Техническая механика

ТЕХНИЧЕСКАЯ 

МЕХАНИКА

А. М. МИХАЙЛОВ

Москва

ИНФРА-М

201УЧЕБНИК

Рекомендовано в качестве учебника 

для студентов высших учебных заведений,

обучающихся по направлению подготовки 08.03.01 «Строительство»

 (квалификация (степень) «бакалавр»)

УДК 624(075.8)
ББК 30.12я73
 
М69

Михайлов А. М.
Техническая механика : учебник / А. М. Михайлов. — М. : ИНФРА-М, 

2019. — 375 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www.dx.doi.
org / 10.12737 / 21568.

ISBN 978-5-16-012030-0 (print)
ISBN 978-5-16-104689-0 (online)
Рассмотрены теоретические основы и методика расчета на прочность, 

жесткость и устойчивость элементов строительных конструкций по предельным состояниям с учетом достижений теории надежности. Обстоятельное изложение теоретического материала и подробное решение большого числа примеров дают возможность для самостоятельного изучения 
дисциплины без помощи преподавателя. Учебник доступен при любой 
форме обучения.

Соответствует требованиям Федерального государственного образова
тельного стандарта высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по программе 

бакалавриата по направлению 08.03.01 «Строительство».

УДК 624(075.8)

ББК 30.12я73

М69

А в т о р :

Александр Михайлович Михайлов, кандидат технических наук, про
фессор

Р е ц е н з е н т ы:

И. Н. Бойтемирова, кандидат технических наук, доцент кафедры 

«Строительство» Государственного университета по землеустройству;

Ю. И. Снитко, доцент кафедры «Теоретическая механика и аэродина
мика» Московского государственного строительного университета

ISBN 978-5-16-012030-0 (print)
ISBN 978-5-16-104689-0 (online)
© Михайлов А. М., 2017

Предисловие

Современная наука о прочности, жесткости и устойчивости со
оружений и их несущих конструкций — строительная механика — 
предоставляет широкие возможности для расчета и проектирования экономичных сооружений при одновременном обеспечении 
их высокой надежности в условиях эксплуатации. Техническая механика — это дисциплина, которая имеет целью подготовить будущего специалиста к решению простейших задач сопротивления материалов, являющегося составной частью строительной механики. 
Задачей дисциплины является изучение основных понятий и принципов расчета отдельных, наиболее распространенных элементов 
стержневых конструкций на прочность, жесткость и устойчивость 
при действии различных нагрузок.

В результате изучения технической механики студент должен:
знать

• основные принципы, положения и гипотезы сопротивления ма
териалов;

• методы и практические приемы расчета стержней и стержневых 

систем при различных силовых, деформационных и температурных воздействиях;

• прочностные характеристики и другие свойства конструкци
онных материалов;
уметь

• грамотно составлять расчетные схемы;
• определять теоретически и экспериментально усилия, напря
жения, деформации и перемещения;

• подбирать необходимые размеры сечений стержней из условий 

прочности, жесткости и устойчивости;
владеть

• навыками теоретического определения напряженно-деформи
рованного состояния стержней при различных воздействиях 
с использованием современной вычислительной техники и готовых программ;

• экспериментального определения механических характеристик 

материалов;

• выбора конструкционных материалов и форм, обеспечивающих 

требуемые показатели надежности, экономичности и эффективности сооружений.

Предлагаемый учебник поможет будущему специалисту в осво
ении основных положений и гипотез сопротивления материалов; 
прочностных характеристик и других свойств конструкционных 
материалов; современных методов расчета элементов строительных 
конструкций (стержней, балок, колонн) при различных внешних 
воздействиях; подготовит их к последующему, более глубокому 
изучению специальных дисциплин расчетно-прочностного цикла 
(собственно сопротивления материалов и строительной механики, 
моделирования и расчета конструкций посредством использования 
инженерно-вычислительных комплексов).

Наряду с рассмотрением традиционных методов анализа напря
женного и деформированного состояний отражен подход к определению эксплуатационной способности с позиций теории надежности, допустимого развития пластических деформаций и предотвращения возможности хрупкого разрушения. Такой подход, 
характерный для Строительных норм и правил (СНиП), разработанных в развитие ГОСТ 27751—88, сохраняется и в Сводах правил (СП), соответствующих Национальному стандарту Российской 
Федерации ГОСТ 27751—2014 «Надежность строительных конструкций и оснований. Основные положения».

При рассмотрении расчетов на прочность большое внимание 

уделено современной трактовке метода предельных состояний, который стал в настоящее время основой строительных норм, действующих в странах СНГ, Восточной и Западной Европы. Его прогрессивность в значительной степени объясняется гибкостью регулирования запаса надежности с помощью частных коэффициентов, 
которые дифференцированно, в отличие от метода допускаемых 
напряжений, отражают изменчивость каждой из величин, учитываемых в расчете строительных конструкций.

Изложение теоретического материала учебника сопровождается 

объяснением допущений и гипотез, положенных в основу вывода 
расчетных формул, анализом получаемых результатов и рекомендациями по их практическому использованию. Все методы расчета 
иллюстрируются примерами, большинство из которых имеет непосредственное отношение к расчету строительных конструкций. 
В приложении помещен справочный материал, необходимый при 
разборе примеров и самостоятельном расчете стальных и деревянных элементов.

Глава 1

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА»

Техническая механика — это общетехническая дисциплина, 

в которой излагаются основы и методика расчета наиболее распространенных элементов различных конструкций на прочность, 
жесткость и устойчивость.

Прочностью называется способность материала или конструкции 

воспринимать различные воздействия (нагрузки, температурные 
перепады, просадки грунтов и т.п.), не разрушаясь и не претерпевая беспрепятственного деформирования. Под разрушением подразумевается полное нарушение целостности тела (конструктивного 
элемента) вследствие накопления повреждений и развития трещин 
(рис. 1.1, а).

а
б
в

Рис. 1.1

Техническая механика, будучи начальной ступенью сопротив
ления материалов, по своему содержанию примыкает к разделу 
механики, именуемому механикой деформируемого твердого тела, 
где рассматриваются законы равновесия и движения твердых тел 
в условиях их деформирования при различных воздействиях (нагрузках). Из этой науки и техническая механика, и сопротивление 
материалов заимствуют общую методологию и математически более 
точные и обоснованные решения отдельных задач. В то же время 
обе дисциплины опираются на методы и уравнения механики абсолютно твердого тела (теоретической механики), где постановка 
вопроса о расчете на прочность лишена смысла, поскольку в самой 
терминологии заложена идея неразрушимости и отсутствия каких бы то ни было деформаций. Поскольку все твердые тела (кон

структивные элементы) в той или иной степени деформируемы, т.е. 
способны под нагрузкой изменять свои геометрические размеры 
и форму, техническую механику можно рассматривать как следующий после теоретической механики шаг на пути приближения 
к расчету реальных конструкций и сооружений.

В случаях, когда деформации тела несущественны и ими можно 

пренебречь, выводы теоретической механики оказываются точными и вполне достаточными, например опорные реакции статически определимых балок находят из уравнений статики, предполагая, что эти балки абсолютно недеформируемы. При расчете 
грузоподъемных механизмов обычно пренебрегают деформациями 
звеньев, которые изготовляют весьма жесткими, поэтому скорости 
и ускорения, вычисленные по правилам кинематики, точно соответствуют действительным. В то же время существует обширный 
класс систем, которые принципиально не могут быть рассчитаны 
без рассмотрения их в деформированном состоянии (так называемые статически неопределимые системы).

Деформирование нагруженной конструкции и ее элементов 

обусловливает перемещение их отдельных точек (сечений). Так, 
элемент, изображенный на рис. 1.1, б, получает вертикальные перемещения. При некотором значении нагрузки максимальное перемещение может воспрепятствовать нормальной эксплуатации 
элемента, хотя его прочность еще не исчерпана. В таком случае 
считают, что элемент (конструкция) имеет недостаточную жесткость. Следовательно, жесткость можно характеризовать как способность конструктивного элемента воспринимать воздействие без 
существенного изменения формы и геометрических размеров.

Помимо прочности и жесткости конструкции и их элементы 

должны обладать устойчивостью, т.е. способностью сохранять под 
нагрузкой первоначальную форму равновесия. Если малое приращение нагрузки вызывает сильное нарастание отклонения тела 
(элемента) от положения равновесия — выпучивание, рис. 1.1, в), 
то утверждают, что тело (элемент) потеряло устойчивость. Проблема обеспечения устойчивости возникает при расчете тонких 
сжатых элементов, и ей уделяется особое внимание, так как потеря устойчивости может происходить при нагрузках, безопасных 
с точки зрения прочности или жесткости.

Техническая механика играет важную роль в инженерно-строи
тельном образовании, являясь связующим звеном между теоретическими науками (математикой, физикой, теоретической механикой 
и др.) и специальными дисциплинами (такими как сопротивление 
материалов в широком понимании, строительная механика, испы

тание сооружений, строительные конструкции и т.д.), связанными 
с расчетом и проектированием надежных и экономичных строительных конструкций.

Надежной считается конструкция, которая сохраняет свою экс
плуатационную способность (прочность, жесткость, устойчивость) 
в течение заранее предусмотренного промежутка времени. Нарушение возможности эксплуатировать конструкцию называется отказом. Таким образом, надежность представляет собой способность 
конструкции или ее отдельных элементов безотказно выполнять 
свои функции в течение установленного срока службы.

Надежность и экономичность являются, по существу, проти
воположными понятиями. Важнейшее требование строительной 
техники — обеспечение надежности сооружения при наименьшей 
затрате материала — содержит в себе противоречие, поскольку повышение уровня надежности достигается чаще всего увеличением 
поперечных размеров конструктивных элементов, в то время как 
экономия материала заставляет стремиться к уменьшению тех же 
самых размеров. В этом проявляется один из законов диалектики — 
закон единства и борьбы противоположностей.

Техническая механика помогает разрешить данное противоре
чие, позволяя установить в каждом конкретном случае оптимальные размеры, при которых надежность обеспечивается без излишних запасов, удовлетворяя экономической стороне вопроса.

Таким образом, основными задачами технической механики явля
ются обоснование, разработка и совершенствование методов расчета наиболее распространенных элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности.

Для решения этой задачи теоретическая часть дисциплины тесно 

увязывается с экспериментальной. Опыт позволяет изучить в сравнительно простых условиях механические свойства конструкционных материалов путем лабораторных испытаний специальных образцов. В дальнейшем опытные данные используют в теории для расчета конструктивных элементов из того же материала в любых, даже 
самых сложных условиях нагружения. Кроме того, теория указывает, 
в каком направлении необходимо вести экспериментальное исследование. Опыт, в свою очередь, позволяет проверить справедливость 
основных теоретических положений и расчетных формул. Для технической дисциплины это особенно важно, так как необходимость 
доведения каждого расчета до конечного числового результата заставляет прибегать к различным упрощающим предпосылкам и допущениям, которые требуют экспериментального подтверждения.

1.2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ О СВОЙСТВАХ МАТЕРИАЛОВ 

И ХАРАКТЕРЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

Допущение 1. Материал представляет собой однородную сплошную 

среду. Предположение об однородности позволяет не учитывать 
структурные особенности материала и считать, что любой объем, 
выделенный из тела (конструкции), воспринимает часть общей нагрузки, приходящейся на все тело (конструкцию). Например, строительная сталь при нормальной температуре состоит из двух компонентов: феррита и цементита. Феррит — почти чистое железо, 
имеющее в небольшом количестве растворенный углерод и другие 
химические элементы, образует в стали хаотично ориентированные 
зерна 1 (рис. 1.2) площадью (2—6) ⋅ 103 мкм2. Цементит — карбид 
железа Fe3C — образует с ферритом смесь (перлит 2), заполняющую 
главным образом участки между зернами феррита. Работа стали зависит от соотношения этих двух компонентов. Чем меньше зерно, 
тем равномернее перлит распределен по объему стали, тем более 
упорядочена в среднем взаимная ориентация зерен и тем больше 
оснований считать сталь однородным материалом, несмотря на неоднородность ее микроструктуры1.

Заведомо неоднороден такой материал, как бетон. Он состоит 

из бессистемно разбросанных зерен заполнителя (гравия, щебня, 
керамзита, шлака, песка и др.) различной крупности и формы, 
которые скреплены цементной массой или другим вяжущим веществом. Однако размеры бетонных элементов (как и стальных) 
столь велики по сравнению с размерами зерен, что практически 
и бетон тоже можно считать в среднем однородным (квазиоднородным2).

Предположение об однородности ма
териала неотделимо от понятия сплошной 
среды, т.е. среды, непрерывно (без пустот) заполняющей отведенный ей объем. 
Свойство непрерывности позволяет использовать в расчетах методы анализа бесконечно малых величин (дифференциальное и интегральное исчисления). Обычно 
сплошную среду принимают изотропной, 
полагая, что физико-механические свой
1
Микроструктура — кристаллическое строение материала, обнаруживаемое 
с помощью микроскопа. В отличие от нее строение, видимое невооруженным глазом или при малом увеличении, называется макроструктурой.

2
Kвази — приставка, означающая «якобы», «мнимый».

1

2

Рис. 1.2

ства любого выделенного из нее тела одинаковы по всем направлениям. Благодаря мелкозернистой структуре квазиизотропны макрообъемы стали, хотя отдельно взятые зерна феррита (микрообъемы) анизотропны.

В некоторых случаях предположение об изотропии неприем
лемо. К анизотропным строительным материалам относится древесина, прочность и деформативность которой зависят от направления усилия по отношению к расположению волокон. Анизотропны 
фанера и конструкционные пластические массы (например, стеклопластики, органическое стекло, винипласты, сотопласты, древесные пластики и др.), у которых изменчивость механических 
свойств обусловлена неоднородностью структуры и спецификой 
изготовления под определенную конструкцию и заданный вид эксплуатационной нагрузки.

Допущение 2. Материал до известного предела нагружения рабо
тает упруго. Упругостью называется способность материальных тел 
восстанавливать первоначальную форму и размеры после снятия 
нагрузки. Деформации, полностью исчезающие после снятия нагрузки, называются упругими (например, прогиб доски), в отличие 
от пластических или остаточных, которые не исчезают (например, 
гнутье проволоки и стальных профилей).

В большинстве задач технической механики среда условно счи
тается абсолютно упругой. В действительности же реальные тела 
пусть в малой степени, но обнаруживают отступление от идеальной 
упругости. При больших нагрузках отступление становится столь 
существенным, что сплошную среду приходится наделять свойствами упругопластического материала.

В последние десятилетия возросла актуальность расчета строи
тельных конструкций и их элементов с учетом развития пластических деформаций. Особенно это касается металлических конструкций и объясняется постоянным стремлением к снижению 
их материалоемкости и более рациональному использованию 
стального проката.

Иногда для учета физических свойств модель материала приходится 

наделять свойством ползучести, под которой понимают увеличение 
пластических деформаций с течением времени при постоянной, т.е. 
зафиксированной на одном уровне, нагрузке, например, осадка фундамента под действием веса вышележащих конструкций, постепенное 
вытягивание каната от подвешенного груза, ослабление со временем 
натяжения болтов вследствие их постепенного удлинения.

Допущение 3. Перемещения точек элемента (системы элементов),

обусловленные его деформацией, весьма малы по сравнению с разме

рами самого элемента. На основе этого допущения вводится принцип 
начальных размеров, согласно которому при составлении уравнений 
равновесия (уравнений статики) элемент или систему элементов 
рассматривают как недеформируемое тело, имеющее после нагружения те же геометрические размеры, что и до нагружения. Такой подход позволяет пренебрегать изменениями в расположении 
внешних сил при деформировании реального тела. Он справедлив 
для жестких элементов и систем.

Пусть, например, к элементу подвешен груз F и требуется опре
делить реактивный момент m в заделке (рис. 1.3). По правилам теоретической механики, считающей тела недеформируемыми, m = Fl.
В действительности же элемент деформируется (изгибается), точка 
приложения груза перемещается по вертикали на расстояние y
и горизонтали на Δl, а момент в заделке m = Fl1. Если элемент достаточно жесткий и, следовательно, деформируется мало, то можно 
пренебречь горизонтальным перемещением и определять момент 
по первой формуле, полагая l = l1.

y

l

F
∆l
l1

Рис. 1.3

Допущение 4. Перемещения точек элемента (системы элемен
тов) в упругой стадии работы материала пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Системы, подчиняющиеся 
такой закономерности, называются линейно-деформируемыми
(рис. 1.4). Для них справедлив принцип независимости действия 
сил (принцип суперпозиции), который может быть сформулирован следующим образом: результат воздействия на систему 
нескольких сил равен сумме результатов воздействия каждой 
силы, прикладываемой в отдельности, и не зависит от порядка 
приложения. Этот принцип, широко используемый в теоретической механике, применим к деформируемым телам только 
при соблюдении трех предыдущих допущений. Он позволяет 
расчленять сложные задачи на более простые, решение которых 
известно или легко достижимо. Иллюстрацией может служить 
рис. 1.5.