Элементы линейной алгебры

ЭЛЕМЕНТЫ 

ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

Элементы линейной 

алгебры

студента(ки)_______курса___________________________факультета

_____________________________________________________________

_____________________________________________________________

группы №______

направления____________________________________________________

______________________________________________________________

Ставрополь

«Сервисшкола»

2017

УДК 512.64 (075)
ББК 143Я73
Э 456

Авторский коллектив:
Татьяна Александровна Гулай
Анна Федоровна Долгополова
Виктория Артемовна Жукова
Светлана Васильевна Мелешко
Ирина Алексеевна Невидомская

Элементы линейной алгебры: учебное пособие / Т.А. Гулай, А.Ф. 

Долгополова, В.А. Жукова, С.В. Мелешко, И.А. Невидомская. – Ставрополь: 
Сервисшкола, 2017. – 88 с.

Учебное пособие входит в серию методических разработок, призванных 

способствовать овладению студентами теоретическими основами материала и 
появлению у них навыков решения задач по основным разделам линейной 
алгебры.

УДК 512.64 (075)

ББК 143Я73

Э 456

Авторский коллектив, 2017

ГЛАВА 1 МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1.1 Матрицы. Основные понятия и определения

Определение 1. Матрицей размера 
n
m
называется прямоугольная 

таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие 
матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского 

алфавита, например, А, В, С, …, а для обозначения элементов матрицы 
используются строчные буквы с двойной индексацией: 
,
a ij
где i - номер 

строки, j - номер столбца.





























mn
mj
2
m
1
m

in
ij
2
i
1i

n
2
j
2
22
21

n
1
j
1
12
11

n
m

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

A


























или, в сокращенной записи, 

Например, 
.

3
2
8
5
3

3
0
7

A

















Наряду 
с 
круглыми 
скобками 

используются и другие обозначения матрицы:  
.
,

Две матрицы Aи Bодного размера называются равными, если они 

совпадают поэлементно, т.е. 
ij
ij
b
a 
для любых 
.n
,
,2,1
j
;
m
,2,1
i





Виды матриц.
Матрица, состоящая из одной строки, называется 

матрицей-строкой (вектором-строкой), а из одного столбца – матрицей–
столбцом (вектором-столбцом):




n
1
12
11
a
,
,
a
a
A

матрица-строка; 






















1
m

21

11

b

b
b

B

матрица-столбец.

Матрица называется квадратной n -го порядка, если число её строк 

равно числу столбцов и равно n.

 
.
,
,2,1
;
,
,2,1
;
n
j
m
i
a
A
ij






Например, 























3
8
4

7
5
0

4
7
1

A
- квадратная матрица третьего порядка.

Элементы матрицы 
,
а ij
у которых номер столбца равен номеру строки 


j
i 
, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. 

Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы 
.
a
,
,
a,
a
nn
22
11


Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то 
матрица называется диагональной.

Например, 





















8
0
0

0
10
0

0
0
6

A
- диагональная матрица третьего порядка.

Если у диагональной матрицы n -го порядка все диагональные элементы 

равны единице, то матрица называется единичной матрицей n -го порядка, она 
обозначается буквой Е .

Например, 



















1
0
0

0
1
0

0
0
1

Е
- единичная матрица третьего порядка.

Матрица любого размера называется нулевой, если все её элементы 

равны нулю: 
























0
0
0

...

0
0
0

0
0
0










n
m

1.2 Операции над матрицами. Умножение матрицы на число

Определение 1. Произведением матрицы A на число  называется 

матрица 
A
B


, элементы которой 
ij
ij
a
b


при 
n
,
,2,1
j
;
m
,
,2,1
i




.

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить 

за знак матрицы.

В частности, произведение матрицы A на число 0 есть нулевая матрица, 

т.е. 0 A

  .

Определение 2. Суммой двух матриц A и B одинакового размера 

n
m
называется матрица 
B
A
C


, элементы которой 
ij
ij
ij
b
a
с


при 

n
,
,2,1
j
;
m
,
,2,1
i




(т.е. матрицы складываются поэлементно). В частном 

случае 
.
A
A




Определение 3. Разность двух матриц одинакового размера определяется 

через предыдущие операции: 


.
B
1
A
B
A






Определение 4. Умножение матрицы A на матрицу В определено, когда 

число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Тогда произведением матриц
B
A

n
k
k
m

 
называется такая матрица С

n
m , 

каждый элемент которой 
ijс
равен сумме произведений элементов i-й строки 

матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B:











k

1
s

sj
is
kj
ik
j
2
2
i
j
1
1i
ij
.n
,
,2,1
j
;
m
,
,2,1
i
,
b
a
b
a
b
a
b
a
с




Определение 5. Целой положительной степенью
)1
m
(
Аm

квадратной 

матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.:

.
A
A
A
Аm






Заметим, что операция возведения в степень определяется только для 

квадратных матриц. По определению полагают 
.
А
А
,
Е
А
1
0


Нетрудно 

показать, что 
.
A
)
A
(
,
A
A
A
mk
k
m
k
m
k
m





Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А, в 

которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. 
Матрица А называется транспонированной относительно матрицы А:

.

a
a
a

a
a
a

a
a
a

A
,

a
a
a

a
a
a

a
a
a

А

mn
n
2
n
1

2
m
22
12

1
m
21
11

mn
2
m
1
m

n
2
22
21

n
1
12
11






























































Из определения следует, что если матрица А имеет размер 
n
m , то 

транспонированная матрица A имеет размер 
.
m
n

Например,
.

6
3

5
2

4
7

A
;
6
5
4

3
2
7
A
2
3
3
2



































В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной 

матрицы, например 
.
Ат

Решение типовых примеров

Пример 1. Умножить матрицу на число 5, если 
2
4

3
8
A



 




.

10
20
5
15
40
A



 




Пример 2. Вынести общий множитель за знак матрицы:

.
0
1
26

3
6
10
2
0
2
52

6
12
20





















Пример 3. Найти матрицу C=A+B, если 

2
3
0
0
1
4
,
6
5
6
2
5
1
A
B
















2
4
4 .
8
10
7
C
A
B





 




Пример 4. Вычислить произведение матриц 
B
A 
,

где 
.

1
0
2

4
4
5

1
0
3

B
;
0
4
3

2
0
1
A































Решение.
Найдем размер матрицы-произведения (если умножение 

матриц возможно): 
C
B
A

3
2
3
3
3
2





. Вычислим элементы матрицы-произведения С, 

умножая элементы каждой строки матрицы A на соответствующие элементы 
столбцов матрицы В следующим образом:

.
1
0
4
4
1
3
0
0
4
4
0
3
)
2
(
0
5
4
3
3

1
2
4
0
1
)1
(
0
2
4
0
0
)1
(
)
2
(
2
5
0
3
)1
(
















































Ñ

Получаем 










19
16
29

1
0
7
С
.

Пример 5. Найти 
.
4
8

2
1
А
где
,
A2











Решение.
.
32
24

6
17

4
8

2
1

4
8

2
1
А2































Задания для решения в аудитории

1. Найти матрицу С=А+В, если 

2
1
1

1
2
1

1
1
2

А






 






, 

2
3
4

5
6
7

2
3
4

В






 









2. Найти матрицу D=C ˗ F, если 

2
1
3

4
2
1

5
6
7

С

















, 

1
0
2

3
1
4

2
5
6

F















3. Найти матрицу E=4S+2G, если 

1
4
0

0
5
6

1
0
2

S






 





, 

4
6
1

0
5
1

1
3
1

G

















4. Найти матрицу X=A·B, если 

1
1
3

1
5
1

3
1
1

А






 






, 

5
3
7

1
6
3

2
4
1

B







 









1.3 Определители квадратных матриц

Определителем
матрицы 
первого 
порядка
)
a(
A
11

, 
или 

определителем первого порядка, называется элемент 
11
a : 
11
1
a
A 


. 

Например, пусть 
)
8
(
A 
, тогда 
8
A
1



.

Определитель матрицы А обозначается 

,
А
или det A.

Определителем
матрицы 
второго 
порядка
 
ij
а
А 
, 
или 

определителем второго порядка, называется число, которое находится по 

формуле 
.
а
а
а
а
а
а

а
а
А
21
12
22
11

22
21

12
11

2






Пусть дана квадратная матрица третьего порядка



















33
32
31

23
22
21

13
12
11

а
а
а

а
а
а

а
а
а

А
.

Определителем
матрицы 
третьего 
порядка 
 
ij
а
А 
, 
или 

определителем третьего порядка, называется число, которое находится по 

формуле 
.
а
а

а
а
а
а
а

а
а
а
а
а

а
а
а
А

32
31

22
21

13

33
31

23
21

12

33
32

23
22

11
3









Определитель 
третьего 
порядка 
удобно 
вычислять 
по 
правилу 

треугольников (или по правилу Сарриуса). Покажем это на схеме:

















































































































Например, 

.2
4
10
0
12
4
0

1
1
4
5
2
)1
(
3
0
2
3
4
)1
(
2
1
2
5
0
1

5
4
2

1
0
1

3
2
1

































более
ля
определите
понятие
ввести
чтобы
,
того
Для
высокого порядка, 

потребуются некоторые дополнительные понятия.

Минором 
ij
M
элемента 
ij
a
матрицы
А n-го порядка называется 

определитель 
матрицы 
(n-1)-го порядка, 
полученной 
из 
матрицы А 

вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, минором элемента 
12
а

матрицы А третьего порядка будет:

.
23
31
33
21

33
31

23
21

33
32
31

23
22
21

13
12
11

12
а
а
а
а
а
а

а
а

а
а
а

а
а
а

а
а
а

М





Каждая матрица n-го порядка имеет 
2
n миноров (n-1)-го порядка.

Алгебраическим дополнением
ij
А элемента 
ij
a
матрицы n-го порядка 

называется его минор, взятый со знаком 

:
1

j
i



,
M
1
A
ij

j
i

ij




т.е. 

алгебраическое дополнение совпадает с минором, если сумма номеров строки и 
столбца (
j
i  ) - четное число, и отличается от минора знаком, если 
j
i 

нечетное число.

Например, 




.
M
M
1
A
;
М
М
1
А
31
31

1
3

31
23
23

3
2

23











Определение. 
Определитель 
квадратной 
матрицы 
равен 
сумме

произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраическое 

дополнение









n

1
s

S
1
S
1
n
1
n
1
12
12
11
11
A
a
A
a
A
a
A
a

(разложение по элементам 

1-й строки). 

Например, 
вычисление 
определителя 
4-го 
порядка 
сведется 
к 

вычислению четырех определителей 3-го порядка.

Свойства определителей:

1) Определитель не меняется, если в нем строки и столбцы поменять местами.
2) Если в определителе поменять местами какие-либо две строки или два 
столбца, то определитель изменит только знак.
3) Общий множитель какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак 
определителя.
4) Если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны нулю, 
то определитель равен нулю.
5) Определитель равен нулю, если элементы каких-либо двух строк равны или 
пропорциональны.
6) Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) 
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные 
на любое не равное нулю число. Это так называемый способ получения нулей.

Пример. 



3

1
3
2
1
0
0
2
7
2
4
3
2
2 7
1
24
91
67
13 12
5
2
2
5
13 12

(2)





 



 





7) Сумма 
произведений 
элементов 
какой-либо 
строки 
(столбца) 
на 

соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки 
(столбца) равна нулю.

11
21
12
22
13
23
0
а
А
а
А
а
А







Решение типовых примеров

Пример 1. Вычислить определитель второго порядка, если 

2
8

1
5
А



 




Решение.
2
8
2 5 8 1
18.
1
5
А

 

      

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка 
.

2
4
1

1
2
2

3
1
1

А





Решение.


.
21
6
3
3
1
0
1
4
1

2
2
3
2
1

1
2
1
2
4

1
2
1
















Пример 3. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы

.

2
4
1

1
2
2

3
1
1

А


















