Приближенные поперечные колебания плоских элементов строительных конструкций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 
 высшего профессионального образования 
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 
_________________________________________________________ 

О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, О.И. Поддаева 

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 
ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ  
СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 

Учебное пособие 

4-е издание (электронное)

Москва 2017 

УДК 539.3 
ББК 22.21 
  Е30 

Р е ц е н з е н т ы: 
доктор физико-математических наук, доцент А.А. Локтев, 
профессор кафедры информационных технологий МФЮА; 
доктор технических наук, профессор Г.Э. Шаблинский, 
НИИЭМ ФГБОУ ВПО «МГСУ»  

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования 
и науки Российской Федерации в рамках выполнения государственного задания 
ФГБОУ ВПО «МГСУ» № 2014/107,  
проект «Фундаментальные исследования ветровых воздействий  
(в том числе экстремальных) на уникальные здания и сооружения,  
а также мостовые конструкции»  

Егорычев, О.А. 

 Е30       Приближенные поперечные колебания плоских элементов строительных 

конструкций [Электронный ресурс]: учебное пособие / О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, О.И. Поддаева ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. 
строит. ун-т. — 4-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 113 с.). 
— М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 2017. — Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". 

ISBN 978-5-7264-1629-8 

Изложены 
теоретические 
основы 
составления 
гиперболических 
уравнений 
колебания однородной изотропной упругой пластины, предварительно напряженной 
пластины, пластины переменной толщины, трехслойной пластины; показаны пределы 
применимости полученных уравнений и приближенные методы их решения, показаны  
примеры числового расчета. 

Для магистрантов и аспирантов, обучающихся по специальности 15.04.03 «Прикладная механика» и 08.04.01 «Строительство», изучающих дисциплину «Теоретическая механика». 

УДК 539.3 
ББК 22.21 

ISBN 978-5-7264-1629-8  
 © ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2012 

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Приближенные поперечные колебания плоских элементов строительных конструкций : 
учебное пособие / О.А. Егорычев, О.О. Егорычев, О.И. Поддаева ; М-во 
образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 3-е изд. — М. : 
Издательство МИСИ—МГСУ, 2014. — 112 с. — ISBN 978-5-7264-0945-0.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

Введение 

Значение плоских элементов строительных конструкций при оценке 
надежности, долговечности и устойчивости к разного рода внешним 
нагрузкам чрезвычайно велико. 
Любой строительный проект несомненно будет более надежен в 
эксплуатации, если более достоверно проводятся расчеты плоских элементов возводимых конструкций, при этом существенное значение 
имеют решения именно динамических задач о колебаниях плоских элементов. 
Из теории уравнений математической физики известно, что любая 
математическая задача, имеющая своей целью описать реальный процесс, должна удовлетворять следующим трем требованиям: 
1. Рассматриваемое уравнение должно иметь решение.
2. Решение должно быть единственным, т.е. количество начальных
и граничных условий должно быть с точностью равно рассматриваемому порядку уравнения для каждой неизвестной функции. 
3. Решение должно быть устойчивым, т.е. малые изменения начальных данных вносят малые изменения в итоговый результат решения. 
При этом, если рассматривается волновая картина возмущенной 
сплошной среды, то уравнение движения должно относиться к гиперболическому типу. 
Из истории механики, а следовательно, и строительной механики, 
известно, что одно из первых уравнений поперечных колебаний пластин было уравнением Киргофа, которое долгие годы использовалось 
для решения всех динамических задач в этой области. Однако это параболическое уравнение, полученное при использовании геометрической 
гипотезы, оно удовлетворяет только медленно протекающим низкочастотным процессам и определяет только одну частоту собственных колебаний. 
В дальнейшем многими авторами предлагались новые уравнения колебания пластин, наиболее известные — это гиперболические уравнения С.П. Тимошенко, при выводе которых также использовалась геометрическая гипотеза, утверждающая, что элемент, первоначально 
прямолинейный и параллельный к срединной плоскости пластины, 
остается и после деформации прямолинейным, однако угол его наклона 
к срединной плоскости пластины может быть отличен от прямого. 
Указанные теории, основанные на ряде гипотез и предположений, не 
позволяют получать приближенные уравнения колебаний более высокого порядка по производным от искомых функций и не дают строгого 
обоснования формулировки краевой задачи, что еще более важно. 

Одним из основных методов построения приближенных уравнений 
теории колебания пластин является метод степенных рядов, впервые 
примененный еще в работах Коши и Пуассона. С помощью этого метода трехмерная задача динамической теории упругости приводится к 
приближенной двухмерной. 
Г.И. Петрашень дал математическое обоснование метода степенных 
рядов на примере динамической задачи о слое в случае плоской деформации. 
В дальнейшем этот метод был расширен и применен для различных 
видов пластин в работах И.Г. Филиппова 5и О.О. Егорычева 3. Этот 
подход отличает относительная свобода от большого числа предварительных гипотез, что дает возможность для уравнений любого порядка 
получить однозначные формулировки начальных и граничных условий. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Уравнение колебаний однородной изотропной  
упругой пластины 
 
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ  
ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН 
 
Рассмотрим бесконечную в плане изотропную однородную упругую 
пластину толщиной 2h , прямоугольную декартовую систему координат OXYZ  выберем таким образом, чтобы плоскость XOY  совпадала 
со срединной плоскостью пластины, а тогда область, занимаемая пластиной в недеформированном состоянии, будет иметь вид (рис. 1.1): 
,
;
x y
h
z
h
. 
(1.1.1) 

 

 
Рис. 1.1. Область, занимаемая пластиной в недеформированном состоянии 
 
Уравнения движения пластины как трехмерного тела имеют вид: 

2

2

2

2

2

2

,

,

,

xy
xx
xz

xy
yy
yz

yz
xz
zz

u
x
y
z
t

v
x
y
z
t

w
x
y
z
t

(1.1.2) 

где , ,
u v w — компоненты вектора перемещений ,u,u  соответственно, на 
,
, ;
x y z  — плотность материала пластины.  

Компоненты тензора напряжений связаны с компонентами тензора 
деформаций законом Гука: 

2
,

2
,

xx
xx

zz
zz

2
,

,

yy
yy

xx
yy
zz

(1.1.3)

,
xy
xy
,
xz
xz
,
yz
yz
где ,
— константы Ламе. 
Компоненты тензора деформаций удовлетворяют соотношениям 
Коши: 

;

;

;

xx

yy

zz

u
x
v
y
w
z

;

;

.

xy

xz

yz

u
v
y
x

u
w
z
x
v
w
z
y

(1.1.4)

Для материала, удовлетворяющего соотношениям (1.1.3) и (1.1.4), 
уравнение движения в перемещениях имеет вид: 

2

2
grad div
,
u
u
u
t
2

grad di
,
2
u
grad div
u
grad div
(1.1.5)

где — оператор Лапласа, — плотность. 
Рассмотрим метод построения уравнения колебаний пластин, основанный на математическом подходе. Наибольшее развитие он получил 
в работах И.Г. Филиппова 5  и О.О. Егорычева 3 .

Пусть колебания бесконечной в плане изотропной упругой пластины 
толщиной 2h  вызываются внешними усилиями: 

, , ,
, ,
,

, , ,
, ,
,

, , ,
, ,
,

zz
z
h
z

xz
z
h
xz

yz
z
h
yz

x y z t
f
x y t

x y z t
f
x y t

x y z t
f
x y t

(1.1.6)

и пусть функции, описывающие эти усилия, представлены в виде: 

sin
sin
,0
cos
cos
0
0

cos
sin
,0
sin
cos
0
0

sin
cos
,0
cos
sin
0
0

, ,
, ,
,

, ,
, ,
,

, ,
, ,
,

kx
qy
pt
z
z
kx
qy
L

kx
qy
pt
xz
xz
kx
qy
L

kx
qy
pt
yz
yz
kx
qy
L

f
x y t
dk
dq
f
k q p e dp

f
x y t
dk
dq
f
k q p e dp

f
x y t
dk
dq
f
k q p e dp

(1.1.7) 

при этом несобственные интегралы, входящие в эти представления для 
внешних усилий, существуют при условии, что параметры преобразований Фурье по координатам ,x y  и Лапласу по времени t  удовлетворяют неравенствам 

0;
k
k
0;
q
q
0
m
J p ,
(1.1.8)

где 
0
0
0
,
,
k
q
— конечные величины. 
Следовательно, внешние усилия не являются ни высокочастотными, 
ни концентрированными, иначе говоря, длины распространяющихся 
волн как по времени, так и по координатам превосходят поперечные 
размеры пластин. 
Начальные условия нулевые: 

0,
u
v
w
u
v
w
t
t
t
при 
0
t .
(1.1.9)

Исходя из вида возбуждающих усилий (1.1.6) общее решение задачи 
(1.1.1) — (1.1.5) пишем в виде: 

sin
cos
0
cos
sin
0
0

cos
sin
0
sin
cos
0
0

cos
cos
0
sin
sin
0
0

, , ,
;

, , ,
;

, , ,
.

kx
qy
pt
kx
qy
L

kx
qy
pt
kx
qy
L

kx
qy
pt
kx
qy
L

u x y z t
dk
dq
u e dp

v x y z t
dk
dq
v e dp

w x y z t
dk
dq
w e dp

(1.1.10)

Так как колебания пластинки будем рассматривать в линейном приближении, то удобнее перемещение u  представить в виде потенциалов 
,
, ,
x y z t
— продольных и , , ,
x y z t
x y z t
, , ,
,
— поперечных волн:
grad
rot
u u grad
, 
(1.1.11)
при этом векторный потенциал поперечных волн должен удовлетворять дополнительному условию: 

div
0
0  или 
0
y
x
z
x
y
z
.
(1.1.12)

Уравнение движения в потенциал имеет вид: 

2

2

2

2

2
t

t

t2
2

.
(1.1.13)

Перемещения , ,
u v w через потенциалы ,выражаются по формулам: 

y
z

x
z

y
x

u
x
y
z

v
y
z
z

w
z
x
y

.
(1.1.14)

Аналогично напряжения 
ij
выражаются через и по формулам, 

где ,
, ,
i j
x y z
. 

2
2
2

2

2
2
2

2

2
2
2

2

2
2
2
2
2

2
2

2
2

2
;

2
;

2
;

2
;

2

y
z
xx

x
z
yy

y
x
zz

y
x
z
z
xy

yz

x
x y
x z

y
y z
x y

z
x z
y z

x y
x z
y z
x
y

y z


2
2
2

2
2

2
2
2
2
2

2
2

;

2
.

y
x
x
z

y
y
x
z
xz

y
z
x y
x z

x z
x y
x
z
y z

(1.1.15)

Согласно (1.1.10) потенциалы ,можно представить в виде: 

sin
cos
0
cos
sin
0
0

sin
cos
,0
cos
sin
0
0

cos
sin
,0
sin
cos
0
0

cos
sin
0

, , ,
, , ,
;

, , ,
, , ,
;

, , ,
, , ,
;

, , ,

kx
qy
pt
kx
qy
L

kx
qy
pt
x
x
kx
qy
L

kx
qy
pt
y
y
kx
qy
L

kx
z
kx

x y z t
dk
dq
k q z p e dp

x y z t
dk
dq
k q z p e dp

x y z t
dk
dq
k q z p e dp

x y z t

cos
,0
sin
0
, , ,
.
qy
pt
z
qy
L
dk
dq
k q z p e dp

(1.1.16) 

Условия (1.1.8) позволяют строго дифференцировать выражения 
(1.1.10) и (1.1.16) по координатам и времени. Подставив (1.1.16) в уравнение движения (1.1.13), получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений: 

2
2
0
0
2

2
,0
2
,0
2

2
,0
2
,0
2

2
,0
2
,0
2

0

0

0

0

x
x

y
y

z
z

d
dz
d
dz
d

dz
d
dz

, 
(1.1.17) 

где 

2
2
2
2
2
2
2
0
0
;
;
2
p
p
k
q
. 

Преобразованные величины перемещений 
0
0
0
,
,
u
v w  и напряжений 

,0
ij
через изображения потенциалов 
0
,0
,0
,0
,
,
,
x
y
z
выражаются 

формулами: 

,0
0
0
,0

,0
0
0
,0

0
0
,0
,0

;

;

;

y
z

x
z

x
y

d
u
k
q
dz
d
v
q
k
dz
d
w
q
k
dz

10 

2
,0
2
0
,0
0
0
0
,0
2

2
,0
2
0
,0
0
0
0
,0
2

2
,0
,0
0
0
,0
0
0
2

,0
,0
,0
0

2
;

2
;

2
;

2

y
xx
z

x
yy
z

y
y
zz

y
x
xy

d
d
k
k
kq
dz
dz

d
d
q
q
kq
dz
dz

d
d
d
d
q
k
dz
dz
dz
dz

d
d
kq
k
q
dz
dz

2
2
,0

2
,0
,0
2
0
,0
,0
,0
2

,0
2
0
,0
,0
,0

;

2
;

2
.

z

x
z
yz
x
y

y
xz
y
y

k
q

d
d
d
q
q
kq
k
dz
dz
dz

d
d
k
kq
k
q
dz
dz

(1.1.18) 

 
Согласно теории обыкновенных однородных дифференциальных 
уравнений с постоянными коэффициентами общее решение уравнения 
(1.1.17) имеют вид: 
0
1
2

,0
11
12

,0
21
22

,0
31
32

;

;

;

.

x

y

z

Ach
z
A sh
z

B sh
z
B ch
z

B sh
z
B ch
z

B ch
z
B sh
z

(1.1.19) 

При этом постоянные интегрирования 
ij
B  в силу условия (1.1.12) 

удовлетворяют следующим уравнениям: 

1
2
3
0;
1,2
j
j
j
kB
qB
B
j
. 
(1.1.20) 

 
Граничные условия (1.1.6), после подстановки в них (1.1.16), приобретут следующий вид: 

2
2
,0
,0
0
0
0
0
,0
2
2

2
,0
,0
2
0
,0
,0
,0
2

2
,0
,0
2
0
,0
,0
,0
2

2

2

2

y
x
z

y
z
x
y
xz

x
z
x
y
yz

d
d
d
d
q
k
f
dz
dz
dz
dz

d
d
d
k
kq
k
q
f
dz
dz
dz

d
d
d
q
q
kq
k
f
dz
dz
dz

. 
(1.1.21) 

Следовательно, в общем виде представлено решение задачи и сформулированы граничные условия. 
 
 
1.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ 
 
Поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям 
и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям: 
;
,
z
z
z
jz
jz
jz
f
f
f
f
f
f
j
x y
. 
(1.2.1) 

Тогда 
в 
выражениях 
(1.1.19) 
произвольные 
постоянные 

1
11
21
31
0
A
B
B
B
и выражения для 
0
0
0
,
,
u v w  из соотношений 
(1.1.18) принимают вид: 
0
2
22
32

0
2
12
32

0
2
12
32

u
kA sh
z
B
qB
sh
z

v
qA sh
z
B
kB
sh
z

w
A ch
z
qB
kB
ch
z

. 
(1.2.2) 

Представим в общем решении (1.2.2) гиперболические функции в 
виде степенных рядов по координате z , получим: 

2
1
2
1
2
1
0
2
22
32
0

2
1
2
1
2
1
0
2
12
32
0

2
2
1
2
0
2
12
22
0

2
1 !

2
1 !

2
!

n
n
n

n

n
n
n

n

n
n
n

n

z
u
k
A
B
qB
n

z
v
q
A
B
kB
n

z
w
A
qB
kB
n

. 
(1.2.3) 

Введем в рассмотрение следующие величины