Кинетические уравнения физических систем с хаотическим внутренним строением

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр –  
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
 
 
А. В. Чернов  
 
 
КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ  
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМ  
ВНУТРЕННИМ СТРОЕНИЕМ 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2009 

    ББК 22.36 
             Ч-49 
    УДК 533.72 
 
 
 
    А. В. Чернов 
 
    Ч-49 Кинетические уравнения физических систем с хаоти- 
ческим внутренним строением: Монография. – Саров:  
РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2009. 214 с. – ил. 
 
 
           ISBN 978-5-9515-0108-0 
 
 
 
В книге изложены результаты исследований по проблеме обобщения 
газокинетического уравнения Больцмана на физические системы, отличающиеся от больцмановского одноатомного газа. 
Особое внимание уделено вопросу о необходимости стохастической 
формулировки сопряженных с кинетическим уравнением граничных 
условий, диктуемой неизбежным наличием у любой физической системы 
внешнего окружения, микроскопические взаимодействия с которым 
принципиально не контролируемы. 
Приведены некоторые физически обоснованные соображения, позволяющие построить единую теорию уравнения состояния газа и жидкости. 
Монография может оказаться полезной студентам старших курсов 
технических вузов, аспирантам и научным работникам, интересующимся 
неравновесными процессами, протекающими в физических системах. 
 
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда 
фундаментальных исследований по проекту № 09-02-07059 
 
РФФИ 
 
 
 
           ISBN 978-5-9515-0108-0 
          © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2009 

Содержание 
3

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение ....…………………………………………………………     5 

Раздел 1. Уравнения непрерывности в фазовых пространствах ...   29 

     1.1. Статистические ансамбли …………………………………   29 
     1.2. Уравнение Лиувилля ………………………………………   33 
     1.3. Распределение Гиббса ..……………………………………   56 
     1.4. Одночастичная функция распределения …………………   69 
     1.5. Уравнения непрерывности в больцмановском  
     фазовом пространстве .…………………………………………   78 
     1.6. Уравнение непрерывности, гидродинамические  
     параметры и гидродинамические законы сохранения .………   89 
     1.7. Уравнение баланса энтропии  ..…………………………… 105 
     1.8. О больцмановской аппроксимации уравнения  
     непрерывности в фазовом пространстве ...…………………… 114 

Раздел 2. Кинетические уравнения гомогенных систем …...…… 118 

     2.1. Взаимодействие молекул в классической модели 
     идеального газа ………………………………………………… 118 
     2.2. Уравнение непрерывности в больцмановском 
     -пространстве и интеграл столкновений  …………………… 126 
     2.3. Интеграл столкновений для разреженных 
     многоатомных газов …………………………………………… 141 
     2.4. Общие свойства интеграла столкновений .……………… 158 
     2.5. Н-теорема Больцмана ...…………………………………… 163 
     2.6. Окончательная форма оператора столкновений ...……… 164 
     2.7. Проблема плотных газов  …………………………………. 167 
     2.8. О кинетических уравнениях конденсированных сред ..… 184 

Раздел 3. Линеаризация кинетических уравнений ....…………… 188 

     3.1. Основное представление функции распределения ...…… 188 
     3.2. Кинетическое уравнение для возмущения h  
     и его линеаризация ..…………………………………………… 192 

Содержание 
 
4

     3.3. Разложения плотности, потока и источника энтропии .… 194 
     3.4. Приближение Чепмена – Энскога первого порядка 
     и линейные уравнения Онзагера ……………………………… 203 
     3.5. Безразмерная форма кинетического уравнения  ………… 207 

Список литературы  ..……………………………………………… 212 

Введение 
5

ВВЕДЕНИЕ 
 
Прогнозирование поведения естественных материальных объектов или создаваемых человеком конструкций в условиях изменяющихся внешних воздействий предполагает выполнение качественной или по возможности количественной оценки существенных с практической точки зрения параметров, характеризующих 
объект, что является одним из важнейших технических приложений научного знания. В теоретических исследованиях объект рассматривается как физическая система, выделенная для изучения из 
окружающей среды, а воздействие на него внешнего окружения 
формулируется в виде граничных условий (ГУ), задающих значения некоторых параметров на поверхности объекта и их изменение 
во времени. 
При неизменных внешних условиях параметры состояния 
объекта могут сохранять свои значения в течение какого-то периода времени (статические задачи). В общем случае внешние условия 
с течением времени изменяются, и тогда имеют дело с динамической задачей определения временной эволюции параметров, характеризующих объект. 
В прикладных технических задачах изучаемые физические системы (объекты) обычно представляют собой объединения некоторого числа обладающих различными физико-механическими свойствами макроскопических тел, определенным образом соединенных друг с другом. В таких случаях общую задачу расчленяют на 
ряд подзадач, которые ставятся для каждого отдельного тела с ГУ, 
определяющими условия контакта между телами. 
Таким образом, основная первичная задача заключается либо 
в определении связи параметров состояния отдельного тела, рассматриваемого как выделенная система с постоянными значениями 
граничных параметров в случае статической задачи, либо в предсказании временной эволюции этих параметров при изменении 
условий на границе в случае задачи динамической. 

Введение 
6

Поскольку любая физическая система как материальное образование имеет атомно-молекулярное строение, то ее можно описывать с различной степенью подробности (с различной степенью 
сжатия описания [1]), характеризуемой наборами параметров состояния, определенный выбор которых находится в соответствии с 
выбором тех или иных принимаемых за основные структурных 
элементов системы, состоящей из атомов или молекул. Различные 
сжатые описания материальной системы образуют иерархические 
ступени или уровни описания [1]. Каждая ступень характеризуется 
как присущими ей методами исследования и понятиями, связанными со специфическим выбором параметров, так и понятиями и методами, общими для нескольких ступеней. Различным уровням 
описания соответствуют, вообще говоря, и различные классы задач, разрешаемых методами, характерными для этих уровней. Ясно, что класс задач, разрешаемых на более высоком (более подробном) уровне, шире класса, разрешаемого средствами более низкого 
уровня описания. 
В качестве примера можно привести макроскопический гидродинамический и более подробный микроскопический больцмановский уровни описания разреженного одноатомного газа. На 
гидродинамическом уровне из феноменологических уравнений баланса массы, импульса и энергии определяются поля плотностей 
этих величин. На больцмановском уровне имеют дело с уравнением баланса для функции распределения атомов по их скоростям и 
положениям в пространстве, через которую посредством соответствующих статистических определений устанавливаются и поля 
гидродинамических переменных. 
Уровни отличаются друг от друга степенью идеализации 
свойств системы. Эта идеализация сказывается на выборе параметров описания, соответствующем тому, какие факторы считаются 
основными решающими, а какими можно пренебречь. 
В конечном счете удовлетворительность описания, даваемого 
тем или иным уровнем, должна определяться его соответствием 
экспериментально наблюдаемым свойствам систем, из которого 
можно сделать заключение о законности идеализации, присущей 

Введение 
7

выбранному уровню. Однако некоторые указания на приемлемость 
уровня описания можно, вообще говоря, получить и теоретически, 
сравнивая описания, даваемые выбранным и более детальным 
уровнями. Может, например, случиться так, что одна и та же задача, разрешаемая при определенных условиях средствами некоторого уровня, оказывается неразрешимой этими средствами в других 
условиях и требует рассмотрения на более высоком уровне. 
Именно такая ситуация складывается при изучении гидродинамических уравнений движения сред с внутренней структурой 
масштаба значительно большего, чем атомно-молекулярный. К таким средам относятся большое число природных материалов 
(например, многие виды грунтов), а также широкий класс технических конструкционных материалов типа композитов. По терминологии, принятой в химии, такие среды называют дисперсными системами. Структурные элементы, по меньшей мере, средне- и грубодисперсных систем в отношении молекулярных масштабов 
представляют собой отдельные макроскопические тела, например, 
эритроциты крови, отдельные песчинки песчаного массива или 
галька морского побережья. Однако для того, чтобы дисперсная 
система могла рассматриваться как сплошная среда, характерный 
размер ее структурных элементов должен быть чрезвычайно мал по 
сравнению с масштабом всей системы. 
При действии на такую среду внешних нагрузок ударного типа распространение в ней волн сжатия уже нельзя представить, как 
это принято в классической гидродинамике, в виде распространения поверхностей разрыва параметров, ибо совершенно очевидно, 
что волна сжатия вследствие дифракции на структурных элементах 
будет иметь толщину, по крайней мере на порядок, если не значительно больше, превышающую характерный размер структурного 
элемента. Современная аппаратура позволяет регистрировать и 
действительно регистрирует в дисперсных материалах именно такой характер волновых процессов с достаточно плавными профилями изменения измеряемых параметров. 
Обычные соотношения, замыкающие гидродинамическую систему для сплошной среды, как явствует из анализа линеаризован

Введение 
8

ного уравнения, соответствующего больцмановскому методу (раздел 3), пригодны для описания движения дисперсных сред только 
тогда, когда градиенты гидродинамических параметров в некотором смысле не слишком велики. В этом случае для замыкания системы уравнений можно использовать так называемые линейные 
соотношения Онзагера [1–3], сводящиеся, например, в частном 
случае простой жидкости к линейным законам вязкости и теплопроводности Ньютона и Фурье. В то же время обсуждаемые ниже 
результаты анализа в рамках гидродинамики процесса распространения в явно дисперсной среде плоской стационарной волны сжатия свидетельствуют о некорректности описания ее свойств с помощью линейных соотношений Онзагера, что указывает на необходимость для решения этого вопроса применения более высокого 
уровня, учитывающего кинетику взаимодействий структурных 
элементов. 
Поскольку при решении основных задач прогноза наиболее 
широко используется континуальный гидродинамический способ 
описания систем, то представляется целесообразным кратко изложить его основные принципы. 
В этом способе задачи разрешаются средствами механики и 
термодинамики в рамках модели сплошной среды в предположении, 
что рассматриваемая физическая система в каждый момент времени 
представляет собой непрерывно заполненный веществом пространственный объем 
 ,
V t
 на поверхности которого заданы те или иные 
граничные условия. Для системы записывают дифференциальные 
или интегральные уравнения баланса фундаментальных физических 
величин (массы, импульса и энергии), формулируемые для плотностей этих величин как функций времени и положения в пространстве. Система уравнений не является замкнутой и, следовательно, 
не достаточна для определения полей плотности этих величин. 
На раннем этапе развития гидродинамики для замыкания системы уравнений баланса использовались термодинамические 
уравнения состояния вещества. При этом в уравнениях движения 
фигурирует термодинамическое давление и отсутствует тепловой 
поток (эйлеровы системы). 

Введение 
9

Использование термодинамических уравнений состояния среды в качестве замыкающих оказывается отнюдь не всегда приемлемым, так как уравнения состояния характеризуют не только 
свойства самой среды, но и определенный класс процессов, совершаемых над ней, а именно тех процессов, в которых состояния лагранжевых элементов среды мало отличаются от термодинамически равновесных, а значит, эти состояния должны достаточно медленно изменяться с течением времени (квазистатические процессы). В рамках классической гидродинамики предполагается, что 
такие изменения параметров реализуются в различных областях 
объема системы, отделяемых друг от друга поверхностями разрыва 
параметров. 
Если некий процесс может быть описан таким классическим 
способом, то можно сказать, что к нему применима гипотеза локального термодинамического равновесия. 
Необходимо иметь в виду, что существуют среды, к которым 
даже и в квазистатических процессах такая форма гипотезы локального равновесия неприменима. Например, даже крайне медленное пластическое деформирование металлов не подчиняется 
этой гипотезе, так как пластическая деформация по самой своей 
природе диссипативна. При ее протекании происходит выделение 
так называемого нескомпенсированного тепла Клаузиуса, определяющего переход части потенциальной энергии в тепловую хаотическую форму энергии движения атомов кристаллической решетки 
металла. 
Использование уравнений баланса совместно с термодинамическими уравнениями состояния означает, что в даваемом такой 
системой уравнений описании пренебрегается любыми внутренними диссипативными процессами. Например, эйлерова система 
уравнений гидродинамики жидкости соответствует исключительно 
модели идеальных (невязких) и нетеплопроводящих жидкостей. 
Заметим, что уравнения состояния устанавливают однозначные функциональные зависимости между плотностью, температурой, механическими напряжениями и энергией лагранжевых элементов среды. 

Введение 
10

В тех случаях, когда внутренние диссипативные процессы 
оказывают существенное влияние на характер движения среды, ее 
реакция на внешнее воздействие (отклик) является, вообще говоря, 
функционалом этого внешнего воздействия и не может быть описана однозначными зависимостями типа термодинамических уравнений состояния. На характер движения системы существенное 
влияние оказывают форма и темп приложения внешних воздействий, вследствие чего в связи между параметрами течения могут, 
например, входить кинематические параметры типа скорости деформирования лагранжевых элементов. В такой ситуации очень 
часто для замыкания системы уравнений баланса прибегают к так 
называемым феноменологическим реологическим определяющим 
соотношениям, получаемым в основном либо эмпирически, либо 
на основе неких интуитивных физических соображений. 
В качестве примеров таких определяющих соотношений можно привести линейные законы теплопроводности и жидкого трения, первоначально установленные Фурье и Ньютоном чисто эмпирическим путем, самые разнообразные эмпирические и полуэмпирические формулы, определяющие зависимость напряжений в 
упругопластических материалах от скорости деформирования образцов. Движение электропроводящих сред (типа металлов) сопровождается возникновением токов, подчиняющихся закону Ома; при 
протекании тока через проводник в нем выделяется джоулево тепло, следовательно, это – процесс диссипативный: часть энергии 
направленного движения электронов проводимости переходит в 
тепло, а закон Ома есть эмпирическое реологическое соотношение, 
определяющее этот процесс. 
При исследовании достаточно широкого класса процессов 
диссипативного характера применяются методы современной 
неравновесной термодинамики, которые используются для более 
строгого (без существенного привлечения эмпирических или интуитивных соображений) установления определяющих уравнений, 
замыкающих систему уравнений движения. 
Начало этому этапу развития термодинамики было положено 
работами [4, 5] Л. Онзагера, в которых он дал теорию флуктуаций 

Введение 
11 

для равновесных статистических ансамблей физических систем и 
получил соотношения, выражающие феноменологические законы 
связи параметров (обобщенных термодинамических потоков и сил) 
в необратимых процессах. Особенно быстро термодинамика необратимых явлений стала развиваться во второй половине XX века в 
первую очередь благодаря работам голландско-бельгийской школы 
[2], к которой позднее присоединилась венгерская школа [3]. Достаточно полный систематический обзор относительно недавнего 
состояния термодинамики необратимых процессов приведен в монографии [1]. 
Одна из идей предложенного Онзагером подхода к описанию 
необратимых явлений заключается в способе получения из системы гидродинамических уравнений баланса массы, импульса и 
энергии континуального уравнения баланса энтропии 




div
s
s
t
s
 
 


 
v
J
                          (В.1) 
с применением термодинамического тождества Гиббса. Применение таких соотношений означает, что теория Онзагера использует 
гипотезу локального термодинамического равновесия. При этом в 
уравнения баланса энергии и импульса входят потоки тепла и динамический тензор напряжений, представляющий собой сумму 
равновесного давления и динамических неравновесных добавок, а 
в тождестве Гиббса учитывается только равновесная часть давления, связь которого с другими параметрами системы подчиняется 
термодинамическим уравнениям состояния. С помощью тождества 
Гиббса система законов сохранения преобразуется к уравнению 
баланса энтропии. 
В частном случае простой (химически однородной) вязкой 
теплопроводной жидкости величины, входящие в уравнение баланса энтропии (В.1), имеют вид 

1
1
,
,
k
s
ik
i

v
T
T
T
x




  







J
q
q
                      (В.2) 

где q – вектор плотности потока тепла; 
s
J – вектор плотности потока энтропии, а 
ik
 – тензор вязких напряжений (динамическая 
добавка к равновесному давлению).