Основы электродинамики сплошных сред

ФИЗТЕХОВСКИЙ УЧЕБНИК

ОСНОВЫ  

ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ  
СПЛОШНЫХ СРЕД

С.Н. БУРМИСТРОВ 

Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ
Îñíîâû ýëåêòðîäèíàìèêè ñïëîøíûõ ñðåä: Ó÷åáíîå ïîñîáèå/ Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2018. – 256 ñ.

ISBN 978-5-91559-239-0

Ñåðèÿ «Ôèçòåõîâñêèé ó÷åáíèê»

 îñíîâå êíèãè ëåæèò êóðñ ëåêöèé ïî ýëåêòðîäèíàìèêå ñïëîøíûõ ñðåä, ïðåäëàãàåìûé ñòóäåíòàì ïåðâîãî ãîäà ìàãèñòðàòóðû â
êà÷åñòâå ñïåöèàëüíîãî äîïîëíåíèÿ ê ïðîãðàììå áàçîâîãî êóðñà
òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè Ìîñêîâñêîãî ôèçèêî-òåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà. Èçëîæåíû òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû è ìåòîäû ìàêðîñêîïè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â âåùåñòâå. Îòáîð ìàòåðèàëà îïðåäåëèëñÿ ïðåèìóùåñòâåííî ëè÷íûì îïûòîì
è ïðåäïî÷òåíèÿìè àâòîðà ñ ó÷åòîì ïðîãðàììû áàçîâîãî êóðñà
òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ÌÔÒÈ.

Íàñòîÿùàÿ êíèãà àäðåñîâàíà â ïåðâóþ î÷åðåäü ñòóäåíòàì-ôèçèêàì, àñïèðàíòàì è íàó÷íûì ðàáîòíèêàì, à òàêæå ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàíà, êàê äîïîëíåíèå ê ñóùåñòâóþùèì ó÷åáíûì ïîñîáèÿì ïî ýëåêòðîäèíàìèêå ñïëîøíûõ ñðåä.

© 2017, Ñ.Í. Áóðìèñòðîâ
© 2018, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-239-0

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Глава 1. Электростатическое поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1. Макроскопическое описание электромагнитного поля . . . .
12
1.2. Проводники. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Диэлектрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.4. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.5. Диэлектрическая проницаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.6. Диэлектрический эллипсоид. Тензор деполяризующих
коэффициентов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.7. Термодинамические соотношения и свободная энергия
диэлектрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.8. Собственная энергия диэлектрика во внешнем поле . . . . .
42
1.9. Электрические силы в жидком диэлектрике . . . . . . . . . . .
48
1.10. Условия на границе раздела двух жидких диэлектриков . .
53

Глава 2. Постоянный ток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.1. Уравнения поля при постоянном токе . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.2. Эффект Холла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.3. Термоэлектрические явления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.4. Интерференционные поправки к классической проводимости
71
2.5. Влияние магнитного поля на интерференционные эффекты
75

Глава 3. Магнитостатическое поле в среде . . . . . . . . . . . . . .
78
3.1. Намагниченность. Магнитный дипольный момент . . . . . . .
78
3.2. Магнитный тороидный момент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.3. Граничные условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Оглавление

3.4. Магнитная проницаемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.5. Магнитное поле постоянных токов . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.6. Термодинамические соотношения и свободная энергия
магнетика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.7. Полная свободная энергия магнетика . . . . . . . . . . . . . . .
92
3.8. Энергия системы токов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.9. Эффект де Гааза — ван Альфена. Диамагнитные домены . .
96

Глава 4. Магнитные среды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
4.1. Типы магнитных структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
4.2. Ферромагнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
4.3. Полная энергия ферромагнетика. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.4. Ферромагнетик вблизи точки Кюри . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.5. Намагниченность одноосного ферромагнетика . . . . . . . . .
115
4.6. Энергия доменной стенки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
4.7. Доменная структура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
4.8. Уравнение движения намагниченности . . . . . . . . . . . . . .
123
4.9. Антиферромагнетики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
4.10. Слабый ферромагнетизм. Взаимодействие Дзялошинского–
Мория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
4.11. Геликоидальные структуры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
4.12. Магнитное упорядочение в сверхпроводниках . . . . . . . . .
138
4.13. Фазовая диаграмма ферромагнитного сверхпроводника . . .
141
4.14. Спин-спиральная фаза ферромагнитного сверхпроводника .
143

Глава 5. Квазистационарное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
5.1. Уравнения квазистационарного поля . . . . . . . . . . . . . . . .
148
5.2. Нормальный скин-эффект. Импеданс. . . . . . . . . . . . . . . .
149
5.3. Аномальный скин-эффект . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
5.4. Циклотронный резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156

Глава 6. Электромагнитное поле в среде . . . . . . . . . . . . . . .
167
6.1. Уравнения поля в однородной среде . . . . . . . . . . . . . . . .
167
6.2. Материальные уравнения в движущихся средах . . . . . . . .
170
6.3. Дисперсия диэлектрической проницаемости . . . . . . . . . . .
174
6.4. Аналитические свойства диэлектрической проницаемости. .
178
6.5. Электромагнитные колебания в плазме . . . . . . . . . . . . . .
181
6.6. Движение проводящей жидкости в магнитном поле . . . . .
194

Глава 7. Рассеяние электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . .
204
7.1. Поле рассеянной волны в изотропной среде . . . . . . . . . . .
204
7.2. Коэффициент экстинкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
209

Оглавление
5

7.3. Спектральный состав рассеянного света . . . . . . . . . . . . .
213
7.4. Прохождение электромагнитной волны через границу двух
сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
7.5. Электромагнитные метаматериалы . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
7.6. Приближение эффективной среды . . . . . . . . . . . . . . . . .
224

Глава 8. Прохождение быстрых частиц через вещество . . . . .
230

8.1. Электромагнитное поле быстрой заряженной частицы . . . .
230
8.2. Излучение Черенкова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234
8.3. Ионизационные потери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246

ПРЕДИСЛОВИЕ

В основу предлагаемой книги положен курс лекций по электродинамике сплошных сред, прочитанный автором в Московском физико-техническом институте студентам-физикам старших курсов в
качестве дополнения к базовому курсу теоретической физики. Для
чтения книги достаточно знания основных положений базового курса теоретической физики, включающего теорию поля, квантовую
механику и статистическую физику. Цель данной книги — изложить максимально просто и физически ясно основные теоретические положения и методы макроскопического описания электромагнитного поля в веществе.
При подготовке к лекциям и написании книги автор встретился
с определенными трудностями, связанными с разумным объемом
лекций или книги и, следовательно, с необходимостью отбора фактического материала из огромного числа разнообразных электромагнитных явлений в веществе. На этом этапе проявились предпочтения и личный опыт автора, а также его взгляд на электродинамику сплошных сред как часть полного курса теоретической
физики. В этой связи прикладные, инженерные, радиотехнические
проблемы не рассматриваются и книга не претендует на помощь в
изучении специализированных программ электродинамики сплошных сред.
С целью избежать повтора ряда разделов учебных пособий МФТИ
как в курсе лекций так и в содержании книги, автор принял во внимание программу базового курса теоретической физики Московского физико-технического института. В частности, по этой причине
в книгу не вошел раздел, посвященный макроскопической электродинамике сверхпроводников, а большее внимание было уделено макроскопическому описанию разнообразных магнитных сред и их физи

Предисловие
7

ческих свойств. Тем не менее, электродинамика сверхпроводников
не обойдена полностью вниманием благодаря разделу магнитных
сверхпроводников — веществ, в которых одновременно проявляются и конкурируют такие физические явления как сверхпроводимость и магнетизм.
Как правило, изложение какого-либо основного теоретического
положения или вопроса завершается разобранным примером одной
или нескольких задач. По сути каждая задача является полезным
дополнением к изложенному вопросу или материалу, а также и
возможностью для читателя самостоятельно проверить свои практические навыки и степень понимания прочитанного материала.
Автор надеется, что для тех студентов, которые в дальнейшем захотят детально ознакомиться с отдельными задачами электродинамики сплошных сред, эта книга может быть использована как
дополнение к существующим учебным пособиям по электродинамике сплошных сред.
Сколько нибудь полный библиографический обзор книг по электродинамике сплошных сред вышел бы далеко за рамки данной
книги. Для дальнейших подробностей помещен небольшой перечень книг, в которых подробно рассматриваются затронутые в книге вопросы. Очевидно, что этот перечень далеко неполный.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность всему
коллективу преподавателей кафедры теоретической физики Московского физико-технического института.

ВВЕДЕНИЕ

Теоретические основы электродинамики и электромагнитных
явлений в физических институтах обычно преподают как на две
самостоятельные учебные дисциплины: теория поля и электродинамика сплошных сред. В теории поля обычно изучают движение
отдельного или нескольких зарядов и поведение электромагнитного поля в вакууме в разнообразных условиях. Описание этих
физических явлений здесь строится на уравнениях Максвелла, в
которых значения электрических и магнитных полей описываются
точными величинами без какого-либо усреднения по пространству
или времени.
Электродинамика сплошных сред изучает поведение и физические свойства электромагнитного поля в различных веществах или
в сплошных средах и основывается на макроскопическом описании
электромагнитного поля. Уравнения Максвелла в приложении к
электродинамике сплошных сред возникают в результате усреднения точных микроскопических значений напряженности электрического и магнитного полей по физически малым объемам сплошной среды. Смысл физически малых величин и их масштаб каждый раз зависят от конкретной рассматриваемой задачи и явления.
Макроскопическое описание подразумевает наличие и выделение в
задаче как минимум двух масштабов: микроскопического a и макроскопического L, которые связаны между собой сильным неравенством a ≪ L. В этом случае становится возможным усреднение электромагнитного поля по физически малому масштабу l, промежуточному между микроскопическим и макроскопическим масштабами a ≪ l ≪ L.

Введение
9

В результате усреднения в уравнениях Максвелла, кроме средних величин электрической и магнитной компонент электромагнитного поля, соответственно, напряженность электрического поля E
и магнитная индукция B, возникают еще две дополнительные физические величины: электрическая индукция D и напряженность
магнитного поля H, которые отражают наличие вещества и его
влияние на электромагнитное поле. Уравнения Максвелла в среде
замыкаются и образуют полную систему при их дополнении материальными уравнениями, которые связывают напряженности электрического и магнитного полей и их индукции при помощи диэлектрической проницаемости ǫ и магнитной проницаемости µ. Материальные уравнения являются важнейшей характеристикой вещества
и определяют его поведение и физические свойства под воздействием электромагнитного поля.
Электромагнитные явления по своим физическим проявлениям
чрезвычайно многообразны, например, электрическая поляризация
диэлектриков, магнетизм, распространение и преломление электромагнитных волн в конденсированных средах, излучение волн при
движении электрических зарядов в веществе. Здесь в силу огромного разнообразия конденсированных сред и экспериментальных
условий нельзя предложить единый какой-либо аналитический или
численный метод расчета электрических и магнитных характеристик, который был бы пригоден для произвольной конденсированной среды. В этой связи приходится применять ряд приближений и
развивать соответствующие физические модели для аналитических
и численных расчетов электрических и магнитных свойств конденсированной среды. В качестве ряда примеров мы отметим приближение слабого поля, электростатическое поле, постоянный ток,
магнитостатическое поле, квазистационарное поле, пренебрежение
возможной пространственной или временной дисперсией диэлектрической и магнитной проницаемостей, квазистатическое приближение, позволяющее вычислять раздельно электрические и магнитные характеристики вещества.
Книга начинается по традиции с электростатики проводников
и диэлектриков. Детально рассмотрены термодинамические соотношения, силы в жидком диэлектрике и граничные условия между
двумя жидкими диэлектриками. Изложены свойства диэлектрической среды с квадрупольными моментами. Решена задача о шаре с
постоянной плотностью квадрупольного момента. Дано вычисление
деполяризующих коэффициентов для диэлектрического эллипсоида без использования эллипсоидальных координат.

Введение

Следующая вторая глава посвящена электромагнитным явлениям при условии постоянства электрического тока в проводящей
среде. Рассмотрены эффект Холла, термоэлектрические явления и
квантовые эффекты в проводимости.
В третьей главе изучаются магнитостатическое поле, термодинамические соотношения в магнетике, осцилляции намагниченности и возникновение диамагнитных доменов в проводнике во внешнем магнитном поле. Наряду с традиционным введением магнитного дипольного момента также вводится и изложена теория тороидного магнитного момента. Рассмотрены простейшие свойства
тороиков.
Четвертая глава, одна из наибольших по объему, посвящена макроскопическому и феноменологическому описанию магнитоупорядоченных сред. Описание свойств ферро- и антиферромагнетиков изложено в рамках термодинамического подхода на основе соответствующей свободной энергии магнетика. Феноменологическая теория, основанная на уравнениях электромагнитного поля Максвелла
и уравнении движения магнитного момента, позволяет изучить высокочастотные свойства магнетика и определить длинноволновый
спектр спиновых волн. Дано представление о магнитных сверхпроводниках, в которых имеет место конкуренция и сосуществование
двух таких явлений как сверхпроводимость и магнетизм. В рамках
простой феноменологической теории получены фазовая диаграмма состояний и условия возникновения и существования спин-спиральной фазы ферромагнитного сверхпроводника
Предметом пятой главы является приближение квазистационарного поля, которое использовано для описания скин-эффекта и циклотронного резонанса в хорошо проводящих металлах.
В шестой главе рассмотрены аналитические свойства диэлектрической проницаемости, распространение электромагнитных волн
в плазме и элементы магнитной гидродинамики на примере хорошо
проводящей жидкости в магнитном поле. Также выводится спектр
плазменных колебаний (плазмонов) в двумерном плазменном слое
и в новом материале графене, представляющем собой атомарный
монослой графита.
Предпоследняя седьмая глава посвящена рассеянию электромагнитных волн в среде, прохождению волн через границу двух сред.
Для общности возможных применений и в учебных целях здесь
предполагается, что как диэлектрическая проницаемость, так и магнитная проницаемость одновременно отличны от единицы. Подробно рассмотрены особенности распространения и преломления электромагнитной волны в метаматериалах, обладающих в некоторой

Введение
11

области частот одновременно отрицательными значениями диэлектрической и магнитной проницаемости, и показано, что эти особенности можно естественным образом описать в терминах отрицательного показателя преломления.
Обычно отрицательные значения диэлектрической или магнитной проницаемости лежат в области частот, близких к собственным
частотам, которые характеризуют резонансный отклик материала
на приложенное, соответственно, электрическое или магнитное поле. Существование и распространение природных или естественных метаматериалов в сильной степени ограничено тем, что резонансные частоты электрического и магнитного откликов в природных материалах заметно отличаются друг от друга на несколько
порядков величины и, тем самым, исключается возможность иметь
одновременно отрицательные значения как для диэлектрической
так и для магнитной проницаемости.
Метаматериалы в настоящее время представляют собой искусственные композитные материалы, пространственная структура которых образована периодически расположенными включениями или
элементами, которые обладают примерно одинаковыми частотами
резонансного отклика на электрическое и магнитное поле и внедрены в основную матрицу композита. Включения или элементы
композита могут иметь разнообразные геометрические формы, например, проводящие сферы, диски, цилиндры или кольцевые резонаторы с разрезом. Непосредственный расчет электромагнитных
свойств таких сред и описание их технических приложений увело бы наше изложение в сторону далекую от теоретических проблем. Тем не менее, общефизические аспекты описания композитных сред рассмотрены. Здесь значительное внимание уделено теории или приближению эффективной среды, часто применяемого для
вычисления эффективной проницаемости в двухкомпонентных композитных материалах как со сферическими, так и с осесимметричными включениями. Дано понятие перколяционного поведения и
понятие перколяционного порога.
Заканчивается книга восьмой главой о прохождении быстрых
частиц через вещество и рассмотрением излучения Черенкова, ионизационных потерь и свойств тормозного излучения в поле положительного ядра. Также ради общности и педагогических целей предполагается, что конденсированная среда одновременно обладает отличными от единицы диэлектрической и магнитной проницаемостями.
При изложении материала повсеместно использована гауссова
система единиц, так как она наиболее употребительна в литературе
по теоретической физике.

Г Л А В А
1

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

1.1.
МАКРОСКОПИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Макроскопическое описание обязательно содержит некоторое усреднение. Усреднение предполагает наличие, по крайней
мере, двух масштабов. Обычно это микроскопический масштаб a,
связанный с зарядовой или токовой структурой (например, межатомное расстояние, глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник) и макроскопический масштаб L, например, длина на
которой меняется электромагнитное поле (обычно это размер тела,
длина волны электромагнитного поля). Макроскопическое усредненное описание становится возможным, если имеется сильное неравество L ≫ a. В этом случае можно ввести так называемые физически малую длину и физически малый объем ∆V = l3, так что
a ≪ l ≪ L. В этом случае усреднение физических величин может
быть оправдано.
Аналогичное рассуждение следует применить и к характерным
временам, т. е. когда τ ≪ t ≪ T, где τ — микроскопическое время,
например, характерная обратная частота электронного движения
в атоме, и T — характерное время изменения усредненного поля,
например, обратная частота колебаний электромагнитного поля.
В результате вместо истинного микроскопического поля e(r) мы
можем следить за его усредненным значением или напряженностью поля E = ⟨e⟩, согласно определению

E(r) = ⟨e(r)⟩ =
1

∆V

∆V
e(r) d3r.

1.1. Макроскопическое описание электромагнитного поля
13

Аналогично вводим среднюю плотность для истинной плотности
распределения зарядов ρ(r) = a eaδ(r − Ra) величиной ea, расположенных в точках Ra:

ρ(r) = ⟨ρ(r)⟩ =
1

∆V

∆V
ρ(r) d3r =
1

∆V

X

Ra∈∆V
ea.

Уравнение на микроскопическое поле e(r) имеет следующий вид:

div e = 4πρ(r).

Усреднение в силу линейности оператора дивергенции дает ⟨div e⟩=
= div⟨e⟩ = 4π⟨ρ⟩, т. е.

div E = 4πρ,

где ρ = ⟨ρ⟩ — средняя плотность зарядов. Действительно, заряд ea
в точке Ra создаст поле в точке r, равное

Ea(r) = ea
r − Ra
|r − Ra|3 .

Полная напряженность поля E(r) = a Ea(r). Разобьем все пространство на ячейки объемом ∆Vb ∼ l3 с центром в r = Rb. Тогда

E(r) =
b

a∈∆Vb
ea
r − Ra
|r − Ra|3 ≈
b

a∈∆Vb
ea
r − Rb
|r − Rb|3 ,

поскольку, если a ∈ ∆Vb, то можно положить приближенно r−Ra ≈
≈ r − Rb. Далее продолжая, мы получим

E(r) =
b

r − Rb
|r − Rb|3
a∈∆Vb
ea =
b

r − Rb
|r − Rb|3 ρ(Rb) ∆Vb ≈

≈
r − Rb
|r − Rb|3 ρ(Rb) d3Rb.

То есть, заменяя Rb на r′, мы придем к следующему соотношению:

E(r) =
r − r′

|r − r′|3 ρ(r′) d3r′.

Фактически здесь предполагается, что среднее поле не меняется на
физически малом масштабе l.