Конформная геометродинамика. Т. 1: Динамические уравнения и точные решения

Российский федеральный ядерный центр – Всероссийский научноисследовательский институт экспериментальной физики 
 
 
М. В. Горбатенко 
 
 
КОНФОРМНАЯ 
ГЕОМЕТРОДИНАМИКА 
 
 
 
Монография в двух томах 
 
Том I 
 
ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ 
 
 
 

Z 

0 

1 

00
g
−
 

Шварцшильд 

Разрыв 

Анти-де Ситтер 

 
 
    
Саров 
2012 

Часть 1. Взаимодействие ударников с мягкими преградами 
2 

УДК 53.01; 514.764.323 
ББК 22.3 
        Г67 
 
Горбатенко, М. В. 
Г67       Конформная геометродинамика: Монография: в 2 т. /  
М. В. Горбатенко. – Саров: ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2012. 
ISBN 978-5-9515-086-8 
Т. 1: Динамические уравнения и точные решения. – 2012. –  
172 с.: ил. 
ISBN 978-5-9515-087-5 
 
 
Представлен новый подход к единому описанию физических взаимодействий – подход, основанный на конформно-инвариантном обобщении 
уравнений общей теории относительности. Конформная инвариантность 
вместе с требованием ковариантности устраняет зависимость уравнений 
физики от таких субъективных факторов, как выбор системы координат  
и масштаб для измерения длин.  
Новый подход обладает рядом уникальных свойств. Так, тензор энергии-импульса возникает в нем однозначным образом из вектора Вейля  
и лямбда-члена и имеет чисто геометрическую природу. Приведено несколько точных решений обобщенных уравнений, с помощью которых 
выясняется физический смысл геометродинамической сплошной среды.  
В частности, в рамках нового подхода находит естественное объяснение 
феномен темной энергии. Конформная геометродинамика позволяет 
находить связи между макро- и микромиром. Соответствующие результаты предполагается поместить во второй том монографии. 
Книга может быть полезной для тех, кто интересуется фундаментальными проблемами физики и поисками способов их решения. 
 
 
УДК 53.01; 514.764.323 
ББК 22.3 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-087-5 (т. 1) 
ISBN 978-5-9515-086-8                             © ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2012 

 

Силы, действующие на острый конус в нестационарной стадии… 
3 

Посвящается памяти Тараса Горбатенко,  
трагически ушедшего из жизни 

 

 

 

Силы, действующие на острый конус в нестационарной стадии… 
5 

 
 
 
Горбатенко Михаил Владимирович окончил МИФИ в 1961 г. 
по специальности «теоретическая ядерная физика». Защитил кандидатскую диссертацию в ФИАН в 1969 г. по теме «Теория поля 
частиц со спином ½ – линейное приближение ковариантной динамики матричного пространства». В настоящее время – ведущий 
научный сотрудник Российского федерального ядерного центра – 
Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики. 
Научные интересы – фундаментальные проблемы теоретической физики: методология описания частиц со спином ½ с учетом 
кривизны пространства-времени, конформно-инвариантное обобщение уравнений Эйнштейна и т. д. По этим вопросам Горбатен- 
ко М. В. опубликованы монография и несколько десятков статей 
(часть из них в соавторстве с А. В. Пушкиным, Ю. А. Романовым  
и др.).  
 

 

Часть 1. Взаимодействие ударников с мягкими преградами 
6 

От автора 
 
Геометродинамический подход к описанию всего сущего  
в Природе был и остается «журавлем в небе» для нескольких поколений физиков. В последнее время появились новые и оригинальные идеи на этот счет, и данная работа содержит их изложение.   
Основная идея касается такого обобщения уравнений общей 
теории относительности для пустого пространства, при котором 
любые мыслимые инвариантные преобразования динамических 
уравнений не нарушали бы причинно-следственных связей между 
событиями в 4-мерном пространстве-времени. Последовательное 
проведение этой идеи привело к уравнениям конформной геометродинамики (КГД), которые и являются предметом анализа в данной работе. 
Рассматривается вывод уравнений КГД, выяснение их возможной связи с другими уравнениями, которые в разное время выдвигались с аналогичными целями. Доказывается важное утверждение 
о том, что уравнения КГД способны описать эволюцию пространства при любых начальных условиях. Для них не существует такого понятия, как связи на начальные данные, которые являются 
неотъемлемым атрибутом при обсуждении постановки задачи Коши для уравнений общей теории относительности.  
Уравнения КГД могут быть проинтерпретированы как динамические уравнения для пустого пространства, известного в математике как пространство Вейля. Для выяснения физического смысла 
вектора Вейля в работе развит термодинамический анализ с использованием метода, предложенного Эккартом.  
Уравнения КГД предсказывают существование в пространстве 
Вейля сохраняющейся субстанции, причем вектор Вейля пропорционален вектору плотности тока этой субстанции.  
Особую ценность представляют точные решения, представленные во второй части первого тома монографии. К ним относятся: 
решения моделей Фридмана, центрально-симметричных статических задач, сферически-симметричных нестационарных решений и 
др. С помощью точных решений иллюстрируется возможность существования разрывных решений уравнений КГД. Это очень важ
 

Силы, действующие на острый конус в нестационарной стадии… 
7 

ный блок результатов, поскольку с его помощью подтверждается 
тезис о том, что в КГД вместо сингулярностей с необходимостью 
возникают поверхности разрывов.  
Вы держите в руках первый том из двух, которые составляют 
единое целое. Этот том является той базой, на основе которой  
в томе II будут получены удивительные результаты по связи между 
макро- и микромиром. Тем самым будет доказано, что КГД может 
быть основой для единого описания всех физических взаимодействий, существующих в Природе. 
По КГД опубликовано много работ, но каждая из них по отдельности дает лишь фрагментарное представление об этой науке. 
Определенным этапом в систематизации результатов по КГД была 
вышедшая в 2005 г. монография А. В. Пушкина «Геометродинамика» (Саров, ИПК РФЯЦ-ВНИИЭФ). Книга была написана по работам, выполненным до 2000 года, поэтому в ней не нашли отражения многие результаты, полученные впоследствии. В данной работе делается попытка в какой-то мере восполнить этот пробел. Заметим, что хотя книга и написана по материалам публикаций, она не 
является простым сборником статей. Она – попытка систематического изложения проблематики КГД с единых позиций, которых 
придерживается автор на сегодняшний день.  
Автор выражает благодарность своим соавторам – Ю. А. Романову, А. В. Пушкину, Г. Г. Кочемасову – за совместное творчество, 
коллегам по работе (Ю. Н. Бабаеву, А. К. Хлебникову, Б. П. Косякову, В. Ф. Рыбаченко, А. А. Садовому, В. А. Щербакову, М. Б. Голубеву и др.), а также участникам научного семинара РФЯЦВНИИЭФ (руководители В. П. Незнамов, Б. А. Надыкто) за стимулирующие дискуссии.  
Автор благодарит Т. М. Горбатенко, без настойчивых напоминаний которого о необходимости систематизации результатов по 
КГД вряд ли могла появиться эта монография.  
Автор благодарит Г. М. Савельеву за разрешение использовать 
ее фракталы в данной книге. 
  

От автора 

Часть 1. Взаимодействие ударников с мягкими преградами 
8 

С о д е р ж а н и е  
 
Введение ………………………………………………………….. 
11 
Часть 1. Динамические уравнения ………………………….... 
16 
1. Получение уравнений КГД как уравнений  
для компенсирующего поля .………………………………..…… 
16 
2. Стандартный вариационный принцип для метризованного 
пространства аффинной связности .……………………….…….. 
21 
3. Модифицированный вариационный принцип .…..………..…. 
27 
3.1 Противоречие стандартных формулировок вариационного принципа принципу причинности .………….…… 
27 
3.2. Первая попытка применения модифицированного 
вариационного принципа …….……………..………...……. 
29 
3.3. Динамические уравнения для метризованного пространства аффинной связности ……………..………...…… 
30 
3.4. Динамические уравнения для пространства аффинной связности …………………..…………………..………. 
34 
3.5. Минимальность конформного обобщения уравнений 
ОТО ..……………………………………………………….. 
38 
4. Связь КГД с другими теориями ………………………………. 
41 
4.1. Интерпретация КГД в терминах пространства  
Вейля ………………………………………………………... 
41 
4.2. Уравнения Баха ……………………………………….. 
43 
4.3. Уравнения Бранса – Дикке. Калибровочно-инвариантная схема с вектором Вейля градиентного вида …..…. 
44 
4.4. Критика Эйнштейна теории Вейля ……………….….. 
45 
5. Задача Коши ……………………………………………………. 
48 
5.1. Леммы Лихнеpовича ………………………………….. 
48 
5.2. Уpавнения в синхpонной системе кооpдинат ……….. 
49 
6. Возможность разрывных решений: условия возникновения 
поверхностей разрыва ……………………………………...…….. 
53 
7. Термодинамический анализ уравнений КГД ………………… 
58 
7.1 Метод Эккарта для произвольного тензора энергииимпульса …………………………………………………… 
58 
7.2. Сохраняющийся вектор тока, допускаемый уравнениями КГД ………………………………………………… 
62 
7.3. Применение метода Эккарта к геометродинамическому тензору энергии-импульса …………………………. 
63 
7.3.1. Термодинамические величины в КГД …......…… 
63 
 

 

Силы, действующие на острый конус в нестационарной стадии… 
9 

7.3.2. Калибровочное условие в виде постоянства  
лямбда-члена ……………………………………….…… 
64 
7.3.3. Термодинамические величины, связанные 
с тензором энергии-импульса КГД …………....……… 
66 
7.3.4. Уравнение состояния ………………………….... 
67 
7.4. Уравнение баланса энтропии в геометродинамике .….. 
67 
7.4.1. Энтропия …………………………………..….…. 
67 
7.4.2. Изэнтропическая скорость звука ……………….. 
69 
7.4.3. Уравнение баланса энтропии …………………… 
71 
8. Интерпретация геометродинамических величин  
в терминах физических величин ………………………………… 
74 
Часть II. Точные решения ………………………………….….. 
77 
9. Модели Фридмана …………………………………………...… 
77 
9.1. Особенности моделей Фридмана в случае уравнений 
КГД …………………………………………………………. 
77 
9.2. Решения де Ситтера и анти-де Ситтера ……………... 
79 
9.3. Общее решение открытой модели Фридмана ………. 
84 
9.4. Пример конкретного решения открытой модели 
Фридмана …………………………………………………… 
90 
9.5. Общее решение для пространственно-плоской модели Фридмана ……………………………………………….. 
95 
9.6. Общее решение для закрытой модели Фридмана ….. 
97 
9.7. Пример конкретного решения закрытой модели 
Фридмана …………………………………………………… 
100 
9.8. О выборе модели для описания современного этапа 
эволюции Вселенной ………………………………………. 
104 
9.9. О возможности разрывных решений Фридмана ……. 
107 
9.10. Критерий 
неустойчивости 
в 
пространственноплоской модели Фридмана ……………………………….. 
110 
10. Центрально-симметричные решения ……………………….. 
115 
10.1. Центрально симметричные статические решения ….. 
115 
10.1.1. Уравнения для ЦСС случая и их решения ...…. 
115 
10.1.2. Классификация типов решения ……………..… 
119 
10.1.3. Аналоги решений анти-де Ситтера  
и Шварцшильда …………………..……………………. 
121 
10.1.4. Термодинамические величины  
для ЦСС решения ……………………………………… 
122 
10.2. Точные нестационарные сферически-симметричные 
решения ………………………………………………………. 
131 
10.2.1. Предыстория …………………..……………….. 
131 
10.2.2. Сферически-симметричная задача  
для уравнений КГД ……………………………………. 
134 

Содержание 

Часть 1. Взаимодействие ударников с мягкими преградами 
10

10.2.3. Нахождение искомых функций ………….…… 
140 
10.2.4. Частное решение в виде цуга движущихся  
солитонов …………………..………………………….. 
144 
10.2.5. Частное решение в виде перемещающегося  
импульса ……………………………………………... 
149 
11. Конформно-плоские решения ……………………………….. 
155 
11.1. Конформно-инверсные преобразования ……………... 
155 
11.2. Конформно-плоское решение с использованием  
инверсного преобразования ………………………………… 
157 
12. Решения типа потенциала Юкавы …………………………... 
160 
Заключение ……………………………………………………….. 
165 
Список литературы ……………………………………………... 
169 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Содержание 

Силы, действующие на острый конус в нестационарной стадии… 11 

В в е д е н и е  
 
Работа относится к одному из фундаментальных направлений 
современной теоретической физики – установлению физического 
смысла вейлевских степеней  свободы пространства-времени. Проблема возникла в 1918 г., когда Г. Вейль предложил рассматривать 
в общей теории относительности не риманово, а более общее вейлевское пространство [1]. Дополнительные свойства пространства 
связывались с введенным им вектором (вектором Вейля). Более  
90 лет физики и математики выясняют смысл этого вектора. Поискам время от времени сопутствуют фрагментарные успехи, подтверждающие предположение о фундаментальной роли вектора 
Вейля в физике.  
Однако общая теория относительности (ОТО), созданная около 
90 лет назад, базируется на уравнениях, описывающих динамику 
метрики не вейлевского, а риманова пространства. Зная поле метрического тензора, можно восстановить тензор кривизны Римана  
и тем самым все характеристики гравитационного поля. Экспериментальные подтверждения выводов ОТО дают основания считать 
правильными основные положения теории.  
В течение многих лет предпринимались попытки (в том числе 
и самим Эйнштейном) модифицировать ОТО. Эти попытки пока не 
дали оснований для корректировки теории и не привели, как надеялись многие исследователи, к созданию единой теории взаимодействий, включающей наряду с гравитационным и другие известные физические взаимодействия.  
В данной работе систематизированы результаты 30-летней работы автора над конформным обобщением уравнений ОТО. С точки зрения эволюции ОТО такое обобщение могло войти в общий 
ряд направлений, по которым могут быть модифицированы уравнения ОТО, если бы не одна его особенность. Дело в том, что  
в рамках конформного обобщения ОТО найден новый конструктивный способ учета принципа причинности в терминах свойств 
пространств аффинной связности, и это порождает новые надежды 
на конформное обобщение ОТО. 
С технической точки зрения суть конформного обобщения 
сводится, в конце концов, к введению в уравнения ОТО дополни
 

Часть 1. Взаимодействие ударников с мягкими преградами 
12

тельных членов, которые компенсируют невязку, возникающую  
в уравнениях ОТО при конформных преобразованиях. Дополнительные члены в обобщенных уравнениях могут быть получены 
двумя способами.  
Первый способ является наиболее простым и сводится к введению в уравнения ОТО дополнительных членов «руками» по тем 
правилам, которые используются в теории калибровочных полей. 
Напомним, что в теории калибровочных полей задача о дополнительных членах решается путем добавления в связность такого 
компенсирующего поля, изменение которого сокращалось бы с появляющейся невязкой от калибровочных преобразований. Роль калибровочных преобразований в нашем случае выполняют конформные преобразования. Действуя по указанному правилу, вместо 
уравнений ОТО с так называемым лямбда-членом 
 

1
2
R
g
R
g
αβ
αβ
αβ
−
= λ
                                  (1) 
 
получаем уравнения  
 

1
2
R
g
R
T
αβ
αβ
αβ
−
=
,                                  (2) 

где  
2
;
;
;
2
2
T
A A
g
A
g
A
A
A
g
μ

αβ
α
β
αβ
αβ
μ
α β
β α
αβ
= −
−
−
+
+
+ λ
,        (3) 
 
Aα  – компенсирующее поле, gαβ  – метрический тензор, λ  – так 

называемый лямбда-член. Уравнения (2) с тензором Tαβ  вида (3) 

инвариантны относительно преобразований 
 
2

,

2

;

;

.

g
g
g
e

A
A
A

e

σ
αβ
αβ
αβ

α
α
α
α

− σ

⎫
′
→
=
⎪⎪
′
→
=
− σ
⎬
⎪
′
λ → λ = λ ⋅
⎪⎭

                                 (4) 

 
Здесь 
( )
x
σ = σ
 – произвольное скалярное поле, символ «,» обозначает частную производную. Преобразования (4) будем называть 
конформными.  

Введение 

Силы, действующие на острый конус в нестационарной стадии… 13 

Уже на стадии анализа преобразований (4) можно установить 
их связь с принципом причинности. В самом деле, умножение мет
рики на положительную функцию 
2
e σ  (первое из указанных в (4) 
преобразований) сохраняет конгруэнцию световых конусов. Если 
до преобразования некоторые близкие события были связаны нулевым интервалом, т. е. выполнялось соотношение 
 
2
0
ds
g
dx dx
α
β
αβ
=
=
,                                  (5) 
 
то и после преобразования эти же события будут связаны нулевым 
интервалом. Если событие A находилось в конусе прошлого для 
точки B  (т. е. внутри конуса с вершиной в точке B ), то и после преобразований эти точки будут связаны теми же причинноследственными связями. Таким образом, конформные преобразования (4) – это тот класс преобразований, который сохраняет причинно-следственные соотношения между любыми двумя событиями.  
Второй способ введения в уравнения ОТО дополнительных 
членов, которые компенсируют невязку, возникающую в уравнениях ОТО при конформных преобразованиях, сложнее первого. Он 
требует применения вариационного принципа, в котором используются связи между вариациями величин, по которым производится варьирование. Вид связей устанавливается однозначно из требования не использовать процедуру обращения к значениям пробных 
полевых историй в будущие моменты времени. Это требование мы 
называем согласованностью вариационной процедуры с принципом причинности, поскольку оно ликвидирует «привкус телеологичности», о котором говорил Планк применительно к вариационным принципам в стандартной формулировке [2]. Модифицированная вариационная процедура будет подробно описана далее. 
Применение этой процедуры приводит к нетривиальному результату: получаемые динамические уравнения принимают вид (2) 
с тензором Tαβ  вида (3) и оказываются, таким образом, автомати
чески инвариантными относительно конформных преобразований 
(4). При этом пространства допускают трактовку в терминах пространства Вейля, а множитель Лагранжа, используемый в вариационной процедуре, совпадает с вектором Вейля.  
До недавнего времени основным недостатком КГД являлось 
отсутствие ее физической интерпретации. В последнее время этот 

Введение