Лекции по комплексному анализу

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
С. М. Львовский
Лекции по комплексному анализу
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 517.53.57
ББК 22.16
Л89
Львовский С. М.
Лекции по комплексному анализу
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
136 с.
ISBN 978-5-4439-2022-1
Эта брошюра представляет собой расширенный вариант курса лекций, прочитанного автором на втором курсе Независимого
московского университета в весеннем семестре 2002 года. Помимо
традиционного материала, приведены сведения о компактных римановых поверхностях; обсуждаются такие результаты, как теорема
Римана{Роха и (отчасти) теорема Абеля, а в первом нетривиальном
случае (для эллиптических кривых) приводятся и доказательства.
Подготовлено на основе книги: С. М. Львовский. Лекции по комплексному анализу. | 2-е изд., стереотип. | М: МЦНМО, 2009.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-2022-1
© Львовский С. М., 2009
© МЦНМО, 2014

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Лекция 1. Голоморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Лекция 2. Вокруг формулы Коши . . . . . . . . . . . . . . .
12
Приложение: случай функций нескольких переменных .
20
Лекция 3. Локальные свойства голоморфных функций . . .
22
Приложение: случай функций нескольких переменных .
30
Лекция 4. Локальный анализ: приложения
. . . . . . . . . .
34
Лекция 5. Римановы поверхности
. . . . . . . . . . . . . . .
41
Лекция 6. Риманова поверхность алгебраической функции
49
Лекция 7. Разветвленные накрытия . . . . . . . . . . . . . .
55
Приложение: доказательство предложения 7.2 . . . . . .
58
Лекция 8. Эллиптические функции . . . . . . . . . . . . . . .
61
Лекция 9. Классификация эллиптических кривых . . . . . .
68
Приложение: k2 как универсальное накрытие . . . . . .
75
Лекция 10. Теорема Римана об отображении . . . . . . . . .
79
Лекция 11. Гиперболическая метрика . . . . . . . . . . . . .
88
Лекция 12. Задача Миттаг-Леффлера . . . . . . . . . . . . .
95
Лекция 13. Теорема Римана{Роха
. . . . . . . . . . . . . . . 106
Лекция 14. Задача Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Задачи
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3

Предисловие
Эта брошюра представляет собой расширенный вариант записок лекций, читавшихся студентам Независимого московского
университета (НМУ) в весеннем семестре 2002 года.
Теория функций комплексного переменного (комплексный
анализ) | очень классический, очень важный и довольно обширный раздел математики; вместить достаточно полный курс комплексного анализа в один семестр затруднительно даже в НМУ,
и многие важные вещи будут у нас упомянуты лишь вскользь, а
то и вовсе обойдены молчанием. Тем не менее хочется верить,
что читатели получат от курса пользу и удовольствие.
При отборе материала я стремился максимально быстро подвести читателя к теории римановых поверхностей; мы формулируем и обсуждаем некоторые основные результаты (включая
теорему Римана{Роха), а для простейшего нетривиального случая | именно, для эллиптических кривых | приводим и доказательства.
При подготовке этого издания были добавлены разд. 12, 13
и 14 (во время чтения курса эти темы были затронуты лишь
очень вкратце); в добавлениях к другим разделам приведены некоторые сведения о функциях нескольких переменных (в той мере, в какой эту тему можно затронуть в начальном курсе), а
также кое-какие доказательства, на которые на лекциях в НМУ
не хватило времени.
В конце книги приведены упражнения.
Я благодарен О. В. Шварцману, беседы с которым помогли
мне при подготовке курса, В. О. Бугаенко и С. А. Дориченко, помогавшим мне вести практические занятия, и, наконец, всем студентам{участникам этих занятий: без них не было бы ни этого
курса, ни этой книжки.
Требования к подготовке читателя
В НМУ курс теории функций комплексного переменного читается в четвертом семестре; соответственно, мы будем при не4

обходимости пользоваться тем, что студенты НМУ изучают в
первых трех семестрах. Из этого материала будет использоваться (помимо того, что входит в стандартные университетские
курсы) в основном следующее:
Комплексные числа: мы
полагаем,
что
читатель
уже
отчасти
знаком
с
комплексными
числами,
в
частности,
с
определением
показательной
функции
по
формуле
ez = ∞
n=0(zn=n!), с определениями синуса и косинуса комплексного числа (sin z = (eiz − e−iz)=2i, cos z =
= (eiz + e−iz)=2) и с «формулой Эйлера» eiz = cos z + i sin z.
Математический анализ: понятие о гладком многообразии, дифференциальные формы, теорема Стокса.
Элементарная топология: фундаментальная группа, накрытия,
классификация поверхностей, эйлерова характеристика
поверхности.
Геометрия: дробно-линейные преобразования, модель Пуанкаре
геометрии Лобачевского.
5

Лекция 1. Голоморфные функции
Теория функций комплексного переменного изучает не произвольные функции комплексного переменного, но функции голоморфные. С определения голоморфной функции мы и начнем.
Заметим, что n-мерное комплексное пространство Cn можно
рассматривать как 2n-мерное вещественное пространство R2n.
Имея в виду это отождествление, дадим
Определение 1.1. Пусть U ⊂ Cn | открытое подмножество.
Функция f : U → C называется голоморфной, если она принадлежит классу C1 как отображение из U ⊂ R2n в R2 и если для всякой
точки x ∈ U ее производная (Df)x : Cn → C является гомоморфизмом векторных пространств над C (а не только над R). Аналогично определяется голоморфное отображение f : U → Cm.
Замечание 1.2. В дальнейшем мы увидим, что на самом деле
всякая голоморфная функция принадлежит классу C∞ (и даже
более того).
В нашем курсе мы сосредоточимся на случае n = 1, а с функциями нескольких переменных будем иметь дело лишь постолькупоскольку. Начнем с нескольких замечаний о дифференциальных
формах.
Из курса анализа вам известно понятие дифференциальной
формы на гладком многообразии. Мы будем рассматривать комплексные дифференциальные формы: по определению, комплексная дифференциальная форма степени m на гладком многообразии X | это объект, который в локальных координатах записывается в виде
i1<i2<:::<im
fi1;i2;:::;im dxi1 ∧ dxi2 ∧ : : : dxim
(1.1)
и преобразуется по известным формулам при смене локальных
координат; при этом предполагается, что fi1;i2;:::;im | функции
класса C1 с комплексными значениями (это равносильно тому,
что их вещественная и мнимая часть имеют класс C1). Легко
проверить (отделяя, например, вещественную и мнимую часть),
6

что для комплексных дифференциальных форм выполнены все
свойства обычных дифференциальных форм, включая теорему
Стокса, которой мы вскоре воспользуемся. В частности, если
U ⊂ C | открытое множество и если координата в U обозначена
через z = x + iy, то на U можно рассмотреть комплексные дифференциальные формы dz = dx + idy и dz = dx − idy.
Иногда мы будем также рассматривать «непрерывные» дифференциальные формы, у которых функции fi1;i2;:::;im в выражении (1.1) предполагаются всего лишь непрерывными, но не
обязательно гладкими; легко видеть, что для таких дифференциальных форм также имеют смысл понятия обратного образа при
гладком отображении, интеграла (будь то по цепи или по многообразию) и внешнего произведения; дифференцировать такие
формы мы не будем (хотя в некотором смысле возможно и это).
Имея в виду все эти соглашения, можно сформулировать следующее простое
Предложение 1.3. Пусть U ⊂ C | открытое подмножество,
и пусть f : U → C | функция класса C1. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) Функция f голоморфна.
(2) Для всякого z ∈ U существует предел
lim
h→0
f(z + h) − f(z)
h
(этот предел, естественно, обозначается f(z) и называется производной функции f в точке z).
(3) Если обозначить u(z) = Re f(z), v(z) = Im f(z), то на U
выполнены тождества
@u
@x = @v
@y;
@u
@y = −@v
@x
(эти
равенства
называются
уравнениями
Коши{Римана).
(3) На U выполнено тождество @f=@x + i@f=@y = 0.
7

(4) Имеет место равенство d
f = ' dz, где ': U → C | некоторая функция на U.
(5) Дифференциальная форма f dz замкнута на U.
Кроме того, если f голоморфна, то функция ' из пункта (4)
совпадает с f.
Доказательство. (1) ⇔ (2): условие (2), очевидно, равносильно тому, что для всякой z ∈ U существует такое число  ∈ C,
что f(z + h) = f(z) + h + o(|h|), а это, в свою очередь, равносильно тому, что производная (Df)z : C → C представляет собой умножение на комплексное число , то есть является Cгомоморфизмом из C в C.
(1) ⇔ (3): условие (3) равносильно тому, что матрица Якоби функции f относительно координат (x; y) является матрицей
умножения на некоторое комплексное число, а это и есть условие (1).
(3) ⇔ (3): это очевидно.
(3) ⇔ (4): так как dx = (1=2)(dz + dz), dy = (1=2i)(dz − dz),
имеем
d
f = @f
@xdx + @f
@y dy = 1
2
@f
@x(dz + dz) + 1
2i
@f
@y (dz − dz) =
= 1
2
@f
@x − i@f
@y
dz + 1
2
@f
@x + i@f
@y
dz:
Поскольку дифференциальные формы dz и dz линейно независимы (над C) в каждой точке U, условие (4) равносильно тому, что
@f=@x + i@f=@y = 0, то есть условию (3).
Дифференциальные операторы («комплексные векторные поля») (1=2)(@f=@x − i@f=@y) и (1=2)(@f=@x + i@f=@y) обозначаются @=@z и @=@z соответственно (эти векторные поля образуют в
комплексификации касательного пространства базис, дуальный
к базису dz; dzв пространстве комплексных дифференциальных форм); проведенное нами вычисление показывает, что для
всякой гладкой функции f выполнено равенство
d
f = @f
@z dz + @f
@z dz;
(1.2)
8

а уравнения Коши{Римана можно записать в форме @f=@z = 0.
(3) ⇔ (5): имеем
d(fdz) = d
f ∧ dz =
@f
@z dz + @f
@z dz
∧ dz = @f
@z dz ∧ dz = 2i@f
@z dx ∧ dy;
откуда все очевидно.
Остается доказать равенство d
f = fdz для голоморфной
функции f. Поскольку, очевидно, f= @f=@x, имеем, ввиду равенства @f=@x = −i@f=@y,
fdz = @f
@xdz = 1
2
@f
@x − i@f
@y
dz = @f
@z dz;
и все следует из (3) и формулы (1.2).
Из пункта (4) доказанного предложения немедленно вытекает
Следствие 1.4. Пусть f | голоморфная функция на открытом множестве U ⊂ C и 
 | кусочно-гладкая кривая в U, соединяющая точки a и b (более формально: 
 | кусочно-гладкая
1-цепь, причем @
 = b − a). Тогда
Z

 f(z)dz = f(b) − f(a).
Если f |голоморфная функция, то интеграл
Z

 f(z)dz принято называть попросту интегралом функции f по кривой 
.
Предложение 1.5. Пусть [p; q] ⊂ R | отрезок и 
 : [p; q] →
→ U | кусочно-гладкая кривая вида 
(t) = x(t) + iy(t), где
U ⊂ C | открытое множество. Тогда для всякой голоморфной
функции f : U → C имеем
f(z)dz
[p;q]
|f(x(t) + iy(t))|
x(t)2 + y(t)2dt M · L(
);
где M = supz∈
 |f(z)| и L(
) | длина кривой 
.
Доказательство. Поскольку 
∗dz = (x(t) + iy(t))dt, предложение следует из неравенства
b
a
'(x) dx
b
a
|'(x)| dx
и определения длины кривой.
9

Примеры голоморфных функций. Из пункта (2) предложения 1.3 с очевидностью следует, что всякий многочлен является
голоморфной функцией на всем C, причем его производная
вычисляется по обычной формуле; это же верно и для многочленов от нескольких переменных. Функция z → ez также, как
легко проверить с помощью пункта (2) предложения 1.3, будет
голоморфна, причем верна привычная формула (ez)= ez (можно
также подождать до следующей лекции, из результатов которой
эти утверждения следуют немедленно); функции синус и косинус
также будут голоморфны на всем C, и выполнены привычные
формулы для их производных. Без труда проверяется, что сумма,
произведение и частное двух голоморфных функций голоморфны
(последнее | там, где знаменатель не обращается в нуль) и что
формулы для производной суммы, произведения и частного
остаются верными и в комплексном случае. Наконец, очевидно,
что композиция голоморфных функций голоморфна, причем
остается верной формула для производной сложной функции.
Предложение 1.6. Пусть f |голоморфная функция на открытом множестве U ⊂ C. Если в точке a ∈ U имеем f(a) = 0, то
существует такая окрестность Ua, что f взаимно однозначна на U, множество f(U) открыто в C и обратная функция f−1 : f(U) → Uголоморфна на U.
Доказательство. Утверждения о существовании окрестности U, взаимной однозначности f на Uи открытости f(U) следуют из «теоремы об обратной функции» вещественного анализа,
поскольку f : U → C = R2 | гладкая (класса C1) функция, якобиан которой в точке a отличен от нуля. Утверждение о голоморфности f−1 следует прямо из определения голоморфности: если
R-гомоморфизм комплексных векторных пространств C-линеен и
обратим, то обратный к нему гомоморфизм также C-линеен.
Поскольку отображения z → ez и z → zn являются накрытиями C над C \ {0} и C \ {0} над C \ {0} соответственно, на
всяком односвязном открытом множестве U ⊂ C \ {0} определены непрерывные функции, обратные к ez и zn (n ∈ N). Так как
производная функции z → ez отлична от нуля вообще всюду, а
10

производная функции z → zn отлична от нуля всюду на C \ {0},
из предложения 1.6 следует, что эти функции голоморфны. Функции, обратные к ez и zn, обозначаются ln z и
n
√z соответственно;
они определены не однозначно, а с точностью до прибавления
константы вида 2in, где n ∈ Z (в случае логарифма) или с точностью до умножения на константу e2ik=n, где k ∈ Z и 0 k < n
(в случае корня); выбрать «арифметическое значение корня», годное для всей комплексной плоскости, или же пригодное на всем
C \ {0} значение логарифма невозможно. Когда выбрана какая-то
(одна из существующих на данном открытом множестве) обратная функция к экспоненте или степенной функции, говорят еще
о выборе «ветви» логарифма или корня соответственно.
Будем называть областью с гладкой границей компактное
подмножество D ⊂ C, являющееся подмногообразием с краем в
C = R2; край этого многообразия (совокупность гладких кривых) будем называть границей области D и обозначать @D;
дополнение к краю (внутренность D) будем обозначать int D.
Всюду в дальнейшем мы будем считать, что комплексная плоскость C (а стало быть, и все ее открытые подмножества) снабжена ориентацией, относительно которой дифференциальная форма dx ∧ dy положительна (равносильное условие: базис C над R,
состоящий из чисел 1 и i, взятых в указанном порядке, положительно ориентирован); при рассмотрении областей с гладкой границей мы будем считать, что область снабжена указанной ориентацией, а граница | индуцированной ориентацией
(напомним, что в данном случае это означает следующее: касательный вектор к границе положительно ориентирован, если базис, в котором этот вектор идет первым, а вектор, направленный внутрь области, | вторым, положительно ориентирован).
Предложение 1.7 (теорема Коши). Если D ⊂ C | область с
гладкой границей и f |функция, голоморфная в окрестности D,
то
Z
@D f dz = 0.
Если U ⊂ C | открытое множество, f : U → C | голоморфная функция и  | гладкая 2-цепь в U, то
Z
@ f dz = 0.
11