Элементы теории вероятностей

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра «Математика»

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

Учебное пособие

Ставрополь 2017

УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я73

Литвин, Д.Б.
Элементы теории вероятностей: Учебное пособие / Литвин Д.Б., Мелешко 

С.В., Невидомская И.А., Королькова Л.Н. – Ставрополь: Сервисшкола, 2017. –
80 с.

Пособие предназначено для студентов экономических и инженерных на
правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует первой части дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика».

ОГЛАВЛЕНИЕ

1 Случайные события и их вероятности................................................................... 5

1.1 Случайные события. Алгебра событий........................................................... 5

1.2 Классический способ подсчета вероятностей................................................ 8

1.3 Элементы комбинаторики..............................................................................11
1.3 Геометрическая вероятность..........................................................................15

1.4 Статистическая вероятность ..........................................................................19

1.5 Вероятность суммы и произведения событий..............................................19

1.6 Формула полной вероятности. Формула Байеса..........................................24

1.7 Повторные независимые испытания.............................................................27

Формула Бернулли..........................................................................................27
Формула Пуассона ..........................................................................................30

Формулы Муавра-Лапласа.............................................................................32

2 Случайные величины............................................................................................. 35

2.1 Случайная величина и ее закон распределения ...........................................35

2.2 Числовые характеристики случайных величин ...........................................44
2.3 Типовые законы распределения случайных величин..................................51

3 Неравенство Чебышева.......................................................................................... 59

4 Двумерные случайные величины ......................................................................... 60

4.1 Закон распределения двумерной СВ.............................................................60

4.2 Числовые характеристики случайных векторов ..........................................66

4.3 Нормальный закон распределения на плоскости.........................................67

Контрольная работа №1 "Случайные события" (типовые варианты).................. 72

Контрольная работа №2 "Случайные величины" (типовые варианты) ............... 74

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Нормированная функция Гаусса  
x

................................... 75

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Нормированная функция Лапласа Ф(х).................................. 76

ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Типовые законы распределения случайных величин ........... 78

ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Таблица основных интегралов................................................ 79

ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................ 80

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящем пособии представлен теоретический материал и задачи по 

следующим темам: алгебра случайных событий; элементы комбинаторики; основные теоремы теории вероятностей; случайные величины и векторы, их законы распределения; числовые характеристики случайных величин и векторов.

Пособие может использоваться на всех направлениях подготовки, где 

предусмотрен раздел (дисциплина) «Теория вероятностей и математическая
статистика». 

1 Случайные события и их вероятности

1.1 Случайные события. Алгебра событий

Опыт (эксперимент, испытание) - некоторая воспроизводимая совокуп
ность условий, в которых наблюдается то или другое явление, фиксируется тот 
или другой результат.

Случайным событием
называется всякий факт, который в результате 

опыта может произойти или не произойти.

События будем обозначать большими буквами латинского алфавита  А, 

В, С  и т.д.

Пусть имеется некоторое испытание. Свяжем с ним такую совокупность 

простейших исходов, чтобы в результате испытания осуществлялся один и 
только один из этих исходов. Такое множество исходов называется пространством элементарных событий, связанных с рассматриваемым испытанием, а входящие в множество исходы – элементарными событиями.

Пространство элементарных событий будем обозначать , а его точки –

 .

При этом, ни одно из элементарных событий нельзя представить в виде 

совокупности более простых. Тогда любое случайное событие А представимо в 
виде подмножества элементарных событий, благоприятствующих этому событию. 

Пример. Бросают игральную кость. Пусть 
k

- появление на кости k оч
ков (

__

k
1,6

). Очевидно, 


6
1
,
,





. Рассмотрим некоторые события:



1
3
5
,
,
А    
- состоящее в появлении нечётного числа очков;



2
4
6
,
,
В    
- появление числа очков кратных двум;



5
С  
- появление на игральной кости 5 очков.

Два события называются противоположными, если появление одного

из них равносильно непоявлению другого. Так, противоположными являются
события "герб" и "цифра" при одном подбрасывании симметричной монеты. 
Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают A.

Достоверное событие это событие, которое происходит всякий раз при 

данном испытании. Оно объединяет все точки пространства элементарных событий  и обозначается той же буквой .

Под невозможным событием понимается событие, которое не может 

произойти в результате данного опыта. Оно не содержит ни одного элементарного события из данного пространства . Невозможное событие будем обозначать  или  .

Два события называются несовместными, если они не могут произойти

вместе при одном и том же испытании. Например, попадание и промах при одном выстреле. В противном случае события называются совместными.

События 


1
2
,
,
,
2
п
А А
А п 
называются попарно несовместными, если 

любые два из них несовместны.

Множество событий


1
2
,
,
,
2
п
А А
А п 
называют полной группой собы
тий, если они попарно-несовместны, а появление одного и только одного из
них является достоверным событием.

Полной группой событий всегда являются пространство элементарных 

событий , а также совокупность противоположных событий 

,
А А .

События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что

одно событие является более возможным, чем другие.

Произведением (пересечением) событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А
называется со
бытие А, заключающееся в появлении всех событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А (оператор И). 

Обозначается 

1

n

i

i

А
А




, или 
1
2
1

n

п
i
i
A
А
А
А
А






 
. Произведение несо
вместных событий - невозможное событие (см. рисунок 1).

i
А

2
А


2
1 А
А

1
А
2
А


1
2
А
А

 

Рисунок 1 - Произведение (пересечение) событий

Суммой (объединением) событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А называется событие А, 

заключающееся в появлении хотя бы одного из событий 
1
2
,
,
,
п
А А
А (оператор 

ИЛИ). Обозначается 

1

n

i

i

A
А




, или 
1
2
1

n

п
i
i
A
А
А
А
А






 
(см. рисунок 2).

1
А

2
А



2
1
А
А


1
А
2
А


2
1
А
А


Рисунок 2 - Сумма (объединение) событий

ЗАДАЧИ

1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших

очков, которая может меняться от 2 до 12. Записать пространство элементарных исходов  и полную группу событий в этом опыте.

2. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию благоприятствует

больше элементарных исходов: "сумма выпавших очков равна 7", "сумма
выпавших очков равна 8"?

3. Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, выбира
ют наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что он — юноша. 
Событие В - в том, что он не курит, а событие С - в том, что он живет в общежитии. 

а) Описать событие 
.
ABC

б) При каком условии будет иметь место тождество 
?
ABC
A


в) Когда будет справедливо соотношение 
?
C
B


г) Когда будет верно равенство A
B

, будет ли оно иметь место, если все 

юноши курят?

4. Пусть А, В и С — три произвольно выбранных события. Найти выражения 

для событий, состоящих в том, что из А, В и С: 
а) произошло только А;
б) произошли А и В, но С не произошло;
в) все три события произошли;
г) произошло хотя бы одно из этих событий;
д) произошло хотя бы два события;
е) произошло одно и только одно из этих событий;
ж) произошло два и только два события;
з) ни одно из событий не произошло;
и) произошло не более двух событий.

1.2 Классический способ подсчета вероятностей

Вероятность события А определяется отношением

 
,
m
P A
n


где m — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих 

появлению события А; 

n — общее число равновозможных элементарных исходов испытания. 
Вероятность события есть неотрицательная величина, изменяющаяся в 

пределах: [0; 1].

Указать ошибку «решения» задачи: брошены две игральные кости; най
ти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 3 (событие А).

Решение. Возможны два исхода испытания: сумма выпавших очков рав
на 3, сумма выпавших очков не равна 3. Событию А благоприятствует один 
исход; общее число исходов равно двум. Следовательно, искомая вероятность

 =1/ 2
Р A
.

Ошибка этого «решения» состоит в том, что рассматриваемые исходы 

не являются равновозможными.

Правильное решение. Общее число равновозможных исходов равно 

6 6
36


(каждое число очков, выпавших на одной кости, может сочетаться 

со всеми числами очков, выпавших на другой кости). Среди этих исходов благоприятствуют событию А только два исхода (в скобках указаны числа выпавших 
очков); 
(1;2) 
и 
(2;1) 
Следовательно, 
искомая 
вероятность

( )
2 / 36
1/18
P A 

.

ЗАДАЧИ

1. В коробке лежат внешне одинаковые конфеты, из которых а штук с шоко
ладной начинкой, а b — с фруктовой. Из коробки вынута одна конфета. 
Найти вероятность того, что она с шоколадной начинкой.

2. Пусть на кону лежит карта — валет треф, а козыри пики. Найти вероятность 

того, что наудачу взятой из колоды картой карта, лежащая на кону, будет 
бита.

3. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным чис
лом окажется:
а) случайно названное двузначное число; 

б) случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

4. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: 

а) сумма выпавших очков равна семи; 

б) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; 

в) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем; 

г) сумма выпавших очков равна пяти, а произведение — четырем.

5. В коробке шесть одинаковых, занумерованных кубиков. Наудачу по одному 

извлекают все кубики. Найти вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.

6. В «секретном» замке на общей оси четыре диска, каждый из которых разде
лен на пять секторов, на которых написаны различные цифры. Замок открывается только в том случае, если диски установлены так, что цифры на них 
составляют определенное четырехзначное число. Найти вероятность того, 
что при произвольной установке дисков замок будет открыт.

7. Некто купил два лотерейных билета. Каковы вероятности того, что выигра
ют 0, 1 или 2 билета?

8. Одновременно бросаются две монеты. Найти вероятность того, что выпадет 

а) два «герба»,
б) «герб» и надпись,
в) две надписи,
г) хотя бы один раз появится «герб».

9. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинаково
го размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, 
что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: 
а) одну; 

б) две; 

в) три.

10. Какова вероятность того, что наудачу взятую кость домино можно приста
вить к данной: (2; 5)? (Всего в наборе 28 костяшек).

1.3 Элементы комбинаторики

На основе правил произведения и сложения событий определяют соот
ветствующие правила подсчёта количества способов выполнения действия. 

Правило умножения. Если действие А можно совершить n способами, а

действие В – k способами, то последовательное выполнение действия «и А, и В»
можно совершить nk способами.

Правило сложения. Если действие А можно совершить n способами, а

действие В – k способами, то выполнение действия «или А, или В» можно совершить n+k способами.

По виду комбинации (соединения) делятся на перестановки, размещения 

и сочетания. А по типу исходного множества элементов на комбинации (соединения) без повторений и с повторениями.

Пусть задано множество A из n различных элементов. Элементы мож
но перенумеровать целыми числами от 1 до n.

Перестановкой
nP
из n элементов называется любое упорядочение

(расположение в ряд) всех n элементов множества. Различные перестановки отличаются друг от друга только порядком расположения в них элементов.

Число всех возможных перестановок


 

1
2
... 2 1
!
nP
n
n
n
n






  
(1)

Размещением
т
п
А
по m из n элементов называется любое упорядочен
ное подмножество из т элементов множества, состоящего из n различных элементов. Размещения отличаются друг от друга либо составом элементов, либо 
порядком их следования. Число всех возможных размещений

!
(
1)(
2)...(
1)
.
(
)!

т
п

п
А
п п
п
п
т
п
т







(2)

!
n

n
п
P
А
п



Сочетанием
т
п
С
по m из n элементов называется любое неупорядочен
ное подмножество из т элементов множества, содержащего из п различных 
элементов. Сочетания отличаются друг от друга только составом элементов. 
Число всех возможных сочетаний

!
.
!(
)!

m

т
n

п

m

A
п
С
P
т п
т



(3)

Свойства сочетаний (треугольник Паскаля):

0
1
п
С  ;   
1
1

1

т
т
т

п
п
п
С
С
С



 

;   
0
1
2
...
2
n
n

п
п
п
п
С
С
С
С





;   
т
n т

п
п
С
С 

.
(4)

Сочетания также являются коэффициентами биномиального разложения