Высшая математика для экономистов: сборник задач

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

СБОРНИК ЗАДАЧ

Аналитическая геометрия • Линейная алгебра
Математический анализ • Теория вероятностей
Математическая статистика
Линейное программирование

3-е издание, исправленное

Рекомендовано 
Учебно-методическим объединением вузов России
по образованию в области экономики и экономической теории
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
38.03.01 «Экономика» и экономическим специальностям

Москва
ИНФРА-М
2019

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73
 
В93

 
В93 
 
Высшая математика для экономистов: сборник задач : учеб. пособие / Г.И. Бобрик, Р.К. Гринцевичюс, В.И. Матвеев [и др.]. — 3-е изд., 
испр. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 539 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.org/10.12737/5526.

ISBN 978-5-16-010074-6 (print)
ISBN 978-5-16-101789-0 (online)
В соответствии с учебной программой подготовки экономистов в сборник включены задачи по основным разделам общего курса высшей математики: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический 
анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование. Специально выделен раздел, посвященный применению 
аналитической геометрии и математического анализа в экономике.
Во всех разделах приведены краткие теоретические сведения, ряд задач снабжен решениями. Задачник содержит типовые практикумы с контрольными тестами. 
Предназначен для студентов экономических специальностей.

УДК 51-7(075.8)
ББК 22.1я73

Р е ц е н з е н т ы:
Татарников О.В., доктор технических наук, профессор Московского 
государственного технического университета имени Н.Э. Баумана;
Кравчук С.П., кандидат физико-математических наук, доцент Московского государственного ин ститута электронного машиностроения

К о л л е к т и в  а в т о р о в:
Бобрик Г.И., Гринцевичюс Р.К., Матвеев В.И., Рудык Б.М., Сагитов Р.В., Смагина О.К., Шершнев В.Г.

ISBN 978-5-16-010074-6 (print)
ISBN 978-5-16-101789-0 (online)
© Коллектив авторов, 2015

Предисловие

Переход в новых образовательных стандартах к компетент
ностной парадигме вызвал необходимость корректировки как 
учебных программ экономического образования, так и учебной 
литературы для обеспечения учебного процесса по этим программам. Курс математики, являясь фундаментальным курсом, 
отнесен к базовым курсам образовательной программы для всех 
экономических направлений профессиональной подготовки.

При подготовке задачника к переизданию авторы стреми
лись, с одной стороны, привести материал в соответствие с 
требованиями новых стандартов — развитие навыков профессиональной деятельности через математическую деятельность 
профессиональной направленности, а с другой стороны, — выдержать уровень фундаментальной математической подготовки 
экономистов, связывая содержание примеров и упражнений с 
соответствующими разделами учебной программы курса математики.

Учебные материалы сборника задач по содержанию тесно свя
заны с учебником по общему курсу высшей математики для экономистов, выпущенным издательством «ИНФРА-М», и содержат 
задачи и упражнения по линейной алгебре, математическому 
анализу, теории вероятности и математической статистике. Кроме того, в задачнике рассмотрены задачи линейного программирования, решение которых помогут учащимся ознакомиться с 
математическими методами оптимизации и овладеть навыками 
использования их при принятии оптимальных управленческих 
решений в экономике. 

Каждый раздел сборника содержит краткое изложение тео
ретического материала и подробное решение типовых примеров 
и задач, ответы к примерам и упражнениям.

Линейная алгебра является базовой дисциплиной для разде
лов, содержащих задания по математическому анализу, теории 
вероятностей и математической статистике, а также для заданий по курсу линейного программирования. Этот раздел содержит задания по теории матриц и определителей, теории систем 
векторов и векторных пространств, методы решения систем линейных уравнений. 

Раздел математического анализа содержит задачи и упраж
нения соответствующие в полном объеме программе курса. В параграфе данного раздела, посвященного применению математи

ки в экономике, студент приобретает умения и совершенствует 
навыки использования соответствующих математических положений в экономической практике.

Разделы, содержащие задачи и упражнения по теории ве
роятностей и математической статистике, обеспечивают в первую очередь программу математической подготовки студентов 
общеэкономических направлений, однако приведенные учебные материалы могут быть успешно использованы при изучении курса высшей математики и студентами, обучающимися на 
других направлениях профессиональной подготовки нематематического профиля.

В последние годы математическое программирование в сво
ем развитии преобразовалось в целый ряд самостоятельных 
математических курсов, таких как теория игр, программирование на сетях, динамическое программирование и пр. В разделе 
«Линейное программирование» рассмотрены оптимизационные 
задачи и упражнения в линейной постановке, описывающие 
довольно широкий класс экономических процессов. Решение 
приведенных задач и упражнений позволит студентам развить 
навыки в выборе наилучших управленческих решений, основанных на результатах использования математического моделирования.

Особенностью содержания данного задачника является вве
дение в каждый раздел математических практикумов, выполняемых и защищаемых студентами после освоения материала 
раздела. Задачник может быть использован студентами, обучающимися на экономических направлениях профессиональной 
подготовки вузов и колледжей.

При подготовке сборника задач и упражнений авторами ис
пользовался широкий круг источников, в том числе и авторских. Материалы раздела «Линейная алгебра» написаны профессором Б.М. Рудыком, раздел «Математический анализ» 
доцентами Г.И. Бобрик, Р.К. Гринцевичусом, Р.В. Сагитовым, 
О.К. Смагиной, разделы «Теория вероятностей» и «Математическая статистика» профессором В.И. Матвеевым и доцентом 
Р.В. Сагитовым, раздел «Линейное программирование» — профессором В.Г. Шершневым.

Коллектив авторов приносит глубокую благодарность заве
дующему кафедрой высшей математики РЭУ им. Г.В. Плеханова О.В. Татарникову за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению содержания книги.

ϕ

ϕ  ϕϕϕ +
−
+
−
+

+

−
+

+

+
+

+

+
+

ϕϕ+

+

1.

1.1.

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+
+
+
+

+

−
−
−
+
−
−
+
+

+
+

+
+
−
+
−
+
−
−
−

−

+
+
−
+

−
7

π ππϕϕϕ ππππ α αππ−
−
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−

8

ππ πππππ+

−

+
−
−
−
−
−
−
+
+

+

+

+
+

+

−
+
−
+
−
9

≤≤≤

1.2.

−

+
−

+

−

−

−

−

−
1.3.

11

−
−
−

−
−
−
−

−
−
−

−
−
−


−
−
−
−

−
−
−

12

−
−


−

−

−
−
−
−
−
+
+
+
1.4.

+
+
+

+
+

+
+

+
+

+
+

+
−
+
−
+
−
+
−
14

−
−
−
−
−
−

−
−

−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−

−
−
−
−

−
−

1.5.

15

−
−
−
−
−
−
−
−
−
−

−

−
−
−
−

−
−
−
−

−
−
−

−
−

−

−
−

−

−
−
−
−
−
−
−

−
−
−
−

−
−
−

−
−
−

−
−
−

−
−
−

−
−
−

−
−
−

−
−
−
−

−
−

−
−

1.42.

1.44.

1.46.

1.37.

1.43.

1.45.

1.38.

1.41.
1.40.

× +
+

+
+
2.

2.1.

××× −
−
−
−
−

−
−
−
−
−
−

−

 −

−
−
−
−

+
−
+
+
−
+
−
−
+

+
+
−
+
−
+
−
−
+

−
−
+
+
−
−
+
+
−
+
+
+
−
−

−
2.1.

2.2.

2.3.