Алгебраические поверхности: геометрия и арифметика

В. А. Исковских

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ

ГЕОМЕТРИЯ И АРИФМЕТИКА

Редакторы-составители:
Вик. С. Куликов, Ю. Г. Прохоров, И. А. Чельцов

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва • 2014

УДК 512.7
ББК 22.147
И86

Исковских В. А.
Алгебраические поверхности: геометрия и арифметика
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
355 с.
ISBN 978-5-4439-2016-0

В книгу вошли основные работы выдющегося алгебраического геометра
В. А. Исковских по геометрии и арифметике алгебраических поверхностей.
Эти работы оказали большое влияние на развитие отечественной и зарубежной алгебраической геометрии.
Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников.

Подготовлено на основе книги: В. А. Исковских. Алгебраические поверхности:
геометрия и арифметика. — М.: МЦНМО, 2012.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2016-0
© МЦНМО, 2014

Оглавление

Предисловие редакторов-составителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
О бирациональных формах рациональных поверхностей . . . . . . . . . . . . .
6
Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых . . . . . . . . . .
23
Рациональные поверхности с пучком рациональных кривых и с положительным квадратом канонического класса . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Контрпример к принципу Хассе для системы двух квадратичных форм
от пяти переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Бирациональные свойства поверхности степени 4 в P4
k . . . . . . . . . . . . . .
86
Проверка гипотезы Римана для некоторых локальных дзета-функций .
93
Минимальные модели рациональных поверхностей над произвольными
полями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Образующие и соотношения в двумерной группе Кремоны . . . . . . . . . . .
122
Образующие и соотношения в группах бирациональных автоморфизмов
двух классов рациональных поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
Доказательство теоремы о соотношениях в двумерной группе Кремоны
143
Простое доказательство теоремы Гизатуллина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
Образующие в двумерной группе Кремоны над незамкнутым полем . . .
153
О бирациональных автоморфизмах рациональных поверхностей . . . . . .
169
Соотношения в двумерной группе Кремоны над совершенным полем . .
199
Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
261
Два несопряженных вложения группы S3 × Z2 в группу Кремоны . . . . .
335
Two non-conjugate embeddings of S3 × Z2 into the Cremona group II . . . .
342

Предисловие редакторов-составителей

Настоящее издание представляет собой сборник избранных работ выдающегося русского математика, крупного специалиста в области бирациональной алгебраической геометрии, ведущего научного сотрудника Математического института им. В. А. Стеклова РАН, члена-корреспондента РАН, доктора
физико-математических наук, профессора Василия Алексеевича Исковских
(1939–2009).
Цель данного издания двояка. С одной стороны, это наша дань памяти
друга, коллеги и учителя, много и плодотворно работавшего в области алгебраической геометрии. С другой стороны, многие из работ Василия Алексеевича (а всего им опубликовано более 60 научных статей и книг) оказывают
все большее влияние на развитие современной бирациональной геометрии, но
в то же время значительная часть из них мало доступна широкому кругу
математиков.
Василий Алексеевич внес неоценимый вклад в математику. В частности,
его работы по проблеме Люрота, геометрии и арифметике алгебраических
поверхностей, многообразиям Фано, группам Кремоны, проблеме рациональности имеют непреходящее значение. Даже если отвлечься от конкретных
результатов, многие из его работ представляют большую ценность, так как
в них переосмыслены идеи и результаты, принадлежащие классической итальянской школе алгебраической геометрии, и дано их современное строгое
изложение. Кроме того, в этих работах содержится много новых идей, принадлежащих самому Василию Алексеевичу, которые в настоящее время успешно разрабатываются многочисленными учениками созданной им Российской
школы бирациональной алгебраической геометрии, получившей мировое признание. Несомненно, знакомство с работами В. А. Исковских будет полезно
всем, кто интересуется современными достижениями математики, в частности, в области бирациональной алгебраической геометрии. Собранные вместе,
его работы дают яркую картину развития бирациональной алгебраической
геометрии на протяжении последних пятидесяти лет. Этим объясняется необходимость издания сборника его трудов.
Помимо научной работы в Математическом институте им. В. А. Стеклова Василий Алексеевич в течение многих лет преподавал был профессором кафедры высшей алгебры Московского государственного университета

Предисловие редакторов-составителей
5

им. М. В. Ломоносова. Он читал обязательные и специальные курсы. Его
лекции, особенно по бирациональной геометрии, пользовались неизменным
успехом у студентов и аспирантов. Под руководством Василия Алексеевича
было подготовлено 35 кандидатов наук, шесть из них впоследствии защитили
докторские диссертации.
Сборник выходит в двух томах. В первый том вошли работы Василия
Алексеевича по геометрии и арифметике алгебраических поверхностей. Второй том будет посвящен многомерной геометрии: проблеме Люрота, многообразиям Фано, бирациональным автоморфизмам и проблеме рациональности.
Мы приносим глубокую признательность Российскому фонду фундаментальных исследований, финансовая поддержка которого позволила осуществить настоящее издание.

В. С. Куликов, Ю. Г. Прохоров, И. А. Чельцов

О бирациональных формах рациональных
поверхностей

В работе изучается семейство рациональных поверхностей
с пучком рациональных кривых над незамкнутым полем констант.
Находятся некоторые достаточные условия единственности такого
пучка на заданной поверхности.

Введение

Пусть V — алгебраическое многообразие, определенное над полем k. Многообразие V ′ над k называется бирациональной формой V , если V ′ бирационально эквивалентно V над алгебраическим замыканием k поля k. Формы
проективного пространства обычно называют рациональными многообразиями. Рациональные кривые хорошо изучены. Но уже в теории рациональных
поверхностей много нерешенных вопросов как геометрического, так и арифметического характера. Общий подход к классификации таких поверхностей
(с точностью до бирациональной эквивалентности над основным полем) был
предложен Энриквесом в работе [1]. В зависимости от свойств общего гиперплоского сечения они разбиваются на четыре семейства. Третье семейство
в этой классификации и является предметом нашего изучения. Оно состоит
из поверхностей, обладающих пучком рациональных кривых (общее гиперплоское сечение — гиперэллиптическая кривая). Результат Витта о взаимно
однозначном соответствии между классами форм проективной прямой и алгебрами кватернионов и теория простых алгебр над полем функций одной
переменной (см. [5]) позволяют различать неизоморфные пучки. Эти вопросы
рассматриваются в § 1 и § 2 настоящей работы. Далее мы выделяем подсемейство поверхностей, пучок на которых распадается над квадратичным
расширением поля k, и доказываем теорему, что на таких поверхностях, за
некоторыми исключениями, пучок единственен.
Аналогичный результат в случае поля действительных чисел получен Комессатти в работе [2]. Формулировка теоремы приводится в конце § 2, ее доказательство — в § 4. Вспомогательные факты, используемые при доказательстве, собраны в § 3. Работа заканчивается следствием о бесконечности классов

Известия АН СССР. Сер. матем. — 1965. — Т. 29, № 6. — С. 1417–1433.

О бирациональных формах рациональных поверхностей
7

форм проективной плоскости над конечным полем (известно, что прямая над
конечным полом не имеет нетривиальных форм).
Автор приносит глубокую благодарность Ю. И. Манину за постоянную
помощь в работе.

Некоторые свойства алгебр обобщенных кватернионов

1. Центральную простую алгебру Q над полем k ранга 4 принято называть алгеброй (обобщенных) кватернионов. Каждая такая алгебра есть либо
матричное кольцо, либо алгебра с делением.
Из общей теории центральных простых алгебр известно (см. [6]), что всякое максимальное коммутативное подтело тела кватернионов Q над k является квадратичным расширением поля k и вместе с тем полем разложения
для Q. Если K = k(√a) — такое поле разложения (характеристика поля k
всюду в дальнейшем предполагается не равной 2), то алгебра Q изоморфна
скрещенному произведению поля K с его группой автоморфизмов G = {1, σ},
σ: √a → −√a, при некоторой приведенной факторсистеме c1,1 = c1,σ = cσ,1 =
= 1, cσ,σ = b, b ∈ k∗ ∗). Элемент b определен с точностью до множителя
c ∈ k∗, являющегося нормой некоторого элемента из K. Обратно, скрещенное
произведение, определенное некоторым элементом b ∈ k∗ и полем K, является кватернионной алгеброй Q с правилами умножения базисных элементов
(1, i, j, ij):
i2 = a,
j2 = b,
ij = −ji.

Таким образом, каждой паре элементов из k∗ однозначно сопоставляется
кватернионная алгебра.
2. Особый интерес для нас представляют кватернионные алгебры над полем k = k0(x) — рациональных функций одной переменной над полем констант k0.
Мы приведем несколько фактов из теории центральных простых алгебр
над полем алгебраических функций (см. [5]), касающихся алгебр кватернионов над k0(x).
Пусть Q — центральная простая алгебра (не обязательно ранга 4) над
полем констант k0. Расширив основное поле до поля рациональных функций
k = k0(x), мы получим алгебру k ⊗k0 Q того же ранга над полем k. Такого
рода алгебры называются числовыми.
Две центральные простые алгебры над полем k называются подобными
в широком смысле, если одна из них подобна (в обычном смысле) тензорному
произведению другой на числовую алгебру.
Пусть P — простой дивизор поля k = k0(x); kP — соответствующее локальное поле; k1 — поле вычетов P; QP = kP ⊗k Q — алгебра, полученная
из алгебры кватернионов Q над k расширением основного поля до поля kP;
a(x), b(x) ∈ k∗ — некоторая пара рациональных функций, определяющих алгебру Q. Выбрав в случае необходимости другой базис, можно считать a(x)

∗)k∗ — мультипликативная группа поля k.

О бирациональных формах рациональных поверхностей

и b(x) многочленами, степени неприводимых множителей которых приведены
по mod 2.
Пусть, далее,
i2 = a(x) = α0 + α1t + α2t2 + . . . ,

j2 = b(x) = β0 + β1t + β2t2 + . . . ,

(ij)2 = c(x) = γ0 + γ1t + γ2t2 + . . . ,
(c(x) = −a(x) · b(x),
αi, βi, γi ∈ kj)

— разложения в формальные степенные ряды по степеням локального параметра t в точке P. Если α0 ̸= 0, β0 ̸= 0, то γ0 = −α0β0 ̸= 0 и алгебра QP —
числовая, полученная из алгебры

Q1 = {(i1, j1), i2
1 = α0, j2
1 = β0, i1j1 = −j1i1}

над полем k1 (поскольку формальный ряд вида 1 + δ1t + δ2t2 + . . . является
квадратом в kP). В противном случае в QP можно найти базис (1, i1, j1, i1j1)
и выбрать локальный параметр t′ так, что

i2
1 = α, j2
1 = t′, i1j1 = −j1i1,

где

α =










−α1β1,
если α0 = β0 = 0,

α0,
если α0 ̸= 0,

β0,
если β0 ̸= 0.

Поле k1(√α) называется инвариантом алгебры Q в точке P. Точка, инвариант в которой не совпадает с полем инерции, называется критической
(проверяется, что инвариант не зависит от выбора базиса Q и от выбора локального параметра).
3. Доказательства следующих утверждений можно найти в работе [5]∗):
1) Алгебра Q над k = k0(x) имеет только конечное число критических
точек.
2) Если алгебра Q не имеет критических точек, то она числовая.
3) Для того чтобы две алгебры Q и Q′ были подобны в широком смысле,
необходимо и достаточно, чтобы совпадали их инварианты.
4) Существует поле k′
0, являющееся конечным алгебраическим расширением поля k0, такое, что алгебра Q распадается над k′
0(x) (теорема Тзена).

§ 2. Постановка задачи

1. Пусть k — совершенное поле, k — его алгебраическое замыкание. Рассмотрим поле алгебраических функций K над k со следующими свойствами:
а) композит kK изоморфен полю рациональных функций k(x, y) от двух
переменных над k;

∗)В этой работе характеристика поля констант предполагается равной 0, однако для алгебр кватернионов все результаты легко переносятся на случай характеристики p ̸= 2.

О бирациональных формах рациональных поверхностей
9

б) в поле K можно выбрать относительно алгебраически замкнутое подполе K1 ⊂ K, такое, что K1 — поле рациональных функций от одной переменной
над k и K/K1 — поле рода нуль.
Мы ставим перед собой задачу классифицировать поля K со свойствами
а) и б) с точностью до изоморфизма над основным полем k.
Расчленим эту задачу на две:
А. Классификация полей K с точностью до изоморфизма над K1.
Б. Вопрос однозначности выбора поля K1 ⊂ K.
Переформулируем задачу в геометрических терминах.
Пусть V/k — проективная модель поля K/k. Выбор подполя K1 ⊂ K со
свойством б) определяет расслоение π: V → P 1 (не обязательно регулярное)
с базой P 1 (P 1 — проективная прямая), слоем является рациональная кривая
над k, т. е. кривая рода нуль. В таком случае говорят, что на V задан пучок
рациональных кривых. Задачи А и Б перефразируются в следующие:
А′. Классификация пучков рациональных кривых с точностью до бирациональной эквивалентности общего слоя над K1.
Б′. Вопрос единственности пучка рациональных кривых на V .
2. Задача А когомологическая. Как известно (см. [7]), классы таких полей (формы рациональных кривых над K1) находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами одномерного множества когомологий Галуа
H1(K1, PGL(2)). Существует стандартное отображение

H1(K1, PGL(2))
δ→ H2(K1, K∗
1),

соответствующее точной последовательности групп

1 → K∗
1 → GL(2) → PGL(2) → 1.

В классической интерпретации H2(K1, K∗
1) это брауеровская группа классов
центральных простых алгебр над K1. Имеет место следующая теорема Витта
(см. [7]).

Отображение H1(K1, PGL(2))
δ→ H2(K1, K∗
1) является вложением, и его
образ состоит в точности из кватернионных алгебр над K1. Поле рода нуль
K/K1 соответствует алгебре Q в том и только в том случае, если Q распадается над K.
Применяя аппарат теории кватернионных алгебр, как следствия теоремы
Витта получаем следующие утверждения:
1) Пусть алгебра Q, соответствующая полю K/K1, задана базисом

i2 = a(x),
j2 = b(x),
ij = −ji,
a(x), b(x) ∈ K1 = k(x).

Тогда уравнение z2 − a(x)y2 = b(x) определяет аффинную модель поля K/K1.
Действительно, поле функций K′/K1 на кривой, заданной этим уравнением, имеет род нуль, и в K′ ⊗K1 Q есть делители нуля:

(z + yi + j)(z − yi − j) = z2 − a(x)y2 − b(x) = 0,

т. е. K′ является полем разложения для Q и, следовательно, изоморфно K.

О бирациональных формах рациональных поверхностей

2) Пусть поле K таково, что оно становится полем рациональных функций над квадратичным расширением k(√a) поля k, a ∈ k, т. е. соответствующая алгебра распадается над k(√a) K1 = k(√a, x). Тогда для K/K1 можно
выбрать аффинную модель F (будем называть ее приведенной), имеющую
уравнение вида
z2 − ay2 = f(x),

где f(x) — бесквадратный многочлен, неприводимые множители которого
не разлагаются над k(√a).
Для соответствующей алгебры многочлен f(x) определен с точностью до
множителя, являющегося нормой в поле k(√a, x). Остается заметить, что
неприводимый в k[x] многочлен, разлагающийся над k(√a), является нормой
в k(√a, x).
3) Пусть в предположении утверждения 2)

z2 − a′y2 = f ′(x),

z2 − a′′y2 = f ′′(x)

— две приведенные аффинные модели полей K′/K1 и K′′/K1 соответственно.
Предположим далее, что по крайней мере один из многочленов f ′(x) и f ′′(x)
не константа. Тогда:
1) если k(
√

a′) ̸= k(
√

a′′), то K′/K1 ̸≈ K′′/K1;
2) если k(
√

a′) = k(
√

a′′), то K′/K1 изоморфно K′′/K1 тогда и только
тогда, когда f ′(x) = cf ′′(x), где c ∈ k∗ является нормой в поле k(
√

a′).
Для доказательства заметим, что каждый неприводимый неразлагающийся над k(√a) множитель g(x) многочлена f(x) является критической точкой
соответствующей алгебры с инвариантом k1k(√a), где k1 — поле вычетов g(x).
Остается воспользоваться утверждением 3) § 1.
4) Пусть k — поле действительных чисел. Для любого K с условиями а)
и б) можно выбрать аффинную модель в форме:

z2 + y2 = ±

n
i=1
(x − ai),
ai ∈ k,
ai ̸= aj.

Существуют два неизоморфных над k(x) поля с данным набором инвариантов {ai}.
Согласно теореме Тзена, алгебра Q, соответствующая полю K/K1, распадается над kK1. Утверждение 4) следует теперь из 2) и 3) с дополнительным
замечанием, что всякий элемент c ∈ k, c > 0, является нормой в поле k, так
что поля на кривых

z2 + y2 =

n
i=1
(x − ai)

и
z2 + y2 = −

n
i=1
(x − ai)

не изоморфны над k(x) (ср. [2]).

О бирациональных формах рациональных поверхностей
11

3. Задача Б эквивалентна изучению отображения

H1(K1, PGL(2))
Θ
→ H1(k, A),

определенного вложением k → K1 и отображением PGL(2) → A, где A — группа автоморфизмов поля рациональных функций k(x, y) над k (группа кремоновых преобразований проективной плоскости P 2). Отображение θ заведомо
не является вложением. Действительно, пусть K ∈ H1(K, A) является образом некоторого элемента Q ∈ H1(K1, PGL(2)), т. е. в K зафиксировано поле
K1 ⊂ K. Выбор нового образующего x′ поля k(x) = K1 определяет, вообще
говоря, другой элемент Q′ ∈ H1(K1, PGL(2)). Таким образом, определено действие группы автоморфизмов PGL(2) поля K1 на множестве H1(K1, PGL(2)).
Через H1(K1) обозначим множество орбит, через ˜θ — отображение, индуцированное θ:
H1(K1)
˜θ→ H1(k, A).

Однозначность выбора подполя K1 ⊂ K для каждого K соответствует тому,
что ˜θ является вложением.
Рассмотрим подмножество { Q} ⊂ H1(K1) элементов Q, для которых Q
распадается над квадратичным расширением поля k. Для поля K/K1, соответствующего такому Q, существует, согласно утверждению 2) § 2, приведенная аффинная модель F:

z2 − ay2 = f(x),
a ∈ k∗.

Всегда можно найти представителя Q′ в классе Q, для которого степень многочлена f ′(x) в приведенной аффинной модели F ′ : z2−ay2 = f ′(x) есть четное
число; это достигается подстановкой

x → αx + β

γx + δ ;
α, β, γ, δ ∈ k,
αδ − βγ ̸= 0.

Легко видеть, далее, что степени многочленов f ′(x) и f ′′(x) соответственно
для Q′ ∈ Q и Q′′ ∈ Q равны, если они одновременно четны или нечетны, и отличаются на 1 в противном случае, а именно, четная степень больше нечетной.
Имеет место
Т е о р е м а. Пусть поле K принадлежит образу отображения ˜θ, ограниченного на подмножестве { Q} ⊂ H1(K1), n = 2m — степень многочлена
f(x) для приведенной модели поля K/K1. Тогда при n > 6 подполе K1 ⊂ K
выбирается однозначно.
В геометрической интерпретации теорема утверждает единственность пучка рациональных кривых при n > 6 на проективной модели V/k поля K/k.
Доказательство мы будем проводить па геометрическом языке, привлекая
технику виртуальных линейных систем (см. [4], а также [3], гл. V, § 3].

§ 3. О когомологиях Галуа и виртуальных линейных системах

1. Пусть G — группа Галуа замыкания K/k. Продолжим действие G на
поле kK, считая, что на элементы из K группа G действует тождественным