Введение в эконометрику

Московский государственный институт
международных отношений (Университет) МИД России

Н. В. Артамонов

Введение
в эконометрику

Курс лекций

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
A

Артамонов Н. В.
Введение в эконометрику
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Учебник знакомит читателя с базовыми понятиями и методами современной эконометрики, которая является неотъемлемой частью современного экономического образования. В первых двух главах подробно излагаются линейные и нелинейные регрессионные модели,
их статистические свойства и возможности применения в экономике. В третьей главе рассматриваются возможные отклонения от стандартных предположений линейной модели регрессии, встречающиеся
при моделировании экономических ситуаций и при анализе экономических данных. Обсуждаются корректировки регрессионной модели
для описания таких ситуаций. Последняя глава посвящена регрессионным моделям временных рядов. Учебник основан на лекциях по курсу
«Эконометрика-», читаемых автором в МГИМО (У) МИД России на
факультете Международных экономических отношений.
Книга предназначена студентам (бакалавриата и магистратуры),
аспирантам и преподавателям, специалистам и исследователям, работающим в области прикладной экономики и финансов.

Подготовлено на основе книги: Н. В. Артамонов. Введение в эконометрику. –– -е изд., испр. и доп. –– М.: МЦНМО, .

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () --
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Артамонов Н. В., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Введение

Структура книги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Статистические данные в эконометрике
. . . . . . . . . . . . .

Список обозначений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Парная регрессия

§ ..
Парный коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . .

...
Коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . .

...
Выборочный коэффициент корреляции . . . . . . . .

§ .. Подгонка прямой. Метод наименьших квадратов . . .

§ .. Парная линейная модель регрессии . . . . . . . . . . . .

...
Теорема Гаусса––Маркова . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Статистические свойства OLS-оценок коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

... Доверительные интервалы. Проверка гипотез . . .

... Коэффициент R2 и «качество подгонки» . . . . . . .

§ .. Прогнозирование в модели парной регрессии
. . . . .

§ .. Парная регрессия без константы . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Нелинейные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ ..
Стохастические регрессоры
. . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Многофакторная регрессия

§ .. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Основные предположения. Теорема Гаусса––Маркова .

§ .. Статистические свойства OLS-оценок.Доверительные
интервалы и проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Коэффициент R2. Проверка сложных гипотез о коэффициентах регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Прогнозирование в линейной модели регрессии . . . .

§ .. Множественная регрессия без константы
. . . . . . . .

§ .. Нелинейные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Бинарные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ .. Стохастические регрессоры
. . . . . . . . . . . . . . . . .

... Асимптотические свойства OLS-оценок . . . . . . . . 

Оглавление

§ .. Мультиколлинеарность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Разные аспекты линейной регрессии

§ .. Спецификация модели регрессии . . . . . . . . . . . . . . 
...
Невключение в модель значимого фактора . . . . . 
... Включение в модель незначимого фактора . . . . .

... Сравнение вложенных моделей . . . . . . . . . . . . . 
... Сравнение невложенных моделей . . . . . . . . . . . 
... Выбор функциональной формы зависимости . . . . 
§ .. Гетероскедастичность ошибок регрессии. Взвешенный метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . 
... Тесты на гетероскедастичность . . . . . . . . . . . . . 
... Корректировка на гетероскедастичность . . . . . . . 
§ .. Корреляция во времени ошибок регрессии
. . . . . . .

... Автокорреляция первого порядка
. . . . . . . . . . . 
... Автокорреляция произвольного порядка . . . . . . . 
§ .. Корректировка модели на гетероскедастичность и автокорреляцию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Глава . Модели временн´ых рядов

§ .. Условия Гаусса –– Маркова для регрессионных моделей временн´ых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Модель тренда и сезонность . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Модель распределенных лагов . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Модель авторегрессии временн´ых рядов . . . . . . . . . 
... Стационарные временн´ые ряды
. . . . . . . . . . . . 
... Модель авторегрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
... Прогнозирование авторегрессионных случайных
процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
... Эконометрические методы исследования стационарных временн´ых рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ .. Динамические модели стационарных временн´ых рядов 
§ .. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Приложение A. Статистические таблицы


Приложение B. Информационные критерии

Литература




Введение

Эконометрика является одной из важнейших составляющих современного экономического образования. В ведущих мировых университетах в программах подготовки экономистов ей уделяется большое
внимание. Применение эконометрических методов постепенно становится стандартом современных экономических исследований (наряду
с теоретико-игровыми методами в микроэкономике). Эконометрические методы находят свое применение в политологии, в медицинских
исследованиях и других сферах научной деятельности.
Что такое эконометрика? Как и в любой другой области научного знания, на этот вопрос нельзя дать однозначного ответа. В редакторской статье в первом выпуске журнала Econometrica () нобелевский лауреат Рэнджер Фиш пишет ([]; цитируется по переводу
в []):

«Эконометрика –– это ни в коем случае не тоже самое, что экономическая статистика. Она отнюдь не идентична тому, что
мы называем общей экономической теорией, хотя значительная доля этой теории носит определенно количественный характер. Также эконометрика не должна восприниматься как
синоним применения математики в экономике. Опыт показывает, что и статистика, и экономическая теория, и математика,
взятые по отдельности, являются необходимыми, но не достаточными для действительного понимания количественных отношений в современной экономике. Именно объединение всех
трех частей дает мощный эффект. И именно это объединение
и составляет эконометрику».

Нобелевский лауреат () Лоуренс Р. Клейн видит основную цель
эконометрики так (цитируется по []):

«Основная задача эконометрики –– наполнить эмпирическим содержанием априорные экономические рассуждения».

Р. Л. Клейн также пишет:

«Истоки эконометрии лежат в распознании эмпирических закономерностей и систематических попытках обобщить эти за

Введение

кономерности до экономических ”законов“. В широком смысле эти ”законы“ используются для того, чтобы делать предсказания о том, что произойдет или может произойти. Эконометрика могла бы служить основой для экономического предсказания ”за пределами опыта“. В этом широком смысле ее можно
назвать наукой об экономическом предсказании».

В. Леонтьев характеризует работу эконометриста так:

«…попытка компенсировать очевидный недостаток доступных
нам данных широчайшим использованием все более и более
сложной техники. Наряду с огромным количеством сложных
теоретических моделей мы имеем быстро увеличивающийся
набор столь же сложных статистических правил. Они предназначены для того, чтобы расширить границы, налагаемые
недостаточным количеством фактов».

Приведем еще несколько высказываний:

«Метод экономического исследования по существу лежит на
стыке экономической теории и фактических изменений, мостом между которыми служит теория и техника статистических
выводов».
(Трюгве Хаавельмо)
«Эконометрику можно определить как количественный анализ реальных экономических явлений, основанный на одновременном развитии теории и наблюдений, связанных подходящими правилами вывода».
(Самуэльсон, Купманс и Стоун)
«Эконометрика занимается систематическим изучением экономических явлений с использованием наблюдаемых данных».
(Арис Спанос)
«В широком смысле слова цель эконометрики –– наполнить
эмпирическим содержанием экономические соотношения, используемые для тестирования экономических теорий, прогнозов, принятия решений и для оценок».
(Джевеке, Горовиц, Песаран)

В книге В. П. Носко [] эконометрика определяется так:

«Эконометрика –– совокупность методов анализа связей между
различными экономическими показателями (факторами) на



Введение

основании реальных статистических данных с использованием
аппарата теории вероятностей и математической статистики.
При помощи этих методов можно выявлять новые, ранее не
известные связи, уточнять или отвергать гипотезы о существовании определенных связей между экономическими показателями, предлагаемые экономической теорией».

Точка зрения на предмет и задачи эконометрики других экономистов и эконометристов можно прочитать, например, в эссе Тинтера [].
Современную эконометрику можно разделить на два направления: теоретическую и прикладную. Теоретическая эконометрика
ориентирована на изучение специальных (абстрактных) вероятностных моделей (как правило, регрессионных моделей) и в этом
отношении близка к теории вероятностей и математической статистике и использует их аппарат. В основе прикладной эконометрики лежит применение исследованных вероятностных моделей
для количественного описания и анализа экономических явлений
и процессов. Между этими направлениями существует глубокая
двусторонняя связь. Новые результаты теоретической эконометрики (например, статистические тесты и новые классы вероятностных моделей) постепенно находят свое применение при решении
прикладных задач. С другой стороны, в прикладной эконометрике
в процессе исследования экономических явлений возникают ситуации или наблюдаются эффекты, которые не описываются существующими вероятностными моделями. Это стимулирует дальнейшее
развитие теоретического аппарата, рассмотрение и теоретическое
исследование новых вероятностных моделей.
В настоящее время на русском языке издано много современных
учебников по эконометрике, российских и зарубежных авторов. Стоит
отметить учебники Я. Р. Магнуса, П. К. Катышева, А. А. Пересецкого [] и М. Вербика [], в которых достаточно полно изложены теоретические основы эконометрики. В учебнике [] приведены подробные
доказательства вероятностных и статистических свойств эконометрических линейных регрессионных моделей. В книге Э. Берндта []
обсуждаются вопросы прикладной эконометрики и подробно рассматриваются ставшие уже классическими работы по применению
теоретических моделей к различным задачам экономики. Например,



Введение

рассматривается кривая Филлипса, описывающая взаимосвязь безработицы и инфляции в краткосрочном и долгосрочном периодах,
и др. Стоит отметить учебник В. П. Носко [] (доступный и в электронном виде), который подходит для первоначального знакомства
с предметом.
Что касается зарубежных учебников (на английском языке), наиболее полное и последовательное изложение современных эконометрических методов можно найти в книге Грина []. Среди учебников, рассчитанных на первоначальное ознакомление с эконометрикой, стоит в первую очередь отметить книгу Вулдриджа [],
которую характеризует широта охвата, доступный язык изложения
и большое количество подробно разбираемых примеров. Для первоначального знакомства также подходит книга Стока и Уотсона [].
В книге Вулдриджа [] подробно рассматриваются регрессионные
модели для пространственных выборок и панельных данных (классы выборочных данных в эконометрике определяются ниже). В книге Дэвидсона и МакКиннона [] излагаются специальные вопросы
регрессионных моделей. В книгах Гамильтона [] и Эндерса []
излагаются эконометрические модели временн´ых рядов.
Настоящий учебник основан на лекциях по базовому курсу «Эконометрика» (часто называемому «Эконометрика-»), читаемых в Московском государственном институте международных отношений
(Университете) МИД России в течение одного семестра для студентов третьего курса факультета Международных экономических
отношений.
Книга рассчитана на студентов, обучающихся по специальности
«Экономика» и изучивших следующие дисциплины: математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей и математическая статистика (включая оценивание параметров распределения,
построение доверительных интервалов, проверку статистических
гипотез), курс экономической теории (микро- и макроэкономики).

Структура книги

В учебнике отражены следующие разделы из начального курса
«Эконометрика-».



Введение

Линейная однофакторная (парная) модель регрессии. Для простоты изложения все вероятностные и статистические свойства линейной модели регрессии в условиях Гаусса––Маркова (более или
менее строго) доказаны или продемонстрированы на однофакторной линейной модели регрессии, уделено внимание построению доверительных интервалов и проверке статистических гипотез (при
разных альтернативах) для коэффициентов регрессии. При этом
рассматриваются две вероятностные модели регрессии: с детерминированной и со стохастической влияющей переменной. Основное
различие между ними состоит в «регулярности» поведения оценок
параметров модели со стохастической влияющей переменной при
больших выборках, а именно, оценки коэффициентов будут состоятельны и асимптотически нормальны. Обсуждается связь парного
коэффициента корреляции с моделью парной регрессии и построение доверительного интервала для парного коэффициента корреляции.
Парная модель регрессии без «свободного члена» или «без константы»: обычно в книгах по эконометрике этой модели не уделяется достаточно внимания, и автор решил восполнить этот пробел
и посвятить параграф обсуждению этой модели.
Нелинейные однофакторные модели регрессии: особое внимание
уделено содержательной экономический интерпретации и экономическому обоснованию применения таких моделей.

Многофакторная линейная модель регрессии. Изложение материала построено так, что соответствующую главу можно читать
независимо от главы о парной модели регрессии. В этом разделе
строгие полные доказательства вероятностных свойств модели, как
правило не приводятся, так как они требуют использования дополнительного аппарата линейной алгебры и теории вероятностей
и при первом чтении могут быть пропущены. Подробные доказательства можно найти в книгах [, ]. Также рассматриваются две
вероятностные модели: с детерминированными и стохастическими
влияющими переменными. Подробно обсуждаются статистические
свойства коэффициентов регрессии: эффективность оценок наименьших квадратов, построение доверительных интервалов для
коэффициентов, проверка простых статистических гипотез (с двусторонними и односторонними альтернативами), проверка слож


Введение

ных гипотез о коэффициентах регрессии, прогнозирование в рамках модели регрессии, фиктивные (бинарные) переменные. Также
рассмотрены асимптотические (при больших выборках) свойства
оценок коэффициентов регрессии в модели стохастических влияющих переменных.
Отдельное внимание уделено нелинейным моделям и их содержательной экономической интерпретации. Как и в случае парной регрессии, отдельно рассматривается модель регрессии «без константы».
Отклонения от стандартных условий Гаусса––Маркова. Подробно рассматриваются два наиболее часто встречающихся в приложениях отклонения от стандартных допущений регрессионной модели: неоднородность (гетероскедастичность) и автокоррелируемость
ошибок регрессии. Обсуждаются статистические следствия этих отклонений, тесты на выявление этих отклонений и возможные корректировки регрессионной модели.
Спецификация модели. Рассматриваются вопросы, связанные с выбором спецификации модели регрессии. При этом приводятся как
экономические аргументы в пользу той или иной спецификации,
так и формальные тесты на спецификацию. Обсуждаются статистические следствия неправильной спецификации модели регрессии.
Введение в регрессионные модели временн´ых рядов. В этой главе
кратко рассматриваются особенности построения регрессионных
моделей для временн´ых рядов, обобщения условий Гаусса––Маркова для таких моделей, вероятностные и статистические свойства
оценок параметров моделей, применимость стандартных тестов,
вводится понятие стационарного временн´ого ряда. Рассмотрены
статическая регрессионная модель, модель тренда и сезонности, модель распределенных лагов (FDL), модель авторегрессии (AR) стационарных временн´ых рядов, динамическая модель авторегрессиираспределенных лагов (ADL).
В силу ограничения по времени в курс не включены следующие разделы, иногда включаемые в базовый курс «Эконометрика-»: модели
с бинарной зависимой переменной (Probit- и Logit-модели, линейная
вероятностная модель LPM), метод инструментальных переменных
(проблема эндогенности), метод максимального правдоподобия оценки параметров линейной модели регрессии и проверки статистических



Введение

гипотез, системы одновременных уравнений, модели MA (скользящего
среднего) и ARMA стационарных временн´ых рядов, модели панельных
данных.
В конце каждой главы приведены упражнения по соответствующей тематике. По ряду причин в книгу включено мало упражнений,
связанных с непосредственной оценкой модели регрессии по выборочным данным. Б´ольшую часть составляют задачи на анализ уже
оцененных регрессионных моделей и теоретические задачи. Задачи
по оценке регрессионных моделей по статистическим данным можно найти, например, в книгах [, ].

Статистические данные в эконометрике

В современной эконометрике различаются следующие основные
классы выборочных статистических данных:

◦ пространственные выборки (cross-sectional data);
◦ временн´ые ряды (time series);
◦ панельные данные (panel data).

Пространственные выборки характеризуются тем, что выборочные
данные получены в один (или очень близкие) период времени и их
следует рассматривать как случайную выборку из некоторой генеральной совокупности (population). Примеры таких выборок дают
опросы людей, домашних хозяйств, статистические данные по фирмам, городам, странам.
Временн´ые ряды (по одному или нескольким факторам) представляют собой статистические данные, полученные в результате
наблюдения в течение некоторого промежутка времени. Как правило, эти данные получены через равные промежутки (кванты)
времени. Основное отличие от пространственных выборок состоит
в следующем. Фактор времени естественным образом упорядочивает данные временн´ого ряда (в хронологическом порядке), в то
время как в пространственных выборках такой естественный порядок отсутствует. Во многих случаях временн´ые ряды уже нельзя рассматривать как реализацию случайной выборки, так как естественно полагать, что на текущие значения могут оказывать влияние
прошлые значения временн´ого ряда («эффект памяти»). Примеры



Введение

временн´ых рядов дают, например, финансовые данные (котировки
и биржевые индексы), индексы цен, макроэкономические данные
(ВВП, уровень инфляции и безработицы) и др.
Панельные данные являются обобщением первых двух классов
данных: эти данные состоят из временн´ых рядов по каждому члену пространственной выборки. Другими словами, мы имеем набор
пространственных выборок для одних и тех же объектов, полученные в разные моменты времени. Пример панельных данных дают
полученные в течение нескольких лет данные об одних и тех же
домашних хозяйствах или индивидуумах.
Иногда для увеличения объема выборочной информации используются pooled cross sectional data, представляющие собой объединение
нескольких пространственных выборок, полученных в разные периоды времени. В отличие от панельных данных, pooled data формируются из пространственных выборок для разных объектов генеральной
совокупности в разные моменты времени.

Список обозначений

На протяжении всей книги будут использоваться следующие обозначения:

E(ξ)
––
математическое
ожидание случайной величины ξ;
Var(ξ)
––
дисперсия случайной величины ξ;
ξ ∼ F
––
случайная величина ξ имеет распределение F(x);
ξ ∼
H0 F
––
случайная величина ξ при справедливости гипотезы H0 имеет распределение F(x);
ξ ≈
H0
F
––
случайная величина ξ при справедливости гипотезы H0 асимптотически имеет распределение F(x);
cov(ξ, η)
––
коэффициент
ковариации
между
случайными величинами ξ и η;
corr(ξ, η) ––
коэффициент корреляции между случайными величинами ξ и η;

