Дифференциальное исчисление функций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

ФУНКЦИЙ 

Учебное пособие

г. Ставрополь

2017

УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я73

Литвин, Д.Б.
Дифференциальное исчисление функций: Учебное пособие / Литвин Д.Б., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Королькова Л.Н. – Ставрополь : Сервисшкола, 
2017. – 80 с.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических на
правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине 
«Математический анализ».

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРЕДЕЛЫ................................................................................................................ 5

1.1. Числовые множества......................................................................................... 5

1.2. Функции ............................................................................................................. 5

1.3. Числовая последовательность. Предел последовательности ....................... 5

1.4. Предел функции ................................................................................................ 6
1.5. Бесконечно большая и малая функции........................................................... 7

1.6. Основные теоремы о пределах ........................................................................ 8

1.7. Замечательные пределы.................................................................................... 8

1.8. Решение типовых примеров............................................................................. 9

1.9. Задания для самостоятельной работы:.......................................................... 13

2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ......................................................................... 18

2.1. Непрерывность функции в точке................................................................... 18

2.2. Точки разрыва функции и их классификация.............................................. 18

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.............................................................................. 20

3.1. Определение. Уравнения касательной и нормали к кривой....................... 20

3.2. Дифференцирование неявно заданной функции ......................................... 25
3.3. Дифференцирование функции, заданной параметрически ........................ 25

3.4. Логарифмическое дифференцирование........................................................ 25

3.5. Производные высших порядков явно заданной функции .......................... 26

3.6. Производные высших порядков неявно заданной функции ...................... 27

3.7. Производные высших порядков параметрически заданных функций...... 27

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ .......................................................................... 31

4.1. Применение дифференциала к приближенным вычислениям................... 32

4.2. Дифференциалы высших порядков............................................................... 32

5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ...................................................................... 35

5.1. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0 0 и  . ....... 35

5.2. Исследование функций................................................................................... 37

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ........................................................................................................... 46

6.1. Понятие функции нескольких переменных (ФНП)..................................... 46

6.2. Частные производные, производные по направлению, градиент.............. 49

6.3. Неявные функции и их дифференцирование ............................................... 55

6.4. Полное приращение и дифференциалы ФНП.............................................. 56

6.5. Дифференциал второго порядка и матрица Гессе ФНП............................. 57

6.6. Частные производные высших порядков ..................................................... 60

6.7. Необходимые и достаточные условия локального экстремума ФНП....... 61

6.8. Глобальный экстремум ФНП......................................................................... 67
6.9. Условный экстремум ...................................................................................... 69

6.10.Метод наименьших квадратов....................................................................... 74

Контрольная работа  "ФНП" (типовые варианты)................................................... 78

Приложение 1.          ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ................................................. 79

ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................. 80

1. ПРЕДЕЛЫ

1.1.Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовы
ми. Примерами числовых множеств являются:



N
1;2;3;...;п;...

- множество натуральных чисел;



0
Z
0;1;2;...;п;...

- множество целых неотрицательных чисел;



Z
0; 1; 2;...; п;...




- множество целых чисел;

m
Q
: т
Z, п
N
n











- множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел.
Между этими множествами существуют соотношения

0
N
Z
Z
Q
R
C





,       R
Q
I

 .

1.2.Функции

Функцией называется  соответствие f, которое каждому элементу x
X


сопоставляет один и только один элемент y
Y

, и записывается y
f ( x )

, 

x
X

. Говорят еще, что функция  f отображает множество Х на множество Y.

Основные элементарные функции

1) Показательная функция
x
y
a

, а
0
 , a
1
 ;

2) Степенная функция у
x

, 
R
 
;

3) Логарифмическая функция
a
у
log х, а
0, а
1


 ;

4) Тригонометрические функции у
sinx

, у
cosx

, у
tgx

, у
ctg х

;

5) Обратные тригонометрические функции у
arcsinx

, у
arccosx

, 

у
arctgx

, у
arcctgx

.

1.3.Числовая последовательность. Предел последовательности

Под числовой последовательностью 
1
2
3
n
x ,x ,x ,...,x ,...,обозначается  
nx
,

понимается функция натурального аргумента

nx
f ( n )

,  n
N

(1)

Например, 
n

1 1
1
x
1, , ,...,
2 3
n



 




,  



2

ny
1,4,9,...,n

.

Число а называется пределом пocледовательности  
nx
, если для любо
го сколь угодно малого положительного числа 
0
  , найдется такое натураль
ное число N, что при всех n
N

выполняется неравенство

nx
a



.
(2)

Коротко определение предела можно записать так:



n
n

n

0  N :
n
N
x
a
limx
а.







 







Неравенство 
(2)
равносильно 
неравенствам 
nx
а


 


или

n
а
x
а
,






которые показывают, что элемент 
nx
находится в  
окрестности точки a .

Рисунок 1 -  -окрестность точки a

При выполнении 
n

n
limx
а




, говорят, что последовательность  
nx
сходит
ся к значению а. 

1.4.Предел функции

Пусть функция  
 
y
f x

определена на некотором множестве Х и пусть  

0x
X

.  Возьмем из множества Х последовательность 
1
2
n
x ,x ,...,x ,..., элементы 

которой отличны от 


0
n
0
x
x
x

, сходящуюся к 
0x
. Последовательность 

функции 






1
2
n
f x , f x
,..., f x
,... тоже образуют числовую последователь
ность.

Определение 1 (по Гейне). Число А называется пределом функции 
 
y
f x

при 
0
x
x

, если для любой сходящейся к 
0x
последовательности  

значений аргумента  
nx
, отличных от 
0x , соответствующая последователь
ность 




n
f x
значений функции сходится к числу А.

Записывают     
 

0
x
x
lim f x
A



.

Функция  
 
y
f x

в точке хо может иметь только один предел.

Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции 
 
y
f x

при  
0
x
x

, если для любого сколь угодно малого числа 
0
 
суще
ствует число  
 
0
  
такое, что при 
0
x
x



выполняется неравенство  

 
f x
A



(см. рис.2).

Записывают     
 

0
x
x
lim f x
A



.

В определении предела функции 

0
x
x
lim f
А
( x )



считается, что х стремится 

к 
0x
любым способом: слева, справа от 
0x
или колеблясь около этой точки.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к 
0x существенно влия
ет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов (см. рис. 3).

Предел слева и справа записывают соответственно: 

0

1
x
x
0
lim f ( x )
A




;      
 

0

2
x
x
0
lim f x
A




.

Если в точке 
0x существуют оба предела и они равны
1
2
A
A

, то сущест
вует и предел 

0
x
x
A
lim f ( x )


. Если же 
1
2
A
A

, то 

0
x
x
lim f ( x )

не существует.

Рисунок 2 - Определение предела
Рисунок 3 - Односторонние пределы

1.5.Бесконечно большая и малая функции

Функция 
 
у
f x

называется бесконечно большой (б.б.ф.) npu
0
x
x

, 

если для сколь угодно большого числа М
0

существует число
( M )
0



 , 

что для всех х, удовлетворяющих неравенству
0
x
x



, выполняется нера
венство f ( x )
M

: 

0
x
x
lim f ( x )

 . Например, функция 
1
y
x
2


есть б.б.ф. при

x
2
 .

Функция у 
)
f ( x

называется бесконечно малой (б.м.ф.) npu
0
x
x

, ес
ли

0
x
x
lim f ( x )
0



. Например, функция
2
у 
 х

при х
0

есть б.м.ф.

Основные теоремы о бесконечных функциях

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть 

бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию 

есть функция бесконечно малая.

3. Если функция ( x )

- бесконечно малая 
0
 
, то функция 
1
( x )

есть 

бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(x) - бесконечно 

большая, то 
1

f ( x ) - бесконечно малая.

1.6.Основные теоремы о пределах

1) Если 
 

0
x
x
lim f x
A



, а 
 

0
x
x
lim
x
В




, то

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A
В










; 

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A В










; 

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A B








, 

В
0

.

2) 
 
 

0
0

n
n

x
x
x
x
lim
f x
lim f x
.
















3) 




0
x
x

x
lim C
C





;                                 4) 




 




 

0
0
x
x
x
x

x
x

lim C f x
C lim f x








.

Важнейшие эквивалентности

1) sinx~ x ; 
6) 
xe
1
 ~ x ; 

2) tg x ~ x ;
7) 
x
a
1
 ~ x ; 

3) arcsinx~ x ; 
8) 


ln 1
x

~ x ; 

4) arctg x~ x ; 
9) 


a
log
1
x

~
a
xlog e ; 

5) 1
cos x

~

2x
2 ; 

10) 


k
1
x
1

 ~kx; 

(в частности 1
x
1

 ~ x

2 ).

1.7.Замечательные пределы

Первый замечательный предел

x
0
x
0

sinx
x
lim
1;
lim
1.
x
sinx




(3)

Второй замечательный предел




x
1
x

x
x
0

1
lim 1
e;
lim 1
x
e
x














.
(4)

Вычисление пределов
1. Если при 
0
x
x

функция определена, то 
 



0

0
x
x
lim f x
f x



. 

2. Если функция 
 
f x
в точке 
0
x
x

не определена, то необходимо поль
зуясь свойствами пределов "раскрыть" неопределенность одного из типов

«0 0 »; « »; «0»; « »; «1 »; «
0
0 »; «
0
 ».

1.8. Решение типовых примеров

Вычислить пределы:

Пример 1. 

2

2
x
2

x
x
2
lim
x
1






.

Решение

Так как 



2

x
2
lim x
1
5
0




 , то применим теорему о пределе частного

2

2
x
2

x
x
2
4
2
2
4
lim
.
x
1
4
1
5











Пример 2. 

2

2
x
2

x
5x
6
lim x
3x
2







.

Решение

Функция  

2

2
x
5x
6

x
3x
2






в точке x
2

не определена. Так как при x
2

чис
литель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то имеем неопределенность 

вида  « 0

0 ». Преобразуем дробь так, чтобы ее можно было бы сократить на x
2


. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:





2x
5x
6
x
2
x
3





, так как 
2x
5x
6
0



при  
1
2
x
2,
x
3


.  





2x
3x
2
x
2
x
1





, так как 
2x
3x
2
0



при  
1
2
x
2,
x
1

 .

Итак, имеем









2

2
x
2
x
2
x
2

x
2
x
3
x
5x
6
x
3
2
3
lim
lim
lim
1
x
3x
2
x
2
x
1
x
1
2
1













 






.

Пример 3. 

x
3
3
x
6
lim
x
3






.

Решение
При x
3

числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, следова
тельно, имеем неопределенность « 0

0 ».  Преобразуем дробь так, чтобы ее можно 

было сократить на x
3
 . Для этого числитель и знаменатель умножим на вы
ражение, сопряженное иррациональному выражению 3
x
6


, то есть на вы
ражение 3
x
6


, получим









x
3
x
3

3
x
6
3
x
6
3
x
6
lim
lim
x
3
x
3
3
x
6
















{перемножив 
сопряженные 

выражения 



2
2
a
b
a
b
a
b




, избавимся от иррациональности} =















x
3
x
3

x
3

9
x
6
3
x
lim
lim

x
3
3
x
6
x
3
3
x
6

x
3
1
1
1
lim
.
3
3
6
3
3
6
x
3
3
x
6





















 
 
 
 







Пример 4. 
2
x
0
1
cos4x
lim
x



.

Решение

2

2
2
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0

2
2
2

x
0
x
0
x
0

1
cos4x
2sin 2x
sin2x sin2x
sin2x
sin2x
lim
lim
2lim
2lim
lim
x
x
x x
x
x

sin2x
2sin2x
sin2x
2 lim
2 lim
8 lim
8 1
8
x
2x
2x






























 













Пример 5. 

3

2
x

2x
1
lim 3x
2x
1





 .

Решение






3
2

x
x
lim 2x
1
;
lim 3x
2x
1




 


 

Следовательно, имеет место неопределенность вида  « 

 ».  Разделим 

числитель и знаменатель дроби почленно на старшую степень дроби, то есть на 
х3 , получим 

3
3

2
x
x

2
3

1
2
2x
1
x
lim
lim 3
2
1
3x
2x
1

x
x
x







 





.

Предел знаменателя равен нулю, следовательно, в знаменателе бесконеч
но малая функция. Далее применили теорему о связи между бесконечно малой 
и бесконечно большой величинами.

Пример 6. 



2
2

xlim
x
1
x
1





.

Решение
В заданном примере имеем неопределенность вида « ». Умножим и 

разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему выра
жение, то есть на 
2
2
x
1
x
1


 , получим










2
2
2
2

2
2

2
2
x
x

2
2

2
2
2
2
x
x

x
1
x
1
x
1
x
1

lim
x
1
x
1
lim

x
1
x
1

x
1
x
1
2
lim
lim
0.

x
1
x
1
x
1
x
1
























 













Так как  



2
2

xlim
x
1
x
1





  , значит в знаменателе бесконечно 

большая функция. Далее применим теорему о связи между бесконечно большой 
и бесконечно малой величинами.

Пример 7. 

x
0

sin5x
lim
x

.

Решение
Для вычисления этого предела воспользуемся первым замечательным 

пределом (3)

x
0
x
0
x
0

sin5x
5sin5x
sin5x
lim
lim
5lim
5 1
5
x
5x
5x






 
.

Пример 8. 

4x 2

x

2x
3
lim 2x
4














.

Решение

4x 2
4x 2
4x 2

x
x
x

2x
3
2x
4
4
3
7
lim
lim
lim 1
1
2x
4
2x
4
2x
4









































.

Имеем неопределенность вида «1 ». Используем второй замечательный 

предел (4) и следующую подстановку 




4x 2
7
4
2
2
2

x
0

7

2x
4
7
lim 1
x
;
0
lim 1
2x
4
7
x
2
2


























 





 










 









14
14
1
6
6
14

0
0
0
lim 1
lim 1
lim 1
e



































.

Вычислить односторонние пределы:

Пример 9. 




3
x
2 0

4
lim

x
2
 


.

Решение

Пусть x
2

, тогда при x
2
0


функции x
2

и 


3
x
2

являются отри
цательными бесконечно малыми, поэтому  




3

4

x
2


– отрицательная бесконеч
но большая функция.  Следовательно, 




3
x
2 0

4
lim

x
2
 
 



.

При x
2

функции  x
2

и 


3
x
2

– положительные бесконечно малые, 

поэтому




3

4

x
2


– положительная  бесконечно большая функция, тогда 




3
x
2 0

4
lim

x
2
 
 



.

Пример 10. 
1
x
1 0

x 1

1
lim

1
2

 




.

Решение
При x
1 0
 
функция x
1

– отрицательная бесконечно малая, следова
тельно 
1

x
1

– отрицательная бесконечно большая функция. Тогда  

1
x 1
2  – бес
конечно малая функция. Следовательно,
1
x
1 0

x 1

1
lim
1.

1
2

 





