Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Введение в теорию поля и ее приложения

Покупка
Артикул: 680631.01.99
Доступ онлайн
300 ₽
В корзину
Рассмотрены аксиоматический метод познания, краткая история развития алгебры и основные понятия теории множеств. Приведены определения алгебраических структур, групп, колец, полей. Рассмот- рены многочлены над полем, вычисления и преобразования в поля Га- луа, цифровое устройство, его математическая модель и возможные варианты их применения. Изложенные материалы предназначены для аспирантов техни- ческих специальностей первого года обучения для приведения в сис- тему ранее полученных знаний и могут быть полезны для широкого круга инженерно-технических работников, связанных с разработкой информационных технологий и защитой информации, а также студен- тов соответствующих специальностей. Приведенные материалы могут быть использованы студентами соответствующих специальностей и школьниками старших классов в качестве дополнительного учебного пособия при первоначальном ознакомлении с введением в теорию поля и подготовке к профильным предметным олимпиадам.
Мартынова, И. А. Введение в теорию поля и ее приложения: Монография / Мартынова И.А., Машин И.Г., Фомченко В.Н. - Саров:ФГУП"РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2014. - 108 с.: ISBN 978-5-9515-0262-9. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/950967 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ФГУП «Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт 
экспериментальной физики» 
 
 
 
 
И. А. Мартынова, И. Г. Машин, В. Н. Фомченко  
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОЛЯ  

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 
 
 
Монография 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2014 

УДК 512.623 
ББК 
22.14 
 
М29 
 
Одобрено научно-методическим советом  
Саровского физико-технического института  
Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» 
и ученым советом ФГМУ «Институт информатизации 
образования» Российской академии образования 
 
Рецензент: проректор по научной работе Нижегородского государственного технического университета им. Р. Е. Алексеева кандидат 
технических наук, доцент Н. Ю. Бабанов 
 
 
Мартынова, И. А., Машин, И. Г., Фомченко, В. Н. 
           Введение в теорию поля и ее приложения: Монография. – Саров: 
ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2014. – 108 с. : ил. 
 
   ISBN 978-5-9515-0262-9 
 
Рассмотрены аксиоматический метод познания, краткая история 
развития алгебры и основные понятия теории множеств. Приведены 
определения алгебраических структур, групп, колец, полей. Рассмотрены многочлены над полем, вычисления и преобразования в поля Галуа, цифровое устройство, его математическая модель и возможные 
варианты их применения.  
Изложенные материалы предназначены для аспирантов технических специальностей первого года обучения для приведения в систему ранее полученных знаний и могут быть полезны для широкого 
круга инженерно-технических работников, связанных с разработкой 
информационных технологий и защитой информации, а также студентов соответствующих специальностей. Приведенные материалы могут 
быть использованы студентами соответствующих специальностей и 
школьниками старших классов в качестве дополнительного учебного 
пособия при первоначальном ознакомлении с введением в теорию поля 
и подготовке к профильным предметным олимпиадам. 
 
УДК 512.623 
ББК 22.14 

 

ISBN 978-5-9515-0262-9                                © ФГУП  «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2014 

Содержание 
 
Введение ………………………………………………………... 
5 
1. Аксиома и аксиоматический метод ……………………… 
8 
    1.1. Аксиома ………………………………………………….
8 
    1.2. Аксиоматический метод ……………………………….. 
10 
    1.3. Непротиворечивость системы аксиом ………………… 
11 
2. Алгебра и краткая история ее развития ………………… 
11 
    2.1. Становление алгебры …………………………………… 
11 
    2.2. Развитие алгебры в Западной Европе …………………. 
14 
    2.3. Поворот в развитии алгебры …………………………… 
16 
    2.4. Композиции и основная задача алгебры ……………… 
17 
    2.5. Возникновение понятия группы ……………………….. 
18 
3. Основные понятия теория множеств ……………………. 
21 
    3.1. Понятие множества …………………………………….. 
21 
    3.2. Отображения и мощности ……………………………… 
23 
    3.3. Комбинаторика в теории множеств …………………… 
24 
    3.4. Пересечение, сложение, разбиение и вычитание  
           множеств ………………………………………………… 
26 
           3.4.1. Пересечение множеств …………………………… 
26 
           3.4.2. Сложение множеств ……………………………… 
27 
           3.4.3. Разность множеств ……………………………….. 
28 
    3.5. Арифметика остатков …………………………………… 
30 
    3.6. Алгебра множеств ………………………………………. 
32 
4. Алгебраические структуры и группы преобразова- 
    ний ……………………………………………………………. 
40 
    4.1. Понятие алгебраических структур …………………….. 
40 
    4.2. Определение изоморфизма …………………………….. 
42 
    4.3. Сложение и умножение вещественных чисел. Приме- 
           нение аксиоматического метода ………………………. 
43 

    4.4. Абелевы группы и смежные классы …………………… 
45 
    4.5. Кольца и поля …………………………………………… 
51 
    4.6. Подгруппы, подкольца и подполя …………………….. 
54 
    4.7. Группы преобразований ……………………………….. 
56 

5. Многочлены над полем. Поля Галуа ……………………. 
59 
    5.1. Многочлены над полем ………………………………… 
59 
    5.2. Многочлены над полем GF(p) …………………………. 
62 
    5.3. Модулярные кольца многочленов …………………….. 
63 
    5.4. Поля Галуа ………………………………………………. 
64 
6. Цифровое устройство и его математическая модель ….. 
67 

    6.1. Представление цифрового устройства в виде «черного 
           ящика» …………………………………………………… 
67 

    6.2. Основные переменные цифрового устройства ………. 
70 
    6.3. Характеристические матрицы цифрового устройства .. 
72 
7. Матрицы и их преобразования …………………………… 
75 
    7.1. Векторные пространства и подпространства …………. 
75 
    7.2. Матрицы над полем …………………………………….. 
76 
    7.3. Нуль пространство матрицы …………………………… 
79 
    7.4. Обратная матрица ………………………………………. 
80 
    7.5. Элементарные делители матрицы …………………….. 
81 
    7.6. Характеристический и минимальный многочлены 
            матрицы ………………………………………………… 
93 

    7.7. Естественная нормальная форма матрицы ……………. 
94 
    7.8. Матрица преобразования подобия …………………….. 
96 
8. Приложения теории поля …………………………………. 100 
    8.1. Умножение, деление и преобразование многочленов .. 
101 
    8.2. Модулярные и линейные счетчики ……………………. 101 
    8.3. Обнаружение и исправление ошибок …………………. 101 
    8.4. Генерация последовательностей псевдослучайных 
           чисел …………………………………………………….. 
103 

    8.5. Повышение точности радиолокационных станций ….. 
104 
    8.6. Шифрование сообщений ……………………………….. 104 
    8.7. Адресация ……………………………………………….. 105 
    8.8. Генерация тестовых последовательностей ……………. 105 
Список литературы …………………………………………... 106 
 
 
 
 

Введение 
 
Первоначально идея создания данной монографии возникла из необходимости прочитать вводный курс лекций по математической теории поля для научных и инженерно-технических работников, занимающихся внедрением информационных технологий и разработкой специализированных цифровых и вычислительных устройств и систем с элементами 
защиты информации. 
В курсах алгебры для высших учебных заведений к понятию группы, кольца и поля часто приходят через предварительное рассмотрение элементов теории множеств. Результаты анализа показывают, что большинство авторов предполагают значительную математическую подготовку читателей  
и сразу переходят к рассмотрению сути вопроса, вводя много 
новых терминов, определений и сокращений, оставляя предысторию, а также выводы теорем на домашнюю проработку. 
Большинство учебников на эту тему написаны для специалистов с хорошей предварительной математической подготовкой, желающих углубить свои знания в конкретных областях 
алгебры. Но кроме специалистов математиков существуют 
прикладные специалисты в конкретных областях знаний, которым нужна не глубина проработки материала, а возможность 
на элементарном уровне осознать стоящую перед ними задачу и практически применить определенные результаты. 
Первые результаты, полученные в данном направлении, 
показали, что подготовленные материалы содержали только 
голые математические выражения и не содержали пояснений 
и рекомендаций для практического применения полученных 
знаний, поэтому подходили больше для студентов-алгебраистов 
соответствующих специальностей, а не для научных и инже
нерно-технических работников. Потребовалась тщательная 
переработка полученного материала. 
В результате объединения усилий специалистов трех разных направлений появилась данная монография. В процессе 
работы был учтен опыт, полученный сотрудниками РФЯЦВНИИЭФ, кафедры «Радиофизика и электроника» СарФТИ 
НИЯУ «МИФИ» и физико-математической школы МФТИ – 
РФЯЦ-ВНИИЭФ. В результате включенные в монографию 
первые три раздела, рассчитаны на школьников старших классов. Это привело к некоторой повторяемости материала, но 
дало возможность изучать данные разделы независимо, а при 
изучении алгебраических структур осуществлять повторение 
пройденного материала на более высоком уровне. 
В первом разделе рассмотрены аксиомы и аксиоматический метод исследования, а также требование непротиворечивости системы аксиом той или иной науки. 
Во втором разделе, посвященном алгебре и краткой истории ее развития, рассмотрены вопросы становления алгебры, 
развития алгебры в Западной Европе, повороты в ее развитии, 
композиции и основная задача алгебры, возникновение понятия группы, введение понятий кольца и поля. 
В третьем разделе рассмотрены основные понятия теории 
множеств: понятие множества, его отображения и мощности, 
а также вопросы, касающиеся комбинаторики в теории множеств, пересечения, сложения, разбиения и вычитания множеств, арифметики остатков и алгебры множеств. 
Четвертый раздел посвящен алгебраическим структурам 
и группам преобразований. В нем приведено понятие алгебраических структур и определение изоморфизма. Рассмотрено сложение и умножение вещественных чисел, применение 
аксиоматического метода. Приведены определения и понятия 
абелевых групп, смежных классов, колец и полей. Рассмотрены также подгруппы, подкольца, подполя и группы преобра
зований, играющие важную роль в вопросах криптографической защиты информации. 
В пятом разделе рассмотрены многочлены над полем, 
многочлены над полем GF(p), модулярные кольца многочленов и поля Галуа. 
В шестом разделе приведено представление цифрового 
устройства в виде «черного ящика» и его математическая модель. Рассмотрены основные переменные цифрового устройства и его характеристические матрицы. 
Седьмой раздел, как следствие предыдущего, посвящен 
матрицам и их преобразованиям. В нем рассмотрены векторные пространства и подпространства, матрицы над полем, 
нуль-пространство матрицы, обратная матрица, элементарные делители матрицы, характеристический и минимальный 
многочлены матрицы, естественная нормальная форма матрицы и матрица преобразования подобия. 
Восьмой раздел посвящен приложениям теории поля. В нем 
отмечены такие приложения, как умножение, деление и преобразование многочленов, модулярные и линейные счетчики, 
устройства и алгоритмы обнаружения и исправления ошибок, 
генерации последовательностей псевдослучайных чисел, 
повышения точности радиолокационных станций, шифрования сообщений, адресации и генерации тестовых последовательностей. 

1. Аксиома и аксиоматический метод 
 
1.1. Аксиома 
 
Аксиома – принятое положение, факт, не требующий доказательства. Иначе говоря, аксиомы – это основные исходные положения (первоначальные факты) той или иной науки 
или теории настолько очевидные, что не требуют доказательства и позволяют вывести из них все дальнейшие понятия 
этой науки. 
Первоначальные факты накапливаются в результате практической деятельности человека. Их проверяют, уточняют  
и систематизируют. Исключают из них те, которые выведены 
из других первоначальных фактов. Иногда обнаруживается, 
что оставшийся список простейших фактов (аксиом) неполный, т. е. их недостаточно для вывода всех теорем, и тогда к 
этому списку добавляют недостающие аксиомы. В результате 
получается полный набор аксиом (аксиоматика) той или иной 
науки [1–3]. Аксиоматику науки можно представить в виде 
модели, приведенной на рис. 1.1. 

 
Рис. 1.1. Аксиоматика науки 

Для множества натуральных чисел N (1, 2, 3, …) известна 
следующая система аксиом (система аксиом Пеано): 
1) в множестве N существует элемент, непосредственно 
не следующий ни за одним элементом этого множества, этот 
элемент называется единицей, и для его обозначения используется цифра 1; 
2) для каждого элемента а из N существует единственный 
элемент, непосредственно следующий за а; 
3) для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а; 
4) каждое число либо вовсе не является последующим ни 
для какого числа, либо является последующим точно для одного числа; 
5) каждое множество натуральных чисел, которое содержит 
число 1 и, вместе с каждым содержащимся в нем числом а, 
содержит последующее за ним число, содержит все натуральные числа «принцип индукции». 
На свойстве 5 основан метод доказательства с помощью 
индукции. Для того чтобы доказать, что некоторым свойством обладают все числа, доказывают сначала, что им обладает 
число 1, а затем доказывают его для произвольного числа n+ 
(следующего за n) при «индуктивном предположении», что 
число n этим некоторым свойством уже обладает. На множестве натуральных чисел определены операции сложения 
и умножения, а также (с некоторыми оговорками) операции 
вычитания и деления [4–6]. 
Аксиоматика элементарной геометрии содержит около 
20 аксиом, аксиоматика числового поля – 9 аксиом и т. д. 
 
 
 
 

1.2. Аксиоматический метод 
 
Способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения (аксиомы), называется аксиоматическим методом, все остальные 
предложения теории получаются как логические следствия 
аксиом [1]. 
Утверждения, выводимые из аксиом, называются теоремами. 
Аксиоматический метод – важнейший научный инструмент познания мира. Он дает законченное, логически стройное построение научной теории.  
Во многих разделах современной математики, особенно в 
теории множеств, применяют метрические пространства как 
совокупности элементов произвольной природы. В них для 
каждой пары а и b определено число ρ(а, b), называемое расстоянием между а и b и удовлетворяющее аксиоматике, состоящей всего из трех аксиом: 
1) ρ(а, b) = ρ(b, а); 
2) ρ(а, b) ≥ 0, причем ρ(а, b) = 0 в том, и только в том случае, если  а = b; 
3) ρ(а, b) ≤ ρ(а, с) + ρ(b, с). 
В приложениях математики рассматриваются метрические пространства, объектами которых могут являться линии, 
фигуры, траектории полета объектов, плановые задания 
предприятий и т. д. Доказав (на основе аксиом) какую-либо 
теорему о метрических пространствах, можно утверждать, 
что она будет справедлива для метрических пространств, 
применяемых в геометрии, алгебре, криптографии, экономике 
и во всех областях, где появляются метрические пространства. 
Развив некоторую аксиоматическую теорию, не проводя 
повторных рассуждений, можно утверждать, что ее выводы 
имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматри
ваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в 
различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода. 
 
 
1.3. Непротиворечивость системы аксиом 
 
Важнейшим требованием к системе аксиом является ее 
непротиворечивость, которую можно понимать так: среди 
теорем, выводимых из данных аксиом, не будет теорем, противоречащих друг другу [1]. Противоречивая аксиоматика не 
может служить основой построения содержательной теории. 
Для описания или доказательства свойств какой-либо системы часто используются их модели. Именно с помощью построения моделей в современной математике установлены [1]: 
– непротиворечивость геометрии – в предположении непротиворечивости теории действительных чисел; 
– непротиворечивость теории действительных чисел –  
в предположении непротиворечивости теории рациональных 
чисел; 
– непротиворечивость теории рациональных чисел – в предположении непротиворечивости теории натуральных чисел. 
 
 
 
2. Алгебра и краткая история ее развития 
 
2.1. Становление алгебры 
 
Алгебра – часть математики, которая изучает общие 
свойства действий над различными величинами и решение 
уравнений, связанных с этими действиями. Проследим историческую хронологию развития алгебры [1]. 

Доступ онлайн
300 ₽
В корзину