Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, основанный на многомерных спинорах

ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
 
А. А. Садовой, А. С. Ульянов 
 
 
 
 
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ 
МНОГОЭЛЕКТРОННОГО УРАВНЕНИЯ ДИРАКА, 
ОСНОВАННЫЙ НА МНОГОМЕРНЫХ СПИНОРАХ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2012 

     УДК 539.18+530.145 
     ББК 22.193 
               С14 
 
 
 
Садовой, А. А., Ульянов, А. С.  
С14 
          Аналитический метод решения многоэлектронного уравнения 
Дирака, основанный на многомерных спинорах : монография / 
А. А. Садовой, А. С. Ульянов. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 
2012. – 142 с., ил. 
ISBN 978-5-9515-0217-9 
 
В монографии изложен аналитический метод решения уравнения Дирака для систем с кулоновским взаимодействием. Возможности метода иллюстрируются на примере расчета свойств ионов трансурановых элементов. 
В методе используются многомерные спиноры в (3А–1)-мер- 
ном пространстве для системы из А электронов. Техника построения этих многомерных спиноров подробно изложена. Конкретные 
примеры приведены при расчете свойств гелие-, литие-, бериллие- 
и углеродоподобных ионов трансурановых элементов с Z = 92–101. 
При решении уравнения Дирака используется техника вычисления матричных элементов операторов, входящих в уравнение 
Дирака, в 3А-мерном пространстве, что позволяет осуществить переход от многомерного уравнения Дирака к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка, решение которых найдено аналитически. Полученные аналитические волновые функции 
могут использоваться для расчетов многих свойств ионов, которые 
не рассматриваются в данном издании. 
Монография будет полезна студентам старших курсов, магистрам, аспирантам, а также работникам физических и физикотехнических специальностей. 
 
     УДК 539.18+530.145 
     ББК 22.193 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0217-9  
          © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2012 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
Предисловие ………………………………………………………     5 

Введение ...…………………………………………………………     6 

Глава 1. Аналитический метод решения уравнения Дирака  
для систем с кулоновским взаимодействием,  
основанный на многоэлектронных спинорах ...………………     7 
1.1. Построение спиноров в 3А-мерном пространстве ..……     7 
1.2. Разложение волновой функции многоэлектронного  
иона по многомерным спинорам .……………………………     8 
1.3. Методы аналитического решения уравнения Дирака …   12 

Глава 2. Некоторые свойства уравнения Дирака  
для систем с кулоновским взаимодействием …………………   26 
2.1. Среднее значение гамильтониана уравнения Дирака 
в методе МУКФ  ………………………………………………   27 
2.2. Особенности решений уравнения Дирака  
для многоэлектронных систем  ………………………………   33 
2.3. Осцилляционные свойства решения  
уравнения Дирака  .……………………………………………   35 

Глава 3. Решение уравнения Дирака для гелиеподобных  
ионов трансурановых элементов  ………………………………   37 
3.1. Уравнение Дирака в 6-мерном пространстве ..…………   37 
3.2. Энергии и волновые функции гелиеподобных  
ионов с Z = 92–101  ……………………………………………   43 
3.3. Электронная плотность гелиеподобных ионов  
тяжелых элементов ...…………………………………………   50 
3.4. Моменты атомных радиусов  ……………………………   61 
Водородоподобные ионы ..………………………………   61 
Гелиеподобные ионы  ……………………………………   62 
3.5. Решение для гелиеподобных ионов  
в возбужденном состоянии 3S1  ………………………………   65 

Глава 4. Решение уравнения Дирака для литиеподобных 
ионов трансурановых элементов  ………………………………   71 
4.1. Уравнение Дирака в 9-мерном пространстве  .…………   71 

4.2. Волновая функция и энергия связи для 1
2

+
 состояния  

литиеподобных ионов с Z = 92–101  …………………………   85 
4.3. Электронная плотность литиеподобных ионов  
тяжелых элементов  ...…………………………………………   89 
4.4. Моменты атомных радиусов ……………………………   95 

Глава 5. Некоторые свойства 0+ состояния бериллиеподобных 
ионов трансурановых элементов  ………………………………   97 
5.1. Уравнение Дирака в 12-мерном пространстве …………   97 
5.2. Волновая функция и энергия связи для 0+ состояния  
бериллиеподобных ионов с Z = 92–101  ..…………………… 109 
5.3. Электронная плотность бериллиеподобных  
ионов тяжелых элементов …………………………………… 113 
5.4. Моменты атомных радиусов …………………………… 116 

Глава 6. Состояние 0+ углеродоподобных ионов 
трансурановых элементов ……………………………………… 118 
6.1. Уравнение Дирака в 18-мерном пространстве ………… 118 

6.2. Волновая функция и энергия связи для 0+  состояния  
углеродоподобных ионов с Z = 92–101  ..…………………… 127 
6.3. Электронная плотность  .………………………………… 130 
6.4. Потенциалы ионизации  .………………………………… 132 

Список литературы  ...…………………………………………… 136 
 

Предисловие 

Авторами описан новый метод аналитического решения уравнения Дирака для систем с кулоновским взаимодействием, который, по 
существу, является дальнейшим развитием идей Г. Бете, изложенных 
в монографии «Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами». Однако используемый в данной работе математический аппарат существенно облегчен благодаря применению обобщенных функций, коллективной переменной и техники вычисления в многомерных 
пространствах. В развитом методе, являющимся релятивистским обобщением метода многомерных угловых кулоновских функций [1], волновая функция многоэлектронного иона ищется в виде ряда по многомерным спинорам в 3А-мерном пространстве для иона, содержащего А 
электронов. Атомное ядро в представленных расчетах считается точечным, учет распределения заряда в ядре может быть проведен известными методами. В монографии подробно описан метод построения (3А–1)-мерных спиноров, обладающих заданными квантовыми 
числами. Развитая техника вычисления многочастичных матричных 
элементов операторов, входящих в уравнение Дирака, позволяет проводить аналитические вычисления и, следовательно, позволяет найти 
аналитические решения для амплитуд разложения волновой функции 
по многомерным спинорам. 
Свойства аналитических решений уравнения Дирака иллюстрируются расчетами электронной плотности, моментов атомных радиусов, нахождением ложных состояний в решениях уравнения Дирака на 
примере гелие-, литие-, бериллие- и углеродоподобных ионов трансурановых элементов. 
Представленные численные результаты также иллюстрируют 
осцилляторные свойства решений уравнения Дирака, вклад больших и 
малых компонент волновых функций в ее нормировку. Исследования 
показали, что для повышения точности решения уравнения Дирака 
необходимо с наибольшей точностью рассчитывать малую компоненту волновой функции. 
В заключение отметим, что приведенные аналитические решения могут использоваться для расчетов многих других свойств ионов 
трансурановых элементов, не рассмотренных в монографии. 

Введение 

Успехи метода многомерных угловых кулоновских функций в 
описании свойств многоэлектронных атомов и простейших двухатомных молекул [2, 3] указывают на перспективность обобщения идей 
метода для описания свойств релятивистских систем. В физике плазмы вызывает интерес изучение свойств ионов высокой кратности ионизации тяжелых элементов. В последнее время наиболее интенсивно 
подобные системы изучаются в рамках релятивистского метода Харт- 
ри–Фока [4–6]. Однако в этом методе, в отличие от методов многомерных угловых функций [7], как известно, не удается учесть в полной мере корреляционные эффекты, обусловленные многочастичной 
природой большинства квантовых систем. Поэтому представляется 
целесообразным применить методы многомерных угловых функций к 
решению релятивистских многочастичных задач.  
В качестве первого шага в этом направлении в данной работе 
развит метод решения многоэлектронного уравнения Дирака, базирующийся на использовании двухкомпонентных многомерных угловых функций. Построенные двухкомпонентные многомерные угловые 
функции являются, по существу, многомерными спинорами. Многоэлектронная волновая функция раскладывается в ряд по многомерным 
спинорам, которые образуют полную систему функций. Для амплитуд 
разложения получена система обыкновенных дифференциальных 
уравнений, зависящих от коллективной переменной. Развитый метод 
обладает вариационными свойствами. 
В данной работе в качестве примера рассмотрено минимальное 
приближение метода, когда в разложении многоэлектронной волновой 
функции оставлено только одно слагаемое. В этом приближении удалось решить задачу о спектре гелие-, литие-, бериллие- и углеродоподобных ионов с 
92
Z ≥
 в аналитическом виде. Также в аналитическом 
виде получены выражения волновых функций (ВФ) основного и нескольких возбужденных состояний рассматриваемых систем. 
Развиваемый метод можно рассматривать как дополнение  
к исследованиям малоэлектронных систем, подробно изложенных в 
работе [8]. 

ГЛАВА 1. Аналитический метод решения уравнения  
Дирака для систем с кулоновским взаимодействием,  
основанный на многоэлектронных спинорах 
 
1.1. Построение спиноров в 3А-мерном пространстве 

Как известно [9], четырехмерные спиноры – это величины, 
осуществляющие непрерывные представления группы Лоренца. 
Они представляют собой двухкомпонентные величины, отвечающие собственным значениям проекции спина, равным соответст
венно 1
2  и 
1
2
−
. Состояние свободного фермиона с определенным 

значением момента j интерпретируется как сферическая волна. 

В стандартном представлении биспинор 
Φ
⎛
⎞
Ψ = ⎜
⎟
Χ
⎝
⎠
 ведет себя как 

трехмерный спинор, поэтому его угловая зависимость имеет вид  

( )
( )
1
2

1
,
2
z
jlj
z
lm
m
lm
jj
Y

μ
μ

⎛
⎞
Ω
Ω =
μ
Ω χ
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
                     (1.1) 

где 
( )
lm
Y
Ω  и 
1
2μ
χ
 – сферическая и спиновая функции соответст
венно. 
При построении спиноров в 3А-мерном пространстве необходимо обеспечить свойство антисимметрии при любой перестановке спиноров, описывающих каждый фермион. Для выполнения 
этого требования 3А-мерные спиноры построены в виде детерминантов Слэтера размерности (А × А) для каждой компоненты  
3А-мерного биспинора. Радиальная часть каждого 4-мерного спинора выбирается в виде полинома минимально допустимой степени, поэтому верхние и нижние спиноры являются однородными 
полиномами одной и той же степени K. 

При построении многомерных угловых функций (МУФ) учитывалось, что в стандартном представлении компоненты двухкомпонентной ВФ при инверсии преобразуются сами через себя: 
,
.
P
i
P
i
Φ → Φ
Χ → − Χ                               (1.2) 
При инверсии угловые части этих спиноров умножаются на 
(
)
1
lω
ω∑
−
 и (
)
1
1
lω
ω
′
+∑
−
 соответственно. Следовательно, чтобы при 
инверсии все компоненты ВФ умножались на один и тоже множитель, орбитальные моменты базисных функций должны удовлетворять условию 
(
)
(
)
1
1
1
l
l
ω
ω
ω
ω
′
+
∑
∑
−
= −
.                                (1.3) 
 
1.2. Разложение волновой функции многоэлектронного иона  
по многомерным спинорам 

Построенные 3А-мерные спиноры совместно с радиальными 
базисными волновыми функциями в виде полиномов Лагерра образуют полную систему функций аналогично полиномам Лагерра в 
одномерном случае с тем же весом. Поэтому можно разложить 
волновую функцию системы 3А частиц по полной системе 3А-мер- 
ных спиноров. При этом амплитуды разложения целесообразно 
взять зависящими от коллективной переменной 

1

A

i
i
r
=
ρ = ∑ .                                         (1.4) 

Следовательно, можно записать 

( )
( )
( )
( )
3
1
1
2

1
A
i
i
A
i
i
i

M
U
N
W
−
=

⎛
ρ
Ω ⎞
Ψ =
⎜
⎟
ρ
Ω
⎝
⎠
ρ
∑
.                         (1.5) 

В минимальном приближении метода в этой сумме остается 
лишь первое слагаемое, которое характеризуется степенью однородности используемых полиномов  

i
i
K
n
= ∑
.                                        (1.6) 

В минимальном приближении метода многомерных угловых 
кулоновских функций (МУКФ) волновая функция иона заряда А 
имеет вид  

( )
( )
( )
( )
3
1
2

1
,
A
M
U

N
W
−
⎛
ρ
Ω ⎞
Φ
⎛
⎞
Ψ =
=
⎜
⎟
⎜
⎟
ρ
Ω
Χ
⎝
⎠
⎝
⎠
ρ

                      (1.7) 

где многомерные угловые функции представляют собой детерминанты Слэтера  

(
)

(
)
( )
( )

( )
( )

(
)

(
)
( )
( )

( )
( )

1
1

1
1

1
...
3
2
,
!
1
...

1
...
3
2
!
1
...

K
K

A
A

K
K

A
A

A
A
K
N
U
A
it
A

A
A
K
N
W
A
it
A

ϕ
ϕ
Γ
+
=
− ρ
ϕ
ϕ

χ
χ
Γ
+
=
− ρ
χ
χ

(1.8) 

из базисных функций, каждая из которых ставится в соответствие 
электрону на определенной оболочке:  

( )
( )
(
)
( )

(
)

,
3

n
i
jlm
jlm
itr
i
i
i
n
ω
−
Ω
ϕ
= ϕ
=
Γ
+
 

( )
( )
(
)
(
)
( )

(
)

1
2
1
3

n
l
j
i
jl m
jl m
itr
i
i
i
n

′
− +
′
ω
−
Ω
χ
= χ
= −
Γ
+
.             (1.9) 

Здесь (
)
it
−
– обезразмеривающий множитель базисных функций; 

K
N
– нормировочный множитель; n– главное квантовое число;  
l – орбитальное квантовое число, 
2
;
l
j
l
′ =
−
 m – проекция полного 
момента. 
При вычислении матричных элементов удобно использовать 
ортогональный базис. Для перехода к ортогональному базису необходимо получить коэффициенты разложения степенной функции 
по полиномам Лагерра 

(
)
(
)
2

0

n
n
j
n
j
j
itr
L
itr
=
−
=
α
−
∑
.                           (1.10) 

Умножим обе части выражения (1.10) на 
(
)
2
2
itr
m
r e
L
itr
−
 и 
проинтегрируем по r  от нуля до бесконечности. Учитывая ортогональность полиномов Лагерра 

( )
( )
(
)
(
)

2
2
2

0

2
1
1

x
j
j
m
m
j
x e
L
x L
x dx
j

∞
−
Γ
+
+
= δ
Γ
+
∫
,               (1.11) 

для коэффициентов разложения 
j
n
α  можно получить 
(
)
(
)
( )
(
)
(
)

(
)
(
)

2
2

0

1
3
3
3

j
n
x
n
j
j
n
j
n
x
e
L
x dx
j
j
n

∞
+
−
Γ
+
Γ
+
Γ
−
α =
=
Γ
+
Γ
+
Γ −
∫
.    (1.12) 

Воспользовавшись свойствами гамма-функции, окончательно 
получим 

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)

3
1
1
3
1

j
j
n
n
n
j
n
j
Γ
+
Γ
+
α = −
Γ
+
Γ
−
+
.                      (1.13) 

В результате перехода к ортогональному базису многомерные угловые функции примут вид 

(
)

(
)
( )
( )

( )
( )

(
)

(
)
( )
( )

( )
( )

1
1

1
1

1
...
3
2
,
!
1
...

1
...
3
2
,
!
1
...

K
K

A
A

K
K

A
A

A
A
K
N
U
A
it
A

A
A
K
N
W
A
it
A

ψ
ψ
Γ
+
=
− ρ
ψ
ψ

ξ
ξ
Γ
+
=
− ρ
ξ
ξ

(1.14) 

где ортогональные базисные функции ψ  и ξ  имеют вид 

(
)
(
)
2
1
,
3
jlm
jlm
n
L
itr
n
ψ
=
Ω
−
Γ
+
 

(
)
(
)
(
)
1
2
2
1
1
3

l
j
jl m
jl m
n
L
itr
n

− +
′
′
ξ
= −
Ω
−
Γ
+
.              (1.15) 

Нормировку волновой функции определим как 
( )
( )
3
1,
i
i
A
r
r d
+
Ψ
Ψ
τ
=
∫

(1.16) 

где элемент объема 

1
3
1
3
3
1

1
2

A
i
i
it
r
A
A
it
A
A
i
i
d
d d
e
dt e
drd
=
∞
−
− ρ

=
−∞

∑
τ
= ρ
ρ Ω
=
ρ
π
∏
∫
∫

. 

Учитывая вид ВФ, выражение (1.16) можно записать развернуто: 

3
3
1
1
A
A
NU
NU
MW
d
MW

+
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
τ
=
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠
ρ
⎝
⎠
∫
 

( )
( )
(
)
2
2
1.
N
U
U
M
W
W
d
+
+
=
ρ
+
ρ
ρ =
∫
         (1.17) 

Потребуем выполнения ортонормированности МУФ 

1,
1.
U
U
W
W
+
+
=
=
                            (1.18) 

Используя явный вид МУФ U  верхней компоненты ВФ, представляющей собой детерминант Слэтера, составленный из ортогональных базисных функций 
ω
ψ

(
)

2
*
3
2
1
2
1
!
2

it
A
K
i
i
A
K
K
i

N
e
U
U
A
dt
it

− ρ
+∞
+
+
−
=
−∞
=
ψ ψ
πρ
−
∏
∫
,       (1.19) 

где 
( )

(
)

2
*
3
1
itr
i
i
i
e
r
dr
it
ψ ψ
=
ψ
=
−
∫

, 

можно получить 
(
)
2
3
2
!
K
A
K
N
A
ν
Γ
+
=
.                              (1.20) 

Таким образом 
(
)
3
2
!
K
A
K
N
A
Γ
+
=
. 

При нормировании МУФ W  нижней компоненты нормировочный множитель 
K
N
 тот же.