Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Федеральное агентство морского и речного транспорта

Московская государственная академия водного транспорта–

филиал Федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего образования 

«Государственный университет морского и речного флота

имени адмирала С.О. Макарова»

Ледовская Е.В. 

Линейная алгебра и аналитическая  геометрия

Сборник задач (практикум)

Альтаир-МГАВТ

Москва 2017 

УДК 519
Л-69

Ледовская Е.В. Линейная алгебра и аналитическая  геометрия. 
Сборник задач (практикум)– М.: Альтаир–МГАВТ, 2017– 103 с.

Практикум предназначен для проведения практических занятий по 

дисциплине «Математика» (раздел «Линейная алгебра и аналитическая  
геометрия») 
с 
обучающимися 
всех 
направлений 
подготовки 
и 

специальностей МГАВТ.

В пособии приведены темы занятий и задачи по линейной алгебре и 

аналитической
геометрии, рекомендации по самостоятельной работе 

обучающихся при подготовке к практическим занятиям, а также приведен 
список литературы, позволяющий обеспечить более углубленное изучение 
предмета.

Рецензенты: 

доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры информатики и 

вычислительной математики МФТИ Лобанов А.И.;

доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры ЕНМД МГАВТ 

Сидоров С.В.

Рекомендовано к изданию Учебно–методическим советом МГАВТ.
Рассмотрено и рекомендовано к использованию в учебном процессе 

на заседании кафедры ЕНМД  МГАВТ (протокол №xx от xx.09.17)

Ответственность за оформление содержание и передаваемых в 

печать материалов несут авторы кафедры академии, выпускающие 
учебно-методические материалы.

СОДЕРЖАНИЕ

1.
Предисловие
4

2.
Список литературы
6

3.
Общие рекомендации по подготовке к практическим занятиям
7

4.
Линейная алгебра
8

4.1. Матрицы и определители
8

4.2. Системы линейных уравнений
20

5.
Векторная  алгебра
30

6.
Аналитическая  геометрия  на  плоскости
45

7.
Аналитическая  геометрия в  пространстве
64

1. Предисловие

Практические занятия являются обязательной и важной частью 

учебных планов и рабочих программ по дисциплине «Математика» для 
обучающихся 
Московской 
Государственной 
академии 
водного 

транспорта. Учебная дисциплина «Математика» входит в базовую часть 
учебных планов по всем специальностям, по которым готовят 
выпускников Академии, и служит основой для изучения дисциплин 
математического, естественнонаучного и профессионального циклов.

Основной целью проведения практических занятий при изучении 

раздела «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» дисциплины 
«Математика» является умение обрабатывать большие массивы данных,
решать системы линейных уравнений и аналитически описывать 
геометрические объекты
при выполнении различных инженерных 

проектов в профессиональной деятельности после окончания Академии.

Такого рода задачи актуальны для всех 11 специальностей и 

направлений подготовки, реализуемых в МГАВТ (по состоянию на 
январь 2017 г): 

23.03.01 Технология транспортных процессов
"Организация перевозок и управление на водном транспорте"
23.03.03 Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов 
"Техническая экспертиза, страхование и сертификация погрузоразгрузочных, транспортных и складских систем"
26.05.05 Судовождение «Судовождение на морских и внутренних водных 
путях»
26.05.06 Эксплуатация судовых энергетических установок
26.05.07 Эксплуатация судового электрооборудования и средств 
автоматики
26.03.01 Управление водным транспортом и гидрографическое 
обеспечение судоходства
08.03.01 Строительство«Гидротехническое строительство»
09.03.02 Информационные системы и технологии
23.05.01Наземные транспортно-технологические средства "Подъемнотранспортные, строительные, дорожные средства и оборудование"
26.03.02 Кораблестроение, океанотехника и cистемотехника объектов 
морской инфраструктуры
«Кораблестроение»
08.05.01 Строительство уникальных зданий и сооружений
"Строительство гидротехнических сооружений повышенной 
ответственности"

Предлагаемый сборник задач может быть использован как при 

проведении практических занятий, так и при самостоятельной подготовке 
обучающихся. 

В разделе 2 приведен список литературы, изучение которой поможет 

обучающимся подготовиться к практическим занятиям. В этом списке 
представлены классические учебники и задачники по математике, 
содержащие 
более 
полную 
теоретическую 
информацию 
по 

рассматриваемым разделам. 

В разделе 3 даны общие рекомендации по подготовке к 

практическим занятиям.

Разделы 4 – 10 содержат краткую теоретическую справку по каждой 

теме, разбор решения типовых задач и задания для самостоятельного 
решения.  

Оценка качества решения задач осуществляется преподавателем в 

соответствии с критериями и шкалой оценивания ответов обучающихся 
(содержатся в фондах оценочных средств – приложениях к рабочим 
программам).

2. Список литературы

1.Шипачев В.С. Начала высшей математики– СПб.: Лань 2013. 

— 384 с.

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и 

аналитической геометрии. М.: Юрайт, 2017. — 281 с. 

3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. –

СПб.: Лань 2017. — 223 с.

4.Данко П.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: 

АСТ : Мир и Обозрение, 2016. — 816 с.

3. Общие рекомендации по подготовке

к практическим занятиям

При подготовке к практическим занятиям основным является 

изучение теоретического материала. Как правило, такой материал 
дается на одной из последних лекций, так что обучающиеся 
вполне подготовлены к решению задач. 

Теоретический материал целесообразнее
всего изучать 

непосредственно по конспектам лекций, а так же по учебникам 
[1], [2],   и теоретическим раделам задачников [3], [4]. 

После 
разбора 
теоретического 
материала 
следует 

внимательно рассмотреть разобранные в [3], [4] задания и 
соотвествующие по теме задания предлагаемого Сборника задач. 

После чего необходимо закрепить разобранный материал, 

самостоятельно решив аналогичные задания Сборника задач.

4. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

4.1 Матрицы и определители

Матрицей
порядка  
n
m
называется прямоугольная 

таблица, состоящая из элементов произвольной природы и 
содержащая  m
строк и  n
столбцов. Элементы матрицы 

обозначаются  
ij
a , причѐм индекс  i означает номер строки, а j
номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. 
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, то есть  

n
m
, называется квадратной порядка n. Общий вид этих матриц:

mn
2
m
1
m

n
2
22
21

n
1
12
11

a
...
a
a

...
...
...
...

a
...
a
a

a
...
a
a

A
(1)   

Примеры

5
0
7
1

3
1
5
2

1
4
0
3

Д
,

5
4
7

0
5
3

2
4
1

К
,   
cos
sin

sin
сos
С
.

Здесь  A- числовая матрица размерами  3х4, К- числовая 

квадратная матрица третьего порядка, 2 функциональная 

квадратная матрица второго порядка.

Квадратная матрица (1) имеет главную диагональ, которую 

образуют элементы 
nn
22
11
b
...,
,
b
,
b
,
и побочную диагональ, 

которую образуют элементы 
n
n
n
n
b
b
b
1
1
,
1
...,
,
,
. Рассмотрим еще 

несколько примеров:

33

23
22

13
12
11

0
0

0

x

x
x

x
x
x

X
,        

1
0
0

0
1
0

0
0
1

E
.

У матрицы  
X
все элементы, стоящие под главной 

диагональю, равны нулю; такая матрица называется треугольной, 
а матрица E - единичной.

Каждой квадратной
матрице 
A
порядка n
можно 

поставить в соответствие определенное вещественное число, 
которое 
называется 
определителем 
матрицы A (иначе 

детерминантом матрицы A) и обозначается
A
det
или 
. 

По определению определитель

11
11
a
a
,      
12
21
22
11

22
21

12
11
a
a
a
a
a
a

a
a
,

12
21
33
32
23
11
13
22
31
23
12
31
32
21
13
33
22
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

(2)                                                                                                                            

Правило 
вычисления 
определителя 
третьего 
порядка 

схематично можно изобразить в следующей форме:

Оно называется правилом Саррюса .

Примеры. Вычислить следующие определители: 

4
2

7
3

1
,  
x
x

x
x

cos
sin

sin
cos

2
,  

5
0
1

1
2
3

1
4
2

3
.

Решение.

.
78
4
3
5
0
1
2
)1
(
)
2
(
1
0
3
)1
(
1
4
1
5
)
2
(
2

.1
sin
cos

.
26
14
12
)
7
(
2
4
3

3

2
2

2

1

x
x

Основные свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если поменять 

местами строки и столбцы с одинаковыми номерами:

22
12

21
11

22
21

12
11

a
a

a
a

a
a

a
a

,    

33
23
13

32
22
12

31
21
11

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

.

Таким 
образом, 
строки 
и 
столбцы 
определителя 

равноправны: все свойства, справедливые для строк, будут 
справедливы и для столбцов определителя.

2. При перестановке двух строк (или столбцов) величина 

определителя изменится на противоположную:                              

33
32
31

13
12
11

23
22
21

33
32
31

23
22
21

13
12
11

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

,        

33
33
31

22
23
21

12
13
11

33
32
31

23
22
22

13
12
11

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

a
a
a

3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) 

имеют общий множитель, то его можно вынести за знак 
определителя. 
Это 
свойство 
упрощает 
вычисление 

определителей. 

Например:

.
180
)
15
(
12

2
2
7

1
1
2

1
2
1
)
4
)(
3
(

8
2
7

4
1
2

4
2
1
)
3
(

8
2
7

4
1
2

12
6
3

4. Определитель равен нулю в каждом из следующих 

случаев:

а) если все элементы какой-либо строки (или столбца) 

равны нулю;

б) если две строки (или два столбца) равны между собой;

в) если две строки (или два столбца) пропорциональны.

Примеры.       

.0

5
2
1

9
3
6

3
1
2

,0

4
7
7

0
2
2

1
3
3

,0

2
4
7

0
0
0

5
3
1

Пусть дан определитель третьего порядка (2). Возьмем 

элемент  
12
а
и вычеркнем первую строку и второй столбец, на 

пересечении которых он стоит. Тогда получим определитель 

второго порядка  

33
31

23
21

12
а
а

а
а
М
, который называется минором

элемента 
12
а . Если дан определитель n-го порядка, то минором 

элемента
ij
а
называется 
определитель 
порядка 
)1
(n
, 

полученный из данного вычеркиванием i
й строки и j -го 

столбца. Алгебраическое дополнение
ij
A элемента 
ijа - это число, 

определяемое формулой:
ij
M
j
i

ij
A
)1
(
.