Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии
Покупка
Тематика:
Геометрия и топология
Автор:
Прасолов Виктор Васильевич
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 360
Дополнительно
Вид издания:
Монография
Уровень образования:
ВО - Магистратура
ISBN: 978-5-4439-0241-8
Артикул: 682525.01.99
Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны.
В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, ко-
торые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их
разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной
топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких
отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как
комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуж-
даются оба подхода.
Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении
свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко,
сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от
большинства книг по топологии.
Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены
подробными решениями.
Первое издание книги вышло в 2004 г.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ББК 22.15 УДК 515.14 П70 П70 Прасолов В. В. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. –– 2-е изд., испр. и доп. –– М.: МЦНМО, 2014. — 360 c. ISBN 978-5-4439-0241-8 Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями. Первое издание книги вышло в 2004 г. ББК 22.15 ISBN 978-5-4439-0241-8 © В. В. Прасолов, 2004, 2014. © МЦНМО, 2004, 2014.
Оглавление Некоторые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Глава I. Графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 § 1. Топологические и геометрические свойства графов . . . . . . . 18 1.1. Планарные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2. Формула Эйлера для планарных графов . . . . . . . . 28 1.3. Вложения графов в трёхмерное пространство . . . . . 31 1.4. k-связные графы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5. Теорема Штейница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 § 2. Гомотопические свойства графов . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1. Фундаментальная группа графа . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Накрытия 1-мерных комплексов . . . . . . . . . . . . 48 2.3. Накрытия и фундаментальная группа . . . . . . . . . . 53 § 3. Инварианты графов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1. Хроматический многочлен . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2. Многочлен от трёх переменных . . . . . . . . . . . . . 63 3.3. Многочлен Ботта––Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4. Инварианты Татта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Глава II. Топология в евклидовом пространстве . . . . . . . . . 69 § 4. Топология подмножеств евклидова пространства . . . . . . . . 69 4.1. Расстояние от точки до множества . . . . . . . . . . . 69 4.2. Продолжение непрерывных отображений . . . . . . . 70 4.3. Теоремы Лебега о покрытиях . . . . . . . . . . . . . . 73 4.4. Канторово множество . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 § 5. Кривые на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1. Теорема Жордана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2. Теорема Уитни––Грауштейна . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3. Двойные точки, двойные касательные и точки перегиба 85 § 6. Теорема Брауэра и лемма Шпернера . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1. Теорема Брауэра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2. Теорема Жордана как следствие теоремы Брауэра . . 92 6.3. Лемма Шпернера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.4. Теорема Какутани . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Глава III. Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . 102 § 7. Элементы общей топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Оглавление 7.1. Хаусдорфовы пространства и компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.2. Нормальные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7.3. Разбиения единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.4. Паракомпактные пространства . . . . . . . . . . . . . 110 § 8. Симплициальные комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 8.1. Евклидовы клеточные комплексы . . . . . . . . . . . . 117 8.2. Симплициальные отображения . . . . . . . . . . . . . 118 8.3. Абстрактные симплициальные комплексы . . . . . . . 119 8.4. Симплициальные аппроксимации . . . . . . . . . . . . 121 8.5. Нерв покрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 8.6. Псевдомногообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.7. Степень отображения в евклидово пространство . . . 129 8.8. Теорема Борсука––Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.9. Следствия и обобщения теоремы Борсука––Улама . . 134 § 9. CW -комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.1. Приклеивание по отображению . . . . . . . . . . . . . 136 9.2. Определение CW -комплексов . . . . . . . . . . . . . . 138 9.3. Топологические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.4. Клеточная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.5. Геометрическая реализация CW -комплексов . . . . . 149 § 10. Конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.1. Прямое произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.2. Цилиндр, конус и надстройка . . . . . . . . . . . . . . 150 10.3. Джойн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.4. Симметрическая степень . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Глава IV. Двумерные поверхности. Накрытия. Расслоения. Гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 § 11. Двумерные поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 11.2. Приведение двумерных поверхностей к простейшему виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 11.3. Завершение классификации двумерных поверхностей 165 11.4. Риманово определение рода поверхности . . . . . . . 168 § 12. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.1. Универсальные накрытия двумерных поверхностей . . 169 12.2. Существование накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой . . . . . . . . . . . . 170 12.3. Единственность накрывающего пространства с заданной фундаментальной группой . . . . . . . . . . . . 172
Оглавление 5 12.4. Локальные гомеоморфизмы . . . . . . . . . . . . . . . 175 § 13. Графы на поверхностях. Взрезанный квадрат графа . . . . . . 177 13.1. Род графа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 13.2. Раскраски карт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 13.3. Взрезанный квадрат графа . . . . . . . . . . . . . . . . 181 § 14. Расслоения и гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . 182 14.1. Накрывающая гомотопия . . . . . . . . . . . . . . . . 182 14.2. Гомотопические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 14.3. Точная последовательность расслоения . . . . . . . . 189 14.4. Относительные гомотопические группы . . . . . . . . 194 14.5. Теорема Уайтхеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Глава V. Многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 § 15. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . 201 15.1. Многообразия с краем . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 15.2. Отображения многообразий . . . . . . . . . . . . . . . 205 15.3. Гладкие разбиения единицы . . . . . . . . . . . . . . . 208 15.4. Теорема Сарда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 15.5. Важный пример: многообразия Грассмана . . . . . . . 214 § 16. Касательное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 16.1. Дифференциал отображения . . . . . . . . . . . . . . . 224 16.2. Векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 16.3. Риманова метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 16.4. Дифференциальные формы и ориентируемость . . . . 228 § 17. Вложения и погружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 17.1. Вложения компактных многообразий . . . . . . . . . . 231 17.2. Триангуляция замкнутого многообразия . . . . . . . . 233 17.3. Погружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 17.4. Вложения некомпактных многообразий . . . . . . . . 239 17.5. Невозможность некоторых вложений . . . . . . . . . . 242 § 18. Степень отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 18.1. Степень гладкого отображения . . . . . . . . . . . . . 245 18.2. Индекс особой точки векторного поля . . . . . . . . . 249 18.3. Теорема Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 18.4. Аппроксимации непрерывных отображений . . . . . . 258 18.5. Конструкция Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 18.6. Гомотопически эквивалентные линзовые пространства 262 § 19. Теория Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 19.1. Функции Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 19.2. Градиентные векторные поляи приклеивание ручек . . 270 19.3. Примеры функций Морса . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Оглавление Глава VI. Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 § 20. CW -комплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 20.1. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 20.2. Некоторые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 20.3. Фундаментальная группа пространства SO(n) . . . . 291 § 21. Теорема Зейферта––ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 21.1. Эквивалентные формулировки . . . . . . . . . . . . . . 295 21.2. Доказательство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 21.3. Группа узла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 21.4. Рогатая сфера Александера . . . . . . . . . . . . . . . 305 § 22. Фундаментальная группа дополнения алгебраической кривой . 307 22.1. Дополнение к набору комплексных прямых . . . . . . 308 22.2. Теорема ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 22.3. Применения теоремы ван Кампена . . . . . . . . . . . 317 Решения и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Некоторые обозначения X ≈ Y –– топологическое пространство X гомеоморфно Y; X ∼ Y –– топологическое пространство X гомотопически эквивалентно Y; f ≃ g –– отображение f гомотопно отображению g; |A| –– количество элементов множества A; int A –– внутренность множества A; A –– замыкание множества A; ∂A –– граница множества A; idA –– тождественное отображение множества A; Kn –– полный граф с n вершинами; Kn,m –– см. с. 20; Dn –– n-мерный шар; Sn –– n-мерная сфера; ∆n –– n-мерный симплекс; In –– n-мерный куб; P2 –– проективная плоскость; T 2 –– двумерный тор; S2 # nP2 или nP2 –– связная сумма n проективных плоскостей; S2 # nT 2 или nT 2 –– связная сумма n двумерных торов (сфера с n ручками); K 2 –– бутылка Клейна; ∥x − y∥ –– расстояние между точками x, y ∈ Rn; ∥v∥ –– длина вектора v ∈ Rn; d(x, y) –– расстояние между точками x, y; inf –– точная нижняя грань; X ⊔ Y –– дизъюнктное объединение X и Y (все элементы X и Y считаются различными); supp f = {x | f(x) ̸= 0} –– носитель функции f; X ∗ Y –– джойн пространств X и Y; SPn(X) –– симметрическая степень пространства X; f : (X, Y) → (X1, Y1) –– отображение пар, при котором Y ⊂ X отображается в Y1 ⊂ X1; π1(X, x0) –– фундаментальная группа пространства X с отмеченной точкой x0 ∈ X;
Некоторые обозначения πn(X, x0) –– n-мерная гомотопическая группа пространства X с отмеченной точкой x0 ∈ X; deg f –– степень отображения f; rank f(x) –– ранг отображения f в точке x; G(n, k) –– многообразие Грассмана; GLk(R) –– группа невырожденных матриц порядка k с вещественными координатами; U(n) –– группа унитарных матриц порядка n; SU(n) –– группа унитарных матриц порядка n с определителем 1; O(n) –– группа ортогональных матриц порядка n; SO(n) –– группа ортогональных матриц порядка n с определителем 1; TxMn –– касательное пространство в точке x ∈ Mn; TMn –– касательное расслоение; Ωk fr(n + k) –– множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k.
Предисловие Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются в основном методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на элементарные множества (например, симплексы) или посредством покрытий какими-либо простыми множествами, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях мы обсуждаем оба подхода. Исторически начало топологии связано с работами Римана; затем его исследования продолжили Бетти и Пуанкаре. При изучении многозначных аналитических функций комплексного переменного Риман понял, что эти функции следует рассматривать не на плоскости, а на тех двумерных поверхностях, на которых многозначные функции превращаются в однозначные. Двумерная поверхность возникает при этом как самостоятельный объект, определенный внутренним образом, т. е. безотносительно к её конкретному вложению в R3. При таком подходе двумерная поверхность получается в результате склейки налегающих друг на друга областей плоскости. В дальнейшем Риман ввёл понятие многомерного многообразия (Mannigfaltigkeit –– в немецком языке этот термин Римана сохранился, а в других языках появились кальки этого термина). Многообразие размерности n получается в результате склейки налегающих друг на друга областей пространства Rn. Позднее было осознано, что если нас инте- ресуют лишь непрерывные отображения многообразий, то для описания структуры многообразия достаточно знать лишь строение его открытых подмножеств. Это послужило одной из важнейших причин появления понятия топологического пространства как множества с выделенной системой открытых множеств, обладающих определенными свойствами. Глава I посвящена простейшему с топологической точки зрения объекту –– графам (1-мерным комплексам). Сначала обсуждаются пограничные с геометрией вопросы: планарность, формула Эйлера, теорема Штейница. Затем мы переходим к фундаментальной группе и накрытиям, ос
Предисловие новные свойства которых очень хорошо прослеживаются на графах. Завершается глава подробным обсуждением полиномиальных инвариантов графов, интерес к которым в последнее время сильно вырос, поскольку обнаружились их связи с инвариантами узлов. Глава II посвящена другому достаточно простому с точки зрения топологии объекту –– евклидову пространству со стандартной топологией. Подмножества евклидова пространства могут иметь очень сложное топологическое строение, поэтому мы обсуждаем только несколько основных утверждений о топологии евклидова пространства и его подмножеств. Одна из основных задач топологии –– классификация непрерывных отображений одного топологического пространства в другое (на эти пространства могут быть наложены определённые ограничения; классификация проводится с точностью до некоторой эквивалентности). Простейшие классификации такого рода связаны с кривыми на плоскости, т. е. с отображениями S1 в R2. Сначала мы доказываем теорему Жордана и теорему Уитни––Грауштейна о классификации гладких замкнутых кривых с точностью до регулярной гомотопии. Затем несколькими разными способами доказываются теорема Брауэра о неподвижной точке и лемма Шпернера (помимо стандартного варианта леммы Шпернера приведён и более точный её вариант, учитывающий ориентации симплексов). Доказана также теорема Какутани, обобщающая теорему Брауэра. Глава завершается теоремой Титце о продолжении непрерывных отображений, которая выводится из леммы Урысона, и двумя теоремами Лебега: теоремой Лебега об открытых покрытиях, без которой не обходятся строгие доказательства многих теорем теории гомотопий и гомологий, и теоремой Лебега о замкнутых покрытиях, которая служит основой для определения понятия топологической размерности. Глава III начинается с элементов общей топологии –– того необходимого минимума, который постоянно используется в алгебраической топологии. Здесь обсуждаются три свойства (хаусдорфовость, нормальность, паракомпактность), наличие которых существенно облегчает работу с топологическими пространствами. Затем обсуждаются два важнейших для алгебраической топологии класса топологических пространств –– симплициальные комплексы и CW -комплексы, приводится необходимая для работы с ними техника (клеточные и симплициальные аппроксимации) и доказывается, что они обладают тремя упомянутыми выше свойствами. Здесь также вводится понятие степени отображения для псевдомногообразий, и с помощью степени доказывается теорема Борсука–– Улама, из которой выводятся многочисленные следствия. Завершается глава описанием конструкций, применимых к топологическим пространствам, в том числе джойна, взрезанного джойна и симметрической степе
Предисловие 11 ни. С помощью взрезанного джойна доказывается, что некоторые n-мерные симплициальные комплексы нельзя вложить в R2n. В главе IV обсуждаются весьма разнообразные темы –– двумерные поверхности, накрытия, локальные гомеоморфизмы, графы на поверхностях (род графа, раскраски карт на графах), расслоения, гомотопические группы. В главе V мы обращаемся к дифференциальной топологии. Здесь обсуждаются гладкие многообразия и приложения гладких отображений в топологии. Сначала вводится основная техника (гладкие разбиения единицы, теорема Сарда) и обсуждается важный для всей топологии пример –– многообразия Грассмана. Затем обсуждаются понятия, связанные с касательным пространством: векторные поля и дифференциальные формы. После этого доказываются важные для работы с гладкими многообразиями теоремы о существовании вложений и погружений (в том числе и о вложениях некомпактных многообразий в качестве замкнутых подмножеств). Помимо этого доказывается, что замкнутое неориентируемое многообразие размерности n нельзя вложить в Rn+1 и выясняется, какие двумерные поверхности вкладываются в RP3. Далее вводится гомотопический инвариант –– степень гладкого отображения. С помощью степени определяется индекс особой точки векторного поля. Доказывается теорема Хопфа о гомотопической классификации отображений Mn → Sn. Приводится конструкция Понтрягина, интерпретирующая πn+k(Sn) как множество классов оснащённо кобордантных многообразий размерности k в Rn+k. Глава завершается теорией Морса, которая связывает топологическое строение многообразия с локальными свойствами особых точек невырожденной функции на данном многообразии. Приводятся явные примеры функций Морса на некоторых многообразиях, в том числе и на многообразиях Грассмана. Глава VI посвящена явным вычислениям фундаментальной группы некоторых пространств и приложениям фундаментальной группы. Прежде всего доказывается теорема о задании фундаментальной группы CW -комплекса образующими и соотношениями и приводятся некоторые примеры применения этой теоремы. Иногда фундаментальную группу более удобно вычислять с помощью точной последовательности расслоения. Так обстоит дело, например, с фундаментальной группой SO(n). При вычислении фундаментальной группы нередко бывает полезна теорема ван Кампена о строении фундаментальной группы объединения двух открытых множеств. Её можно использовать, например, для вычисления фундаментальной группы дополнения узла. В конце главы приводится другая теорема ван Кампена –– о вычислении фундаментальной группы дополнения алгебраической кривой в CP2. Соответствующие вычисления
Предисловие для конкретных кривых довольно сложные; здесь есть много интересных результатов, но многое пока остаётся не до конца понятным. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга рассчитана на читателей, знакомых с основными понятиями геометрии, линейной алгебры и анализа. В частности, предполагается некоторое знакомство с открытыми, замкнутыми и компактными множествами в евклидовом пространстве. Для самостоятельного обдумывания в книге предлагаются три вида заданий. 1) Упражнения, которые не должны вызвать затруднений; их решения не приводятся. 2) Задачи, которые уже не столь просты, а потому в конце книги приведены их решения. 3) Задачи «со звёздочкой», каждая из которых составляет содержание отдельной научной статьи. В качестве задач эти утверждения сформулированы для того, чтобы не перегружать основной текст книги. Решения этих задач тоже приведены в конце книги. Задачи составлены по материалам семинаров по топологии для студентов I и II курса Независимого московского университета, которые автор вёл в 2002 г. Во время работы над этой книгой я получал финансовую поддержку от Российского фонда фундаментальных исследований согласно проекту 01–01–00660.
Основные определения Для начала нам потребуются лишь основные понятия топологии. Приведём их определения. Топологическим пространством называют множество X, в котором выделена система подмножеств τ, обладающая следующими свойствами: 1) пустое множество и всё множество X принадлежат τ; 2) пересечение конечного числа элементов τ принадлежит τ; 3) объединение любого семейства элементов τ принадлежит τ. Множества, принадлежащие τ, называют открытыми. Окрестностью точки x ∈ X называют любое открытое множество, содержащее x. Множества, дополнения которых открыты, называют замкнутыми. Для подмножества A топологического пространства можно определить замыкание A –– наименьшее замкнутое множество, содержащее A, и внутренность int A –– наибольшее открытое множество, содержащееся в A. Замыкание A –– это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих A, а внутренность A –– это объединение всех открытых множеств, содержащихся в A. Важнейшим примером топологического пространства служит евклидово пространство Rn. Открытыми множествами в Rn являются шары Dn a,ε = {x ∈ Rn | ∥x − a∥ < ε} и всевозможные их объединения. Семейство множеств τ ′ ⊂ τ называют базой топологии τ, если любой элемент системы τ является объединением элементов системы τ′. У п р а ж н е н и е 1. Докажите, что семейство множеств τ′ ⊂ τ является базой топологии τ тогда и только тогда, когда для любой точки x и для любой её окрестности U найдётся такое множество V ∈ τ ′, что x ∈ V ⊂ U. У п р а ж н е н и е 2. Докажите, что семейство множеств τ′ является базой некоторой топологии тогда и только тогда, когда для любых двух множеств U, V ∈ τ ′ и для любой точки x ∈ U ∩ V найдется такое множество W ∈ τ ′, что x ∈ W ⊂ U ∩ V . Топологическое пространство X называют пространством со счётной базой, если у него есть база, состоящая из счётного семейства множеств. Например, открытые шары Dn a,ε, где число ε и все координаты точки a рациональны, образуют счётную базу пространства Rn.