Определенный интеграл. Функции нескольких переменных

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие

г. Ставрополь

2017

УДК 51 (075.8)

ББК 22.1я73

Литвин, Д.Б.

Определенный интеграл. Функции нескольких переменных: Учебное пособие, 
2-е издание / Д.Б. Литвин, С.В. Мелешко, А.А. Яновский. – Ставрополь : Сервисшкола, 2017. – 62с.

Пособие предназначено для студентов экономических и инженерных на
правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине 
«Математический анализ».

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. 4

1
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ ............................... 5

1.1
Определенный интеграл и его свойства....................................................... 5

1.2
Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла.....10

1.3
Вычисление объемов тел вращения............................................................14

1.4
Вычисление длины дуги плоской кривой ..................................................17

1.5
Вычисление площади поверхности вращения...........................................20

Контрольная работа №1  (типовые варианты) ...................................................23

2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ 

ПЕРЕМЕННЫХ.........................................................................................................24

2.1
Понятие функции нескольких переменных (ФНП) ..................................24

2.2
Частные производные, производные по направлению, градиент............27

2.3
Полное приращение и дифференциалы ФНП ...........................................34

2.4
Матрица Гессе...............................................................................................35

2.5
Частные производные высших порядков...................................................38

2.6
Неявные функции и их дифференцирование.............................................39

2.7
Экстремумы функции нескольких переменных........................................40

2.8
Условный экстремум....................................................................................47

2.9
Метод наименьших квадратов.....................................................................51

Контрольная работа №2 (типовые варианты) ....................................................56

Приложение 1.  ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ.......................................................57

Приложение 2.  ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ...........................................................58

Приложение 3.  ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ И ПОДСТАНОВКИ ..............59
Приложение 4.  ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ.....................................................60

ЛИТЕРАТУРА ...........................................................................................................62

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем пособии представлен теоретический материал и задачи по 

следующим темам: Определенный интеграл, его свойства и геометрические 
приложения; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Пособие призвано обеспечить закрепление теоретического лекционного 

материала, а также для приобретения навыков практического использования 
учебного материала в решении задач. Данное 2-е издание пособия существенно 
переработано и дополнено.

1
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

1.1 Определенный интеграл и его свойства

Определенный интеграл от функции  
f x
на отрезке 

,a b - предел инте
гральной суммы при max
0
ix

 , если он не зависит ни от способа разбиения 

отрезка 

,a b , ни от выбора точек 
i на отрезках 

1,
i
i
x
x


 
 

max
0
1

lim

i

b
n

i
i
x
i
a

f x dx
f
x


 






.
(1)

Геометрический смысл определенного интеграла (1) - площадь криво
линейной трапеции S(x), если  
0
f x 
(см. рис. 1):

 

b

a

S
f x dx
 
или 
.

b

a

S
ydx
 
(2)

Криволинейная трапеция ограничена линиями 

 
0,
y
f x


,
x
a

,
x
b

0
y 

Рисунок 1 - Геометрический смысл определенного интеграла

Основные свойства определенного интеграла

 
 
 
 
1
1
2
2
1
1
2
2

b
b
b

a
a
a

c
f
x
c
f
x
dx
c
f
x dx
c
f
x dx












;    
(3)

 
 
 

b
c
b

a
a
c

f x dx
f x dx
f x dx





;
(4)

 
 

b
a

a
b

f x dx
f x dx
 


;
(5)

 

  .

b

a

f x dx
b
a f 



(6)

Формула Ньютона – Лейбница

 
 
 
 

b

b

a

a

f x dx
F x
F b
F a




,                  
(7)

где 
 
F x - какая-либо первообразная от непрерывной функции  
f x .

Замена переменной в определенном интеграле

 
 
 

b

a

f x dx
f
t
t dt














,    где
 ,
x
t


 
,a
  
 
.b
  
(8)

Пример 1. Вычислить интеграл  




16

4
1

x
dx

x
x 

.

Применим подстановку 
2
;
;
2
x
t x
t dx
t dt




. Воспользуемся формулой за
мены 
переменной
(8)
и определим новые 
пределы интегрирования:

4
2,
x
при t


16
4
x
при t


, получим




16
4
4
4

2
2

4
2
2

2
2
2ln
1
2 ln3
ln1
2ln3
(
1)
1
(
1)

x
t
t
dt
dx
dt
t
t t
t
x
x















.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл

0

2

2
(
4)cos3
x
xdx





.

Дважды применим формулу интегрирования по частям: 
.

b
b

b

a

a
a

udv
uv
vdu





2

0
0
2
2

2

2

4
cos3
1
(
4)cos3
(
4)sin3
1
3
2
sin3
3

u
x
dv
xdx

x
xdx
x
x

du
xdx
v
x


















0
0
0

2

2
2

sin3
2
2
1
1
sin3
cos3
cos3
1
3
3
3
3
cos3
3

u
x
dv
xdx

x
xdx
x
x
xdx
du
dx
v
x












 








 





0

2

2
2
1
4
2
cos6
sin3
cos6
sin6.
3
3
9
9
27
x





 









Для вычисления несобственных интегралов необходимо применить 

предельный переход, то есть изменить пределы интегрирования так, чтобы они 
стали конечными (для несобственных интегралов 1-го рода) и подынтегральная 
функция сохранила непрерывность внутри и на концах нового промежутка интегрирования (для несобственных интегралов 2-го рода). 

Рисунок 2

Интеграл с бесконечным пределом интегрирования (1-го рода)

 
 
lim
.

b

b

a
a

f x dx
f x dx







(9)

Если этот предел существует, то интеграл 
сходится, иначе - расходится.

Рисунок 3

Интеграл от разрывной функции (2-го рода)

 
 
 

1

1
2

2

0
0
lim
lim
.

b
b

a
a

f x dx
f x dx
f x dx















(10)

Пример 3. Вычислить интеграл 
2

0 1

dx

x





.

Используя выражение (9) для несобственного интеграла 1-го рода, имеем

2

0 1

dx

x






2

0

lim 1

b

b

dx

x




0
lim
tg

b

b
arc
x


 lim
tg
.
2
b
arc b





Пример 4. Вычислить интеграл 

1

2

1

.
dx
x


Так как подынтегральная функция разрывна в точке
0
x 
, то данный не
собственный интеграл 2-го рода нужно представить как сумму двух слагаемых
(10):

1

1
2

2

1
1

2
2
2
0
0

1
1

lim
lim
.
dx
dx
dx

x
x
x




















Вычислим каждый предел отдельно:

1
1

1
1
1
2
0
0
0
1
1
1

1
1
1
lim
lim
lim
;
1

dx
x
x
















 
 

 







2
2

2

1

2
2
0
0

1
lim
lim 1
.
dx
x










 

 






Интеграл расходится, как на участке 

1,0

, так и на участке 

0,1 .

Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке 

1,1

.

Отметим, что если вычислять данный интеграл, не обращая внимания на 

разрыв подынтегральной функции, то получим неверный результат:

1
1

2

1
1

1
1
1
2,
1
1

dx
x
x 




 
 

 







что невозможно (см. рисунок 3).

Задания для решения в аудитории:

1) Вычислить определенный интеграл.

1. 

1

2

0

x dx


2. 

2

3
4

1
2 x dx



3. 

/4

2

/6 cos

dx

x





4. 

1

0

x
xe dx



5. 


0

2

1

2
1 sin3
x
x
xdx







2). Изобразить график подынтегральной функции и найти несобственный интеграл

1. 

1
2

dx
x






2. 

0

xe dx



3. 

2

2

0 (
1)

dx

x 


1.2 Вычисление площадей фигур с помощью определенного интеграла

Интегрирование по х в декартовой 
системе координат (СК)

b

a

S
y dx



,   
 
y
f x

;         (11)

 
 
2
1

b

a

S
f
x
f
x
dx







.          (12)

Интегрирование по у в декартовой 
системе координат

d

c

S
x dy



,   
 
x
y


.         (13)

Для параметрически заданных функций в декартовой СК

 
 

,

,

x
x t

y
y t








;
,
t
 


 

 

 
 

x

x

S
ydx
y t
x t dt













.         (14)

В полярной системе координат

 

2
1
.
2
S
r
d







 
(15)

Для определения площадей фигур, ограниченных сверху и снизу задан
ными кривыми 
1
2
( ),
( )
y x y
x , прежде чем применять соответствующую формулу 

для нахождения площади нужно определить пределы интегрирования, т.е. абсциссы точек пересечения кривых 
1
2
( )
( )
y x и y
x . Они находятся как решения 

уравнения: 
1
2
( )
( )
y x
y
x

. Корни этого уравнения 
1
2
,
x x , причем 
1
2
x
x

являются 

пределами интегрирования.

Пример 1. Вычислить сегмент площади фигуры, ограниченной графиками 

функций 
3
(
2) ,
y
x


4
8.
y
x



Найдем точки пересечения графиков функций:  
3
(
2)
4
8,
x
x




3
(
2)
4(
2)
x
x



;     



2
(
2) (
2)
4
0
x
x




;

1
(
2)
0;
0
x
х




;   
2

2
3
(
2)
4;
 
2,  
4
x
х
х





.

Рисунок 4

Тогда первый сегмент площади отыщется следующим образом (12)

2
2

3
3
2

0
0

2 (4
8
(
2) )
2 (4
8
6
12
8)
S
x
x
dx
x
x
x
x
dx

 


 







2
2
2
3
3
4
2
3
4
2

0

0

1
1
2 (6
8 )
2(2
4
)
4 2
2
8 2
8.
4
2
x
x
x dx
x
x
x










 



Пример 2.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом 

cos ,
x
a
t

sin
y
b
t

(см. рисунок 5).

Найдем сначала четвертую часть площади S. Здесь х изменяется от 0 до а, 

следовательно, t изменяется от 2

 до 0.
По формуле (14) получим

Рисунок 5




0

2

1
sin
sin
4 S
b
t
a
t dt




 



0

2

2

sin
ab
tdt









2

0

1
cos2
2
ab
t dt







2
2

0
0

1 sin2
.
2
2
4

ab
ab
t
t














Таким образом, 1
.
4
4
ab
S


Значит, площадь всего эллипса 
.
S
ab

