Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теоретико-числовые методы в приближённом анализе

Покупка
Артикул: 682515.01.99
В книге рассматриваются теоретико-числовые подходы к решению за- дач приближённого анализа. Наибольшее внимание уделено приближённо- му вычислению кратных интегралов. Книга является переработанной и су- щественно дополненной монографией «Теоретико-числовые методы в при- ближённом анализе» (1963 г.) В книгу включён ряд новых результатов, полученных автором и участ- никами семинаров в МИАН СССР и МГУ (1957-1999 г.г.) Книга не требует обязательного предварительного знания теории чи- сел, так как содержит необходимые для понимания материала теоретико- числовые сведения.
Коробов, Н. М. Теоретико-числовые методы в приближённом анализе / Коробов Н.М., - 2-е изд. - Москва :МЦНМО, 2014. - 288 с.: ISBN 978-5-4439-2017-7. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958749 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Н. М. КОРОБОВ

Теоретико-числовые методы
в приближённом анализе

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 519
ББК 22.19
К68

Коробов Н. М.
Теоретико-числовые методы в приближённом анализе
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
285 с.
ISBN 978-5-4439-2017-7

В книге рассматриваются теоретико-числовые подходы к решению задач приближённого анализа. Наибольшее внимание уделено приближённому вычислению кратных интегралов. Книга является переработанной и существенно дополненной монографией «Теоретико-числовые методы в приближённом анализе» (1963 г.)
В книгу включён ряд новых результатов, полученных автором и участниками семинаров в МИАН СССР и МГУ (1957–1999 г.г.)
Книга не требует обязательного предварительного знания теории чисел, так как содержит необходимые для понимания материала теоретикочисловые сведения.

Подготовлено на основе книги: Н. М. Коробов. Теоретико-числовые
методы в приближённом анализе. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.:
МЦНМО, 2004.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2017-7
© Коробов Н. М., 2004.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Глава 1. Сведения из теории чисел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Теоретико-числовые леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Тригонометрические суммы и конечные ряды Фурье . . . . . . . . . . . .
20
Равномерное распределение дробных долей
. . . . . . . . . . . . . . . .
30
Специальные полиномы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Глава 2. О классах функций, квадратурных формулах
и вычислении кратных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
О классах функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
О квадратурных формулах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Приближённое вычисление кратных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
Глава 3. Квадратурные формулы с теоретико-числовыми сетками
. . . . .
82
Интегрирование периодических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Интегрирование непериодических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Глава 4. Свойства оптимальных коэффициентов
. . . . . . . . . . . . . . . 125
Оптимальные коэффициенты размерности s = 2 . . . . . . . . . . . . . . 125
Условия оптимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Вычисление и применение оптимальных коэффициентов
. . . . . . . . . 153
Глава 5. Интерполяционные формулы и интегральные уравнения
. . . . . . 163
Интерполяция функций многих переменных
. . . . . . . . . . . . . . . . 163
Приближённое решение интегральных уравнений методом итераций . . . 175
Сведение интегральных уравнений к системе линейных
алгебраических уравнений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Глава 6. Работы участников семинара по теоретико-числовым
квадратурным формулам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Сведения из геометрии чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
Оценки Шарыгина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
Квадратурные формулы Фролова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Работы Быковского по квадратурным формулам . . . . . . . . . . . . . . 219
Работы Добровольского и его учеников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Результаты Устинова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Приложение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Таблицы оптимальных коэффициентов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Указатель некоторых лемм и основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . 282

Предисловие

В 1957 году в Математическом институте АН СССР под руководством
Н. С. Бахвалова, Н. Н. Ченцова и автора начал работать семинар, деятельность которого была направлена на поиски новых многомерных квадратурных формул. Актуальность этих исследований определялась тем,
что известные формулы (как классические, так и построенные по методу
Монте-Карло) не всегда могли обеспечить нужную точность вычисления кратных интегралов, возникающих в ряде важных прикладных задач.
К середине 1958 года были получены многомерные квадратурные формулы с теоретико-числовыми сетками. Итоги первых пяти лет работы
семинара были подведены в докладе [7] на IV Всесоюзном математическом съезде (1961 г.) и в монографии «Теоретико-числовые методы
в приближённом анализе» [77], опубликованной автором в 1963 году.
В эти годы значительный вклад в исследования и применение квадратурных формул внесли также И. И. Пятецкий-Шапиро, В. С. Рябенький,
В. М. Солодов, Ю. Н. Шахов и И. Ф. Шарыгин.
Предлагаемая книга является переработанным и существенно дополненным изданием монографии [77]. За исключением общих сведений по
теории чисел и теорем 10, 16, 31, 35 и 39 весь материал первых пяти глав книги представляет собой изложение результатов, полученных
автором в работах [67]—[86]. Последняя, шестая глава, за исключением §6.6, написана Н. М. Добровольским по его результатам и работам, опубликованным им совместно с учениками и соавторами. Кроме
того в ней им изложены некоторые результаты участников семинара в
МИАН СССР (1957—1973 г.) и семинара, которым автор руководил на
механико-математическом факультете МГУ (1959—1999 г.).
В книге приведены сведения из теории чисел, необходимые для понимания материала. Таким образом, от читателя не требуется предварительного знания теории чисел. Однако знакомство с простейшими вопросами
теории сравнений и диофантовыми приближениями позволило бы с большей лёгкостью сосредоточить внимание на основных результатах.

Предисловие
5

Я сердечно благодарен моим ученикам В. А. Быковскому, Е. Б. Гладковой, Н. М. Добровольскому, И. Д. Кану и А. В. Устинову за большую
помощь при подготовке рукописи к печати. Особенно большой вклад
в работу по переизданию монографии внесли Н. М. Добровольский и
А. В. Устинов. Без их помощи и советов эта работа едва ли была бы
завершена.

Москва, 2003 г.
Н. М. Коробов

Введение

Начиная с 1957 года в некоторых вопросах приближённого анализа
был получен ряд результатов, основанных на применении методов теории
чисел. Можно указать три типа задач, в которых эти методы приводят к результатам общего характера: построение квадратурных формул
для интегралов произвольной кратности, интерполяция функций многих
переменных и приближённое решение интегральных уравнений. Из перечисленных вопросов более подробно разработан вопрос о приближённом
вычислении кратных интегралов, лежащий в основе остальных результатов.
Квадратурной формулой будем называть соотношение

1
0

...

1
0

f (x1, ..., xs) dx1...dxs =

N
k=1
ρkf (ξ1(k), ..., ξs (k)) −RN [f],
(0.1)

где при N → ∞ величина RN [f] стремится к нулю. Точки

M(ξ1(k), . . . , ξs (k))
(k = 1, 2, . . . , N)

называются узлами, их совокупность — сеткой, коэффициенты ρk — весами, а RN [f] — погрешностью квадратурной формулы. Основная задача
теории квадратурных формул состоит в изучении сеток, при которых для
функций, принадлежащих заданному классу, обеспечено по возможности
наиболее быстрое стремление к нулю величины sup|RN [f]|.
Пусть s ⩾ 1 и гладкость функции f (x1, . . . , xs) характеризуется значением некоторого параметра α. Обычно при построении квадратурных
формул рассматривается класс Dα
s , состоящий из функций, у которых
существуют и непрерывны все производные до порядка αs включительно:

∂n1+···+ns f
∂xn1
1 . . . ∂xns
s

0 ⩽ n1 + · · · + ns ⩽ αs, 0 ⩽ nν ⩽ αs, α ⩾ 1

s

.

Согласно классической теории для вычисления кратного интеграла его
надо записать в виде повторного и последовательно заменять интеграл

Введение
7

по каждой переменной на аппроксимирующую сумму. В итоге получается
квадратурная формула с узлами в вершинах прямоугольной сетки. Если
f ∈ Dα
s , то таким путём можно получить квадратурные формулы, для
погрешности которых выполняется неулучшаемая оценка

RN [f] = O
1
Nα

.

Таким образом, на классе Dα
s традиционные методы построения квадратурных формул обеспечивают наилучший возможный порядок убывания
погрешности.
Между тем в задачах математической физики часто приходится иметь
дело с функциями, принадлежащими классам Hα
s , состоящим из функций,
у которых существуют и непрерывны уже не все производные порядка αs
(как это было у классов Dα
s ), а лишь производные вида

∂n1+···+ns f
∂xn1
1 . . . ∂xns
s
(0 ⩽ n1 + · · · + ns ⩽ αs, 0 ⩽ nν ⩽ α, α ⩾ 1).

Действительно, рассмотрим, например, интегральное уравнение

ϕ(x) = λ

1
0

K (x, y)ϕ(y) dy + f (x).

Предположим, что существуют и непрерывны производные f ′(x), ∂K

∂x ,
∂K
∂y и ∂2K

∂x∂y . При решении этого уравнения методом итераций приходится

вычислять интегралы вида

1
0

. . .

1
0

K (x, x1) . . . K (xs−1, xs) f (xs) dx1 . . . dxs,
(0.2)

где подынтегральную функцию

F (x1, . . . , xs) = K (x, x1) . . . K (xs−1, xs) f (xs)

можно рассматривать как функцию любого из классов: D
1
ss или H1
s . При
этом в первом случае учитывается лишь то, что функция F имеет пер
вые производные ∂F

∂x1 , . . . , ∂F

∂xs , тогда как во втором случае учитывается

ещё и существование смешанной производной
∂sF

∂x1 . . . ∂xs . Следовательно,

рассматривая функцию F как функцию класса H1
s , мы получаем более
полную информацию об интегралах (0.2).

Введение

Если для вычисления этих интегралов использовать классическую
теорию, то для погрешности нельзя получить оценку, лучшую чем

RN [F] = O

1

N
1
s

.
(0.3)

При возрастании s точность результатов, получающихся таким путём,
резко снижается. Поэтому для вычисления интегралов (0.2) при больших
размерностях s классические квадратурные формулы практически непригодны. Применение теоретико-числовых сеток позволяет в этом случае
получать квадратурные формулы, для погрешности которых на классе
H1
s справедлива почти предельно точная оценка

RN [f] = O
lns N

N

.
(0.4)

На первый взгляд задача об оценке погрешности квадратурных формул не имеет отношения к теории чисел. Однако легко убедиться, что
в случае периодических функций сразу же проявляется её теоретикочисловая природа. Переход к периодическим функциям имеет большое
значение, так как позволяет при исследовании квадратурных формул использовать средства гармонического анализа. Вместе с тем (см. §3.2)
теоретико-числовые квадратурные формулы, полученные для классов периодических функций, можно применять и для интегрирования непериодических функций.
Покажем кратко, как возникает связь между теорией квадратурных
формул и теорией чисел. Пусть функция f (x) периодична, её ряд Фурье
записан в комплексной форме и выполняется равенство

f (x) =

∞
m=−∞
C(m)e2πimx.
(0.5)

Здесь C(m) — коэффициенты Фурье функции f (x):

C(m) =

1
0

f (x)e−2πimx dx
(m = 0, ±1, ±2, . . .)

и, в частности,

C(0) =

1
0

f (x) dx.
(0.6)

Введение
9

Рассмотрим квадратурную формулу

1
0

f (x) dx = 1

N

N
k=1
f (ξ(k)) − RN [f].
(0.7)

Пользуясь равенством (0.5), получим

f (ξ(k)) =

∞
m=−∞
C(m)e2πimξ(k)

и, следовательно, согласно (0.7) и (0.6)

RN [f] = 1

N

N
k=1
f (ξ(k)) −

1
0

f (x) dx = 1

N

N
k=1

∞
m=−∞
C(m)e2πimξ(k) − C(0).

Отсюда, после перемены порядка суммирования, получим

RN [f] = 1

N

∞
′

m=−∞
C(m)

N
k=1
e2πimξ(k),

где сумма Σ′ распространена на целые m ̸= 0.
Легко видеть, что в случае интегралов произвольной кратности s ⩾ 1
для погрешности квадратурной формулы (0.1) тем же путём получается
равенство

RN [f] = 1

N

∞
′

m1,...,ms=−∞
C(m1, . . . , ms)S(m1, . . . , ms),
(0.8)

где C(m1, . . . , ms) — коэффициенты Фурье функции f (x1, . . . , xs) и

S(m1, . . . , ms) =

N
k=1
e2πi(m1ξ1(k)+···+msξs (k)).
(0.9)

Суммы вида

S =

N
k=1
e2πiF (k)

называются
тригонометрическими
суммами.
В
частности,
суммы
S(m1, . . . , ms) с функцией F (k) = m1ξ1(k) + · · · + msξs (k), зависящие
от выбора сетки M(ξ1(k), . . . , ξs (k)), будем называть тригонометрическими суммами, соответствующими сетке квадратурной формулы.
Тригонометрические суммы самым тесным образом связаны с вопросами

Введение

теории чисел. Соотношение (0.8) сводит вопрос об оценке погрешности
приближённого интегрирования к исследованию тригонометрических
сумм S(m1, . . . , ms) и, тем самым, устанавливает связь между теорией
квадратурных формул и задачами теории чисел.
Пусть кратный ряд Фурье периодической функции f (x1, . . . , xs) сходится абсолютно. Тогда из равенства (0.8) следует оценка

|RN [f]| ⩽ 1

N

∞
′

m1,...,ms=−∞
|C(m1, . . . , ms)| · |S(m1, . . . , ms)|.
(0.10)

Для теории квадратурных формул эта оценка имеет фундаментальное
значение. Действительно, так как |S(m1, . . . , ms)| ⩽ N, то при больших
значениях величин |m1|, . . . , |ms| в случае быстрой сходимости ряда (0.10)
его остаток не будет существенно влиять на оценку |RN [f]|. Выбирая сетку так, чтобы при малых значениях этих величин теоретико-числовые соображения позволяли достаточно точно оценивать суммы S(m1, . . . , ms),
мы получаем возможность находить точные оценки погрешности квадратурных формул.
Пусть функция f (x1, . . . , xs) периодична с периодом, равным единице,
по каждой из переменных x1, . . . , xs. Будем говорить, что эта функция
принадлежит классу Eα
s , если для её коэффициентов Фурье выполняется
оценка

|C(m1, . . . , ms)| = O
1

(m1 . . . ms)α

,

где α > 1 и m = max(1, |m|).
Первые теоретико-числовые квадратурные формулы для функций,
принадлежащих классу Eα
s , были получены в работе [67] в 1957 году.
Они были построены с помощью «неравномерных» сеток

M =
k
N

, . . . ,
ks

N

(k = 1, 2, . . . , N),

где
kν

N

— дробная доля величины kν

N . Для погрешности квадратурных

формул с неравномерными сетками при N равном квадрату простого
числа выполнялась оценка

RN [f] = O
1
√

N

.
(0.11)

Эти формулы были значительно точнее классических и по точности
могли конкурировать с методом Монте-Карло, который обеспечивал

Введение
11

оценку (0.11) с вероятностью близкой к единице. В отличие от этого,
оценка (0.11) в теоретико-числовых формулах была гарантирована.
В работе [68], опубликованной в 1959 году, были получены квадратурные формулы с «параллелепипедальными» сетками

M =
a1k
N

, . . . ,
ask
N

(k = 1, 2, . . . , N),
(0.12)

построенными с помощью выбранных специальным образом целых чисел
a1, . . . , as — «оптимальных коэффициентов».
При f ∈ Eα
s для погрешности оптимальных квадратурных формул с
параллелепипедальными сетками выполнялась оценка

RN [f] = O
lnγ N
Nα

(γ = γ(α, s)).
(0.13)

Точность таких квадратурных формул во много раз превосходила точность как классических, так и вероятностных формул и, согласно результатам Н. С. Бахвалова [2], ни при каком выборе сеток уже не допускала
существенного улучшения.
Оценка (0.13) тем точнее, чем больше значение параметра α. Таким
образом эти квадратурные формулы «реагируют на гладкость» интегрируемых функций. Другая важная особенность квадратурных формул с
оптимальными параллелепипедальными сетками состоит в том, что для
любого тригонометрического полинома

P(x1, . . . , xs) =
m1...ms⩽N (ln N)−γ
C(m1, . . . , ms)e2πi(m1x1+···+msxs)

при произвольном выборе коэффициентов C(m1, . . . , ms) выполняется
равенство

1
0

. . .

1
0

P(x1, . . . , xs) dx1 . . . dxs = 1

N

N
k=1
P
a1k
N

, . . . ,
ask
N

и, следовательно, квадратурные формулы с оптимальными параллелепипедальными сетками точны для таких тригонометрических полиномов.
Первоначально теоретико-числовые квадратурные формулы были
получены для классов периодических функций. Однако, как указал
Н. Н. Ченцов [27], эти формулы можно было использовать также и для
интегрирования непериодических функций. При этом была необходима
предварительная «периодизация» задачи, состоящая в замене вычисляемого интеграла равным ему интегралом от периодической функции.