Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 

УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ

Учебное пособие

г. Ставрополь

2017

УДК 51 (075.8) 
ББК 22.1я73 

Литвин, Д.Б. 
Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы: Учебное пособие / 
Д.Б. Литвин, С.В. Мелешко, И.И. Мамаев – Ставрополь : Сервисшкола, 2017. –
76с. 
Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических направлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине 
«Математический анализ».

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод изоклин. 
Получение ДУ по общему решению .......................................................... 5

1.1. Метод изоклин решения дифференциального уравнения первого 

порядка ............................................................................................................. 5

1.2. Получение ДУ по общему решению – семейству кривых........................ 13
1.3. Задачи для самостоятельного решения....................................................... 15
1.4. Изогональные и ортогональные траектории.............................................. 17
1.5. Задачи для самостоятельного решения............................................. 19

2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 

Однородные уравнения......................................................................................20
2.1. Уравнения с разделяющимися переменными ............................................ 20
2.2. Однородные уравнения ................................................................................ 21
2.3. Задания для решения в аудитории .............................................................. 22

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение 

Бернулли ...............................................................................................................25
3.1. Линейные уравнения первого порядка ....................................................... 25

Линейные однородные дифференциальные уравнения................................25
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. ...........................25
Метод Бернулли ................................................................................................25
Метод Лагранжа ................................................................................................26

3.2. Уравнение Бернулли..................................................................................... 29
3.3. Уравнения в полных дифференциалах (тотальные).................................. 31
3.4. Задания для решения в аудитории: ............................................................. 33

4. Задачи на составление дифференциальных уравнений..............................35

4.1. Примеры задач............................................................................................... 35

Стоимость оборудования..................................................................................35
Замедление лодки..............................................................................................35
В сосуд поступает раствор ...............................................................................36
Геометрические задачи.....................................................................................37

4.2. Задания для решения в аудитории .............................................................. 38

5. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие 

понижение порядка.............................................................................................41
5.1. Уравнения вида (с разделенными переменными) ..................................... 41
5.2. Уравнение вида (не содержит у).................................................................. 41
5.3. Уравнение вида (не содержит х).................................................................. 42

Задача о второй космической скорости ..........................................................43

6. Линейные дифференциальные уравнения.....................................................47

6.1. Свойства решений линейных дифференциальных уравнения................. 47
6.2. Структура решения линейного однородного ДУ ...................................... 49
6.3. Задачи для самостоятельного решения (Краснов)..................................... 51
6.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами..... 54
6.5. Линейные неоднородные уравнения........................................................... 55

Решение методом неопределенных коэффициентов.....................................56
Метод вариации произвольных постоянных (Лагранжа) .............................57

6.6. Задания для решения в аудитории: ............................................................. 59

7. Системы линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ)....................65

7.1. Системы однородных линейных уравнений первого порядка с 

постоянными коэффициентами ................................................................... 65

7.2. Системы неоднородных линейных дифференциальных уравнений ....... 68
7.3. Задания для решения в аудитории .............................................................. 70

8. Контрольная работа по ДУ (типовые варианты).........................................73
Приложение 1.   ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ .....................................................74
ЛИТЕРАТУРА .........................................................................................................75

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Метод изоклин. Получение 

ДУ по общему решению

1.1.
Метод изоклин решения дифференциального уравнения первого 

порядка

Дадим геометрическую интерпретацию дифференциального уравнения 

первого порядка. Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной:

( , )
dy
f x y
dx 
,   
(1)

и пусть 
( , )
y
x C


есть общее решение данного уравнения. Это общее 

решение определяет семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

Уравнение (1) для каждой точки М с координатами х и у определяет зна
чение производной dy
tg
k
dx



, т.е. угловой коэффициент касательной к инте
гральной кривой, проходящей через эту точку. Таким образом, дифференциальное уравнение (1) дает совокупность направлений или, как говорят, определяет 
поле направлений на плоскости Оху.

Для дифференциального уравнения (1) геометрическое место точек, в ко
торых выполняется соотношение dy
k
const
dx 

, называется изоклиной данного 

дифференциального уравнения.

При различных значениях k получаем различные изоклины. Уравнение 

изоклины, соответствующей значению k, будет, очевидно,
( , )
f x y
k

. Построив 

семейство изоклин, можно приближенно построить семейство интегральных 
кривых. Говорят, что зная изоклины можно качественно определить расположение интегральных кривых на плоскости.

Пример 1. На рисунке 1 изображено поле направлений, определяемое 

дифференциальным уравнением

dy
y

dx
x
 
(2)

Изоклинами данного дифференциального уравнения являются 
y
k
x


,

или y
kx
 
. Это семейство прямых. Они построены на рис.1.

Нулевая изоклина 
( , )
0
f x y 
дает уравнение линий, на которых могут 

находиться точки максимума и минимума интегральных кривых.

Рисунок 1 - Поле направлений для ДУ (2)

Для большей точности построения интегральных кривых находят также 

геометрическое место точек перегиба, в которых 
0
y 
. Для этого находят у" в 

силу уравнения (1) и приравнивают ее нулю:

( , )
0
df
df
df
df
y
y
f x y
dx
dy
dx
dy








(3)

Линия, определяемая этим уравнением и есть возможное геометрическое 

место точек перегиба.

Пример 2. С помощью изоклин построить приближенно инте
гральные кривые дифференциального уравнения
2
y
x
y
 

.

Решение. Для получения уравнения изоклин положим 
,
y
k
const
 


2
,
x
y
k


или 
2
y
x
k


.

Изоклинами являются параллельные прямые. При 
0
k 
получим изокли
ну 
2
y
x

. Эта прямая делит плоскость xOy на две части, в каждой из которых

производная y имеет один и тот же знак (рис. 2).

Интегральные кривые, пересекая прямую
2
y
x

, переходят из области 

убывания функции у в область возрастания, и наоборот, а значит на этой прямой находятся точки экстремума интегральных кривых, а именно точки минимума. 

Возьмем еще две изоклины:
2
1
y
x

 , 
1
k   и
2
1,
y
x


1
k  .

Касательные, проведенные к интегральным кривым в точках пересечения 

с изоклинами k
1
 
и 
1
k  , образуют с осью Ох углы в 1350 и 450 соответст
венно. Найдем далее вторую производную 
2
2
2
.
y
y
x
y








Рисунок 2 - Интегральные кривые уравнения
2
y
x
y
 


Прямая 
2
2
y
x


, на которой 
0
y 
, является изоклиной, получаемой 

при 
2
k 
, и в то же время интегральной линией, в чем можно убедиться под
становкой в уравнение. Так как правая часть данного уравнения 
( , )
2
f x y
x
y



удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности во всей 
плоскости xOy, то остальные интегральные кривые не пересекают эту изо
клину. Изоклина 
2
y
x

, на которой находятся точки минимума интегральных 

кривых, расположена над изоклиной 
2
2
y
x


, а поэтому интегральные кри
вые, проходящие ниже изоклины
2
2
y
x


, не имеют точек экстремума.

Прямая 
2
2
y
x


делит плоскость xOy на две части, в одной из которых 

(расположенной над прямой) 
  0
y
, а значит, интегральные кривые вогнуты, а 

в другой 
0
y 
и, значит, интегральные кривые выпуклы. Интегральные кри
вые не пересекают прямую  
 2  
 2
у
х


, значит, она не является геометриче
ским местом точек перегиба. Интегральные кривые данного уравнения не 
имеют точек перегиба.

Проведенное исследование позволяет нам приближенно построить семей
ство интегральных кривых уравнения (рис. 2).

Пример 3. Методом изоклин построить интегральные кривые уравнения 

2
' 
  
 
 
 2  
 2.
у
у
х
х





Решение. Положим
,
y
k
 
k
const

. Тогда уравнение изоклин будет

2
2
2
,
y
x
x
k




или 



2
2
2
2
1
1
.
y
x
x
k
x
k






 

Изоклинами являются параболы с вертикальной осью симметрии  
 1
х 
. 

Среди изоклин нет интегральных кривых. В самом деле, подставляя в данное 

уравнение 
2
2
2
y
x
x
k




и 
2
2,
y
x
 

,
будем 
иметь 

2
2
2
2
2
2
2
2,
x
x
x
k
x
x








или 2
2
x
k


. Но это равенство ни при ка
ком значении k не может выполняться тождественно относительно x .

Пусть 
0
k  . Тогда в точках пересечения с изоклиной 
2
 
 
 
 2  
 2
у
х
х




интегральные кривые будут иметь горизонтальные касательные. Изоклина 

2
 
 
- 2  
 2 
у
х
х


разбивает плоскость хОу на две части: в одной из них 
' 
 0 
у


(решения у убывают), а в другой 
 
 0 
у 
(решения у возрастают). И так как 

эта изоклина не является интегральной кривой, то на ней находятся точки 
экстремума 
интегральных 
кривых, 
именно 
на 
той 
части 
параболы 




2
2
2
2
1
1
y
x
x
x





 , где  
 1 
х 
— точки минимума, а на другой части 

этой параболы, где  
 1 
х 
— точки максимума. Интегральная кривая, проходя
щая через точку 

1; 1 , т.е. через вершину параболы 
2
 
 
2
2
у
х
х


 , в этой 

точке не имеет экстремума. В точках изоклин 
2
 
 
2
3
у
х
х


 , 
 
 1
k 
и 

2
 
 
-2
1
у
х
х

 , k
 - 1

касательные к интегральным кривым имеют угловые ко
эффициенты, соответственно равные 1 и -1 (см. рис. 3).

Для исследования направления вогнутости интегральных кривых найдем 

вторую производную:

2
2
у"
 у -2х
2
у-х +2х-2-2х
2
у - х






.

Она обращается в нуль только в точках, лежащих на параболе

2
y
x

. В 

точках плоскости хОу, координаты которых удовлетворяют условию

2
y
x

, ин
тегральные кривые вогнуты вниз ( y
0 )
 
, а в точках, где

2
у
x

, они вогнуты 

вверх ( у"
0 )

. Точки пересечения интегральных кривых с параболой 

2
у 
 х  


являются точками перегиба этих кривых. Итак, парабола 

2
у 
 х  

есть геомет
рическое место точек перегиба интегральных кривых.

Правая часть исходного уравнения 

2
f ( x,y )
y
x
2x
2




во всех точках 

плоскости хОу удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Используя полученные сведения, строим приближенно семейство инте
гральных кривых данного уравнения (рис. 3).

Таким образом, надо проверять, является ли изоклина, для которой k
0
 , 

интегральной кривой ДУ или нет. Если нет, то эта изоклина определяет точки экстремума.

Рисунок. 3 - Интегральные кривые уравнения 

2
у'  
 у 
 х  
 2х 
 2





Задачи для самостоятельного решения
В задачах  1-14 с помощью изоклин начертить (приближенно) решение 

данных уравнений. (Филиппов)

1. 
2
y
y
x
 

2. 2( y
y )
x
3





3. 

2
2
x
y
y
1
2

 


4. 
2
( y
1)y
y
x




5. yy
x
0
 

6. xy
2y
 

7. xy
y
0
 

8. 
3
y
y
( x
y )





9. 
y
y
x
e
 


10. y( y
x )
1
 

11. 
y
3x
y
x
3y


 

12. 
y
y
x
y

 


13. 
2
2
x
y y
1



14. 
2
2
( x
y )y
4x




Методом изоклин построить интегральные кривые следующих диффе
ренциальных уравнений (Краснов):

21. y
x
1
 

22. y
x
y
 

23. y
y
x
 


24. 

1
y
( x
2y
3)
2

 


25.  

2
y
( y
1)
 

26. y
( y
1)x
 


27

2
2
y
x
y
 

28. y
cos( x
y )
 

29. 

2
y
x
2x
y
 



30.

2
y
y
x
 


31.

y
1
y
x
1


 

32. 

x
y
y
x
y


 


33. y
1
x
  
34. y
2x
y
 

35. 

2
y
x
y
 


36.

y
y
x

  
37. y
1
 

38. 

1
y
x

 

39. y
y
 
40.  

2
y
y
 