Дифференциально-геометрические свойства уравнений одномерной изэнтропической газовой динамики

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр –
Всероссийский научно-исследовательский институт

экспериментальной физики

В. Е. Шемарулин

Дифференциально-геометрические свойства
уравнений одномерной изэнтропической
газовой динамики

Монография

Саров
2015

УДК 517.95, 514.86
ББК 22.161.6, 22.151
 
Ш46

Рецензенты: зав. кафедрой прикладной математики ФБГОУ ВПО
МГТУ «СТАНКИН» доктор физ.-мат. наук, профессор Л. А. Уварова,
доктор физ.-мат. наук А. Б. Надыкто

Шемарулин В. Е. 
Ш46 Дифференциально-геометрические свойства уравнений одномерной

изэнтропической газовой динамики : монография / В. Е. Шемарулин. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015. – 199 с., ил.

ISBN 978-5-9515-0302-2

УДК 517.95, 514.86
ББК 22.161.6, 22.151

ISBN 978-5-9515-0302-2
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2015
 
  
 
 
 
 
© В. Е. Шемарулин, 2015

Содеpжание

Основные обозначения
7

Введение
11

Глава 1. Предварительные сведения об уравнениях газовой динамики
23
1.1
Дифференциальные уравнения газовой динамики . . . . . . .
23
1.2
Установившиеся течения. Интеграл Бернулли . . . . . . . . .
26
1.3
Безвихревые изэнтропические течения. Интеграл Коши–Лагранжа. Уравнение для потенциала скоростей
. . . . . . . . .
27
1.4
Одномерные изэнтропические течения с плоскими волнами.
Инварианты Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29

Глава 2. Высшие симметрии и законы сохранения уравнений одномерных плоских изэнтропических течений политропного газа
33
2.1
Основные понятия и конструкции теории высших симметрий
и законов сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.2
Линеаризация уравнения для потенциала скоростей преобразованием Лежандра. Сведение к уравнению Эйлера–Дарбу Yn
45
2.3
Внутренние координаты на Yn,∞ и некоторые формулы для
операторов полного дифференцирования . . . . . . . . . . . .
47
2.4
Алгебра контактных симметрий уравнения Yn и его операторы рекурсии первого порядка; n ̸= 0, −1 . . . . . . . . . . . .
49
2.5
Симметрии высших порядков ϕ ∈ C∞(Jl), l ≥ 2 уравнения
Yn; n ̸= 0, ±1, ±2, . . . , ± (l − 1), −l . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.6
Описание алгебры Sym Yn высших симметрий уравнения Yn;
n ̸∈ ZZ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.7
Описание группы локальных законов сохранения для уравнения Yn; n ̸∈ ZZ. Фундаментальный закон сохранения . . . .
75
2.8
О симметриях и законах сохранения уравнения Yn при n ∈ ZZ
81

3

СОДЕPЖАНИЕ

2.9
Базис локальных законов сохранения для системы уравнений
одномерной газовой динамики. О гамильтоновых симметриях
системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Глава 3. Структура алгебр высших симметрий и локальные эквивалентности уравнений Эйлера–Дарбу
95
3.1
Линейные базисы алгебры NSymYn. Некоторые изоморфизмы
97
3.2
Формулы коммутирования для операторов рекурсии. Разложение NSymYn в прямую сумму нечетномерных неприводимых sl2-модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
3.3
Об идеалах и подалгебрах в SymYn и NSymYn. Каноническая
градуировка алгебры NSymYn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4
Размерность пространств R(u)-инвариантных решений уравнения Yn; R(u) ∈ NSymYn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5
Условие изоморфности алгебр SymYn и SymYm и локальной
эквивалентности уравнений Yn и Ym, n, m ̸∈ ZZ. Примеры
нелокальных эквивалентностей уравнений Yn и Ym . . . . . . 105
3.6
Описание полного множества локальных эквивалентностей
уравнений Yn и Ym; n, m ̸∈ ZZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.7
Представление алгебры [U(L)/(∆n)]L линейными обыкновенными дифференциальными операторами . . . . . . . . . . . . 114
3.8
Описание полного множества изоморфизмов g алгебр NSymYn
и NSymYm, удовлетворяющих условию g(NSymcYn) = NSymcYm

в случае n, m ̸∈ ZZ; n, m ̸= 1

2(±i − 1), i = 2, 4, 6, . . . . . . . . . . 121

Глава 4. Локальные законы сохранения для одномерного волнового уравнения
125
4.1
Определяющая система уравнений для производящих функций законов сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2
Отображение Грина. Общее решение определяющей системы
уравнений. Описание пространства локальных законов сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.3
Два следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Глава 5. Базис контактных законов сохранения полиномиального
типа в одномерной газовой динамике
137
5.1
Описание пространства контактных законов сохрaнения уравнения для потенциала скоростей . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2
Операторы рекурсии и базис контактных законов сохранения
полиномиального типа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

СОДЕPЖАНИЕ
5

5.3
Дифференциальные соотношения для одного класса специальных полиномов. Общие решения дифференциальных уравнений, определяющих эти полиномы
. . . . . . . . . . . . . . 146

Глава 6.
Фундаментальная система решений уравнений одномерных плоских изэнтропических течений политропного газа
149
6.1
Фундаментальная система однородных полиномиальных решений линейного уравнения для потенциала Лежандра
. . . 150
6.2
Решение задачи Коши с аналитическими начальными данными на плоскости переменных годографа
. . . . . . . . . . . . 151
6.3
Биномиальные представления для коэффициентов однородных полиномиальных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
6.4
Однородные полиномиальные решения и операторы рекурсии 154
6.5
Примеры газодинамических течений, определяемых фундаментальными полиномами низших степеней . . . . . . . . . . 155

Глава 7. Операторы типа Дарбу в одномерной газовой динамике
159
7.1
Оператор Дарбу в теории одномерных течений политропного
газа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.2
Уравнения одномерной изэнтропической газовой динамики
на плоскости переменных годографа
. . . . . . . . . . . . . . 162
7.3
Формальная связь уравнений в переменных Эйлера и Лагранжа. Оператор типа Дарбу и ассоциированный с ним оператор
рекурсии
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4
Групповая природа оператора типа Дарбу. Связь с галилеевской инвариантностью уравнений газовой динамики . . . . . 174

Заключение
177

Список литературы
181

Основные обозначения

Yn =

Fn (u) ≡ uξη −
n

ξ + η (uξ + uη) = 0

— дифференциальное уравнение Эйлера–

Дарбу с параметром n;

n =
k − 3

2 (k − 1) — параметр уравнения Yn;

k — показатель адиабаты газа;

Y∞ ≡ Yn,∞ — бесконечное продолжение уравнения Yn;

ξ, η — характеристические переменные;

Jl ≡ Jl (2, 1) — многообразие l-джетов гладких функций переменных ξ и η;

J∞ ≡ J∞ (2, 1) — многообразие бесконечных джетов гладких функций переменных ξ и η;

ξ, η, u, umξ,lη; m, l = 0, 1, 2, 3, . . . — специальные координаты на J∞;

umξ,lη ≡ ∂m+lu

∂ξm∂ηl ;

ξ, η, u, uiξ, uiη; i = 1, 2, 3, . . . — внутренние координаты на Y∞;

C∞ Jl— алгебра гладких функций на Jl;

Dξ, Dη — операторы полного дифференцирования по ξ и η;

lFn = Dξ ◦ Dη −
n

ξ + η (Dξ + Dη) — оператор универсальной линеаризации опера
тора Fn;

l∗
Fn — оператор, сопряженный с оператором lFn;

ϕ — a) производящая функция симметрии (симметрия) уравнения Yn,
b) потенциал скоростей газодинамического течения;

∋ϕ — эволюционное дифференцирование с производящей функцией ϕ;

{ϕ, ψ} — высшая скобка Якоби функций ϕ и ψ;

Ker∇ — ядро оператора ∇;
¯∇, ¯f — ограничения оператора ∇ и функции f на Y∞;

7

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

SymcYn — алгебра контактных симметрий уравнения Yn;

SymYn — алгебра высших симметрий уравнения Yn;

A∞
n
— линейное пространство решений уравнения Yn (тривиальная абелева часть
алгебры SymcYn);

NSymcYn — нетривиальная часть алгебры SymcYn;

NSymYn — нетривиальная часть алгебры SymYn;

2, σ, σ1, τ — операторы рекурсии первого порядка для уравнения Yn;

ZZ — кольцо целых чисел;

IR — поле вещественных чисел;

CC — поле комплексных чисел;

sl2 ≡ sl (2, IR) — вещественная трехмерная расщепляемая простая алгебра Ли (алгебра вещественных 2 × 2–матриц с нулевым следом);

slc
2 — комплексификация алгебры sl2;

L ≡ sl0
2 — алгебра Ли, противопололжная (антиизоморфная) алгебре Ли sl2;

U (L) — универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли L;

(∆n) — двусторонний главный идеал в алгебре U(L), порожденный элементом ∆n;

∆n = σ2
1 − τ2 − σ1 + n (n + 1) I ;

[U(L)/(∆n)]L — алгебра Ли ассоциативной факторалгебры U (L) / (∆n);

2i
0 = 2i — i-я степень оператора 2;

2i
j = [. . . [2i, τ] . . . τ]
j
, j ≥ 1 ;

˜
2i
j; i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ 2i — смежные классы элементов 2i
j ∈ U(L) по главному идеалу
(∆n);
¯
2i
j(u); i ≥ 0, 0 ≤ j ≤ 2i — элементы второго линейного базиса алгебры NSymYn
при n ̸∈ ZZ;

[∇1, ∇2] = ∇1 ◦ ∇2 − ∇2 ◦ ∇1 — коммутатор линейных операторов ∇1 и ∇2;

g — производящая функция закона сохранения для уравнения Yn;

b ≡ (ξ + η)2n ;

δL
δu — вариационная производная от L;

ZZp (Yn) — линейное пространство производящих функций локальных законов сохранения для уравнения Yn;

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
9

ZZ (Yn) — линейное пространство локальных законов сохранения для уравнения
Yn;
m
l

=
m!

l! (m − l)! — биномиальный коэффициент;

m! = 1 · 2 · . . . · m — m-факториал.

Введение

Монография посвящена детальному геометрическому исследованию, групповой классификации и интегрированию уравнений одномерной изэнтропической
газовой динамики, принадлежащих одному из важнейших классов уравнений механики сплошных сред.
К числу наиболее фундаментальных свойств уравнений математической физики относится наличие у них нетривиальных непрерывных групп симметрий.
В связи с этим групповые и геометрические методы занимают особое место в аналитическом аппарате, применяемом для исследований в области современного математического моделирования. Этим обусловлен выбор основных аналитических
методов, используемых в данной работе.
Важность математической модели газовой динамики определяется тем, что она
широко используется как в теоретических, так и в прикладных исследованиях. Хорошо известно, что газовая динамика стимулировала развитие теории уравнений
смешанного типа и теории разрывных решений дифференциальных уравнений.
В частности, из газовой динамики в математику вошли такие понятия, как градиентная катастрофа, разрывное (обобщенное) и автомодельное (инвариантное)
решение.
С целью проведения прикладных исследований к настоящему времени разработано множество методик и создано большое число хорошо зарекомендовавших
себя комплексов программ для численного решения сложных научно-технических
задач, в том числе и задач газодинамики. Однако, несмотря на это, проблема создания высокоэффективных алгоритмов и программ для решения основных краевых задач для уравнений математической физики не становится менее актуальной. Это связано, прежде всего, со все возрастающими требованиями к точности
и экономичности вычислительного эксперимента с целью учета и досконального
исследования все более тонких особенностей поведения изучаемых математических моделей, включающих в себя описание многих взаимосвязанных, как правило, нелинейных процессов, представляющих в настоящее время значительный
практический интерес. Создание же новых эффективных алгоритмов невозможно без детального аналитического исследования этих математических моделей и
разработки новых аналитических методов. В процессе конструирования численных алгоритмов решения задач математической физики большую роль играют

11

ВВЕДЕНИЕ

точные решения соответствующих дифференциальных уравнений. При этом значение модельных, в том числе и классических, уравнений не уменьшается, поскольку они часто являются источниками новых идей и выступают в качестве
полигона, на котором отрабатываются новые методы. Этим с прикладной точки
зрения в значительной степени объясняется неослабевающий интерес большого
числа исследователей к аналитическому изучению и построению точных решений
рассматриваемых в монографии уравнений. Этим же определяется актуальность
данной монографии.
Здесь уместно привести слова Я. Б. Зельдовича из предисловия к книге [198]
(стр. 8) – «... подавляющее большинство задач нелинейно; что за польза от частного решения, если нет принципа суперпозиции? Дело в том, что, как правило, эти
частные решения представляют собой асимптотики широкого класса других решений, отвечающих другим начальным условиям. В этом случае значение точных
частных решений возрастает в сильнейшей степени». В заключение этой преамбулы процитируем также высказывание В. И. Арнольда из книги по классической механике ([197], стр. 365), дополнительно подчеркивающее значение точных
частных решений для понимания поведения исследуемых моделей в более общих
ситуациях: «Имеющийся в нашем распоряжении набор точно решаемых «интегрируемых» задач невелик (одномерные задачи, движение точки в центральном
поле, эйлерово и лагранжево движения твердого тела, задача двух неподвижных
центров, движение по геодезическим на эллипсоиде). Однако с помощью этих «интегрируемых случаев» можно получить довольно значительную информацию о
движении многих важных систем, рассматривая интегрируемую задачу как первое приближение».
Главными целями и основными математическими результатами монографии
являются: решение ряда проблем, связанных с описанием пространств высших
(локальных) симметрий и законов сохранения и исследованием их структурных
свойств в случае уравнений одномерной газовой динамики, развитие аналитических методов решения возникающих при этом переопределенных систем уравнений и методов исследования структур алгебр высших симметрий, решение ряда классификационных задач и выяснение геометрической природы некоторых
свойств уравнений одномерной газодинамики, конструирование и исследование
новых классов точных решений для этих уравнений.
При этом одной из центральных проблем, исследуемых в монографии, является проблема нахождения всех локальных симметрий и законов сохранения для
рассматриваемых уравнений. Важность решения этой проблемы обусловлена, в
частности, ее связью с решением краевых задач. Для уравнений, получающихся
из вариационных принципов, в том числе и для исследуемых здесь уравнений газовой динамики проблема нахождения законов сохранения, по существу, сводится к
проблеме перечисления симметрий (теорема Нетер). Разумеется, безотносительно
к нахождению законов сохранения согласно нетеровской процедуре, перечисле