Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ. Научно-исследовательское издание. Вып. 21. Часть 1. В 2-х частях

Ф Г У П  
"РОССИЙСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ ЯДЕРНЫЙ ЦЕНТР — 
ВСЕРОССИЙСКИЙ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ  
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ" 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

РРРФ
ФФЯЯЯЦЦЦ---ВВВНННИИИИИИЭЭЭФ
ФФ  

 
 
 
 
 
Научно-исследовательское издание 
 
 

ВЫПУСК 21 

 
 
Саров 
 

2016 

РРРФ
ФФЯЯЯЦЦЦ---ВВВНННИИИИИИЭЭЭФ
ФФ

РРРФ
ФФЯЯЯЦЦЦ---ВВВНННИИИИИИЭЭЭФ
ФФ

ВЫПУСК 21 

 
 
Часть 1 
 
 
 
 
 
 

РРРФ
ФФЯЯЯЦЦЦ---ВВВНННИИИИИИЭЭЭФ
ФФ

УДК 539.1(06) 
ББК  22.38 
 
    T78 
 
 
 
 
 
Т78 
     Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ. Научно-исследовательское издание. Вып. 21.  
В 2-х частях. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2016.  
 
 
         ISBN 978-5-9515-0334-3 
                  Часть 1: Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ. – 2016. – 317 с.: ил. 
 
 
         ISBN 978-5-9515-0336-7 
 
В сборнике «Труды РФЯЦ-ВНИИЭФ» опубликованы результаты научных 
исследований, а также методических и проектно-конструкторских разработок 
в области прикладных задач теоретической физики, математического моделирования физических процессов, ядерной физики, физики ядерных реакторов, 
исследований по термоядерному синтезу, электрофизики, физики ускорителей, 
приборов и техники эксперимента, физики лазеров, гидродинамики, реологии, 
материаловедения, средств защиты от несанкционированных действий, электроники, радиотехники, оптоэлектроники. 
 
 
 
 
 
Главный редактор: академик РАН  Р. И. Илькаев 
 
Редакционный совет выпуска: академик В. П. Незнамов, академик РАН Ю. А. Трутнев,  
д-р физ.-мат. наук А. Н. Сизов, Е. В. Куличкова, д-р физ.-мат. наук С. Н. Абрамович, д-р техн. 
наук А. И. Астайкин, д-р техн. наук Н. А. Билык, д-р техн. наук Ю. Н. Бухарев, д-р физ.-мат. наук 
А. Е. Дубинов, канд. техн. наук М. В. Каминский, канд. техн. наук А. И. Коршунов, д-р физ.-мат. 
наук Г. Г. Кочемасов, канд. физ.-мат. наук С. В. Маврин, д-р физ.-мат. наук Б. А. Надыкто,  
д-р физ.-мат. наук В. А. Раевский, канд. физ.-мат. наук В. Г. Куделькин, д-р техн. наук Ю. И. Файков, 
канд. физ.-мат. наук В. В. Хижняков, д-р техн. наук П. Ф. Шульженко, Ю. М. Якимов  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0336-7  (ч. 1) 
ISBN 978-5-9515-0334-3   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2016 

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 

 
 
6 

 
На примерах иллюстрируется единственность физических предсказаний дираковской теории в искривленном и плоском пространстве-времени. Дираковские гамильтонианы в произвольных гравитационных 
полях, в том числе зависящих от времени, 
однозначно определяют физические характеристики квантово-механических систем 
независимо от выбора системы тетрадных 
векторов. 
Прямая связь спин – вращение, появляющаяся при определенном выборе тетрадных 
векторов, не проявляет себя в конечных физических характеристиках рассматриваемых систем и поэтому не является физически значимым эффектом. 
 

В работах [1 – 3] с помощью методов псевдоэрмитовой квантовой механики [4 – 6] для произвольных гравитационных полей, в том числе зависящих от времени, авторы разработали алгоритм перевода любого дираковского гамильтониана в искривленном пространстве-времени с произвольным выбором тетрадных векторов в η-представление, в котором гамильтониан превращается в самосопряженный, а скалярное произведение волновых функций становится плоским.  
При выборе для одной и той же физической системы разных тетрадных векторов в η-представлении могут получаться разные по виду самосопряженные гамильтонианы. Однако они всегда 
будут связаны унитарными преобразованиями, обязанными пространственно-временным вращениям матриц Дирака. Очевидно, такие гамильтонианы являются физически эквивалентными. Выбор тетрадных векторов для исследователя диктуется соображениями удобства. Можно работать  
с дираковскими гамильтонианами в искривленном пространстве-времени, используя в скалярном 
произведении волновых функций весовой оператор Паркера [7], либо работать в η-представлении 
с плоским скалярным произведением, используя обычный аппарат квантовой механики. При этом 
для обоих случаев физические характеристики рассматриваемых систем остаются идентичными. 
Эти выводы согласуются с результатами прежних исследований [8, 9] о независимости физических характеристик дираковской теории от выбора тетрадных векторов. 
Для иллюстрации сказанного выше приведем некоторые примеры. (Далее используется система единиц 
1,
с
G
=
=
=

 где  – постоянная Планка, с – скорость света, G – гравитационная 
постоянная.) Для первых трех примеров используется сигнатура∗ 

[
]
diag
1, 1, 1, 1 .
αβ
η
=
−
                                                              (1) 

Локальные индексы подчеркиваются, мировые индексы не подчеркиваются. Отсюда для  
γ-матриц Дирака 
                                                 

© Annalen der Physik (Berlin). 2014. Vol. 526, N 3 – 4. P. 195 – 200 [doi:10.1002/andp.201300218]. 
∗ Греческие буквы принимают значения 0, 1, 2, 3, а латинские – 1, 2, 3. 

УДК 530.145.7; 514.764.2 
 
 
О единственности  
дираковской теории  
в искривленном  
и плоском  
пространстве-времени 
 
М. В. Горбатенко, В. П. Незнамов 

О ЕДИНСТВЕННОСТИ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ… 
 

 
 
7

2
,
E
β
β
β
α
α
α
γ γ + γ γ
= η
                                                          (2) 

2
.
g
E
α β
β α
αβ
γ γ + γ γ
=
                                                         (3) 

В соотношениях (2), (3) Е – единичная 4×4 матрица. 
Тетрадные векторы определяются соотношениями 

.
H H g
μ
ν
α
β
μν
αβ
= η
                                                             (4) 

Связь между 
α
γ  и 
α
γ  определяется равенствами 

.
H
β
α
α
β
γ
=
γ
                                                                 (5) 

Весовой оператор Паркера равен 

0
0
.
g
ρ =
− γ γ
                                                              (6) 

 
Пример 1. 

 
В работе [1] для слабого поля Керра получены три гамильтониана, соответствующие трем системам тетрадных векторов, и самосопряженный гамильтониан в η-представлении: 
 
а) киллинговая система тетрадных векторов 

(
)

(
)
(
)
(
)

0
0
0
0
0
3
3

5
0
3
3
3
5

2
2
2

2
2
3
,
2

kl
l
k
k
k
k
k
k
k
k

kl
l
ml
l
l
l
k
k
mk
k
k
k

M J R
MR
M
M
i
H
im
im
i
i
i
R
R
x
x
R
R
x
M J R
M J
R
M J R
R
i
M
im
i
S
J
R
R
x
R
R

∂
∂
∂
=
γ −
γ − γ γ
+
γ γ
+
γ γ +
−
∂
∂
∂


∂


−
γ +
−
−
γ γ γ


∂





         (7) 

(
)

0
3
3
1
2
;
km
m
k
M J
R
M
R
R

ρ = +
+
γ γ
                                                 (8) 

б) система тетрадных векторов в симметричной калибровке 

(
)

(
)
(
)

0
0
0
0
0
3
3

3
3

2
 
2
2

,

kl
l
k
k
k
s
k
k
k
k

kl
l
ml
l
k
mk
k

M J R
MR
M
M
i
H
im
i
im
i
i
R
R
x
x
R
R
x
M J R
M J
R
im
i
S
R
R
x

∂
∂
∂
=
γ − γ γ
−
γ +
γ γ
+
γ γ +
−
∂
∂
∂
∂
−
γ +
∂

         (9) 

0
3
3
1
;
km
m
k
MJ
R
M
R
R

ρ = +
+
γ γ
                                                   (10) 

в) система тетрадных векторов Hehl и Ni [10] 

(
)

(
)

0
0
0
0
0
3
3

5
0
3
5

2
2
2

3
,
2

kl
l
k
k
k
H
N
k
k
k
k

l
l
k
k
k

M J R
MR
M
M
i
H
im
im
i
i
i
R
R
x
x
R
R
x
M J R
R
i
M J
R
R

−
∂
∂
∂
=
γ −
γ − γ γ
+
γ γ
+
γ γ +
+
∂
∂
∂




+
−
γ γ γ







     (11) 

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 

 
 
8 

3
1
;
M
R
ρ = +
                                                               (12) 

г) самосопряженный гамильтониан в η-представлении 

(
)

(
)

0
0
0
0
0
3
3

5
0
3
5

2
2

3
.
2

kl
l
k
k
k
k
k
k
k

l
l
k
k
k

M J R
MR
M
M
H
im
im
i
i
i
i
R
R
x
x
R
R
x
M J R
R
i
M J
R
R

η
∂
∂
∂
=
γ −
γ − γ γ
+
γ γ
−
γ γ +
+
∂
∂
∂




+
−
γ γ γ







       (13) 

1.
ρ =
                                                                   (14) 

В выражениях (7) – (14) M – масса источника гравитационного поля Керра, 
km
J
 – тензор уг
лового момента поля Керра  
(
)
1
.
2
mk
m k
k
m
S
=
γ γ − γ γ
 

Каждый из гамильтонианов (7), (9), (11), (13) отличается по виду друг от друга, однако  
при переходе в η-представление все гамильтонианы совпадают друг с другом, что доказывает их 
физическую эквивалентность. 
 
Пример 2. 

Известно, что свободный дираковский гамильтониан в сферической системе координат 
пространства Минковского можно записать двумя способами, приводящими к существенно разным по виду выражениям (см., например, [11]): 

1
0
0
1
2
3
1
1
1
1
ctg
,
2
sin
H
im
i
r
r
r
r


∂
∂
∂




=
γ − γ
γ
+
+
γ
+
θ +
γ






∂
∂θ
θ
∂ϕ






                           (15) 

2
0
0
1
1
.
sin
r
H
im
i
r
r
r
θ
ϕ



∂
∂
∂
=
γ − γ
γ
+ γ
+ γ


∂
∂θ
θ ∂ϕ


                                           (16) 

В выражении (16) 

1
1
2
3
1

1
1
2
3
2

1
1
2
3

sin
cos
sin
cos
,

cos
cos
sin
sin
,

sin
cos
.

r
R
R

R
R

R
R

−

−
θ

−
ϕ



γ =
θ γ
ϕ + γ
ϕ + γ
θ =
γ





γ =
θ γ
ϕ + γ
ϕ − γ
θ =
γ



γ
= −γ
ϕ + γ
ϕ =
γ

                                           (17) 

Ряд {
}
,
,
r
θ
ϕ
γ
γ
γ
 связан с рядом {
}
1
2
3
,
,
γ
γ
γ
 через унитарную матрицу R: 

(
)

(
)

1 1
2 2

1
1
2
1
5 1
1
2

2
2 3
2
5
2
3 1

,

1
exp
,
,
2
2
1
exp
,
.
2
2

R
R T R T

R
T
E

R
T
E

=

ϕ


=
−
γ γ
=
γ γ
+ γ γ




θ


=
−
γ γ
=
γ γ
+ γ γ





                                          (18) 

О ЕДИНСТВЕННОСТИ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ… 
 

 
 
9

Отсюда видно, что гамильтонианы (15), (16) физически эквивалентны, так как они связаны унитарным преобразованием (18) 
1
1
2
1
,
.
H
RH R
R
R
−
−
+
=
=
                                                            (19) 
 
Пример 3. 

В работе [3] для слабого поля Керра в координатах Бойера – Линдквиста получен следующий вид дираковского гамильтониана: 

0
0
0
0
0
1
0
2
0
3
1
1
1
1
1
1
1
ctg
2
2
2
sin
B L
r
r
r
H
im
i
i
r
r
r
r
r
r
−



∂
∂
∂










=
−
γ −
−
γ γ
+
−
−
γ γ
+
θ + γ γ
−












∂
∂θ
θ ∂ϕ












 

0
0
0
0
1
3 1
2
3
3
3
sin .
4
2

r
r a
r a
i
i
i
r
r
r

∂
− γ γ
−
−
γ γ
θ
∂ϕ
                                                (20) 

Сравним этот гамильтониан с гамильтонианом (13). Перепишем выражение (13) в несколько других обозначениях: 

0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
3
2
1
1
1
2
2
k
k
k
k
r
r
r
r a
H
im
i
i
x
i
x
x
r
r
x
x
x
r
r
η


∂
∂
∂




=
−
γ −
−
γ γ
−
γ γ
−
−
+






∂
∂
∂






 

2
0
3
3 1
3 2
1
2
2
3
3 1
3
2
2
2
3
3
1
3
.
4

r a
x
x x
x x
i
r
r
r
r





+
γ γ
−
− γ γ
− γ γ












                                    (21) 

Здесь 
(
)
0
2
,
,
0,0,
.
r
M
M
a
=
=
=
J
a
a
 
В выражениях (20), (21) слагаемые без момента a соответствуют метрике Шварцшильда.  
В гамильтониане (21) эти слагаемые записаны в декартовых координатах, а в выражении (20) –  
в сферических координатах, к которым в приближении слабого поля сводятся координаты Бойера –
Линдквиста. Эти части гамильтонианов (20) и (21) физически эквивалентны друг другу. 
Слагаемые с моментом вращения a  в выражениях (20), (21) сильно отличаются друг от друга. 
Однако в работе [3] с помощью матриц (17), (18) показана физическая эквивалентность и этих 
частей гамильтонианов (20), (21). 
В последующих примерах будет использована измененная сигнатура (1) 

[
]
diag 1,
1,
1,
1 .
αβ
η
=
−
−
−
                                                               (22) 
 
Пример 4. 

В работе [12] Обухов применительно к метрике 

( )
( )
2
2
2
2
2
ds
V
dt
W
d
=
−
x
x
x                                                           (23) 

получил самосопряженный гамильтониан с плоским скалярным произведением волновых функций 

Ob
1
,
2
V
V
H
mV
W
W



= β
+
+




αp
αp
                                                       (24) 

где 
0
0
,
.
k
k
β = γ
α = γ γ

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 

 
 
10

Далее, после унитарного преобразования Эриксена – Колсруда [13], гамильтониан (24) в приближении слабого гравитационного поля становится равным 

{
}
(
)
(
)

2
2
2
1
,
1
,
1
2
.
2
4
2
4
2
E K
V
H
mV
p V
m
m
m
W
m
−


β
β
β


= β
+
−
−
+
−
+

×
+ ∇  +













p
p
Σ f
p
f
ΣΦ       (25) 

Здесь 
;
;
V
V
f
W


= ∇
= ∇



Φ
 
0 .
0


= 




σ
Σ
σ
 

Последнее слагаемое в (25) можно трактовать как прямое взаимодействие спина дираковской частицы с гравитацией. 
Однако для правильной классической трактовки отдельных слагаемых гамильтониана 
необходимо исходное выражение (24) подвергнуть унитарному преобразованию Фолди – Ваутхайзена [14 – 16]. В результате А. Силенко, О. Теряев [15] получили следующее выражение  
для преобразованого гамильтониана: 

{
}

2
2
2
,
1
,
1
2
4
2
FW
V
H
mV
p
V
m
m
m
W



β
β 

= β
+
−
−
+
−
+











p
p
 

(
)
(
)
2
2
.
4
8
m
m
β
β
+

×
+ ∇  −

×
+ ∇





Σ f
p
f
Σ Φ
p
Φ
                                       (26) 

Последнее слагаемое в (26) вместо прямого взаимодействия спина частицы с гравитацией 

1
2






ΣΦ  описывает спин-орбитальное и контактное взаимодействие дираковской частицы подоб
но взаимодействию с электромагнитным полем [14]. 
Отметим, что все три гамильтониана (24), (25), (26) физически эквивалентны, поскольку 
связаны друг с другом унитарными преобразованиями. Однако для квазиклассической трактовки 
членов гамильтониана необходимо использовать представление Фолди – Ваутхайзена [15, 16]. 
 
Пример 5. 

Самосопряженный гамильтониан в поле Керра произвольной интенсивности, полученный 
авторами [3], сильно отличается от гамильтониана Чандрасекара [17], полученного методом Пенроуза – Ньюмена [18]. Однако после перевода гамильтониана Чандрасекара в η-представление 
можно установить, что полученный самосопряженный гамильтониан связан с гамильтонианом 
работы [3] унитарным преобразованием. Следовательно, оба гамильтониана физически эквивалентны. 
В общем случае выражение для оператора η является сложным и громоздким. В случае отсутствия вращения (поле Шварцшильда) оператор η диагонален и имеет вид 

1 2
1 2
0
0
diag
1
, 1, 1, 1
.
r
r
r
r

−
−






η =
−
−














                                                 (27) 

Теперь обратимся к примерам в работе [19], в которой автор демонстрирует неединственность (по его мнению) дираковской теории даже в плоском пространстве Минковского. 
 

О ЕДИНСТВЕННОСТИ ДИРАКОВСКОЙ ТЕОРИИ… 
 

 
 
11

Пример 6. 

Рассматривается плоское пространство Минковского (
)
', ', ', '
t x y z
 со свободным дираковским гамильтонианом 
'
' '
' .
H
m
=
+ β
α p
                                                                 (28) 

Далее рассматривается набор других матриц Дирака, зависящих от времени: 

1
1
2

2
2
1

3
3

',

' cos
' sin
,

' cos
' sin
,

' .

t
t

t
t

β = β

α = α
ω + α
ω

α = α
ω − α
ω

α = α

                                                       (29) 

В результате для новых тетрадных векторов, приведших к набору матриц 
k
α  (29), получается новый гамильтониан 

3
'
' ,
2
H
m
ω
=
+ β
−
Σ
αp
                                                         (30) 

где 
3
1
2
1
2
3
'
'
'
.
i
i
Σ
= α α
= α α = Σ
 
Сравнивая (28), (30), автор [19, 20] делает вывод о неединственности теории Дирака в плоском пространстве Минковского. 
Действительно, в отличие от исходного гамильтониана (28) гамильтониан (30) явно зависит 
от времени (см. (29)). Кроме того, в гамильтониане (30) присутствует дополнительный член 

3' ,
2
ω
−
Σ
 поэтому в [19, 20] поднимается вопрос о физической значимости прямой связи спин –

вращение. 
Однако обратим внимание, что матрицы 
i
α  (29) связаны с исходными матрицами 
'i
α  унитарной матрицей преобразования 
( ):
R t
 

'
,
i
i
R
R+
α =
α
                                                                 (31) 
где 

( )
( )

1
2
1
2
'
'
'
'
2
2
;
.

t
t
R t
e
R
t
e

ω
ω
α α
−
α α
+
=
=
                                            (32) 

Учитывая, что 
( )
R t  зависит от времени, видно, что гамильтонианы (30) и (28) связаны унитарным преобразованием 

'
.
R
H
RH R
iR
t

+
+
∂
=
−
∂
                                                       (33) 

Следовательно, гамильтонианы (28) и (30) физически эквивалентны∗. Переходя в свободном 
гамильтониане (28) в представление Фолди – Ваутхайзена, получаем известный гамильтониан [14] 
                                                 

∗ Уравнение Дирака для гамильтонианов 
'
H  и Н имеет вид 
,
.
i
H
i
H
t
t
′
∂ψ
∂ψ
′ ′
=
ψ
=
ψ
∂
∂

  

Эти уравнения 

эквивалентны друг другу, так как волновые функции 
′
ψ  и ψ  связаны унитарным преобразованием 

.
R ′
ψ =
ψ  Например, второе уравнение Дирака для волновой функции ψ  может быть записано в виде (учи
тывая, что 
R
R
R
R
t
t

+
+
∂
∂
= −
∂
∂
)  
,
R
R
i
iR
RH
i
t
t
t
′
∂
∂ψ
∂
′
′ ′
′
ψ +
=
ψ +
ψ
∂
∂
∂
 
т. е.  
.
i
H
t
′
∂ψ
′ ′
=
ψ
∂
  

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ 
 

 
 
12

2
2
FW
' .
H
m
= β
+ p
                                                          (34) 

В работе [20] автор попытался тoчно определить разницу между средними значениями H  

и H′  (формулы (27) – (29) в [20]). Однако при усреднении физических величин для спиновых 
частиц необходимо усреднять и по спиновым состояниям с соответствующим изменением усло
вий нормировки 
(
) (
)
(
)
(
)
,
,
,
,
1.
s
s
s
s d
s
s d
+
+

±
±
′
′
′
′
′
′
′
′
ψ
ψ
=
ψ
ψ
=




x
x
x
x
x
x
 

Поскольку для свободного движения оператор 
′ ′
′
Σ p
p
 имеет собственные значения 
1,
±
 то 

вместо формулы (28) в [20] мы имеем 

(
)
(
)
(
)
(
)
3
,
,
,
,
0.
2
2
s
s
H
H
s
s d
s
s d
+
+

±
±

′ ′
ω
ω
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
−
= −
ψ
ψ
= −
ψ
Σ ψ
=
′




Σ p
x
x
x
x
x
x
p
         
(35) 

Здесь направление движения частицы выбрано по оси 
(
)
3
'
'
.
z
p
′ =
p
 

В отличие от [20] из (35) следует, что средние значения гамильтонианов H  и H′  совпадают друг с другом. Отсюда видно, что связь спин – вращение в гамильтониане (30) не является физически значимой. Она может появляться при выборе определенной системы тетрадных векторов, 
но при вычислениях физических характеристик системы она никак не влияет на их величины. 
 
Пример 7. 

В работе [19] автор рассматривает также вращающуюся систему отсчета 

',

'cos
'sin
,
'sin
'cos
,

'.

t
t

x
x
t
y
t
y
x
t
y
t

z
z

=

=
ω +
ω
= −
ω +
ω

=
                                                        

(36) 

Метрика, соответствующая координатам (36), имеет вид: 

(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
.
ds
x
y
dt
ydx
xdy dt
dx
dy
dz


=
− ω
+
+ ω
−
−
+
+


                      
(37) 

В (37) для обеспечения 
00
0
g
>
 необходимо выполнение условия 
2
2
1.
x
y
ω
+
<
 

γ-Матрицы, соответствующие выбранной системе тетрадных векторов, имеют вид: 

0
0

1
1
2
0

2
1
2
0

3
3

' ,

' cos
' sin
'
,

' sin
' cos
'
,

' .

t
t
y

t
t
x

γ = γ

γ = γ
ω + γ
ω + γ
ω

γ = −γ
ω + γ
ω − γ
ω

γ = γ
                                               

(38) 

В результате можно получить самосопряженный гамильтониан 

' '
.
H
m
y
x
x
y
ω


∂
∂
=
+ β
− ω
−


∂
∂


α p
                                               
(39)