Ряды
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Сервисшкола
Автор:
Литвин Д. Б.
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 88
Дополнительно
Доступ онлайн
В корзину
Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических направлений обучения и направлено на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Оно может быть использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения соответствующего раздела математического анализа.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 01.03.03: Механика и математическое моделирование
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ РЯДЫ Учебное пособие г. Ставрополь 2017
УДК 51 (075.8) ББК 22.1я73 Литвин, Д.Б. Ряды: учебное пособие / Д.Б. Литвин, Т.А. Гулай, И.И. Мамаев. – Ставрополь : Сервисшкола, 2017. – 88с. Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических направлений обучения и направлено на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов. Оно может быть использовано как для работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения соответствующего раздела математического анализа.
ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................................... 5 1. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................................... 5 1.1. Числовые ряды ................................................................................................ 5 Общие сведения ................................................................................................. 5 Необходимое условие сходимости ряда ......................................................... 6 Достаточные признаки сходимости рядов...................................................... 6 Решение типовых примеров ............................................................................. 7 Задания для самостоятельного решения ....................................................... 10 1.2. Знакочередующиеся ряды ........................................................................... 15 Решение типовых примеров ........................................................................................ 15 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 17 1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ................ 18 Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ............................ 18 Решение типовых примеров ........................................................................................ 18 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 20 1.4. Функциональные ряды ................................................................................. 21 Решение типовых примеров ........................................................................................ 22 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 23 1.5. Степенные ряды ............................................................................................ 24 Свойства степенных рядов .......................................................................................... 26 Решение типовых примеров ........................................................................................ 26 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 27 1.6. Ряды Тейлора и Маклорена ......................................................................... 29 Разложения в ряд Маклорена типовых функций: ............................................... 30 Решение типовых примеров ........................................................................................ 30 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 32 1.7. Некоторые приложения степенных рядов ................................................. 33 Вычисление значений функций ................................................................................. 33 Решение типовых примеров ........................................................................................ 34 Вычисление определенных интегралов .................................................................. 35
Применение рядов к решению дифференциальных уравнений ..................... 36 Решение типовых примеров ........................................................................................ 37 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 38 1.8. Ряды Фурье .................................................................................................... 42 Решение типовых примеров ........................................................................................ 44 Задания для самостоятельного решения ................................................................. 48 ОТВЕТЫ ................................................................................................................. 54 ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Контрольная работа по рядам ................................................. 57 ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................... 87
ПРЕДИСЛОВИЕ Пособие охватывает традиционный курс высшей математики в объёме третьего и четвертого семестров Каждая глава пособия начинается с необходимого теоретического минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем идёт блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала подробно разбираются несколько типовых задач с полным анализом решения, после чего предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных задач для закрепления приобретённого навыка. Для контроля усвоения материала в пособии представлены 30 вариантов контрольной работы. В пособии имеются типовые задачи, а также довольно много более сложных заданий для наиболее успевающих студентов. К подавляющему большинству задач приведены ответы, а к наиболее трудным из них – подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту широкие возможности для активной самостоятельной работы и экономит его время. Студентам предлагается перед каждым практическим занятием изучить относящийся к нему раздел теории, внимательно, с выполнением всех действий на бумаге, разобрать решённые задачи и только после этого приступать к решению задач, предложенных для самостоятельного решения.
1. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 1.1. Числовые ряды Общие сведения Пусть 1 2 3 , , ,..., ,... n u u u u бесконечная числовая последовательность. Выражение вида 1 2 3 ... ... n u u u u + + + + + (1) называется числовым рядом (или просто рядом), а числа 1 2 3 , , ,... u u u называются членами ряда; n u при произвольном п называется общим членом ряда (иногда первый член ряда обозначают 0u , второй — 1u и т. д., то есть придают п значения 0, 1, 2, ...). Ряд часто записывают 1 n n u ∞ =∑ . Числовой ряд задан, если известен его общий член un, или известен закон, по которому он может быть получен. Сумму первых п членов числового ряда обозначают через n S и называют частичной суммой ряда : S1=u1; S2= u1+ u2; S3= u1+ u2+ u3; … ; Sn= u1+ u2+…+un . (2) Определение Ряд (1) называется сходящимся, если п-я частичная сумма n S при неограниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т.е. lim n n S S →∞ = , где S называется суммой ряда (1). Если же п-я частичная сумма ряда при n → ∞ не стремится к конечному пределу или вообще не имеет никакого предела, то ряд называется расходящимся. Ряд а+аq+aq2+…+aqn-1+… (3) называется геометрической прогрессией, а - первый член ряда; q – знаменатель прогрессии, сумма ряда 1 n n a aq S q − = − . При |q|<1 ряд (3) сходится, его сумма равна 1 a S q = − и при |q|≥1 ряд (3) расходится. Ряд 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 n + + + + + + (4) называется гармоническим рядом, он расходится. Ряд
1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 p p p p n + + + + + + (5) называется обобщенным гармоническим рядом, при p>1 этот ряд сходится, а при 1 p ≤ он расходится. Необходимое условие сходимости ряда Если ряд 1 n n u ∞ =∑ сходится, то его общий член un стремится к 0 при n → ∞ lim 0 n n u →∞ = (6) Если общий член ряда un не стремится к 0 при , то ряд расходится. Достаточные признаки сходимости рядов 1. Признаки сравнения Пусть даны два ряда с положительными членами 1 2 ... ... n u u u + + + + = 1 n n u ∞ =∑ (*) 1 2 ... ... n v v v + + + + = 1 n n v ∞ =∑ (**) 1) Если члены ряда (*) не превосходят соответствующих членов ряда (**), т. е. n n u v ≤ и ряд (**) сходится, то сходится и ряд (*). 2) Если члены ряда (*) не меньше соответствующих членов ряда (**), т.е. n n u v ≥ и ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*). Этот признак остаётся в силе, если неравенства ( ) n n n n u v u v < > выполняются не при всех п , а лишь начиная с некоторого номера n N = . 2. Предельный признак сравнения Пусть даны два знакоположительных ряда 1 n n u ∞ =∑ и 1 n n v ∞ =∑ . Если существует конечный, отличный от нуля, предел lim (0 ) n n n u A A v →∞ = < < ∞ , то оба ряда 1 n n u ∞ =∑ и 1 n n v ∞ =∑ сходятся и расходятся одновременно. 3. Признак Даламбера Если для знакоположительного ряда 1 2 ... ... n u u u + + + + существует 1 lim n n n u l u + →∞ = , то если 1 l < ряд сходится, если же 1 l > , то ряд расходится. ∞ → n
Если 1 l = , то ряд может сходиться, а может и расходиться. В этом случае признак Даламбера ответа не дает, приходится исследовать на сходимость ряд с помощью других признаков. 4. Признак Коши (Радикальный признак) Если для знакоположительного ряда 1 2 ... ... n u u u + + + + существует lim n n n u l →∞ = , то если 1 l < , то ряд сходится, если 1 l > , то ряд расходится. Если 1 l = , то радикальный признак не дает ответа о сходимости ряда. 5. Признак Коши. (Интегральный признак). Пусть члены знакоположительного ряда 1 2 ... ... n u u u + + + + 1 2 3 ... u u u ≥ ≥ ≥ и ( ) f x такая непрерывная невозрастающая на промежутке [1; ) +∞ функция, что 1 (1) f u = , 2 (2) f u = ,…, ( ) n f n u = ,… Тогда, если несобственный интеграл 1 ( ) f x dx +∞ ∫ сходится, то и ряд сходится, а если он расходится, то и ряд расходится. Решение типовых примеров 1 Дан общий член ряда 2 1 3 n n n u − = . Написать первые четыре члена ряда. Решение Если 1 n = , то 1 1 3 u = ; если 2 n = , то 2 3 9 u = ; если 3 n = , то 3 5 27 u = ; если 4 n = , то 4 7 81 u = ;…. Ряд можно записать в виде 1 3 5 7 ... 3 9 27 81 + + + + . 2 Найти общий член ряда 4 16 64 256 2 4 6 8 + + + +…. Решение Числители образуют геометрическую прогрессию 2 3 4 4,4 ,4 ,4 ,...; n-й член этой прогрессии 4n nb = . Знаменатели образуют арифметическую прогрессию 2,4,6,8,...; n-й член этой прогрессии находим по формуле 1 ( 1) na a d n = + − , где 1 2, 2 a d = = , поэтому 2 na n = . Следовательно, общий член этого ряда 4 2 n nu n = .
3 Найти сумму ряда 2 1 1 5 6 n n n ∞ = + + ∑ . Решение Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей: 2 1 1 5 6 ( 2)( 3) n u n n n n = = + + + + 2 3 A B n n = + + + Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придём к тождеству 1 ( 3) ( 2) A n B n ≡ + + + . Полагая 2 n = − , находим 1 = А; значит 1 A = ; 3 n = − , находим 1 = - В; значит 1 B = − . Таким образом, 1 1 2 3 nu n n = − + + , т.е. 1 1 2 3 nu n n = − + + . Отсюда 1 1 1 3 4 u = − ; 2 1 1 4 5 u = − ; 3 1 1 5 6 u = − ; 4 1 1 6 7 u = − ;…. Следовательно, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 3 4 4 5 5 6 6 7 2 3 3 3 n S n n n = − + − + − + − + + − = − + + + . Так как 1 1 1 lim lim( ) 3 3 3 n n n S S n →∞ →∞ = = − = + , то ряд сходится. 4 Исследовать сходимость ряда 1 1 3 4 n n ∞ = + ∑ . Решение Сравним этот ряд с рядом 1 1 3n n ∞ =∑ (то есть с бесконечно убывающей геометрической прогрессией, так как 1 1 3 q = < ), этот ряд сходится. Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда 1 1 3n n ∞ =∑ , следовательно, данный ряд сходится. 5 Исследовать сходимость ряда 1 1 4 2 3 n n ∞ = ⋅ − ∑ . Решение
Сравним этот ряд с рядом 1 1 2n n ∞ =∑ ( 1 1 2 q = < ,бесконечно убывающая геометрическая прогрессия). Применим предельный признак сравнения рядов: 2 1 1 lim lim lim 3 4 2 3 4 4 2 n n n n n n n n u v →∞ →∞ →∞ = = = ⋅ − − . Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд 1 1 2n n ∞ =∑ сходится, то сходится и данный ряд. 6 Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 1 ... ... 2 5 8 11 3 1 n + + + + + + − . Решение Сравним данный ряд с гармоническим рядом 1 1 n n ∞ =∑ (расходится). Воспользуемся предельным признаком сравнения 1 lim lim 3 1 3 n n n n u n v n →∞ →∞ = = − . Следовательно, данный ряд расходится. 7 Исследовать сходимость ряда 2 3 4 10 10 10 10 2 2 2 2 2 ... ... 1 2 3 4 n n + + + + + + . Решение Применим признак Даламбера: имеем 10 2n n u n = , 1 1 10 2 ( 1) n n u n + + = + . Тогда 1 10 10 1 10 10 10 2 2 1 lim lim lim 2lim 2 1 ( 1) 2 ( 1) (1 ) n n n n n n n n u n n l u n n n + + →∞ →∞ →∞ →∞ ⋅ ⋅ = = = = = + ⋅ + + . Так как 1 l > , то данный ряд расходится. 8 Исследовать сходимость ряда 2 3 4 10 10 10 10 10 ... ... 1! 3! 5! 7! (2 1)! n n + + + + + + − . Решение Применим признак Даламбера: имеем 10 (2 1)! n n u n = − ,
( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 10 10 10 2 1 1 ! 2 2 1 ! (2 1)! n n n n u n n n + + + + = = = + − + − + . Тогда 1 1 10 (2 1)! 10 lim lim lim 0 (2 1)!10 2 (2 1) n n n n n n n u n l u n n n + + →∞ →∞ →∞ − = = = = + + . Так как 1 l < , то данный ряд сходится. 9 Исследовать сходимость ряда 2 1 1 1 3 n n n n n ∞ = + ∑ . Решение Здесь удобнее применить радикальный признак Коши, поскольку 1 1 3 n n n n u n + = . 1 1 1 1 lim lim lim 1 3 3 3 n n n n n n n n e l u n n →∞ →∞ →∞ + = = = + = , так как 1 l < , то данный ряд сходится. 10 Исследовать сходимость ряда 2 1 1 n n n ∞ = + ∑ . Решение Воспользуемся интегральным признаком Коши: 2 2 , ( ) 1 1 n n x u f x n x = = + + , 2 2 2 1 1 1 1 2 1 ln 1 1 2 1 2 x x dx dx x x x ∞ ∞ ∞ = = + = ∞ + + ∫ ∫ . Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд. Задания для самостоятельного решения 11 Записать 4-5 первых членов ряда, по известному общему члену Un. а) Un = 2 3п 2 п 1 − + ; б) Un = 2 2 2п 1 ( п 1) ( п 2 ) + + + ; в) Un = 3 n п e ; г) Un = n 1 1 ( 2n 1)3 − − ;
д) Un = 1 ( 2п 1)( 2п 1) − + ; е) Un = 2 n n! . 12 Написать простейшую формулу n–го члена ряда по указанным членам а) 1 1 1 1 ... 3 5 7 + + + + ; б) 1 1 1 1 ... 2 4 6 8 + + + + ; в) 2 3 4 1 ... 2 4 8 + + + + ; г) 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ; д) 1 1 1 1 ... 4 9 16 + + + + ; е) 3 4 5 6 ... 4 9 16 25 + + + + ; ж) 2 4 6 8 ... 5 8 11 14 + + + + ; з) 1 1 1 1 ... 2 3 4 3 8 3 16 3 + + + + + + + + ; и) 1 1 1 1 ... 1 2 1 2 3 1 2 3 4 + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . 13 Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости рядов а) 2 4 6 2п ... ... 3 5 7 2п 1 + + + + + + б) 2 3 5 2п 1 1 ... ... 4 9 п − + + + + + в) п 1 1 cos n ∞ =∑ г) 1 3 5 2n 1 ... ... 2 4 6 2n − + + + + + д) 3 n 1 n ( n 1) ∞ = + ∑ е) n 1 1 arctg n ∞ =∑ ж) 2 3 5 10 n 1 2 ... ... 8 27 n + + + + + + з) п 1 1 nsin n ∞ =∑
Доступ онлайн
В корзину