Кольца формальных матриц и модули над ними

П. А. Крылов, А. А. Туганбаев

Кольца формальных
матриц
и модули над ними

МЦНМО

П. А. Крылов, А. А. Туганбаев

Кольца формальных матриц
и модули над ними

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2018

УДК 512
ББК 22.14
K85

Крылов П. А., Туганбаев А. А.
Кольца формальных матриц и модули над ними.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2018.
190 с.
ISBN 978-5-4439-3115-9

Данная книга является первой, где систематически изучаются
формальные матрицы. Элементы этих матриц принадлежат нескольким (в общем случае разным) кольцам и бимодулям. Частным случаем формальных матриц второго порядка являются контексты Мориты, поначалу предназначавшиеся для описания эквивалентностей
между категориями модулей. Они также очень удобны для переноса
свойств с одного кольца на другое. Существуют аналоги контекстов
Мориты для полуколец, хопфовых и квазихопфовых алгебр, коколец
и категорий. Формальные матрицы весьма полезны для построения
колец с односторонними несимметричными свойствами. Подробно
исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные
модули над кольцами формальных матриц. Вводится и изучается
понятие определителя формальной матрицы над коммутативным
кольцом. Его свойства могут отличаться в некоторых случаях от
свойств обычного определителя. Также группы Гротендика и Уайтхеда кольца формальных матриц выражаются через соответствующие
группы колец с главной диагонали.

Подготовлено на основе книги:
Крылов П. А., Туганбаев А. А. Кольца формальных матриц и модули
над ними. — М.: МЦНМО, 2017. — 192 с. ISBN 978-5-4439-1115-1.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3115-9

ffi Крылов П. А.,
Туганбаев А. А., 2017
ffi МЦНМО, 2017

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 1. Кольца формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

§ 1. Построение колец формальных матриц порядка 2 . . . .
11
§ 2. Примеры колец формальных матриц порядка 2 . . . . . .
16
§ 3. Кольца формальных матриц порядка n ⩾ 2 . . . . . . . . .
19
§ 4. Некоторые идеалы колец формальных матриц . . . . . . .
23
§ 5. Кольцевые свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
§ 6. Аддитивные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Глава 2. Модули над кольцами формальных матриц . . . . . . .
41

§ 7. Первоначальные свойства модулей над кольцами
формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
§ 8. Малые и существенные подмодули . . . . . . . . . . . . . . . .
55
§ 9. Цоколь и радикал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
§ 10. Инъективные модули и инъективные оболочки . . . . . .
64
§ 11. Максимальное кольцо частных . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
§ 12. Плоские модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
§ 13. Проективные и наследственные модули и кольца . . . .
86
§ 14. Эквивалентности между категориями R-mod, S-mod
и K-mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
§ 15. Наследственные кольца эндоморфизмов
абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Глава 3. Кольца формальных матриц над данным кольцом . . 109

§ 16. Кольца формальных матриц над кольцом R . . . . . . . . . 109
§ 17. Некоторые свойства колец формальных
матриц над R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
§ 18. Характеризация матриц множителей . . . . . . . . . . . . . . 121
§ 19. Классификация колец формальных матриц . . . . . . . . . 127
§ 20. Проблема изоморфизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Содержание

§ 21. Определители формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 22. Некоторые теоремы о формальных матрицах . . . . . . . 148

Глава 4. Группы Гротендика и Уайтхеда колец
формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

§ 23. Эквивалентность двух категорий проективных
модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
§ 24. Группа K0(A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 25. Группа K0 кольца формальных матриц . . . . . . . . . . . . . 167
§ 26. Группа K1 кольца формальных матриц . . . . . . . . . . . . . 172
§ 27. Группы K0 и K1 колец матриц порядка n ⩾ 2 . . . . . . . . 176

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Предисловие

Большое значение матриц для математики и её приложений общеизвестно. Прежде всего это относится к числовым матрицам. Активно
изучаются и используются также матрицы со значениями в кольцах
(см., например, [19] и [79]), полукольцах (см., например, [35]), булевых алгебрах (см., например, [60]), полугруппах и решётках. Рассматриваемые в этой книге матрицы называются формальными матрицами или обобщёнными матрицами. Что это за матрицы? Предварительно поясним, что элементы этих матриц принадлежат нескольким
(в общем случае разным) кольцам и бимодулям.
В своей известной работе [81] Морита ввёл то, что сейчас называют
контекстом Мориты или ситуацией предэквивалентности. Контекст
Мориты (R, S, M, N, ϕ, ψ) состоит из колец R и S, бимодулей M и N,
а также связанных между собой определённым образом бимодульных
гомоморфизмов ϕ и ψ. Первоначально контексты Мориты предназначались для описания эквивалентностей между категориями модулей.
Они также очень удобны для переноса свойств с одного кольца R на
другое кольцо S; см., например, [5, 58, 109].
Контексты Мориты были предметом исследований большого числа
публикаций. Существуют аналоги контекстов Мориты для полуколец,
хопфовых и квазихопфовых алгебр, коколец и категорий. По данному
контексту Мориты (R, S, M, N, ϕ, ψ) можно естественным образом построить кольцо матриц
𝑅 𝑀
𝑁 𝑆
с обычными матричными операциями.
Это кольцо называется кольцом контекста Мориты, или кольцом формальных матриц (порядка 2), или кольцом обобщённых матриц. Эта
вторая точка зрения на контекст Мориты как на матричное кольцо
и преобладает в книге. Не составляет большого труда определить кольцо
формальных матриц любого порядка n. Итак, мы уделяем основное внимание кольцам формальных матриц и модулям над такими кольцами.
Кольца формальных матриц постоянно появляются в теории колец и модулей, теории конечномерных алгебр (см., например, [8], [9])
и при изучении колец эндоморфизмов абелевых групп (см., напри

Предисловие

мер, [64]). Они встречаются в функциональном анализе, прежде всего в связи с операторными алгебрами (см., например, [14] и [28]).
Среди колец формальных матриц выделяются кольца треугольных
матриц или более общие объекты — кольца блочных треугольных
матриц. Они нередко возникают при исследовании некоторых конечномерных алгебр и операторных алгебр. Помимо прочего, кольца
формальных треугольных матриц служат источником примеров колец
с асимметричными свойствами.
Книга содержит далеко не все существующие результаты о кольцах
формальных матриц. Однако авторы уверены, что содержание книги
достаточно для того, чтобы читатель смог составить представление
о существующих направлениях исследований в этой области. Здесь
впервые систематически изложена теория колец формальных матриц
и модулей над ними.
В книге четыре главы. Первая глава посвящена кольцам формальных матриц порядка 2 и иногда произвольного порядка n. В главе 2
рассматриваются модули над кольцом формальных матриц порядка 2.
Подробно исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные модули. В главе 3 вводится и изучается один частный вид
колец формальных матриц — кольца формальных матриц над данным
кольцом. Здесь много внимания уделяется свойствам отдельных матриц. С одной стороны, кольца формальных матриц порядка n над кольцом R наиболее близки к обычному кольцу M(n, R) всех (n × n)-матриц над R. В то же время они приобретают особенности, отсутствующие у кольца M(n, R). Например, два кольца формальных матриц
одного порядка над данным кольцом могут быть не изоморфными;
см. теорему 20.3. Кроме того, определитель формальной матрицы A
над коммутативным кольцом не всегда совпадает с определителем
транспонированной матрицы к A; см. свойство 7 из § 21. Далее, если
F — поле, то по классической теореме Нётер — Сколема каждый автоморфизм F-алгебры M(n, F) является внутренним. Но существуют
кольца формальных матриц порядка n над F, у которых группа внешних автоморфизмов содержит симметрическую группу S𝑚 для некоторого m, где 2 ⩽ m ⩽ n; см. пункт А из § 16.
В главе 4 группы Гротендика и Уайтхеда кольца формальных матриц
𝑅 𝑀
𝑁 𝑆
выражаются через соответствующие группы колец R и S.
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей, а модули считаются унитарными левыми, если не оговорено противное. Гомоморфизмы пишем слева от аргументов. За исключением

Предисловие
7

§ 15, композиция отображений α: X → Y и β : Y → Z обозначается
через αβ. Таким образом, (αβ)(x) = β(α(x)) для всех x ∈ X. (В § 15
предполагается, что (βα)(x) = β(α(x)).)
В книге используются стандартные понятия и обозначения теории
колец и модулей; см., например, [71, 90, 100, 102, 111]. Если R — кольцо, то J(R) — его радикал Джекобсона, C(R) — его центр, M(n, R) —
кольцо всех (n × n)-матриц над R, R-mod — категория всех левых
R-модулей. Если A — R-модуль, то End𝑅 A или End𝑅(A) — его кольцо
эндоморфизмов.

Список обозначений

E𝑖𝑗
— матричная единица

|A|
— определитель матрицы A

d(A)
— определитель формальной матрицы A

A ⊗ B
— кронекерово произведение матриц A и B

M(n, R)
— кольцо всех (n × n)-матриц над кольцом R

M(n, R, {s𝑖𝑗𝑘})
или M(n, R, Σ)
— кольцо всех формальных матриц порядка n
над кольцом R с системой множителей
{s𝑖𝑗𝑘} = Σ

M(n, R, s)
— кольцо всех формальных матриц порядка n
над кольцом R с множителем s
R◦
— противоположное кольцо к кольцу R

P(R)
— первичный радикал кольца R

J(R)
— радикал Джекобсона кольца R

C(R)
— центр кольца R

Q(R)
— максимальное левое кольцо частных кольца R

R × S
— прямое произведение колец R и S

A1 ⊕ ... ⊕ A𝑛
— прямая сумма модулей A1, ... , A𝑛
Ker ϕ или Ker(ϕ)
— ядро гомоморфизма ϕ

Im ϕ или Im(ϕ)
— образ гомоморфизма ϕ

Rad A
— радикал модуля A

Soc A
— цоколь модуля A

Z
— замыкание подмодуля Z модуля A
A
— инъективная оболочка модуля A

A∗
— модуль характеров модуля A

lim
→ 𝐼 A𝑖
— предел прямого спектра модулей A𝑖

R-mod (mod-R)
— категория левых (правых) модулей над
кольцом R

Список обозначений

P(R)
— категория конечно порожденных проективных
R-модулей
P(A)
— категория конечно A-проективных модулей

End𝑅 A
или End𝑅(A)
— кольцо эндоморфизмов R-модуля A

Biend𝑅 A
— кольцо биэндоморфизмов R-модуля A

End G
— кольцо эндоморфизмов абелевой группы G

Hom𝑅(A, B)
— группа гомоморфизмов из R-модуля A в
R-модуль B
Hom(G, H)
— группа гомоморфизмов из абелевой группы G
в абелеву группу H
M ⊗𝑅 N
— тензорное произведение правого R-модуля M
на левый R-модуль N
K0(R)
— группа Гротендика кольца R

K0(A)
— группа Гротендика категории конечно
A-проективных модулей
K1(R)
— группа Уайтхеда кольца R

Глава 1

Кольца формальных матриц

Определяются кольца формальных матриц порядка 2 и произвольного порядка n, рассматриваются их основные свойства, приводятся
примеры таких колец, указываются связи колец формальных матриц с кольцами эндоморфизмов модулей и системами ортогональных
идемпотентов колец.
Вычисляются радикал Джекобсона и первичный радикал кольца
формальных матриц. Выясняется, когда кольцо формальных матриц
артиново, нётерово, имеет стабильный ранг 1, регулярно или обратимо-регулярно.
Последний параграф 6 посвящён чистым и k-хорошим матричным
кольцам.

§ 1. Построение колец формальных
матриц порядка 2

Пусть даны два кольца R и S, R-S-бимодуль M и S-R-бимодуль N.
Обозначим через K множество всех матриц вида
r
m
n
s

,
где r ∈ R, s ∈ S, m ∈ M, n ∈ N.

Относительно матричного сложения K является абелевой группой.
Чтобы превратить K в кольцо, нужно уметь вычислять «произведение» mn ∈ R и «произведение» nm ∈ S. Корректно это можно сделать
следующим образом.
Предположим, что даны бимодульные гомоморфизмыϕ: M⊗𝑆 N →R
и ψ: N ⊗𝑅 M → S. Полагаем ϕ(m ⊗ n) = mn и ψ(n ⊗ m) = nm для всех
m ∈ M и n ∈ N. Теперь матрицы из K можно умножать, как в обычном
кольце матриц:
r
m
n
s

r1
m1
n1
s1

=
rr1 + mn1
rm1 + ms1
nr1 + sn1
nm1 + ss1

,