Молекулярная физика. Термодинамика

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА.
ТЕРМОДИНАМИКА

Рекомендовано методическим советом УрФУ 
в качестве учебно-методического пособия 
для выполнения индивидуальных домашних заданий 
по физике для студентов всех форм обучения  
всех специальностей

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

УДК 539.1:536(075.8)
ББК 22.36+22.317
          З-43

Рецензенты:
завкафедрой технологии и экономики Института физики, технологии 
и экономики УрГПУ, д-р физ.-мат. наук, проф. О. А. Чикова;
д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры общей физики РГППУ 
А. Д. Ивлиев

Научный редактор проф., д-р физ.-мат. наук А. А. Повзнер

 
Звездина, Н. А.
З-43    Молекулярная физика. Термодинамика [Электронный ресурс]: 
учебно-методическое пособие по выполнению индивидуальных 
домашних заданий по физике / Н. А. Звездина, Н. Б. Пушкарева, 
Г. В. Сакун. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та,
2017. —  42, [2] с.

ISBN 978-5-9765-3107-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1394-5 (Изд-во Урал. ун-та)

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов 
всех форм обучения всех специальностей при выполнении ИДЗ по физике 
по разделам «Молекулярная физика и термодинамика». Приведен список 
основных понятий и формул, используемых в данном разделе, а также 
разобраны примеры решения типовых задач в соответствии со структурой 
ИДЗ.

УДК 539.1:536(075.8)
ББК 22.36+22.317

Подготовлено кафедрой физики.

ISBN 978-5-9765-3107-9 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1394-5 (Изд-во Урал. ун-та)

© Уральский федеральный
     университет, 2015

Введение

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения всех специальностей при выполнении ИДЗ 
по физике по разделам «Молекулярная физика и термодинамика».
Индивидуальное домашнее задание содержит 10 заданий по следующим темам: основы молекулярно-кинетической теории; функции распределения Максвелла и Больцмана; уравнение Менделеева — Клапейрона; изопроцессы в идеальном газе и их графики; число 
степеней свободы молекул; молярная и удельная теплоемкости идеальных газов; первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам; адиабатный процесс; тепловые машины и цикл Карно; 
второе начало термодинамики и расчет изменения энтропии.
В каждой теме приведен список основных понятий и формул, используемых в данном разделе, а также разобраны решения типовых 
задач с пояснениями и указанием используемых законов в соответствии со структурой ИДЗ и даны образцы оформления подобных типовых задач.

Задание 1.  
Основы молекулярно-кинетической теории

Основные понятия и формулы

— Количество вещества ν измеряется в молях. Моль любого вещества содержит столько же структурных единиц, сколько содержится атомов в 12 г углерода С 12. Число атомов или молекул в одном моле вещества — это число Авогадро, 
 
NA = 6,02·10 23 моль–1.

— Количество молекул N вещества, содержащихся в массе m, равно

 
N = m
M N
N
A
A
= n
.

— Концентрация молекул n равна количеству молекул в единице 
объема

 
n
N
V
=
.

— Средняя квадратичная скорость молекул

 
Vкв=
3
3

0

RT
M
kT
m
=
,

где m0 = М/NA — масса одной молекулы; k = R/NA = 1,38·10–23 Дж/К — 
постоянная Больцмана; NA = 6,02·10 23 моль–1 — постоянная Авогадро.

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. В сосуде находится углекислый газ массой m = 10 г при 
температуре t = 27 °C и давлении Р = 150 кПа. Найти: 1) чему равна 
плотность газа при этих условиях? 2) какова средняя квадратичная 
скорость молекул газа в этом случае?

Задание 1. Основы молекулярно-кинетической теории 

Дано:
m = 10 г = 1·10–2 кг
T = 300 К
P = 150 кПа = 1,5·10 5 Па

MCO2
кг
моль
=
Ч
44 10 3

Определить: 1) ρ —? 2) Vкв –?

Решение:
1. При описании поведения идеального газа удобно использовать 
уравнение Менделеева — Клапейрона, которое связывает между собой термодинамические параметры состояния газовой системы. Оно 
имеет вид

 
PV = m
M RT .

По определению, плотность газа ρ = m
V .

Подставив в это выражение плотности газа отношение m
V  из уравнения Менделеева — Клапейрона, получим

 
r = PM
RT .

По условию задачи нам известны все величины. Вычислим плотность газа при заданных условиях:

 
r =
Ч
Ч
Ч
=
Ч
Ч
=

1 5 10 44 10
8 31 300
1 5 44
8 31 3
2 65

5
3
,
,
,
,
,
кг
м3 .

2. Далее вычислим среднюю квадратичную скорость молекул:

 
V
RT
M
кв =
3
, или Vкв
м
с
=
Ч
Ч
Ч
=
3 8 31 300
44 10
412
3
,
.

Ответ: 1) ρ = 2,65 кг/м 3, 2) Vкв  = 412 м/с.

ЗАДАЧА 2. Найти: 1) массу m0 молекулы углекислого газа СО2; 
2) число молекул в m = 100 г газа; 3) концентрацию молекул газа n 
при плотности газа ρ = 1,98 кг/м 3.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Дано: 
m = 100 г = 0,1 кг
ρ = 1,98 кг/м 3

М = 0,044 кг/моль

Определить:1) m0 = ? 2) N = ? 3) n = ?

Решение:
1) По определению, в одном моле любого вещества содержится 
одинаковое число молекул, равное NA = 6,02·10 23 моль–1. Масса одной 

молекулы определяется следующим образом: m0 = m
N A

.

Вычислим массу одной молекулы углекислого газа:

 
m
m
N A
0
23
25
0 10
6 02 10
1 66 10
=
=
Ч
=
Ч
,
,
,
.
кг
м3

2) Для определения количества молекул в заданной массе газа необходимо определить число молей газа, а для этого нужно знать молярную массу рассматриваемого газа. Молярную массу любого вещества 
можно определить, зная химическую формулу молекулы. В нашем 
случае рассматривается углекислый газ — СО2. Отсюда вытекает, что 
М = (12 + 2·16)·10–3 кг/моль = 44·10–3 кг/моль.
Определим число молей углекислого газа СО2 в заданной массе газа:

 
n =
=
Ч
=
m
MCO2
 моль.
0 10
44 10
2 27
3
,
,

Умножив число молей на число молекул в одном моле вещества, 
получим число молекул, содержащихся в 100 г углекислого газа:

 
N
N A
=
Ч
=
Ч
Ч
=
Ч
n
2 27 6 02 10
1 37 10
23
24
,
,
,
молекул .

3) Концентрация молекул равна количеству молекул, содержащих
ся в единице объема:n
N
V
=
. Здесь неизвестный объем газа определим 

по заданной плотности. По определению, плотность равна r = m
V , 

и тогда из этого уравнения можно выразить объем V
m
= r . Итоговая 

формула для определения концентрации n
N
m
=
r .

Задание 1. Основы молекулярно-кинетической теории 

После подстановки получаем:

 
n
N
V
N
m
=
=
=
Ч
Ч
=
Ч
r
1 37 10
1 98
0 10
2 71 10

24
25
,
,
,
,
1
м3 .

Ответы: 

1) m0
26
7 3 10
=
Ч
,
 кг; 2) N = 1,4·10 24 молекул; 3) n = 2 8 1025
, Ч
1
м3 .

ЗАДАЧА 3. В комнате объемом V = 60 м 3 испарили капельку духов, содержащую m = 10–4 г ароматического вещества с молярной 
массой M = 0,050 кг/моль. Сколько молекул N0 этого вещества попадает в легкие человека при каждом вдохе? Объем легких принять равным V0 = 2,2 л.

Дано: 
V = 60 м 3

M = 10–4 г = 10–7 кг
M = 0,050 кг/моль
V0 = 2,2 л = 2,2·10–3 м 3.

Определить: N0 = ?

Решение: 
Вследствие хаотического теплового движения молекул через некоторое время после того, как в комнате испарили капельку духов, их 
концентрация, т. е. число молекул в единице объема, станет одинако
вой во всей комнате: n
N
V
=
. По условию, известными являются масса 

m и молярная масса духов M. Используя эти данные, найдем количество вещества ν, которое испарилось и находится в комнате, и число молекул духов N:

 
n = m
M
N
nV
=
.

С учетом этого концентрация молекул равна

 
n
N
V
N
V
m
M
N
V

A
A
=
=
=
Ч
n
.

При каждом вдохе в легкие человека попадает N0 молекул:

 
N
m
M
N
V V
A

0
0
=
Ч
.

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Подставим численные значения:

 
N
m
M
N
V V
A
0
0

7
23

3
13
10 6 02 10
0 05 60
2 2 10
4 4 10
=
Ч
=
Ч
Ч
Ч
=
Ч

,
,
,
,
молекул.

Ответ: N 0
13
4 4 10
=
Ч
,
 молекул.

Задания 2 и 3.  
Функции распределения Максвелла 
и Больцмана

Основные понятия и формулы

— Функция распределения молекул идеального газа по скоростям 

(распределение Максвелла) f
dN
Nd
ν
ν
( ) =
 — показывает долю 

молекул, скорости которых заключены в интервале от ν до ν+dν, 
в расчете на единицу этого интервала.
— Распределение Максвелла (распределение молекул по модулю 
скорости) выражается двумя соотношениями:
а) число молекул, скорости которых заключены в интервале 
скоростей от ν до ν+dν,

 
dN
Nf
d
N
m
kN
e
d

m
kT
n
n
n
n
n
p
p

n
( ) =
( )
=
ж
из
ц
шч

4
2

0

3
2
2
2

0
2

,

где N — общее число молекул; m0 — масса одной молекулы.
б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от u до u + du:

 
dN u
Nf u du
Nu e
du
u
( ) =
( )
=
4
2
2

p
,

где u = n
nв

 — относительная скорость молекул, равная отно
шению скорости ν к наиболее вероятной скорости νв; 

Задания 2 и 3. Функции распределения Максвелла и Больцмана 

f u( )  — функция распределения по относительным скоро
стям.
— В случае малого интервала скоростей (т. е. ∆u<<u) справедливо выражение

 
∆N = Nf (u)∆u,

 
которое определяет число молекул ∆N, относительные скорости которых лежат в интервале от u до u+∆u.
— Распределение частиц в силовом поле (распределение Больцмана):

 
n
n
W

kT

p
=
ж

из
ц

шч
0exp
,

 
где n — концентрация частиц; Wp — их потенциальная энергия; 
n0 — концентрация частиц в точках поля, где Wp = 0; k — постоянная Больцмана; T — абсолютная температура.
· 
Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести):

 
P
P
Mgh
RT
=
ж
из
ц
шч
0exp
,

 
где Р — давление газа на высоте h по отношению к уровню, принятому за нулевой; М — молярная масса газа; h — высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; P0 — давление газа на нулевом уровне; g — ускорение свободного падения; 
R — молярная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль·К).

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. На рисунке представлен график функции распределения молекул кислорода по скоростям (распределение Максвелла) 
для температуры Т = 273 К. Функция достигает максимума при скорости V = 380 м/с. Здесь:
1) отлична от нуля вероятность того, 
что молекула кислорода при 
Т = 273 К имеет скорость, равную 
380 м/с;
2) площадь заштрихованной полоски 
равна доле молекул со скоростями 
V 
380 385 

f (V) 

0 

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

в интервале от 380 м/с до 385 м/с, или вероятность того, что скорость молекулы имеет значение в этом интервале скоростей;
3) с понижением температуры площадь под кривой уменьшается;
4) при изменении температуры положение максимума изменяется.
Укажите не менее двух верных вариантов ответов.

Решение: 
1) Первое утверждение является 
неверным, т. к. если точно задана 
скорость, то dn = 0, следовательно, 
вероятность dP = 0 .
2) Второе утверждение является 
верным, т. к. оно вытекает из определения функции распределения. 
Функция распределения Максвел
ла f (ν) имеет смысл плотности вероятности f
dP
d
dN
Nd
n
n
n
( ) =
=
, 

где dN
N  — доля молекул, скорости которых заключены в интер
вале от ν до ν+dν. В нашем случае интервал скоростей dν = 5 м/с 
вблизи nвер = 380 м/с — наиболее вероятной скорости молекул, 
близкой к которой движется большее число молекул. dN — число молекул, скорости которых заключены в интервале от 380 м/с 
до 385 м/с; N — число всех молекул газа. Площадь заштрихо
ванной полоски Sштрих = 

n

n
n
n
n

+
т
( )
=
=

d
f
d
dP
dN
N  определяет долю 

молекул, скорости которых заключены в интервале от 380 м/с 
до 385 м/с.
3) Третье утверждение является неверным, поскольку вероятность того, что величина скорости может принять хотя бы какое-нибудь значение в интервале от нуля до бесконечности 

(достоверное событие), равна единице 

0
1

Ґ
т ( )
=
f
d
n
n
, и поэтому 

при изменении температуры площадь под кривой остается равной единице. Площадь под графиком всегда равна 1, поскольку вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал от 0 до ∞ всегда равна 1 и не зависит от температуры.
4) Четвертое утверждение является верным, поскольку положение максимума функции распределения соответствует наиболее вероятной скорости, а она зависит от температуры следующим образом:

f (V) 

V 
dV 

Vвер

0