Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ
Покупка
Тематика:
Физика. Астрономия
Издательство:
Лаборатория знаний
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 499
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-00101-551-2
Артикул: 690448.01.99
В настоящем пособии кратко рассмотрены теоретические вопросы, знание которых потребуется учащемуся при решении задач и выполнении теоретических заданий при сдаче ЕГЭ. Кроме того пособие содержит более 300 примеров решения задач по всем разделам физики с подробными пояснениями, примеры тестов и условия задач, самостоятельно решая которые, можно оценить свои возможности успешной сдачи экзамена. Пособие будет надежным помощником учащимся при
подготовке к экзаменам в школе и абитуриентам для поступления в вуз, а также их наставникам.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 03.00.00: ФИЗИКА И АСТРОНОМИЯ
- ВО - Бакалавриат
- 03.03.01: Прикладные математика и физика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
УДК 53(075.3) ББК 22.3я729 П18 Парфентьева Н. А. П18 Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ [Электронный ресурс] : учебное пособие / Н. А. Парфентьева. — Эл. изд. — Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 499 с.). — М. : Лаборатория знаний, 2017. — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10". ISBN 978-5-00101-551-2 В настоящем пособии кратко рассмотрены теоретические вопросы, знание которых потребуется учащемуся при решении задач и выполнении теоретических заданий при сдаче ЕГЭ. Кроме того пособие содержит более 300 примеров решения задач по всем разделам физики с подробными пояснениями, примеры тестов и условия задач, самостоятельно решая которые, можно оценить свои возможности успешной сдачи экзамена. Пособие будет надежным помощником учащимся при подготовке к экзаменам в школе и абитуриентам для поступления в вуз, а также их наставникам. УДК 53(075.3) ББК 22.3я729 Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ : учебное пособие / Н. А. Парфентьева. — М. : Лаборатория знаний, 2017. — 496 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-028-9. В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации ISBN 978-5-00101-551-2 c○ Лаборатория знаний, 2017 2
Оглавление Предисловие 10 Шаг 1. Механика. Кинематика 11 1.1. Перемещение, путь, скорость 12 1.2. Прямолинейное равномерное движение 14 1.3. Относительность движения. Классический закон сложения скоростей 15 1.4. Движение с переменной скоростью 16 1.5. Прямолинейное равноускоренное движение 17 1.6. Кинематика движения материальной точки по окружности и вращательного движения твердого тела с неподвижной осью вращения 20 1.7. Криволинейное движение 22 Примеры решения задач 25 Тесты 37 Задачи для самостоятельного решения 39 Шаг 2. Динамика. Законы Ньютона 43 2.1. Основные понятия динамики 43 2.2. Основные силы в механике 43 2.3. Законы Ньютона 47 Примеры решения задач 49 Тесты 57 Задачи для самостоятельного решения 58 Шаг 3. Динамика. Законы сохранения 61 3.1. Импульс тела. Закон сохранения импульса 61 Примеры решения задач I 63 Тесты I 68 Задачи для самостоятельного решения I 69 3.2. Механическая работа. Мощность 70 3.3. Кинетическая и потенциальная энергии 74 3.4. Закон сохранения механической энергии 75 Примеры решения задач II 76 Тесты II 83 Задачи для самостоятельного решения II 84 Шаг 4. Статика 87 4.1. Условие равновесия материальной точки 87 4.2. Момент силы. Условие равновесия тела с неподвижной осью вращения 87
Оглавление 4.3. Условия равновесия свободного твердого тела 88 4.4. Определение центра тяжести и центра масс 88 4.5. Типы равновесия тела 90 Примеры решения задач 91 Тесты 100 Задачи для самостоятельного решения 101 Шаг 5. Динамика криволинейного движения материальной точки 103 5.1. Основные понятия динамики криволинейного движения 103 5.2. Движение тел в поле силы тяготения 105 Примеры решения задач 105 Тесты 117 Задачи для самостоятельного решения 119 Шаг 6. Элементы гидромеханики 121 6.1. Основные понятия 121 6.2. Закон Паскаля. Гидравлический пресс 122 6.3. Атмосферное давление 123 6.4. Закон Архимеда 124 6.5. Уравнение Бернулли 126 Примеры решения задач 129 Тесты 132 Задачи для самостоятельного решения 133 Шаг 7. Молекулярная физика. Газовые законы. Основное уравнение МКТ газов 135 7.1. Основные понятия 135 7.2. Газовые законы 137 7.3. Объединенный газовый закон. Уравнение Клапейрона — Менделеева 139 7.4. Закон Дальтона 141 7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов 141 Примеры решения задач 145 Тесты 151 Задачи для самостоятельного решения 153 Шаг 8. Первый закон термодинамики 155 8.1. Основные понятия и законы 155 8.2. Первый закон (начало) термодинамики 158 8.3. Изопроцессы в газах с точки зрения первого закона термодинамики 159 Примеры решения задач 160 Тесты 162 Задачи для самостоятельного решения 163
Оглавление Шаг 9. Второй закон термодинамики. Теория тепловых машин 165 9.1. Второй закон (начало) термодинамики 165 9.2. Тепловая машина 165 9.3. Идеальный цикл Карно 167 9.4. Холодильная машина 169 Примеры решения задач 169 Тесты 171 Задачи для самостоятельного решения 171 Шаг 10. Реальные газы, влажность. Свойства жидкостей 173 10.1. Насыщенный и ненасыщенный пар 173 10.2. Влажность 175 10.3. Свойства жидкости 175 10.4. Тепловое расширение жидких и твердых тел 179 Примеры решения задач 181 Тесты 187 Задачи для самостоятельного решения 188 Шаг 11. Уравнение теплового баланса. Фазовые превращения первого рода 191 11.1. Агрегатные состояния вещества 191 11.2. Плавление и кристаллизация 192 11.3. Испарение и конденсация 192 11.4. Кипение жидкости 193 11.5. Уравнение теплового баланса 194 Примеры решения задач 195 Тесты 197 Задачи для самостоятельного решения 198 Шаг 12. Электростатика. Закон Кулона. Напряженность 199 12.1. Способы электризации тел 199 12.2. Свойства электрических зарядов 201 12.3. Закон Кулона 201 12.4. Напряженность электрического поля. Силовые линии 203 12.5. Электрическое поле точечного заряда и некоторых других заряженных тел 204 12.6. Проводники и диэлектрики в электрическом поле 206 Примеры решения задач 208 Тесты 218 Задачи для самостоятельного решения 219 Шаг 13. Потенциал. Разность потенциалов 221 13.1. Работа электростатической силы по перемещению заряда 221 13.2. Потенциал 223 13.3. Эквипотенциальные поверхности 224 13.4. Принцип суперпозиции для потенциала 225 13.5. Связь напряженности электрического поля с потенциалом 226
Оглавление Примеры решения задач 226 Тесты 232 Задачи для самостоятельного решения 233 Шаг 14. Электрическая емкость. Энергия электрического поля 235 14.1. Электрическая емкость проводника 235 14.2. Емкость конденсатора 235 14.3. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов 237 14.4. Энергия электрического поля 238 Примеры решения задач 240 Тесты 246 Задачи для самостоятельного решения 247 Шаг 15. Постоянный электрический ток. Законы Ома 249 15.1. Сила тока 249 15.2. Классическая теория проводимости металлов 250 15.3. Закон Ома для однородного участка цепи 251 15.4. Последовательное и параллельное соединение резисторов 252 15.5. Шунтирование приборов 253 15.6. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи 255 15.7. Последовательное и параллельное соединение источников тока. Правила Кирхгофа 257 15.8. Тепловое действие тока. Закон Джоуля — Ленца 259 Примеры решения задач 260 Тесты 272 Задачи для самостоятельного решения 273 Шаг 16. Токи в различных средах 277 16.1. Ток в электролитах 277 Примеры решения задач I 278 16.2. Токи в вакууме и в газах 280 Примеры решения задач II 287 16.3. Полупроводники. Собственная и примесная проводимость полупроводников 289 Примеры решения задач III 293 Тесты III 294 Задачи для самостоятельного решения III 295 Шаг 17. Магнитное поле. Индукция магнитного поля. Силы Ампера и Лоренца 297 17.1. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции 297 17.2. Магнитное поле проводников с током различной конфигурации 300 17.3. Закон Ампера 301 17.4. Взаимодействие двух прямолинейных проводников с током 302 17.5. Рамка с током в магнитном поле 303 17.6. Движение заряженных частиц в магнитном поле 304 17.7. Магнитные свойства вещества 306
Оглавление Примеры решения задач 309 Тесты 314 Задачи для самостоятельного решения 315 Шаг 18. Явление электромагнитной индукции и самоиндукции 317 18.1. Опыты Фарадея 317 18.2. Магнитный поток 317 18.3. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца 318 18.4. Движение прямолинейного проводника в магнитном поле 319 18.5. Работа при движении проводника с током в магнитном поле 320 18.6. Вывод формулы для ЭДС индукции 321 18.7. Явление самоиндукции 322 18.8. Энергия магнитного поля 323 Примеры решения задач 324 Тесты 330 Задачи для самостоятельного решения 330 Шаг 19. Колебания и волны. Механические колебания 333 19.1. Уравнение колебаний 333 19.2. Характеристики гармонических колебаний 334 19.3. Кинематические характеристики гармонического колебания 334 19.4. Динамика гармонических колебаний 335 19.5. Примеры расчета частоты колебаний в различных механических системах 335 19.6. Преобразование энергии при гармонических колебаниях 337 19.7. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой 339 19.8. Затухающие колебания 340 19.9. Вынужденные колебания 341 19.10. Упругие (механические) волны. Классификация волн 342 19.11. Вывод уравнения плоской волны 344 19.12. Интерференция волн 344 19.13. Стоячая волна 348 19.14. Звук 350 Примеры решения задач 351 Тесты 361 Задачи для самостоятельного решения 362 Шаг 20. Электромагнитные колебания. Свойства электромагнитных волн. Переменный ток 365 20.1. Колебательный контур 365 20.2. Затухающие колебания 367 20.3. Вынужденные колебания 369 20.4. Переменный ток 370 20.5. Генератор переменного тока 373 20.6. Трансформатор 373 20.7. Электромагнитные волны 375
Оглавление 20.8. Основные свойства электромагнитной волны 376 20.9. Шкала электромагнитных волн 377 20.10. Радиоволны 377 Примеры решения задач 380 Тесты 385 Задачи для самостоятельного решения 386 Шаг 21. Геометрическая оптика 389 21.1. Прямолинейное распространение света 389 21.2. Законы отражения света 389 21.3. Законы преломления света 390 21.4. Явление полного внутреннего отражения 391 Примеры решения задач I 392 21.5. Линзы 398 21.6. Построение изображений в собирающей линзе 401 21.7. Построение изображений в рассеивающей линзе 403 21.8. Вывод формулы линзы 404 21.9. Оптические системы 405 Примеры решения задач II 406 Тесты II 416 Задачи для самостоятельного решения II 417 Шаг 22. Волновая и квантовая оптика 419 Волновая оптика 419 22.1. Интерференция света 419 22.2. Оптическая разность хода 421 22.3. Условия наблюдения интерференционных минимумов и максимумов 421 22.4. Опыт Юнга 422 22.5. Расчет интерференционной картины 422 22.6. Применение интерференции 424 22.7. Дифракция света 425 22.8. Дифракционная решетка 425 22.9. Дисперсия, поляризация, рассеяние света 427 Примеры решения задач I 429 Тесты I 434 Задачи для самостоятельного решения I 435 Квантовая оптика 436 22.10. Тепловое излучение. Гипотеза квантов Планка 436 22.11. Фотоэффект 438 22.12. Законы Столетова для внешнего фотоэффекта 439 Примеры решения задач II 440 Тесты II 442 Задачи для самостоятельного решения II 443
Оглавление Шаг 23. Элементы теории относительности 445 23.1. Принцип относительности Галилея и теория эфира 445 23.2. Постулаты теории относительности 447 23.3. Следствия из постулатов теории относительности 448 23.4. Элементы релятивистской динамики 449 Примеры решения задач 451 Тесты 455 Задачи для самостоятельного решения 456 Шаг 24. Атомная физика. Модель атома Бора 457 24.1. Свойства атомов. Модели атомов 457 24.2. Модель атома по Бору 460 24.3. Волны де Бройля 463 24.4. Принцип неопределенности Гейзенберга 463 24.5. Лазеры 463 Примеры решения задач 465 Тесты 469 Задачи для самостоятельного решения 470 Шаг 25. Ядерная физика. Явление радиоактивности, деление и синтез ядер 471 25.1. Состав ядра 471 25.2. Дефект масс и энергия связи 472 25.3. Явление радиоактивности 473 25.4. Закон радиоактивного распада 475 25.5. Ядерные реакции 477 Примеры решения задач 483 Тесты 484 Задачи для самостоятельного решения 485 25.6. Современные проблемы физики. Элементарные частицы 486 Ответы на вопросы тестов и к задачам для самостоятельного решения 491
Успех сдачи экзамена зависит, в основном, от знания предмета. Основная цель данной книги не только подготовить ученика к успешной сдаче экзамена по физике, но и дать ему более глубокое понимание законов физики. Очевидно, что учащемуся надо приобрести навыки решения задач и ответов на вопросы тестов. Не трудясь, это невозможно. Поэтому в пособии дается достаточно много задач с решениями, которые надо разобрать с ручкой в руках, а также задач для самостоятельного решения, решение которых позволит учащемуся проверить свои знания и умения. Вариант, предлагаемый на ЕГЭ, состоит из двух частей. Первая часть: 1) качественные вопросы, требующие выбора правильного ответа; 2) задачи-упражнения для получения числового ответа; 3) анализ графиков; 4) определение показаний физических приборов; 5) выявление соответствия формулы и закона или формулы для определения физической величины. Вторая часть: 1) качественный вопрос, требующий письменного объяснения ответа; 2) задачи, решение которых записывается с объяснением логики решения и формулировками использованных в нем законов. В пособии даются рекомендации и приводятся примеры по всем видам предлагаемых заданий: 1) краткое изложение теории; 2) примеры ответов на вопросы и решения задач разного уровня сложности, при этом задачи по определенной теме идут под тем же номером, что и теория; 3) в конце каждой темы (шага) тесты и задачи для самостоятельного решения; 4) ответы на вопросы тестов и к задачам (в конце книги). Пособие может быть использовано как учащимися, так и учителями старших классов, а также студентами первых курсов технических университетов для восстановления знаний по физике, приобретенных в школе. Приводятся некоторые выводы и формулы с использованием элементов математического анализа, что поможет учащемуся легче перейти к курсу физики высшей школы. Кроме этого в книге есть материал, в котором, как рассчитывает автор, физика предстает современной, живой наукой, что особенно должно стимулировать читателя к ее изучению и пониманию этой науки. В конце пособия дается краткое изложение современных проблем физики. Желаю успеха! Чтобы выигрывать, прежде всего нужно играть. А. Эйнштейн
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 Механика. Кинематика В разделе физики «Механика» изучаются механическое движение, условия и причины, вызывающие его, а также условия равновесия тел. Механическим движением называется изменение положения тела или его частей относительно других тел с течением времени. Всякое движение относительно. Характер движения зависит от того, относительно каких тел мы его рассматриваем. Тело, относительно которого мы рассматриваем положение других тел в пространстве, называется телом отсчета. Системой отсчета называют тело отсчета, систему координат, связанную с телом отсчета, и выбранный метод отсчета времени, т. е. часы. Выбор системы отсчета зависит от условий данной задачи. В физике широко пользуются моделями, которые позволяют из всего многообразия физических свойств выбрать главное, определяющее данное физическое явление. Одними из первых моделей реальных тел являются материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи; таким образом, движение реального тела можно рассматривать как движение геометрической точки. Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным при его движении. Эти модели позволяют не рассматривать деформацию тел при их движении. Движение реальных тел, как правило, сложное. Поэтому для упрощения решения задач пользуются законом независимости движений: всякое сложное движение можно представить как сумму независимых простейших движений. К простейшим движениям относятся поступательное и вращательное. Поступательным называется движение, при котором отрезок, соединяющий любые две точки твердого тела, перемещается при движении параллельно самому себе. Из этого следует, что все точки тела при поступательном движении движутся одинаково, т. е. с одинаковыми скоростями, ускорениями и по одинаковым траекториям. Траектория — линия, описываемая материальной точкой при ее движении. Вращательным называется движение, при котором все точки абсолютно твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения, причем эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Пользуясь законом независимости движений, сложное движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного движений.
1.1. Перемещение, путь, скорость На рисунке 1.1 показано движение карандаша. Переход из положения A1B1 (начальное положение) в положение A2B2 (конечное) можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного (в положение A2B′ ) и вращательного (в А2В2). Рис. 1.1 Движение и вообще все физические явления описываются с помощью физических величин, между которыми устанавливаются соотношения, называемые физическими законами. Измерение любой физической величины делается по отношению к единице этой величины. Например, бессмысленно говорить, что длина равна 1. Станет понятно, чему она равна, если около нее будет стоять единица измерения — метр, сантиметр и т. д. Мы будем использовать при определении величин Международную систему единиц, СИ (интернациональная система). Основными величинами системы СИ в механике являются метр (м), секунда (с), килограмм (кг). Такие величины, как скорость, ускорение, являются производными. Кинематика описывает движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение. Начнем с изучения движения тел, которые можно рассматривать как материальные точки. Основной задачей кинематики является определение закона движения, а также уравнения движения, позволяющего определить положение тела в любой момент времени. Заметим, что все приведенные ниже формулы справедливы и для описания поступательного движения абсолютно твердого тела. 1.1. Перемещение, путь, скорость Перемещение s — вектор, соединяющий начальную А и конечную В точки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый промежуток времени Δt (рис. 1.2). Путь l — длина траектории. При прямолинейном движении (траектория — прямая линия) модуль перемещения s равен длине пути l, если движение происходит в одном направлении. Рис. 1.2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 13 Механика. Кинематика Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями. Средняя скорость перемещения — векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло: v s t ср / = . (1.1) Пусть точка движется по траектории от A до B. На рисунке 1.2 показаны перемещение s и вектор средней скорости vср. Гораздо чаще для характеристики движения мы пользуемся понятием средней путевой скорости (скорости прохождения пути), равной отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден: vср l = l / t. (1.2) На рисунке 1.2 l — длина кривой AB. Очевидно, что, поскольку s ≤ l, должно выполняться и условие v v l ср ср ≤ . Мгновенная скорость — вектор скорости тела в данный момент времени. Мгновенной скоростью называется предел (lim) отношения малого перемещения Δs к промежутку времени Δt, за который это перемещение произошло, при стремлении Δt к нулю: v s t t мгн = → lim . Δ Δ Δ 0 (1.3) Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Это вытекает из следующих соображений: вектор vср направлен вдоль секущей АВ3 (рис. 1.3). Если Δt стремится к нулю, то в пределе точки А и В3 сольются в одну точку, при этом секущая превратится в касательную. Рассмотрим движение точки в прямоугольной системе координат (рис. 1.4). Положение точки характеризуется положением радиуса-вектора r. Из рисунка видно, что перемещение точки равно изменению радиуса-вектора: Δ Δ s r = , Δr r r = − B A. Тогда мгновенную скорость точки можно определить как первую производную радиуса-вектора по времени: v r t r t мгн = = ′ → lim . Δ Δ Δ 0 Рис. 1.3 Рис. 1.4
1.2. Прямолинейное равномерное движение 1.2. Прямолинейное равномерное движение Равномерным прямолинейным называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает со средней скоростью перемещения: v v r t мгн ср = = Δ Δ . Пусть x0 — координата точки в момент времени t = 0 (рис. 1.5), а x — координата в момент времени t. Очевидно, Δx = x – x0. Из определения скорости следует: vx = (x – x0) / t, откуда уравнение движения материальной точки, т. е. x = f(t), имеет вид: x = x0 + vxt, (1.4) где vx = ±v, где v v = . Тогда получаем закон движения тела в виде: x = x0 ± vt. (1.5) На рисунке 1.6 показаны зависимости vx(t) и x(t) от времени при различных значениях скоростей: vx = 2 м / с, 3 м / с, –2 м / с и x0 = 2 м. Из рисунка очевидно, что чем больше vx, тем больше угол наклона графика x(t) к оси абсцисс. По графику vx(t) (см. рис. 1.6, а) можно найти модуль перемещения s за время t, определив площадь заштрихованного прямоугольника. Рис. 1.6 Рис. 1.5
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 15 Механика. Кинематика 1.3. Относительность движения. Классический закон сложения скоростей Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. В ряде задач приходится рассматривать движение одного и того же тела относительно разных тел, причем эти тела, а следовательно, связанные с ними системы отсчета, могут двигаться относительно друг друга. Обозначим скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной v0, скорость тела относительно неподвижной системы отсчета v. (Обычно в качестве неподвижной принимается система отсчета, в которой телом отсчета является Земля.) Скорость тела относительно подвижной системы отсчета есть ′ v . Пусть в начальный момент времени начала координат, связанных с подвижной и неподвижной системами отсчета, совпадают (рис. 1.7, а). Материальная точка также находится в начале координат. За время Δt материальная точка переместилась в неподвижной системе на Δs, в подвижной — на Δ′s , а начало координат подвижной системы переместилось на Δs0 (рис. 1.7, б): . Δ Δ Δ s s s = + ′ 0 Разделив на Δt левую и правую части равенства, получим Δ Δ Δ Δ Δ Δ s t s t s t = + ′ 0 , откуда v v v = + ′ 0 . (1.6) Рис. 1.7 Полученное уравнение выражает классический закон сложения скоростей. Скорости v, v0 и ′ v обычно имеют следующие названия и обозначения: v — абсолютная скорость, vабс; ′ v — относительная скорость, vотн; v0 —
1.4. Движение с переменной скоростью переносная скорость, vпер. Тогда классический закон сложения скоростей запишем в виде: v v v абс отн пер = + , (1.7) т. е. абсолютная скорость тела равна геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей. 1.4. Движение с переменной скоростью Величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется ускорением. Среднее ускорение определяется отношением изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: a v t ср / = Δ Δ . (1.8) Если v1 и v2 — мгновенные скорости в моменты времени t1 и t2, то Δv v v = − 2 1, Δt = t2 – t1. На рисунке 1.8 изображены векторы мгновенных скоростей и ускорения. Cделаем параллельный перенос вектора v2 в точку А. Тогда Δv определит направление aср. Мгновенное ускорение — ускорение тела в данный момент времени. Это физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении промежутка времени к нулю: a v t v t мгн = = ′ → lim . Δ Δ Δ 0 (1.9) Вектор мгновенного ускорения aмгн направлен так же, как и вектор изменения скорости Δv при Δt → 0, и не совпадает в общем случае с направлением вектора скорости v. Пусть мгновенное ускорение aмгн направлено, как указано на рис. 1.9, под углом к вектору скорости. Ускорение характеризует изменение скорости по модулю и по направлению. Разложим ускорение на две составляющие: аτ — тангенциальное (или касательное aк) ускорение и аn — нормальное (или центростремительное aцс) ускорение. Составляющая ускорения аτ направлена по касательной к траектории и характеризует из Рис. 1.8 Рис. 1.9
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 17 Механика. Кинематика менение скорости по модулю; составляющая аn направлена к центру кривизны траектории (по нормали к скорости) и характеризует изменение скорости по направлению. аn = v2 / R, где v — модуль мгновенной скорости, R — радиус кривизны траектории в данной точке (покажем ниже). Модуль мгновенного ускорения a a an мгн = + τ 2 2. (1.10) 1.5. Прямолинейное равноускоренное движение Когда нормальное ускорение тела равно нулю, an = 0, скорость не изменяется по направлению. В этом случае полное ускорение равно тангенциальному a = aτ. Если при этом ускорение остается постоянным по величине, то материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно и среднее ускорение равно мгновенному: a a ср мгн = . Направим ось ОХ вдоль направления движения тела в момент времени t = 0 (рис. 1.10). Из определения ускорения следует, что a v v t x x x = − 0 , где v0x — скорость тела при t = 0. Тогда составляющая скорости по оси Х vx = v0x + axt. (1.11) На рисунках 1.10 показаны скорости и направления ускорения (ах > 0 и ах< 0). Рис. 1.10 Пусть скорость изменяется со временем, как показано на рис. 1.11. Разделив промежуток времени на малые отрезки Δti, в пределах каждого из которых скорость можно считать постоянной, получим, что перемещение за некоторый промежуток времени Δt численно равно сумме площадей малых прямоугольников, т. е. площади криволинейной трапеции (заштрихованная площадь). Рис. 1.11
1.5. Прямолинейное равноускоренное движение Зная закон изменения скорости при прямолинейном равноускоренном движении и изобразив его на графике (рис. 1.12), мы получим формулу для определения изменения координаты тела со временем. Это изменение численно равно площади заштрихованной трапеции: Δх v t v v t v v a t t a t x x x x x x x = = = + + = + + 0 0 0 2 0 2 2 2 . (1.12) Следовательно, положение (координата) материальной точки определяется уравнением движения x = x0 + v0xt + axt2 / 2. (1.13) В это уравнение мы подставляем значения кинематических характеристик с учетом их направления, поэтому для решения задач удобны следующие выражения для скорости и координаты точки: х = х0 ± v0t ± at2 / 2, (1.14) vx = ±v0 ± at, (1.15) где v0 и a — модули начальной скорости и ускорения. Если начальная скорость и ускорение совпадают по направлению, движение тела будет ускоренным; если направления их различны, то движение замедленное. Изобразим на графиках зависимости ax(t), vx(t) и x(t) (рис. 1.13) для равноускоренного и равнозамедленного движений, при условии v0x > 0, взяв числовые данные: x0 = 0, v0x = 1 м / c, ax = 1 м / c2; 3 м / c2; –0,5 м / c2; –1 м / c2. Если аx > 0 и ускорение совпадает по направлению с вектором начальной скорости (рис. 13, а), то скорость непрерывно возрастает (рис. 13, б). Это видно также из графика зависимости x(t) (рис. 1.13, в): увеличивается тангенс угла наклона касательной к кривой, который определяет мгновенную скорость материальной точки v = Δx / Δt = tg α. (Заметим, что здесь мы говорим о численном значении скорости, так как скорость имеет наименование (размерность), а тангенс угла — безразмерное число.) График x(t) при аx > 0 — парабола с ветвями, направленными вверх (см. рис. 1.13, в). Вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. Касательная к параболам при t = 0 общая, так как начальные скорости одинаковы. При аx < 0 скорость уменьшается до 0, а затем тело изменяет направление движения, и модуль скорости будет увеличиваться (рис. 1.13, д). График x(t) при аx < 0 (рис. 1.13, е) представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Вершина параболы соответствует моменту времени, когда тело останавливается, vx = 0. Рис. 1.12