школы. Более конкретно, помимо знания школьного курса от читателя требуется следующее:
• знать "- определение предела и его простейшие следствия («предел суммы равен сумме пределов» и т. п.);
• знать (без доказательства) какой-нибудь из «принципов полноты
для действительных чисел» (например, теорему о стягивающихся отрезках);
• быть знакомым с признаками сходимости числовых рядов;
• быть знакомым с теоретико-множественной терминологией и обозначениями (∩, ∪, понятие отображения. . . );
• иметь интуитивное представление об интеграле как площади под
графиком функции и знать формулу Ньютона|Лейбница.
Начиная со второго семестра предполагается, что читатель знаком
с элементарной линейной алгеброй; в третьем семестре предполагается
знакомство с фундаментальной группой и накрытиями, а также (что
менее существенно) с понятиями кольца и идеала. В НМУ эти сведения сообщались студентам в течение первого учебного года в курсах
алгебры, геометрии и топологии.
С. Львовский

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
3
Первый семестр
7
1. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2. Непрерывность и пределы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3. Действительные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4. Компактность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
5. Связность; пополнение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6. p-адические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
7. Канторово множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
8. Производная
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
9. Равномерная сходимость; равномерная непрерывность . . . .
51
10. Интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
11. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
12. Аналитические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
13. Элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Задачи к первому семестру
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Второй семестр
101
14. Мера Лебега на R
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
15. Интеграл Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
16. Произведение мер; мера Лебега на Rn . . . . . . . . . . . . . 116
17. Производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18. Высшие производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
20. Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
21. Теорема Арцела|Асколи и дифференциальные уравнения . 147
22. Замена переменных в интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . 153
23. Теорема Сарда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
24. Пример Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Задачи ко второму семестру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Третий семестр
184
25. Многообразия и касательные пространства
. . . . . . . . . 184
26. Касательные векторы, локальные кольца и векторные поля 192
27. Фазовые кривые и фазовые потоки
. . . . . . . . . . . . . . 204

Оглавление
28. Интегрирование плотностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
29. Дифференциальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
30. Интегрирование форм по цепям
. . . . . . . . . . . . . . . . 222
31. Интегрирование форм по многообразиям . . . . . . . . . . . 228
32. Два слова о когомологиях де Рама . . . . . . . . . . . . . . . 238
33. Теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
34. Пространства L1 и L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
35. Преобразование Фурье в Rn: формула обращения . . . . . . 256
36. Преобразование Фурье: дальнейшие свойства
. . . . . . . . 262
37. Распределения, они же обобщенные функции . . . . . . . . . 268
38. Пространства Соболева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
39. Эллиптические операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Задачи к третьему семестру . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР
1. Топологические пространства
В школьном курсе вам объясняли (по крайней мере, на интуитивном уровне), что такое предел, непрерывная функция и действительное число. В продвинутых курсах анализа определяются общие понятия
предела и непрерывности, а также строится строгая теория действительных чисел. Построением этой последней теории мы займемся не
прямо сейчас, а на третьей лекции, но пользоваться (в примерах) множеством R действительных чисел начнем сразу (порочного круга, как
вы убедитесь, при этом не возникнет).
Вот первый шаг к общим понятиям непрерывности и предела.
Определение 1.1. Топологическим пространством называется множество X, в котором выделено семейство подмножеств, называемых
открытыми, удовлетворяющее следующим условиям:
(1) само пространство X и пустое подмножество ∅ являются открытыми множествами;
(2) объединение любого семейства открытых множеств открыто;
(3) пересечение любых двух открытых множеств открыто.
Начнем с того, что введем топологию на самом множестве R.
Пример 1.2 (стандартная топология на R). Назовем подмножество
U ⊂ R открытым, если для каждой точки x ∈ U существует такое
(действительное) число " > 0, что все y, удовлетворяющие условию
|y − x| < ", также лежат в U.
Неформально говоря, множество открыто, если вместе с каждой
точкой оно обязательно содержит и все достаточно близкие к ней.
Проверьте самостоятельно, что при таком определении открытых множеств аксиомы 1|3 топологического пространства действительно выполнены.
Если на множестве X задана топология, то она задана и на всяком
его подмножестве.
Определение 1.3. Пусть X | топологическое пространство и Y ⊂
⊂ X |подмножество. Введем на Y топологию, объявив его открытыми
подмножествами все множества вида U ∩ Y , где U |открытое подмно

Первый семестр
жество пространства X. Получающаяся топология называется топологией на Y , индуцированной топологией на X.
Тривиально проверяется, что набор подмножеств в Y , построенный
в соответствии с этим определением, удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического пространства. В частности, снабженным топологией оказывается любое подмножество в R.
Вот еще один пример топологического пространства.
Пример 1.4 (дискретная топология). Пусть X | произвольное множество. Объявим все его подмножества открытыми. Тогда, очевидно,
аксиомы топологического пространства будут выполнены. Такое топологическое пространство называется пространством с дискретной
топологией.
Ввиду аксиомы 2 топологических пространств, для дискретности
пространства достаточно, чтобы все его одноточечные подмножества
были открыты.
Сами по себе дискретные топологии неинтересны, но такое топологическое пространство может возникнуть в результате проведения
какой-то конструкции, и вот на этот случай полезно иметь для него
специальный термин.
Пример 1.5. Пусть Z ⊂ R | множество целых чисел (обозначение Z
является стандартным). Тогда стандартная топология на R индуцирует
на Z дискретную топологию.
Много разумных примеров топологических пространств получается
из следующей конструкции.
Определение 1.6. Метрическим пространством называется множество X, на парах точек которого задана функция  (с вещественными
значениями), удовлетворяющая следующим условиям:
(1) (x; y) 0 для любых x и y, и (x; y) = 0 тогда и только тогда,
когда x = y;
(2) (x; y) = (y; x);
(3) (x; z) (x; y) + (y; z).
Величина (x; y) называется расстоянием между x и y, а сама функция  часто называется метрикой.
Пример метрического пространства | множество R, в котором метрика задана формулой (x; y) = |x − y|. Другой пример | пространство (или плоскость), в котором  | обычное расстояние между точками. В этих примерах аксиома 3 сводится к обычному «неравенству

1. Топологические пространства
9
треугольника»; в общем случае ее тоже называют неравенством треугольника.
Коль скоро X |метрическое пространство, на любом подмножестве
Y ⊂ X функция  также индуцирует метрику, так что любое подмножество метрического пространства автоматически является метрическим
пространством.
Рассмотрим дальнейшие примеры. Пусть Rn | множество упорядоченных наборов из n действительных чисел («координат») (x1; : : : ; xn);
это множество называется n-мерным координатным пространством
(или просто n-мерным пространством, если не грозит путаница). При
n = 2 это плоскость, при n = 3|«обычное» (трехмерное) пространство.
На Rn можно ввести (среди прочих) такие метрики.
Lp-метрика: зафиксируем вещественное число p1; если x=(x1; : : : ; xn)
и y=(y1; : : : ; yn), то положим p(x; y)=(|x1−y1|p+: : :+|xn−yn|p)1=p.
L∞-метрика: если x = (x1; : : : ; xn) и y = (y1; : : : ; yn), то положим
∞(x; y) = max(|x1 − y1|; |x2 − y2|; : : : ; |xn − yn|).
Для L1- и L∞-метрик проверка аксиом метрического пространства тривиальна. Для Lp-метрики при p > 1 доказательство неравенства треугольника немного сложнее; см. задачу 1.67.
На каждом метрическом пространстве можно естественным способом ввести топологию.
Обозначение 1.7. Пусть X | метрическое пространство с метрикой ; тогда для точки x ∈ X и числа " > 0 положим
B"(x) = {y ∈ X : (x; y) < "}:
Множество B"(x) называется открытым шаром с центром x и радиусом ".
Определение 1.8. Пусть X |метрическое пространство. Подмножество U ⊂ X называется открытым, если для всякой точки x ∈ U существует открытый шар с центром в x, содержащийся в U (т. е. существует такое " > 0, что B"(x) ⊂ U).
Очевидно, что так определенный набор открытых множеств удовлетворяет аксиомам топологического пространства; проверьте также,
что открытый шар в метрическом пространстве является открытым
множеством, и тем самым такое употребление слова «открытый» не
является двусмысленным (для этого придется воспользоваться неравенством треугольника). Проверьте, наконец, что топология, задаваемая
на R метрикой, совпадает со стандартной топологией.

Первый семестр
Различные метрики могут задавать одну и ту же топологию на данном множестве X. Вот важный пример.
Пример 1.9. Все Lp-метрики (1 p ∞) задают на Rn одну и ту же
топологию.
Доказательство. Легко видеть, что для любых x; y ∈ Rn выполнены
неравенства
∞(x; y) p(x; y) n1=p · ∞(x; y):
Из этого неравенства вытекает, что для всякого x ∈ Rn и всякого " > 0
имеем
B";p(x) ⊂ B";∞(x) ⊂ Bn1=p";p(x);
так что подмножество в Rn является открытым относительно Lp-метрики, где p < ∞, тогда и только тогда, когда оно открыто относительно L∞-метрики.
Чтобы задать на множестве топологию, не обязательно перечислять
все открытые множества. Часто используется следующий способ.
Определение 1.10. Базой открытых множеств на множестве X называется семейство его подмножеств, обладающее следующим свойством: если V1 ⊂ X и V2 ⊂ X принадлежат базе, то V1 ∩ V2 является
объединением некоторого (может быть, бесконечного) семейства множеств из базы.
Если на множестве X задана база открытых множеств, то топология, заданная с помощью этой базы определяется так: открытыми
множествами объявляются подмножества U ⊂ X, представимые в виде
объединения некоторого (возможно, бесконечного) семейства множеств
из базы, а также ∅ и все X.
Проверьте самостоятельно, что описанная конструкция действительно задает топологию на X. В метрическом пространстве X с метрикой  множества вида B"(x) при всевозможных x ∈ X и " > 0 образуют базу открытых множеств, для топологии, заданной метрикой. Более того, достаточно рассматривать только множества B"(x) при " < 1
(или, скажем, " < 1=2006): они также образуют базу открытых подмножеств, и эти базы задают все ту же топологию.
Проверьте также, что стандартную топологию на R можно задать
с помощью базы открытых множеств вида (p; q), где p и q |рациональные числа.

1. Топологические пространства
11
Приведем пример, в котором топология задается без помощи метрики.
Пример 1.11 (треугольники на плоскости). Пусть T | множество
треугольников на плоскости (мы рассматриваем треугольник просто
как геометрическую фигуру, без учета порядка вершин). Введем на
нем топологию. Как водится, подмножество U ⊂ T будет открытым
если, неформально говоря, вместе с каждым треугольником оно содержит все «близкие» к нему. Формализуется это следующим образом. Для
каждого треугольника ´ ∈ T и каждого " > 0 рассмотрим множество
U(´; ") ⊂ T, состоящее из всех треугольников ´, обладающих следующим свойством: вершины треугольников ´ и ´можно занумеровать
так, что расстояния между вершинами треугольников ´ и ´с одинаковыми номерами будут вс
е меньше ". Проверьте самостоятельно, что
множества вида U(´; ") ⊂ T образуют базу открытых подмножеств;
определяемая ей топология | это и есть та топология на пространстве
треугольников, которую мы хотели ввести.
Вот еще одно простое, но фундаментальное определение.
Определение 1.12. Пусть X | топологическое пространство. Подмножество F ⊂ X называется замкнутым, если его дополнение X \ F ⊂
⊂ X открыто.
Следующее утверждение мгновенно вытекает из определения 1.1.
Предложение 1.13. Пусть X | топологическое пространство. Тогда:
(1) само пространство X и пустое подмножество ∅ являются
замкнутыми множествами;
(2) пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто;
(3) объединение двух замкнутых множеств замкнуто.
Определение 1.14. Пусть X | топологическое пространство и M ⊂
⊂ X | произвольное подмножество. Тогда замыканием множества M
называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих M.
Замыкание множества M обычно обозначается —
M. Ввиду пункта (2)
предыдущего предложения замыкание любого множества будет замкнуто.
Неформальный смысл понятия замыкания таков: при переходе от
множества M к его замыканию —
M мы добавляем к множеству M все
те точки x, которые сами в M не лежат, но, тем не менее, «сколь угодно близко от x» точки множества M имеются; если таких точек x не
найдется, то множество M является замкнутым.

Первый семестр
Точный смысл предыдущему абзацу придает следующее

Предложение 1.15. Пусть X | топологическое пространство и
M ⊂ X. Тогда
—
M состоит из всех точек x ∈ X, обладающих следующим свойством:
для всякого открытого подмножества U x имеем U ∩ M = ∅. (∗)
Доказательство. Пусть x ∈ —
M; по определению, это равносильно
тому, что для всякого замкнутого множества F ⊃ M имеем F x.
Поскольку замкнутые множества | это дополнения открытых, последнее условие можно, обозначая U = X \ F, переписать так: для всякого открытого подмножества U ⊂ X такого, что U ∩ M = ∅, имеем
U x, или, эквивалентно: если открытое множество U содержит x, то
U ∩ M = ∅. Но это и есть условие (∗).
Закончим эту лекцию еще одним важным определением.
Определение 1.16. Пусть X |топологическое пространство и x ∈ X.
Окрестностями точки x называются открытые множества, содержащие x.
Предложение 1.17. Пусть X |топологическое пространство; подмножество в X является открытым тогда и только тогда, когда
вместе с каждой точкой оно содержит какую-то ее окрестность.
Доказательство. Если множество вместе с каждой своей точкой x
содержит ее окрестность Ux, то оно является объединением этих Ux
и тем самым открыто как объединение открытых множеств. Если же,
напротив, множество открыто, то оно является окрестностью каждой
из своих точек.
2. Непрерывность и пределы
В этой лекции также нет ни одной трудной теоремы, но зато много
важных определений.
Определение 2.1. Пусть f : X → Y | отображение топологических
пространств. Отображение f называется непрерывным в точке x ∈ X,
если для всякой окрестности V f(x) существует такая окрестность
U x, что f(U) ⊂ V .
Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в
каждой точке x ∈ X.
Предложение 2.2. Пусть X и Y | топологические пространства.
Отображение f : X → Y непрерывно тогда и только тогда, когда для