Курс алгебры

Э. Б. Винберг

Курс алгебры

МЦНМО

Э. Б. Винберг

КУРС А ЛГЕБРЫ

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК 
ББК .
В

Винберг Э. Б.
Курс алгебры
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Книга представляет собой расширенный вариант курса алгебры,
читаемого в течение трех семестров на математических факультетах. В нее включены такие дополнительные разделы, как элементы
коммутативной алгебры (в связи с аффинной алгебраической геометрией), теории Галуа, теории конечномерных ассоциативных алгебр
и теории групп Ли. Это позволяет использовать книгу не только как
учебник по общему курсу алгебры, но и как пособие для тех, кто желает углубить свои познания в алгебре. Изложение иллюстрируется
большим количеством примеров и сопровождается задачами, часто
содержащими дополнительный материал.
Книга предназначена для математиков и физиков –– студентов,
аспирантов, преподавателей и научных работников.

Подготовлено на основе книги: Э. Б. Винберг. Курс алгебры. –– -е
изд., стереотип. –– М.: МЦНМО, .

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () --
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Винберг Э. Б., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава . Алгебраические структуры
9
§ 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 2. Абелевы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 3. Кольца и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
§ 4. Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 5. Кольца вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
§ 6. Векторные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
§ 7. Алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
§ 8. Алгебра матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

Глава . Начала линейной алгебры
48
§ 1. Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
48
§ 2. Базис и размерность векторного пространства
. . . . .
58
§ 3. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
§ 4. Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
§ 5. Некоторые приложения определителей . . . . . . . . . .
88

Глава . Начала алгебры многочленов
92
§ 1. Построение и основные свойства алгебры многочленов
92
§ 2. Общие свойства корней многочленов
. . . . . . . . . . .
99
§ 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел . . . . . 106
§ 4. Корни многочленов с вещественными коэффициентами110
§ 5. Теория делимости в евклидовых кольцах
. . . . . . . . . 117
§ 6. Многочлены с рациональными коэффициентами . . . . 123
§ 7. Многочлены от нескольких переменных . . . . . . . . . . 127
§ 8. Симметрические многочлены . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
§ 9. Кубические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 10. Поле рациональных дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Глава . Начала теории групп
154
§ 1. Определение и примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
§ 2. Группы в геометрии и физике . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 3. Циклические группы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§ 4. Системы порождающих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173


Оглавление

§ 5. Разбиение на смежные классы . . . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 6. Гомоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Глава . Векторные пространства
192
§ 1. Подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 2. Линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
§ 3. Сопряженное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ 4. Билинейные и квадратичные функции . . . . . . . . . . . 209
§ 5. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
§ 6. Эрмитовы пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Глава . Линейные операторы
234
§ 1. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§ 2. Собственные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
§ 3. Линейные операторы и билинейные функции в евклидовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
§ 4. Жорданова форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
§ 5. Функции от линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . 265

Глава . Аффинные и проективные пространства
277
§ 1. Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
§ 2. Аффинные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
§ 3. Выпуклые множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§ 4. Евклидовы аффинные пространства
. . . . . . . . . . . . 302
§ 5. Квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
§ 6. Проективные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Глава . Тензорная алгебра
338
§ 1. Тензорное произведение векторных пространств . . . . 338
§ 2. Тензорная алгебра векторного пространства . . . . . . . 346
§ 3. Симметрическая алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
§ 4. Алгебра Грассмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Глава . Коммутативная алгебра
372
§ 1. Конечно порожденные абелевы группы . . . . . . . . . . 372
§ 2. Идеалы и факторкольца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
§ 3. Модули над кольцами главных идеалов . . . . . . . . . . 395
§ 4. Нётеровы кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
§ 5. Алгебраические расширения . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

Оглавление


§ 6. Конечно порожденные алгебры и аффинные алгебраические многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
§ 7. Разложение на простые множители . . . . . . . . . . . . . 431

Глава . Группы
441
§ 1. Прямые и полупрямые произведения . . . . . . . . . . . . 441
§ 2. Коммутант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
§ 3. Действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
§ 4. Теоремы Силова
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
§ 5. Простые группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
§ 6. Расширения Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
§ 7. Основная теорема теории Галуа . . . . . . . . . . . . . . . 471

Глава . Линейные представления и ассоциативные
алгебры
478
§ 1. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . 478
§ 2. Полная приводимость линейных представлений конечных и компактных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
§ 3. Конечномерные ассоциативные алгебры
. . . . . . . . . 496
§ 4. Линейные представления конечных групп
. . . . . . . . 504
§ 5. Инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
§ 6. Алгебры с делением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523

Глава . Группы Ли
537
§ 1. Определение и простейшие свойства групп Ли
. . . . . 537
§ 2. Экспоненциальное отображение . . . . . . . . . . . . . . . 545
§ 3. Касательная алгебра Ли и присоединенное представление
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
§ 4. Линейные представления групп Ли . . . . . . . . . . . . . 555

Ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Словарь сокращений английских слов, употребляемых в обозначениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

Предисловие

Поводом для написания настоящего учебника послужил двухгодичный курс алгебры, прочитанный мною в Математическом колледже Независимого московского университета (НМУ) в –– гг.
Энтузиазм слушателей и относительно малое их число позволили
мне читать курс на более высоком уровне, чем это принято на механико-математическом факультете МГУ (мехмате), и затронуть ряд
тем, не входящих в курс алгебры мехмата. Однако при написании
учебника я использовал свой опыт преподавания на мехмате, и его
окончательный вариант имеет лишь отдаленное сходство с курсом,
прочитанным в НМУ.
В издательстве «Факториал» книга переиздавалась три раза ––
в ,  и  годах. Новое издание вышло в издательстве
МЦНМО в  году.
По содержанию гл. –– примерно соответствуют курсу алгебры первого семестра мехмата, а гл. –– и отчасти гл.  –– курсу
линейной алгебры и геометрии второго семестра. Оставшиеся главы значительно перекрывают курс алгебры третьего семестра. Они
адресованы в первую очередь тем студентам, которые хотят стать
алгебраистами.
Глава  посвящена геометрии евклидовых, аффинных и проективных пространств. Однако ее ни в коей мере нельзя считать полноценным учебным пособием по геометрии; скорее это алгебраический взгляд на геометрию.
В первых четырех главах я постарался сделать изложение настолько подробным, насколько это может быть разумно, если иметь
в виду такого читателя, как студент первого семестра мехмата.
(Впрочем, язык множеств и отображений используется с самого
начала без каких-либо объяснений.) Однако затем я начинаю позволять себе опускать некоторые легко восполнимые детали, считая,
что читатель постепенно набирается математической культуры.
В книге почти нет технически сложных доказательств. В соответствии со своим взглядом на математику я стремился заменять
выкладки и сложные рассуждения идеями. Кому-то это может показаться трудным, но усилия, потраченные на усвоение идей, окупят

Предисловие


ся возможностью самостоятельно решать задачи, не рассматриваемые в учебнике.
Приведенный в конце книги список литературы на русском языке, которая, на мой взгляд, может быть полезной читателю, безусловно, далеко не полон и даже до некоторой степени случаен.
Основные изменения, сделанные при переизданиях, имели целью
упростить изложение в техническом и идейном плане. В частности,
с этой целью полностью переписана глава «Тензорная алгебра». Дано изложение теории абелевых групп, независимое от общей теории модулей над кольцами главных идеалов и подготавливающее
читателя к восприятию этой общей теории, если он захочет это
сделать.
С целью облегчить жизнь начинающему читателю аксиоматические определения поля комплексных чисел и определителей даны
лишь после их конструктивных определений. Понятие линейного
отображения и весь относящийся к нему материал перенесены из
гл.  в гл. . Дано более простое доказательство существования жорданова базиса для нильпотентного линейного оператора.
В то же время при переизданиях было сделано несколько небольших добавлений. Так, дано доказательство неприводимости многочлена деления круга на любое число частей; описано приложение
теории абелевых групп к исследованию симметрии кристаллов;
добавлены некоторые сведения о (тензорных) произведениях и симметрических степенях линейных представлений групп с примером,
иллюстрирующим применение этих понятий к физике. Добавлены
задачи, содержащие существенную дополнительную информацию
о линейных представлениях групп, увеличено число примеров
групп Ли.
Я искренне благодарен всем бывшим и нынешним сотрудникам
кафедры высшей алгебры мехмата, в общении с которыми сложились мои представления о преподавании алгебры.
Я благодарю редактора первого издания учебника Г. М. Цукерман, в результате тщательной работы которой было обнаружено
большое количество неточностей и опечаток, а также сотрудников
издательства МЦНМО Ю. Н. Торхова и В. В. Шувалова, чьи энтузиазм и самоотверженность немало способствовали улучшению качества учебника.
Я выражаю благодарность всем людям, указавшим мне на опечатки и неточности, в особенности И. В. Аржанцеву, А. П. Мишиной,


Предисловие

А. Д. Свердлову, а также профессору Скипу Гарибальди из университета Эмори (США).
Рисунок на переплете, выполненный на компьютере Ф. Э. Винбергом, иллюстрирует гомоморфизм SU2 →SO3.
О нумерации. Теоремы нумеруются в пределах параграфа. При
ссылке на теорему другого параграфа той же главы первая цифра
означает номер параграфа, при ссылке на теорему другой главы первая цифра означает номер главы, вторая –– номер параграфа. Так,
теорема  –– это теорема  того же параграфа, теорема . –– это
теорема  §  той же главы, а теорема .. –– это теорема  §  гл. .
То же относится к параграфам, предложениям, примерам, задачам
и замечаниям. Формулы и рисунки нумеруются в пределах главы.

Э. Б. Винберг

Глава 

Алгебраические структуры

Когда вы знакомитесь с новыми людьми, вы прежде всего запоминаете их имена и внешность. После этого, встречаясь с ними
в разных ситуациях, вы постепенно узнаете их лучше и некоторые
из них, может быть, становятся вашими друзьями.
В первой главе состоится лишь внешнее знакомство читателя
со многими из алгебраических структур, рассматриваемых в этой
книге. Более глубокое их понимание будет приходить в процессе
дальнейшего чтения книги и решения задач.

§ . Введение

Если вообще можно четко определить предмет алгебры, то это
изучение алгебраических структур –– множеств с определенными
в них операциями. Под операцией в множестве M понимается любое отображение
M × M → M,

т. е. правило, по которому из любых двух элементов множества M
получается некоторый элемент этого же множества. Элементами
множества M могут быть как числа, так и объекты другого рода.
Хорошо известными и важными примерами алгебраических
структур являются следующие числовые множества с операциями
сложения и умножения:
–– множество натуральных чисел,
–– множество всех целых чисел,
+ =∪{0} –– множество неотрицательных целых чисел,
–– множество рациональных чисел,
–– множество всех вещественных (=действительных) чисел,
+ –– множество неотрицательных вещественных чисел.
Подчеркнем, что операции сложения и умножения определены
далеко не на всяком числовом множестве. Например, в множестве
отрицательных чисел не определена операция умножения, так как


Глава . Алгебраические структуры

произведение двух отрицательных чисел является положительным
числом. В множестве иррациональных чисел не определены ни сложение, ни умножение, так как сумма и произведение двух иррациональных чисел могут быть рациональными.
Приведем примеры алгебраических структур, состоящих не из
чисел.
Пример . Пусть M, N, P –– какие-то множества и

f : N → M,
g: P → N

–– какие-то отображения. Произведением, или композицией, отображений f и g называется отображение

fg: P → M,

определяемое формулой

( fg)(a)= f(g(a))
∀a ∈ P,

т. е. результат последовательного выполнения сначала отображения g, а потом f . (Обычно, если это не может привести к недоразумению, произведение отображений записывают без какого-либо
специального знака, т. е. пишут просто fg: ср. обозначение ln sin x в
анализе.) В частности, при M = N = P мы получаем таким образом
операцию на множестве всех отображений множества M в себя. Эта
операция дает много важных примеров алгебраических структур,
называемых группами. Так, например, согласно аксиоматике евклидовой геометрии, произведение двух движений плоскости есть
также движение. Рассматривая в множестве всех движений плоскости операцию умножения, мы получаем алгебраическую структуру,
называемую группой движений плоскости.
Пример . Множество векторов пространства с операциями сложения и векторного умножения является примером алгебраической
структуры с двумя операциями. Кстати, отметим, что скалярное
умножение векторов не является операцией в определенном выше
смысле, так как его результат не есть элемент того же множества.
Подобные более общие операции также рассматриваются в алгебре,
но мы пока не будем об этом думать.
Все приведенные выше примеры являются естественными в том
смысле, что они были открыты в результате изучения реального мира и внутреннего развития математики. В принципе можно рассматривать любые операции в любых множествах. Например, можно

§ . Введение


рассматривать операцию в множестве +, ставящую в соответствие
любым двум числам число совпадающих цифр в их десятичной записи. Однако лишь немногие алгебраические структуры представляют
реальный интерес.
Следует уточнить, что алгебраиста интересуют только те свойства алгебраических структур и составляющих их элементов, которые могут быть выражены в терминах заданных операций. Этот
подход находит свое выражение в понятии изоморфизма.
Определение . Пусть M –– множество с операцией ◦, а N ––
множество с операцией ∗. Алгебраические структуры (M, ◦) и (N, ∗)
называются изоморфными, если существует такое биективное отображение
f : M → N,

что
f (a ◦ b)= f(a)∗ f (b)

для любых a, b ∈ M. В этом случае пишут (M, ◦) ≃ (N, ∗). Само отображение f называется изоморфизмом структур (M, ◦) и (N, ∗).
Аналогичным образом определяется изоморфизм алгебраических структур с двумя или б´ольшим числом операций.
Пример . Отображение

a →2a

является изоморфизмом множества всех вещественных чисел с операцией сложения и множества положительных чисел с операцией
умножения, поскольку
2a+b =2a2b.

Вместо основания 2 можно было бы взять любое положительное
основание, отличное от 1. Это показывает, что между изоморфными
алгебраическими структурами может существовать много различных изоморфизмов.
Пример . Пусть V –– множество векторов плоскости, а T –– множество параллельных переносов. Для любого вектора a обозначим
через ta параллельный перенос на вектор a. (Если a =0, то ta –– это
тождественное преобразование.) Легко видеть, что

ta ◦ tb = ta+b,

где ◦ обозначает умножение (композицию) параллельных переносов, а + обозначает сложение векторов (определяемое по прави


Глава . Алгебраические структуры

лу параллелограмма). Следовательно, отображение a → ta является
изоморфизмом алгебраических структур (V, +) и (T, ◦).
Ясно, что если две алгебраические структуры изоморфны, то любое утверждение, формулируемое только в терминах заданных операций, будет справедливым в одной из этих структур тогда и только
тогда, когда оно справедливо в другой.
Например, операция ◦ в множестве M называется коммутативной, если
a ◦ b= b◦ a

для любых a, b ∈ M. Если структура (M, ◦) изоморфна структуре
(N, ∗) и операция ◦ в множестве M коммутативна, то и операция
∗ в множестве N коммутативна.
Таким образом, в принципе все равно, какую из изоморфных
друг другу алгебраических структур изучать: все они являются различными моделями одного и того же объекта. Однако выбор модели может оказаться небезразличным для фактического решения
какой-либо задачи. Определенная модель может представить для
этого наибольшее удобство. Например, если какая-то модель имеет
геометрический характер, то она позволяет применить геометрические методы.

§ . Абелевы группы

Сложение вещественных чисел обладает следующими свойствами:
(С) a + b= b+ a (коммутативность);
(С) (a + b)+ c = a +(b+ c) (ассоциативность);
(С) a +0= a;
(С) a +(−a)=0.
Из этих свойств чисто логическим путем могут быть получены
и другие свойства, например, наличие операции вычитания, обратной к сложению. Это означает, что для любых a, b уравнение

x + a = b

имеет единственное решение. Докажем, что это так. Если c –– решение данного уравнения, т. е. c + a = b, то

(c + a)+(−a)= b+(−a).