Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия)

УДК 517
ББК 22.317
Ш 66

Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н цо в Н. Н., Я гл о м И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (стереометрия). —
3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 256 с. — ISBN 978-5-9221-1623-7.

Пособие содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Ко всем задачам даны подробные решения и указания, которыми можно воспользоваться при самостоятельной работе. Некоторые условия задач снабжены пояснениями.
Для учащихся и преподавателей школ, гимназий, лицеев с углубленным
изучением физико-математических дисциплин, для подготовки к конкурсным
экзаменам в вузы, а также для лиц, занимающихся самообразованием.
Первое издание — 1954 г.

ШКЛЯРСКИЙ Давид Оскарович
ЧЕНЦОВ Николай Николаевич
ЯГЛОМ Исаак Моисеевич

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ

МАТЕМАТИКИ. ГЕОМЕТРИЯ (СТЕРЕОМЕТРИЯ)

Редактор В.Р. Игнатова
Оригинал-макет: Д.П. Вакуленко
Оформление переплета: Д.Б. Белуха

Подписано в печать 09.04.2015. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 17,6. Тираж 500 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, Москва, ул. Бутлерова, 17 Б
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в АО «ИПК «Чувашия»,
428019, г. Чебоксары, пр-т И. Яковлева, 13

ISBN 978-5-9221-1623-7

ISBN 978-5-9221-1623-7

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2000, 2015

c⃝ Д. О. Шклярский, Н. Н. Ченцов,
И. М. Яглом, 2000, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие к первому изданию . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
4
Номера задач, предлагавшихся на московских математических
олимпиадах. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
7
Задачи . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8
1. Разные задачи по стереометрии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8
2. Теория многогранников . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
3. Правильные многогранники. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
27
4. Разрезание и складывание фигур. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
35
Решения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
45
Ответы и указания . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 244

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Настоящая книга представляет собой третью часть сборника задач, составленного по материалам школьного математического кружка при Московском государственном университете
им. М. В. Ломоносова. Она содержит задачи по стереометрии и задачи на разрезание и складывание фигур на плоскости и в пространстве. Как и первые две части «Избранных задач и теорем
элементарной математики», настоящая третья часть состоит из
условий задач, ответов и указаний и, наконец, решений. Как решения, так и ответы и указания даны ко всем задачам книги.
Кроме того, там, где это необходимо, условия задач снабжены
пояснениями.
Эта книга рассчитана на школьников старших классов —
участников математических кружков, на руководителей школьных математических кружков, а также на руководителей и участников кружков по элементарной математике в педагогических
институтах. Значительную часть книги составляют «циклы» задач, связанных общей темой, причем задачи цикла вместе с их
решениями дают более или менее законченную теорию излагаемого вопроса. Каждый такой цикл может служить темой одногодвух занятий математического кружка.
Содержание книги довольно разнообразно. Она состоит из
четырех почти не связанных между собою разделов.
В разделе 1 собраны задачи повышенной трудности по школьному курсу стереометрии. Многие из этих задач предлагались на
школьных математических олимпиадах в МГУ. Завершает раздел
цикл задач по геометрии тетраэдра. По своему характеру задачи
раздела 1 близки к задачам на доказательства и построения
из «Задачника по геометрии» Б. Н. Д е л о н е и О. К. Ж и т ом и р с к о г о, хотя в среднем и являются более трудными.
Раздел 2 посвящен общей теории многогранников. В него
включен и цикл задач по теории измерения многогранных углов.
Задачи по теории правильных многогранников выделены в отдельный раздел 3. Здесь же излагается теория правильных звездчатых многогранников.
Несколько своеобразным является раздел 4, который содержит как планиметрические, так и стереометрические задачи.

Предисловие к первому изданию
5

Задачи цикла А носят вводный характер. Все они по своему содержанию доступны школьнику, окончившему 8-й класс, а некоторые из них доступны и шестикласснику. Цикл Б посвящен
теореме о равносоставленности равновеликих многоугольников.
В цикле В рассматривается отчасти уже знакомая читателю
по книге Б. А. К о р д е м с к о г о и Н. В. Р у с а л е в а «Удивительный квадрат» (М.–Л., Гостехиздат, 1952) задача о разбиении
прямоугольника на квадраты, а также некоторые примыкающие
сюда вопросы. Наконец, цикл Г содержит задачи по теории
зоноэдров — выпуклых многогранников с центрально-симметричными гранями.
Задачи сборника не равноценны по своей трудности. Наряду
с легкими задачами, представлены и более трудные (в тексте
они отмечены звездочкой). Наконец, в книгу включено несколько
очень трудных задач (в тексте они отмечены двумя звездочками).
Читателю рекомендуется легкие задачи решать самостоятельно,
заглядывая в указания лишь в случае неудачи. Если же задача
отмечена звездочкой, то можно с самого начала посмотреть указание и только после этого приступить к решению задачи. Такого
же порядка следует придерживаться и на занятиях кружка.
Задачи, объединенные в один цикл, следует решать в той
последовательности, в какой они помещены в книге. Что же
касается задач, отмеченных двумя звездочками, то не следует
приступать к их решению, не ознакомившись с указаниями.
Эти последние задачи при желании можно рассматривать также
как «теорию», сразу читая решение задачи. Каждая из таких
задач может служить темой самостоятельного доклада на занятии кружка после того, как ученики решили все близкие задачи.
Следует отметить, что каждая задача сборника (кроме отмеченных двумя звездочками) была в свое время решена тем или иным
школьником — участником школьного математического кружка
при МГУ.
Авторы старались по возможности не дублировать имеющиеся сборники задач. Следует, однако, оговориться, что авторы
намеренно внесли в книгу ряд задач и упражнений из курса
элементарной геометрии Ж. Адамара; это относится, в частности,
к циклу задач по геометрии тетраэдра из раздела 1. Все решения
задач были написаны заново.
Книга содержит большое количество чертежей. Значительная
часть стереометрических чертежей выполнена в диметрии, там,
где это необходимо, применялась триметрия. Авторы стремились давать наглядные чертежи-рисунки, поэтому на чертежах
многогранники часто изображаются не как твердые тела, а как

Предисловие к первому изданию

«пустотелые» многогранные поверхности. При этом обычно одна
из граней делается «прозрачной» — через нее видны линии
и плоскости, проходящие внутри многогранника. На некоторых чертежах многогранники изображены «проволочными» — на
этих чертежах дается только скелет из ребер. В книге приведены
также шесть фотографий моделей правильных и почти правильных звездчатых многогранников.
Основная
работа
по
подготовке
этой
книги
выполнена
Н. Н. Ченцовым. В книгу включено около десяти задач по стереометрии из рукописи Д. О. Шклярского. Все остальные задачи
были подобраны совместно Н. Н. Ченцовым и И. М. Ягломом;
последний принимал также значительное участие в работе над
разделом 4.
В написании книги участвовали также И. С. Аршон (цикл
«Зоноэдры» и ряд задач раздела 1) и В. Г. Ашкинузе (окончательный вариант раздела 3 и другие задачи). Решения отдельных
задач были написаны другими руководителями и участниками
школьного математического кружка при МГУ.
А. И. Фетисов внимательно прочитал рукопись и сделал много существенных и ценных указаний, за что приносим ему свою
глубокую благодарность.
Авторы также пользуются случаем выразить свою благодарность редактору книги А. З. Рывкину и иллюстратору В. А. Сапожникову, проведшим большую и трудную работу по редактированию и оформлению этой книги.

Н. Ченцов

НОМЕРА ЗАДАЧ,
ПРЕДЛАГАВШИХСЯ НА МОСКОВСКИХ
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОЛИМПИАДАХ

Номер задачи
Олимпиада
Класс
Тур

2
IX (1946)
9–10
I

4
VII (1941)
9–10
II

5
III (1937)
9–10
I

6
XIV (1951)
9–10
II

7
V (1939)
9–10
II

12
XIV (1951)
9–10
II

13
I (1935)
9–10
II

15
XI (1948)
9–10
II

18
XV (1952)
10
II

20
XIV (1951)
7–8
II

21
X (1947)
9–10
II

22
XIII (1950)
9–10
II

27а
XI (1948)
9–10
I

27б
XIII (1950)
9–10
II

29
X (1947)
9–10
II

40
XV (1952)
10
I

82б
VI (1940)
7–8
II

93
XII (1949)
9–10
II

94
XVI (1953)
10
II

102б
VII (1941)
7–8
II

102в
VII (1941)
9–10
II

112
X (1947)
7–8
II

З А Д АЧ И

1. Разные задачи по стереометрии

1. Доказать, что сумма углов пространственного четырехугольника не превышает 360◦.

2. В пространстве даны две пересекающиеся плоскости τ
и σ. На линии их пересечения взята точка A. Доказать, что
из всех прямых, лежащих в плоскости τ и проходящих через
точку A, наибольший угол с плоскостью σ образует та, которая
перпендикулярна к линии пересечения плоскостей.

3. Доказать, что площадь ортогональной проекции плоского
многоугольника равна площади этого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

4. В пространстве даны две скрещивающиеся взаимно перпендикулярные прямые. Найти геометрическое место середин
отрезков данной длины d, концы которых лежат на этих прямых.

5. По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка
(один по первой, а другой по второй прямой). Доказать, что объем тетраэдра 1) с вершинами в концах этих отрезков не зависит
от положения последних.

6. В n-угольную пирамиду вписана сфера. Доказать, что
если совместить все боковые грани пирамиды с плоскостью основания, повернув их вокруг соответствующих ребер основания
(рис. 1), то все точки касания этих граней со сферой сольются
в одну точку H, а вершины граней расположатся на одной
окружности с центром в точке H.

1) В этой книге слово т е т р а э д р (по-гречески четырехгранник) всюду
употребляется в значении — произвольная треугольная пирамида. Когда речь
будет идти о правильном тетраэдре, т. е. о треугольной пирамиде, все грани
которой являются равносторонними треугольниками, мы будем говорить: правильный тетраэдр.

1. Разные задачи по стереометрии
9

Рис. 1

7. Дана
правильная
пирамида.
Из
точки N ее основания (рис. 2) восставлен
перпендикуляр к плоскости основания.
Доказать, что сумма отрезков от точки N
до точек пересечения этого перпендикуляра с плоскостями всех боковых граней
пирамиды не зависит от положения точки N в плоскости основания (на рис. 2
показаны лишь точки пересечения перпендикуляра с плоскостями граней SAB,
SBC и SCD).

8. а) Доказать, что если некоторое
число прямых обладает тем свойством,
что любые две из них пересекаются, то или все они проходят
через одну общую точку, или все лежат в одной плоскости.
б) Доказать, что если некоторое число окружностей обладает
тем свойством, что любые две из них пересекаются в двух точках, то или все окружности проходят через две общие точки, или
все окружности лежат на одной сфере (или в одной плоскости).

Рис. 2

9*. Выпуклая ломаная длины d вращается вокруг прямой,
проходящей через ее концы. Доказать, что площадь образовав
шейся поверхности вращения не превосходит πd2

2 .

10. Найти геометрическое место центров кругов, образуемых
при сечении данного шара U плоскостями, проходящими:
а) через данную прямую a;
б) через данную точку H.

Задачи

11*. Доказать, что если все сечения некоторого тела плоскостями, проходящими через данную фиксированную точку P,
представляют из себя круги, то это тело является шаром.

П р и м е ч а н и е.
Утверждение
задачи
11
является
усилением
следующей
известной
теоремы
(см.,
например,
Б. Н.
Д е л о н е
и О. К. Ж и т о м и р с к и й, «Задачник по геометрии», задача 387):
если все сечения некоторого тела плоскостями представляют из себя
круги, то это тело является шаром.

12. Из всех ортогональных проекций правильного тетраэдра
на различные плоскости найти ту, которая имеет наибольшую
площадь.

13. На поверхности куба найти точки, из которых данная
диагональ куба видна под наименьшим углом 1).

14. Определить вид сечения куба плоскостью, проходящей
через его центр перпендикулярно к его диагонали.

15**. Поместить в куб окружность наибольшего возможного
радиуса.

16*. Доказать, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.

17. Существуют ли отличные от куба многогранники, все
грани которых являются равными между собой квадратами?

18. В куб, ребро которого равно a, поместить три круглых
цилиндра высоты a и диаметра a

2 так, чтобы они не могли
перемещаться внутри куба.

19*. Круглый цилиндр пересекается плоскостью π, не перпендикулярной к его образующим. Какую кривую даст линия
пересечения цилиндра плоскостью при развертывании поверхности цилиндра в плоскость?

П р о е к ц и е й т о ч к и A из центра O на плоскость σ называется
точка A′ пересечения прямой OA с плоскостью σ. На рис. 3 изображены различные случаи расположения точки A относительно центра O
и плоскости σ. Ц е н т р а л ь н о й п р о е к ц и е й какой-либо фигуры
называется фигура, образованная проекциями точек первоначальной
фигуры из данного центра O.

20*. Какими фигурами может быть центральная проекция
треугольника? (Предполагается, что центр проекции не лежит ни
в плоскости проектирования, ни в плоскости треугольника.)

1) Концы самой диагонали при этом не принимаются в расчет.

1. Разные задачи по стереометрии
11

Рис. 3

21*. n проволочных треугольников расположены в пространстве так, что:
1◦. Каждые два из них имеют одну общую вершину.
2◦. В каждой вершине сходится одно и то же число k треугольников.
Найдите все значения k и n, при которых указанное расположение возможно.

22. Пространственный четырехугольник описан около сферы.
Доказать, что четыре точки касания лежат в одной плоскости.

23*. а) Доказать, что всегда существует сфера, касающаяся
всех сторон (или продолжений сторон) данного пространственного (не плоского) четырехугольника.
б) Доказать, что если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то можно построить бесчисленное
множество сфер, касающихся сторон (или продолжений сторон)
четырехугольника.
в) Среди всех сфер задачи 23 б) найти сферу наименьшего
радиуса.

24. Можно ли пересечь прямой трехгранный угол плоскостью так, чтобы в сечении получился треугольник, равный данному треугольнику?

25. а) Доказать, что можно пересечь произвольный тетраэдр
плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
б) Можно ли пересечь произвольный тетраэдр плоскостью
так, чтобы в сечении получился ромб?
в) Какое из всех сечений данного тетраэдра плоскостью,
представляющих из себя параллелограмм, имеет наибольшую
площадь?