Простейшие задачи вариационного исчисления

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве
учебно-методического пособия для студентов, обучающихся
по направлениям подготовки:
230401 — Прикладная математика (специалитет),
220300 — Автоматизированные технологии
и производства (специалитет),
231300 — Прикладная математика (бакалавриат)

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2018

2-е издание, стереотипное

УДК 517.972(075.8)
ББК 22.161.8я73
A19

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой
«Высшая и прикладная математика» УрГУПС; канд. физ.-мат. наук
А. А. Усова, науч. сотр. отдела динамических систем ИММ УрО РАН

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Авербух, Ю. В.

     Простейшие задачи вариационного исчисления [Электронный 
ресурс]: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова. — 2-е 
изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 41 с.

ISBN 978-5-9765-3510-7 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1250-4 (Изд-во Урал. ун-та)

В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие
первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в
скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия.
Библиогр.: 7 назв.

УДК 517.972(075.8)
ББК 22.161.8я73

c⃝ Уральский федеральный

университет, 2014

A19

ISBN 978-5-9765-3510-7 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1250-4 (Изд-во Урал. ун-та)

Содержание

1. Введение
4

2. Постановка задачи
4

3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закрепленными концами
8

4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа
13
4.1. Вырожденный случай F = F(t, x) . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2. F зависит лишь от t и ˙x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3. F не зависит от t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

5. Примеры
14

6. Необходимые условия первого порядка
в простейшей задаче вариационного исчисления
со свободным правым концом
17

7. Необходимые условия второго порядка
в задаче с закрепленными концами
20

8. Достаточные условия в задаче с закрепленным
правым концом в скалярном случае
28

9. Элементы теории поля
32

10.Достаточные условия в векторном случае
34

3

1.
Введение

Настоящее пособие посвящено изучению простейших задач вариационного исчисления. Нами будет рассмотрены задачи с фиксированным и со
свободным правыми концами. Для задачи с фиксированным правым концом кроме необходимого условия первого порядка будут рассмотрены необходимые условия второго порядка и достаточные условия.
Отметим, что вариационному исчислению посвящено множество работ.
Некоторые из них указаны в списке литературы. Материал параграфов 2–6
следует книге [1]. Материал параграфов 7, 8 изложен в соответствии с [5].
Параграфы 9 и 10 следуют учебнику [7]. Также отметим учебники [4], [6],
они содержат необходимые условия. Важная, но трудная в освоении монография [3] может быть рекомендована студентам специальности «Прикладная математика». Отметим, что для закрепления материала полезно
прорешать задания из сборника задач [2].

2.
Постановка задачи

Пусть x ∈ Rn, это вектор-столбец, то есть

x =








x1
x2...
xn






 .

В дальнейшем вектор-столбцы будем называть просто векторами. Множество n-мерных вектор-столбцов будем обозначать через Rn. Вектор-строка
есть s = (s1, s2, . . . , sn). Вектор-строки будем называть ковекторами. Множество всех ковекторов будем обозначать через Rn∗. Операцию транспонирования будем обозначать через T, эта операция переводит строку в столбец
и наоборот. Если s ∈ Rn∗, x ∈ Rn, то

sx =

n
∑

i=1
sixi

4

есть произведение ковектора s на вектор x. Если x ∈ Rn, то длина вектора
x есть

∥x∥ =
√

xTx =

n
∑

i=1
x2
i.

Основное внимание в данном пособии уделяется вектор-функциям, то
есть функциям t → x(t). Мы будем предполагать достаточную гладкость
функций. Вектор-функцию t → x(t) как целое мы будем обозначать x(·).
Если

x(t) =








x1(t)
x2(t)
...
xn(t)






 ,

то производная по времени функции x(t) есть вектор, составленный из производных

˙x =








˙x1(t)
˙x2(t)
...
˙xn(t)






 .

Кроме вектор-функций времени, мы будем рассматривать скалярные
функции одного или нескольких векторных аргументов. То есть функции
(t, x, u) → F(t, x, u). Здесь t – время (скалярный аргумент), x и u – nмерные векторы. Частные производные будем обозначать через Ft, Fx и Fu
соответственно. При этом мы считаем, что Fx и Fu – ковекторы

Fx(t, x, u) =
(∂F(t, x, v)

∂x1
, ∂F(t, x, u)

∂x2
, . . . , ∂F(t, x, u)

∂xn

)
,

Fu(t, x, u) =
(∂F(t, x, u)

∂u1
, ∂F(t, x, u)

∂u2
, . . . , ∂F(t, x, u)

∂un

)
.

Напомним, что если заданы функции некоторого аргумента α x(α) и
u(α), то полная производная функции F(t, x(α), u(α)) равна

d
dαF(t, x(α), u(α)) = Fx(t, x(α), u(α))dx(α)

dα
+ Fu(t, x(α), u(α))du(α)

dα . (1)

5

Принято называть функцию, которая сопоставляет функции x(·) число
J[x(·)] , функционалом.
Простейшая задача вариационного исчисления формулируется следующим образом. Среди всех функций x(·) таких, что x(t0) = x0, x(t1) = x1,
найти функцию, минимизирующую функционал

J1[x(·)] =
∫ t1

t0 F(t, x(t), ˙x(t))dt.
(2)

Аналогично формулируется простейшая задача вариационного исчисления со свободным правым концом (задача Больца). Среди всех функций
x(·) таких, что x(t0) = x0, найти функцию, минимизирующую функционал

J2[x(·)] =
∫ t1

t0 F(t, x(t), ˙x(t))dt + σ(x(t1)).
(3)

Значения t0, t1, x0 и x1 считаем фиксированными параметрами задачи.
В дальнейшем будем называть непрерывно дифференцируемые функции
x(·) такие, что x(t0) = x0, x(t1 = x1) (для задачи с закрепленными концами)
и x(t0) = x0 (для задачи со свободным правым концом) допустимыми.
В дальнейшем будем использовать понятие метрики. Метрикой на множестве X называется функция ρ(x, y) такая, что
1) ρ(x, y) ≥ 0 и ρ(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
2) ρ(x, y) = ρ(y, x);
3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y).
Для того чтобы найти расстояние между двумя функциями, мы используем две метрики. Первая метрика использует лишь значение функций,
вторая использует значение самих функций и их производных.
Положим,
ρ0(x(·), y(·)) ≜ max
t∈[t0,t1] ∥x(t) − y(t)∥,

ρ1(x(·), y(·)) ≜ max
t∈[t0,t1] ∥x(t) − y(t)∥ + max
t∈[t0,t1] ∥ ˙x(t) − ˙y(t)∥.

Определение 1. Будем говорить, что x∗(·) является сильным локальным минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным правым концом), если существует такое ε > 0, что для любой функции x(·)
такой, что ρ0(x∗(·), x(·)) < ε, выполнено неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]
(J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]).

6

Отметим, что сильный минимум использует близость функций. Если
учитывать и близость производных, то получается понятие слабого минимума.

Определение 2. Будем говорить, что x∗(·) является слабым локальным
минимумом в задаче с закрепленными концами (со свободным правым
концом), если существует такое ε > 0, что для любой функции x(·) такой, что ρ1(x∗(·), x(·)) < ε, выполнено неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]
(J2[x∗(·)] ≤ J2[x(·)]).

Аналогично вводятся понятия сильного и слабого локальных максимумов. Если функция x∗(·) доставляет либо локальный минимум, либо локальный максимум, то говорят, что она доставляет локальный экстремум.
В некоторых задачах интерес представляет глобальный экстремум, в то
же время глобальный экстремум обязательно является локальным экстремумом, и задача нахождения глобального экстремума может быть решена
с использованием перебора всех локальных экстремумов.
В заключение отметим связь сильного и слабого экстремума.

Предложение 1. Если x∗(·) – сильный минимум (максимум), то x∗(·) –
слабый минимум (максимум).

Доказательство. Мы докажем это утверждение для задачи с закрепленными концами. В самом деле, пусть ε таково, что для любой допустимой
функции x(·), удовлетворяющей условию ρ0(x∗, x(·)) < ε, верно неравенство
J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]. Так как ρ0(x∗(·), x(·)) ≤ ρ1(x∗(·), x(·)), то из неравенства
ρ1(x∗(·), x(·)) < ε следует неравенство ρ0(x∗(·), x(·)) < ε. Откуда мы заключаем, что для любой допустимой функции такой, что ρ1(x∗(·), x(·)) < ε,
верно неравенство J1[x∗(·)] ≤ J1[x(·)]. Это в точности определение слабого
экстремума.

Обратное утверждение неверно. Для того чтобы это показать, рассмотрим пример. Мы минимизируем функционал

J1[x(·)] =
∫ 1

0
(2 ˙x2(t) − ˙x4(t))dt

при условиях x(0) = x(1) = 0. Здесь предполагается, что x(t) является
числом. Отметим, что функция x∗(t) ≡ 0 является слабым минимумом, но

7

не является сильным. В самом деле, у функции F(v) = 2v2−v4 число v = 0
является локальным, но не глобальным минимумом. Если | ˙x(t)| <
√

2, то
∫ 1

0
(2 ˙x2(t) − ˙x4(t))dt > 0.

Однако,
если
мы
рассмотрим
функции
xk(t)
=
sin(k2πt)/k,
то
ρ0(x∗(·), xk(·)) → 0, a J1[xk(·)] → −∞ при k → ∞.
Основное внимание далее уделяется условиям слабого минимума.

3.
Необходимые условия первого порядка для задачи
с закрепленными концами

Теорема 1. Пусть x∗(·) доставляет функционалу J1 слабый локальный
экстремум в классе функций с закрепленными концами. Тогда вдоль этой
функции выполнено соотношение (уравнение Эйлера–Лагранжа)

Fx(t, x∗(t), ˙x∗(t)) − d

dtF ˙x(t, x∗(t), ˙x∗(t)) = 0.
(4)

Доказательство. Основная идея доказательства состоит в том, чтобы отступить от x∗(·) вдоль некоторого функционального направления. Будем
считать, что это направление задается функцией u. То есть мы рассматриваем теперь некоторую (произвольную) функцию u(·), интеграл которой
равен 0
∫ t1

t0 u(t) = 0,

положим

y(t, u(·)) =
∫ t

t0 u(τ)dτ.
(5)

Отмечу, что u(·) – это вектор-функция

u(t) =




u1(t)
...
un(t)



 .

Интеграл ее мы понимаем как интеграл от каждой компоненты, а 0 – как
вектор, состоящий из n нулей.

8

В качестве тестовой функции рассмотрим функцию

xα(t) = x∗(t) + αy(t, u(·)).
(6)

Отметим, что xα(·) допустимая функция. В самом деле, из определения y(t, u(·)) (см (5)) имеем, что y(t0, u(·)) = 0 (в силу того, что y(t, u(·))
определяется как интеграл от u(·)). Тогда

xα(t0) = x∗(t0) + αy(t0, u(·)) = x∗(t0) = x0.

Также y(t1, u(·)) = 0 (так как интеграл по отрезку [t0, t1] от функции u(·)
равен 0),
xα(t1) = x∗(t1) + αy(t1, u(·)) = x1.

Теперь покажем, что при достаточно малых α функция xα(·) близка к
функции x∗(·) в метрике ρ1. В самом деле найдем ∥ ˙xα(t)− ˙x∗(t)∥. Для этого
продифференцируем выражение для xα(t) (см. (6)). Имеем, что

∥ ˙xα(t) − ˙x∗(t)∥ = ∥ ˙x∗(t) + α ˙y(t, u(·)) − ˙x∗(t)∥ = α∥u(t)∥.

Как видно, при достаточна малых α ∥ ˙xα(t) − ˙x∗(t)∥ будет меньше ε. Мы
показали близость производных, надо показать еще близость значений.

∥xα(t) − x∗(t)∥ = ∥x∗(t) + αy(t, u(·)) − x∗(t)∥ = α∥y(t, u(·))∥.

Также можно выбрать α так, чтобы α∥y(t, u(·))∥ стало меньше ε.
Теперь подставим xα(·) в определение слабого экстремума. При подстановке получаем, что
∫ t1

t0 F(t, x∗(t), ˙x∗(t))dt ≤
∫ t1

t0 F(t, xα(t), ˙xα(t))dt.

Из определения xα(·) следует, что при α = 0 xα(·) = x∗(·). То есть, если мы
рассмотрим функцию

g(α) =
∫ t1

t0 F(t, xα(t), ˙xα(t)),

то для нее α = 0 является точкой локального минимума, т. е. g(0) ≤ g(α)
при достаточно малых α. Воспользуемся принципом Ферма. Раз α = 0
доставляет g(α) локальный минимум, имеем, что

dg(0)

dα
= 0.

9

Найдем производную функции g(α) при α = 0. Нам нужно продифференцировать интеграл в случае, когда подынтегральная функция зависит от
параметра. Результат – интеграл, от производной подынтегральной функции по параметру.

0 = dg(α)

dα
=

=
∫ t1

t0

[
Fx(t, xα(t), ˙xα(t)) · ∂xα(t)

∂α
+ F ˙x(t, xα(t), ˙xα(t)) · ∂ ˙xα(t)

∂α

]α=0
dt.

По определению xα(·) имеем, что

∂xα(t)

∂α

α=0
= y(t, u(·)),
∂ ˙xα(t)

∂α

α=0
= u(t).

Тогда

0 =
∫ t1

t0 [Fx(t, x∗(t), ˙x∗(t)) · y(t, u(·)) + F ˙x(t, x∗(t), ˙x∗(t)) · u(t)] dt.

Дальше мы проведем некоторые преобразования. Для упрощения обозначим
F ∗
x(t) = Fx(t, x(t), ˙x∗(t)), F ∗
˙x(t) = F ˙x(t, x∗(t), ˙x∗(t)).
(7)

Заметим, что F ∗
x(t) и F ∗
˙x(t) – ковекторы, то есть вектор-строки.
Имеем, что

0 =
∫ t1

t0 [F ∗
x(t) · y(t, u(·)) + F ∗
˙x(t) · u(t)]dt.
(8)

Положим,

p0(t) =
∫ t

t1 F ∗
x(t)dt.

По свойствам интеграла с переменным верхним пределом

p0(t1) = 0,
˙p0(t) = F ∗
x(t).

Рассмотрим отдельно первое слагаемое в правой части равенства (8).
Воспользуемся методом интегрирования по частям и определением функ
10

ции p0(t).
∫ t1

t0 F ∗
x(t) · y(t, u(·))dt =

= p0(t1) · y(t1, u(·)) − p0(t0) · y(t0, u(·)) −
∫ t1

t0 p0(t) · u(t)dt =

= −
∫ t1

t0 p0(t) · u(t)dt.

Здесь мы воспользовались тем, что p0(t1) = 0, y(t0, u(·)) = 0, ˙y(t, u(·)) =
= u(t). Следовательно, равенство (8) преобразуется к виду

0 =
∫ t1

t0 (−p0(t) + F ∗
˙x(t))u(t)dt.
(9)

Если мы вспомним утверждение теоремы, то убедимся, что правая часть
уравнения Эйлера–Лагранжа (см. (4)) является производной от функции
p0(t)−F ∗
˙x(t). И для того чтобы доказать справедливость уравнения Эйлера–
Лагранжа, достаточно доказать, что −p0(t) + F ∗
˙x(t) равна константе на
[t0, t1]. Для этого у нас есть функция u(·).
Эта функция удовлетворяет условию
∫ t1

t0 u(t)dt = 0.

Это равенство n-мерных векторов. Домножим (в смысле скалярного произведения) это равенство на произвольный ковектор s = (s1, s2, . . . , sn).
Получаем, что
∫ t1

t0 su(t)dt = 0.
(10)

Сложим равенства (20) и (10). Получаем, что для всех функций u, интеграл
которых равен 0 и всех ковекторов s, верно равенство

0 =
∫ t1

t0 (−p0(t) + F ∗
˙x(t) + s)u(t)dt.
(11)

Выберем ковектор s равным

s =
−1

t1 − t0

∫ t1

t0 [−p0(t) + F ∗
˙x(t)]dt.

11