Теоретические основы радиотехники. Часть третья. Сигналы в радиотехнических цепях

 

 

 

ФГУП 
 
Российский федеральный ядерный центр − ВНИИЭФ 
 
 
 
 
 
 
 
А. И. Астайкин,  А. П. Помазков 
 
 
 
 
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 
РАДИОТЕХНИКИ 
 
 
 
 
Часть третья 
 
Сигналы в радиотехнических цепях 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
Под редакцией доктора технических наук, 
профессора А. И.  Астайкина 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 2004 

 

 

 

ББК 32.841 
А 91 
УДК 621.396.1 
 
 
 
Астайкин А. И., Помазков А. П. Теоретические основы радиотехники. 
Часть третья. Сигналы в радиотехнических цепях. Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 
2004, 400 с. 
 
ISBN  5-9515-0041-9 
 
Третья часть курса  «Теоретические основы радиотехники» знакомит читателя 
с методами исследования взаимодействия детерминированных и случайных сигналов 
с линейными и нелинейными радиотехническими цепями, устройствами и системами. 
Рассмотрены прохождение сигналов и шумов через частотно-избирательные цепи, 
принципы  усиления,  детектирования, параметрического  усиления  колебаний; цепи 
с обратной связью и автоколебательные системы (автогенераторы). Рассмотрены 
принципы фильтрации сигналов, в том числе − основы оптимальной фильтрации. 
Книга рассчитана на студентов, аспирантов, инженеров и научных сотрудников, работающих в области радиотехники. 
 
 
 
 
 
 
Рецензенты: 
доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой ННГУ 
им. Лобачевского А. В. Якимов; доктор физико-математических наук, 
профессор, зав. кафедрой МГУ им. Огарева В. А. Горюнов; доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой МЭИ В. А. Пермяков 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN  5-9515-0041-9                                          ©   ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004 

Содержание 
3

 
 
 

Содержание 

       Список условных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 

       1.  Воздействие сигналов на линейные стационарные 
            системы. Методы расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17 
1.1. Физические системы и их математические 
       модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17 
1.1.1. Физическая система и ее математическая 
          модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   17 
1.1.2. Примеры системных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   18 
1.1.3. Классификация систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   19 
1.2. Системные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21 
1.2.1. Виды системных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   21 
1.2.2. Временны́е характеристики системы . . . . . . . . . . . . . . .   21 
1.2.3. Частотные характеристики системы . . . . . . . . . . . . . . . .   22 
1.2.4. Операторные характеристики системы . . . . . . . . . . . . . .   23 
1.2.5. Методы расчета отклика цепи на входное 
                                   воздействие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23 
1.3. Классический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24 
1.3.1. Сущность классического метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   24 
1.3.2. Общий вид дифференциального 
          уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   26 
1.3.3. Решение дифференциального 
          уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   27 
1.3.4. Понятие устойчивости динамических 
          систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28 
1.3.5. Примеры нахождения свободных  
          колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   29 
1.3.6. Недостатки классического метода . . . . . . . . . . . . . . . . . .   33 
1.4. Временны́е суперпозиционные методы . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34 
1.4.1. Сущность суперпозиционных методов . . . . . . . . . . . . .   34 
1.4.2. Метод импульсной характеристики . . . . . . . . . . . . . . . .   35 
1.4.3. Метод переходной характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . .   37 
1.4.4. Примеры использования импульсных  
          характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   40 
1.5. Спектральный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51 
1.5.1. Сущность спектрального метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51 
1.5.2. Частотный коэффициент передачи . . . . . . . . . . . . . . . . .   51 
1.5.3. ЧКП как собственное значение оператора 
          линейной стационарной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . .   52 
1.5.4. Физический смысл ЧКП и условия 
           реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   53 

Теоретические основы радиотехники 
4 

1.5.5. Выражение ЧКП через коэффициенты 
          дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   54 
1.5.6. Нуль-полюсное представление ЧКП . . . . . . . . . . . . . . . .   55 
1.5.7. Коэффициент передачи многозвенной  
          системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56 
1.5.8. Основные формулы спектрального 
          метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   56 
1.5.9. Порядок расчета цепей спектральным  
          методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   57 
1.5.10. Коэффициент передачи по мощности . . . . . . . . . . . . .   58 
1.5.11. Некоторые примеры использования  
            спектрального метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   58 
1.5.12. Частотные характеристики цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . .   65 
1.6. Операторный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   66 
1.6.1. Сущность операторного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   66 
1.6.2. Порядок расчета цепей операторным 
          методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   67 
1.6.3. Операторный коэффициент передачи . . . . . . . . . . . . . . .   68 
1.6.4. Выражение K( p) через коэффициенты 
          дифференциального уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   68 
1.6.5. Свойства операторного коэффициента  
          передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   69 
1.6.6. Формулы обращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   70 
1.6.7. Общий путь нахождения выходного 
          сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   71 
1.6.8. Связь между элементарными  
          сигналами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   74 
1.6.9. Операторные соотношения для пассивных 
           элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   74 
1.6.10. Сопоставление четырех методов . . . . . . . . . . . . . . . . . .   75 
1.6.11. Связь между различными характеристиками 
            цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   75 
       2.  Прохождение детерминированных сигналов  
            через линейные стационарные частотно-избирательные 
            цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   78 
2.1. Дифференцирование и интегрирование  
       сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   78 
2.1.1. Дифференцирующие и интегрирующие 
          цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   78 
2.1.2. Простейшие дифференцирующие цепи . . . . . . . . . . . . .   79 
2.1.3. Простейшие интегрирующие цепи . . . . . . . . . . . . . . . . .   82 
2.1.4. Величина модуля коэффициента  
          передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   86 
2.2. Частотно-избирательные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87 
2.2.1. Понятия избирательности и полосы 
          пропускания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   87 

Содержание 
5

2.2.2. Коэффициент передачи цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   88 
2.3. Частотные характеристики цепи с одним энергоемким 
        элементом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   90 
2.3.1. Схемы простейших RC-цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   90 
2.3.2. Схемы простейших RL-цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   92 
2.3.3. Метод дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . .   93 
2.4. Частотные характеристики колебательных  
       контуров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   94 
2.4.1. Последовательный колебательный  
          контур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   94 
2.4.2. Параллельный колебательный контур . . . . . . . . . . . . . .   98 
2.4.3. Связанные колебательные контуры . . . . . . . . . . . . . . . .  101 
2.5. Частотные характеристики цепей с активными 
        элементами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  102 
2.5.1. Биполярные и униполярные транзисторы: 
          принцип работы и эквивалентные схемы . . . . . . . . . . .  102 
2.5.2. Частотные характеристики цепей с активными 
          элементами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  106 
2.6. Частотно-избирательные цепи при широкополосных 
       и узкополосных входных воздействиях . . . . . . . . . . . . . . . . .  110 
2.6.1. Идеализированная модель ЧИЦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  110 
2.6.2. Понятия широкополосного и узкополосного 
          сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  111 
2.6.3. Приближение для узкополосных ЧИЦ . . . . . . . . . . . . .  112 
2.6.4. Импульсная характеристика ЧИЦ . . . . . . . . . . . . . . . . .  114 
2.6.5. Низкочастотный эквивалент ЧИЦ . . . . . . . . . . . . . . . . .  115 
2.6.6. Выходной сигнал узкополосной ЧИЦ  
          при широкополосном входном  
          воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  117 
2.6.7. Выходной сигнал узкополосной ЧИЦ  
          при узкополосном входном воздействии . . . . . . . . . . .  118 
2.6.8. Метод огибающей при прохождении  
          радиосигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  118 
2.6.9. Метод огибающей. Спектральный подход . . . . . . . . . .  119 
2.6.10. Метод огибающей. Временно́й подход . . . . . . . . . . . .  121 
2.7. Прохождение гармонического сигнала через резонансный 
       усилитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123 
2.7.1. Резонансный усилитель малых 
          колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123 
2.7.2. Решение операторным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  123 
2.7.3. Решение во временнóй области . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  126 
2.7.4. Прохождение радиоимпульса через резонансный 
          усилитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  129 
2.7.5. Прохождение радиоимпульса через двухконтурный 
          усилитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  130 

Теоретические основы радиотехники 
6 

2.8. Прохождение модулированных радиосигналов  
                         через резонансный усилитель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  132 
2.8.1. Прохождение радиосигналов с АМ . . . . . . . . . . . . . . . .  132 
2.8.2. Прохождение радиосигналов с однотональной 
          угловой модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  139 
2.8.3. Прохождение частотно-манипулированных 
          радиосигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  144 
2.8.4. Прохождение фазо-манипулированных  
                                   радиосигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  147 
2.9. Роль фазовой характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  150 

       3.  Прохождение случайных сигналов через линейные  
            стационарные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  153 
3.1. Задачи расчета случайных выходных сигналов . . . . . . . . . . .  153 
3.1.1. Особенности линейных стационарных  
          систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  153 
3.1.2. Методы расчета случайных выходных  
          сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  154 
3.1.3. Задачи расчета случайных выходных  
          сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  157 
3.2. Спектральный метод анализа прохождения случайных 
       сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  159 
3.2.1. Ограничения на входные случайные  
          процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  159 
3.2.2. Спектральная плотность мощности  
          входного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  160 
3.2.3. СПМ и моментные функции  
          выходного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  162 
3.3. Метод импульсной характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  164 
3.3.1. Сущность метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  164 
3.3.2. Непрерывность и сходимость СП . . . . . . . . . . . . . . . . . .  164 
3.3.3. Моментные и корреляционные функции  
          выходного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  165 
3.4. Прохождение широкополосных СП через узкополосные 
       линейные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  169 
3.4.1. Широкополосные и узкополосные СП . . . . . . . . . . . . . .  169 
3.4.2. СПМ и моментные функции широкополосного СП 
          на выходе узкополосной ЧИЦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  170 
3.4.3. Шумовая полоса узкополосной избирательной 
          системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  171 
3.5. Некоторые примеры прохождения широкополосных СП 
       через линейные стационарные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172 
3.5.1. Воздействие белого шума на линейную систему 
          (общий случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  172 
3.5.2. Воздействие белого шума на дифференцирующую 
          цепочку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  174 

Содержание 
7

3.5.3. Воздействие белого шума на интегрирующую 
          цепочку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  176 
3.5.4. Воздействие белого шума на последовательный 
          колебательный контур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  177 
3.6. Нормализация СП линейными системами . . . . . . . . . . . . . . . .  180 
3.7. Источники шумов в радиотехнических  
       устройствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  181 
3.7.1. Тепловые шумы резисторов,  
          формула Найквиста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  182 
3.7.2. Дробовой шум электронных приборов . . . . . . . . . . . . .  185 
3.7.3. Шумы приемных антенн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  188 

       4.  Преобразование сигналов в нелинейных  
            безынерционных цепях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193 
4.1. Нелинейные элементы и их характеристики . . . . . . . . . . . . . .  193 
4.1.1. Нелинейные элементы и цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193 
4.1.2. Внешние характеристики НЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  193 
4.1.3. Аппроксимация ВАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  195 
4.1.4. Параметры резистивных НЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  196 
4.1.5. Задача анализа нелинейных цепей . . . . . . . . . . . . . . . . .  197 
4.1.6. Обзор методов нелинейной теории . . . . . . . . . . . . . . . .  198 
4.2. Некоторые примеры функций  
       аппроксимации ВАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  199 
4.2.1.  Кусочно-линейная аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . .  199 
4.2.2. Степеннáя аппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  201 
4.3. Спектральный состав тока на выходе НЭ при внешнем 
       гармоническом воздействии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  203 
4.3.1. Общее решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  203 
4.3.2. Ток на выходе НЭ при степеннóй  
          аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  204 
4.3.3. Ток на выходе НЭ при кусочно-линейной  
          аппроксимации . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  207 
4.3.4. Нахождение первых коэффициентов Берга . . . . . . . . . .  211 
4.3.5. Нелинейные искажения на выходе НЭ . . . . . . . . . . . . .  215 
4.4. Нелинейные преобразования суммы двух 
       гармонических сигналов при степеннóй 
       аппроксимации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  215 
4.4.1. Определение спектра тока на выходе НЭ . . . . . . . . . . .  215 
4.4.2. Определение комбинационных частот . . . . . . . . . . . . . .  219 
4.5. Нелинейные резонансные усилители и умножители 
       частоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  221 
4.5.1. Нелинейные резонансные усилители . . . . . . . . . . . . . . .  221 
4.5.2. Колебательная характеристика  
          усилителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  223 
4.5.3. Энергетические соотношения в резонансном 
          усилителе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  224 

Теоретические основы радиотехники 
8 

4.5.4. Резонансные умножители частоты . . . . . . . . . . . . . . . . .  224 
4.6. Получение амплитудно-модулированных  
       колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  225 
4.6.1. АМ при степеннóй аппроксимации ВАХ . . . . . . . . . . .  225 
4.6.2. АМ при кусочно-линейной  
          аппроксимации ВАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  229 
4.7. Преобразование частоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  231 
4.8. Детектирование АМК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  233 
4.8.1. Качественная сторона вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  233 
4.8.2. Количественный анализ операции  
          детектирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  235 
4.9. Квадратичное детектирование малых колебаний 
       (квадратичный амплитудный детектор) . . . . . . . . . . . . . . . . . .  238 
4.10. Детектирование больших сигналов  
         с углом отсечки θ = 90° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  240 
4.11. Амплитудный диодный детектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  242 
  4.11.1. Процесс детектирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  242 
  4.11.2. Детектирование АМК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  245 
4.12. Детектирование колебаний с угловой  
         модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  246 
  4.12.1. Детектирование частотно-модулированных  
              колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  246 
  4.12.2. Детектирование фазо-модулированных  
            колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  248 
4.13. Воздействие случайных стационарных сигналов 
         на безынерционные нелинейные цепи . . . . . . . . . . . . . . . . . .  249 
  4.13.1. Задачи при исследовании прохождения  
              случайных сигналов через нелинейные цепи . . . . . .  249 
  4.13.2. Плотность вероятности на выходе НЦ . . . . . . . . . . . .  250 
  4.13.3. Моментные функции выходного 
              стационарного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  250 
  4.13.4. Пример нормального случайного  
              процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  251 
  4.13.5. Нелинейные преобразования узкополосных 
              случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  252 
       5.  Преобразование сигналов в линейных  
            параметрических цепях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  255 
5.1. Общая характеристика цепей с переменными 
       параметрами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  255 
5.1.1. Определение и классификация параметрических  
           цепей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  255 
5.1.2. Реализация резистивных параметрических  
          элементов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  256 
5.1.3. Реализация реактивных ПЭ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  258 

Содержание 
9

5.2. Спектр сигнала на выходе резистивного ПЭ . . . . . . . . . . . . .  260 
5.2.1. Решение для периодического управляющего 
          сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  260 
5.2.2. Спектр стробированного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . .  262 
5.3. Прохождение сигналов через линейные ПЦ . . . . . . . . . . . . . .  263 
5.3.1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  263 
5.3.2. Определение импульсной характеристики . . . . . . . . . .  265 
5.3.3. Передаточная функция ПЦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  266 
5.4. Преобразование сигналов на резистивных ПЭ . . . . . . . . . . . .  268 
5.4.1. Общие принципы преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . .  268 
5.4.2. Синхронное детектирование АМК . . . . . . . . . . . . . . . . .  270 
5.4.3. Схема простейшего синхронного 
          детектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  272 
5.4.4. Преобразование частоты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  274 
5.5. Параметрическое усиление сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  276 
5.5.1. Связь между емкостью конденсатора  
          и запасенной энергией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  276 
5.5.2. Принцип параметрического усиления  
          колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  277 
5.5.3. Схема замещения периодически изменяющейся 
          емкости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  279 
5.6. Одноконтурный параметрический усилитель . . . . . . . . . . . . .  285 
5.7. Двухконтурный параметрический усилитель . . . . . . . . . . . . .  287 
5.7.1. Работа двухконтурного усилителя . . . . . . . . . . . . . . . . .  287 
5.7.2. Коэффициент усиления и условия  
          устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  291 
5.7.3. Основные преимущества  
          и недостатки ПУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  291 
5.8. Баланс мощностей в многоконтурных ПУ . . . . . . . . . . . . . . . .  291 
5.9. Сопоставление параметрических и нелинейных 
       преобразователей сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  295 

       6.  Цепи с обратной связью и автоколебательные 
            системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  297 
6.1. Принцип обратной связи в радиотехнике . . . . . . . . . . . . . . . .  297 
6.1.1. Принципы обратной связи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  297 
6.1.2. Основные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  297 
6.1.3. Отрицательная и положительная ОС . . . . . . . . . . . . . . .  299 
6.2. Действие обратной связи на систему . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  300 
6.2.1. Стабилизация коэффициента усиления в прямом 
          канале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  300 
6.2.2. Нестабильность в цепи обратной связи . . . . . . . . . . . . .  301 
6.2.3. Коррекция частотной характеристики  
          усилителя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  302 
6.2.4. Положительная обратная связь в резонансном 
          усилителе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  304 
6.2.5. Обратная связь в системах с задержкой . . . . . . . . . . . .  305 

Теоретические основы радиотехники 
10 

6.3. Устойчивость систем с обратной связью . . . . . . . . . . . . . . . .  306 
6.3.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  306 
6.3.2. Фундаментальный критерий устойчивости . . . . . . . . .  308 
6.3.3. Алгебраический критерий устойчивости  
          (критерий Рауса – Гурвица) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  309 
6.3.4. Частотный (геометрический) критерий  
          устойчивости (критерий Найквиста) . . . . . . . . . . . . . . .  311 
6.4. Автогенераторы гармонических колебаний . . . . . . . . . . . . . .  314 
6.4.1. Автоколебания, автоколебательные  
          системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  314 
6.4.2. Задачи расчета АГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  316 
6.4.3. Энергетика колебаний, динамическая  
          устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  316 
6.4.4. Баланс амплитуд и баланс фаз в стационарном 
          режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  318 
6.4.5. Условия самовозбуждения автогенератора . . . . . . . . . .  321 
6.4.6. Автогенератор с трансформаторной связью . . . . . . . . .  321 
6.4.7. Трехточечные схемы автогенераторов . . . . . . . . . . . . .  325 
6.4.8. Квазилинейная теория АГ – стационарный режим  
          (режим большого сигнала) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  326 
6.4.9. Укороченное уравнение АГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  327 
6.4.10. Частота и амплитуда колебаний в установившемся 
            режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  328 
6.4.11. Мягкий и жесткий режимы  
            самовозбуждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  330 
6.4.12. Второй вид укороченного уравнения АГ . . . . . . . . . . .  332 
6.4.13. Процесс установления стационарной  
            амплитуды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  334 
6.4.14. Зависимость режима самовозбуждения от выбора 
            рабочей точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  336 
6.5. RC-автогенераторы низкочастотных гармонических  
       колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  338 
6.5.1. Элементы теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  338 
6.5.2. Типичные схемы RC-автогенераторов . . . . . . . . . . . . . .  340 
6.6. Понятие отрицательного активного сопротивления  
       и отрицательной активной проводимости  
       для описания АГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  341 
6.6.1. Процесс самовозбуждения и установления  
          колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  341 
6.6.2. Самовозбуждение колебаний в АГ . . . . . . . . . . . . . . . . .  342 
6.6.3. Понятие об отрицательных сопротивлении  
          и проводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  346 
6.6.4. Основные положения для составления  
          обобщенных схем АГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  347 

Содержание 
11

6.7. Обобщенные схемы АГ с отрицательной активной  
       проводимостью и стабилизацией частоты  
       высокодобротным резонатором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  349 
6.7.1. Модель одноконтурного  
          нестабилизированного АГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  349 
6.7.2. Модели колебательных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  351 

       7.  Основы оптимальной фильтрации сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . .  358 
7.1. Постановка задачи об оптимальной фильтрации . . . . . . . . . .  358 
7.1.1. Проблема помехоустойчивости  
          канала связи . . .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  358 
7.1.2. Общая характеристика сигналов и помех . . . . . . . . . . .  359 
7.1.3. Теория оптимального приема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  362 
7.1.4. Постановка задачи об оптимальной линейной 
          фильтрации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  362 
7.2. Отношение сигнал/шум на входе и выходе линейного 
                 стационарного фильтра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  363 
7.2.1. Отношение сигнал/шум на входе фильтра . . . . . . . . . .  363 
7.2.2. Отношение сигнал/шум на выходе фильтра . . . . . . . . .  366 
7.2.3. Отношение сигнал/шум на выходе фильтра  
          для узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  366 
7.3. Передаточная функция оптимального фильтра . . . . . . . . . . .  369 
7.3.1. Определение согласованного фильтра . . . . . . . . . . . . . .  369 
7.3.2. Передаточная функция оптимального согласованного 
          фильтра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  369 
7.4. Импульсная характеристика согласованного  
       фильтра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  373 
7.4.1. Импульсная характеристика линейного  
          согласованного фильтра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  373 
7.4.2. Условия физической реализуемости согласованного 
          фильтра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  375 
7.4.3. Согласованный фильтр как коррелятор . . . . . . . . . . . . .  376 
7.5. Примеры построения согласованных фильтров  
       для сигналов различной формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  379 
7.5.1. Согласованный фильтр для прямоугольного  
           видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  379 
7.5.2. Согласованный фильтр  
          для радиоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  382 
7.5.3. Согласованный фильтр для пачки  
          видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  383 
7.6. Фильтрация сигнала при не белом шуме . . . . . . . . . . . . . . . . .  385 
7.7. Оптимальная фильтрация случайных сигналов . . . . . . . . . . .  386 
7.7.1. Постановка задачи и критерии  
          оптимизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  386 
7.7.2. Связь дисперсии сигнала ошибки со спектром 
          мощности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  387 

Теоретические основы радиотехники 
12 

7.7.3. Минимизация дисперсии сигнала ошибки . . . . . . . . . .  389 
7.8. Помехоустойчивость систем с амплитудной 
       модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  390 
7.8.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  390 
7.8.2. Амплитудный детектор в режиме большого 
          сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  391 
7.9. Помехоустойчивость систем при приеме ЧМК . . . . . . . . . . .  393 
7.9.1. Причина высокой помехоустойчивости  
          систем с ЧМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  393 
7.9.2. Шумовая составляющая во входном ЧМК . . . . . . . . . .  394 
7.9.3. Частотный детектор в режиме большого 
          сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  395 
      Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  398 
 

Список условных обозначений 
13

 
 
 
Список  условных  обозначений 
 
АГ 
 
– автогенератор 
АКФ 
 
– автокорреляционная функция 
АМ 
 
– амплитудная модуляция 
АМК  
– амплитудно-модулированное колебание 
АЧХ 
 
– амплитудно-частотная характеристика 
ВКФ 
 
– взаимная корреляционная функция 
ВАХ 
 
– вольт-амперная характеристика 
ВКФ 
 
– вольт-кулонная характеристика 
ДП 
 
– двухполюсник 
ИХ 
 
– импульсная характеристика 
КФ 
 
– корреляционная функция 
НЦ, НЭ 
– нелинейная цепь (элемент) 
ОЭ 
 
– усилитель с общим эмиттером 
ОС 
 
– обратная связь 
ООС 
 
– отрицательная ОС 
ОФ 
 
– оптимальный фильтр 
ПОС 
 
– положительная ОС 
ПХ 
 
– переходная характеристика 
ПФ 
 
– полосовой фильтр 
ПС, ПЦ 
– параметрическая система, цепь 
ПЭ 
 
– параметрический элемент 
ПУ 
 
– параметрический усилитель 
РС, РЦ  
– радиотехническая система (цепь) 
РЭП, РЭБ 
– радиоэлектронное противодействие (борьба) 
СС, СП  
– случайный сигнал, процесс 
СПМ  
– спектральная плотность мощности 
СКО 
 
– среднеквадратическое отклонение 
УМК  
– колебания с угловой модуляцией 
УМ 
 
– угловая модуляция 
ФНЧ 
 
– фильтр нижних частот 
ФМК  
– фазомодулированное колебание 
ФЧХ 
 
– фазо-частотная характеристика 
ЧП 
 
– четырехполюсник 
ЧКП 
 
– частотный коэффициент передачи 
ЧИС, ЧИЦ 
– частотно-избирательная система (цепь) 
ЧМК 
 
– частотно-модулированное колебание 
ЧХ 
 
– частотная характеристика 
ЭМС 
 
– электромагнитная совместимость 
ЭСЗ 
 
– эквивалентная схема замещения 
ЭЦ 
 
– электрическая цепь 
а 
 
− постоянный коэффициент 

Теоретические основы радиотехники 
14 

А 
 
− постоянная интегрирования, фактор связи 
( ),
a t  ( )
s t  
− мгновенное значение сигнала 
α 
 
− коэффициент затухания, функции Берга 
(
),
(
)
A j
B j
ω
ω  − полиномы по степеням jω 
(
)
j
β
ω   
− коэффициент ОС 
Δ 
 
− определитель 

0
B  
 
− амплитуда сигнала 
C 
 
− постоянная интегрирования, емкость, переменная емкость 
D 
 
− область определения функции 
( )t
δ
 
 
− дельта-функция 
Δt 
 
− интервалы разбиения отрезка времени 

сп
F
Δ
 
 
− ширина спектра 

пр
пр
,
F
Δ
Δω
 
− полоса пропускания 

Δω 
 
− абсолютная расстройка, ширина полосы частот 
E, e 
 
− эдс источника 
ε 
 
− эдс самоиндукции, взаимоиндукции 
e 
 
− заряд электрона 
g(t) 
 
− переходная характеристика 
q 
 
− заряд 
G 
 
− активная проводимость 
γ 
 
− фаза 
h(t) 
 
− импульсная характеристика 
Н 
 
− преобразование Гильберта, передаточная функция ОС 
I 
 
− амплитуда тока 
i 
 
− мгновенное значение тока 
I(p) 
 
− изображение по Лапласу 
K(p), K(jω) 
− ЧКП,обобщенный коэффициент передачи 
K 
 
− постоянный коэффициент 

у(
)
K
jω  
− укороченный ЧКП 

k 
 
− коэффициент связи, постоянная Больцмана, коэффициент  
                             нелинейных искажений 

(
)
K
j
∗
ω  
− комплексное сопряжение 

( )
p
K
ω   
− ЧКП по мощности 

ξ 
 
− мгновенное значение случайного сигнала, обобщенная 
                             расстройка  

( ),
t
mξ
ξ
 
− среднее значение СС 

кт( )t
ξ
  
− реализация СС 

ОС
K
 
 
− передаточная функция ОС 
L 
 
− индуктивность 
λ 
 
− длина волны, постоянный коэффициент 

Список условных обозначений 
15

m 
 
− порядковый номер, число уравнений, индекс УМ 
M 
 
− коэффициент взаимоиндукции, коэффициент модуляции 
N 
 
− количество ветвей 
n 
 
− число реактивных элементов 
ν 
 
− нормированная расстройка 

ш
N
 
 
− коэффициент шума приемника 
p 
 
− корни характеристического уравнения, комплексная частота, 
                              коэффициент включения контура, полюса функции 
p(х) 
 
− плотность вероятности СС 
P 
 
− мощность сигнала 

ш
П
 
 
− шумовая полоса системы 

Q 
 
− добротность системы, характеристическая функция, 
                             отношение сигнал/шум 
R 
 
− резистор, действительная часть сопротивления 
ρ 
 
− характеристическое сопротивление системы 

iR  
 
− внутреннее сопротивление 

р
R  
 
− резонансное сопротивление 

1
2
( ,
)
R t
t
ξ
 
− корреляционная функция СС 

R−  
 
− отрицательное активное сопротивление 
σ(t) 
 
− функция включения 
(
)
S jω   
− спектральная плотность сигнала 
S 
 
− крутизна характеристики ВАХ НЭ 

2
ξ
σ  
 
− дисперсия СС 

ˆ( )
s t  
 
− сопряженный по Гильберту сигнал 

T 
 
− время, системный оператор, период колебания,  
                             абсолютная температура 
t 
 
− текущее время 
τ 
 
− постоянная времени системы 

и
τ  
 
− длительность импульса 

θ 
 
− начальная фаза, угол осечки тока 

гвз
t
 
 
− групповое время запаздывания 

m
U
 
 
− амплитуда напряжения 
u 
 
− мгновенное значение напряжения 
U(p) 
 
− изображение напряжения по Лапласу 

гр
υ
 
 
− групповая скорость 

( )
Wξ ω   
− СПМ СС 

( )
X t
− комплексное воздействие 

X(ω) 
 
− мнимая часть сопротивления 

Теоретические основы радиотехники 
16 

( )
Y t
− комплексный отклик 
Y(ω) 
 
− комплексная проводимость 

св( )
y
t   
− свободные колебания цепи 

вын( )
y
t   
− вынужденные колебания цепи 

( )
Z ω
− комплексное сопротивление 
( )
z t
− аналитический сигнал 

2( )
Φ
ω   
− энергетический спектр сигнала 
ψ(t) 
 
− полная мгновенная фаза колебания 
ϕ(ω) 
 
− ФЧХ системы 
f 
 
− частота колебаний 
F(p) 
 
− изображение по Лапласу 
Ω, ω 
 
− круговая частота 
ω(t) 
 
− мгновенная частота 
Э 
 
− энергия сигнала 

1.  Воздействие сигналов на линейные стационарные системы. Методы расчета 
17

 
 
 
 
 
1.  Воздействие сигналов на линейные 
     стационарные системы.  Методы расчета 

1.1.  Физические системы 
        и их математические модели 

1.1.1.  Физическая система 
           и ее математическая модель 

Совокупность физических объектов (элементов, устройств), предназначенных для прохождения по ним электрического тока, называют электрической цепью (ЭЦ). Электрические цепи, применяемые в радиотехнике, называют радиотехническими цепями (РЦ). Будем называть любую РЦ, независимо от ее назначения и уровня сложности, радиотехнической системой (РС) и 
понимать под этим совокупность физическиx объектов, между которыми существуют определенные связи и взаимодействия (рис. 1.1). В структуре любой системы имеются вход, на который подается (поступает)  входное  воздей- 

ствие 
вх
U
(или 
( )),
x t
 и выход, с 
которого снимается обработанный 
системой (т.е. преобразованный) 
выходной сигнал (отклик, реакция 
системы на входное воздействие) 

вых
U
(или ( )).
y t
 

 

Рис. 1.1 

Как правило, в радиотехнике интересуются только связью между сигналами на входе и выходе системы. В таком понимании систему (см. рис. 1.1) 
представляют «черным ящиком» с неизвестными структурой и составом элементов и определяют только ее внешние характеристики, определяющие связь 
между входным воздействием ( )
x t  и выходным откликом ( ).
y t  
В наиболее простом случае связь между воздействием ( )
x t  и откликом 
( )
y t  описывается одномерными функциями времени Т 

вых
вх
( )
( )
( )
( ),
y t
U
t
TU
t
Tx t
=
=
=
                                (1.1.1) 

где 
вых( )
( )
U
t
y t
=
 − мгновенное значение отклика; 
вх
( )
( )
x t
U
t
=
 − мгновенное 
значение воздействия;  T − функция, определяющая связь между ( )
x t  и ( ).
y t  

В общем случае воздействие 
вх
( )
( )
X t
U
t
=
и отклик 
вых
( )
( )
Y t
U
t
=
могут быть многомерными векторами 
{
}
{
}

вх
1
2

вых
1
2

( )
( ),
( ), ...,
( )
( );
( )
( ),
( ), ...,
( )
( );

n

n

X t
x t
x t
x
t
U
t
Y t
y t
y
t
y
t
U
t

⎫
=
=
⎪⎬
=
=
⎪⎭

(1.1.2) 

Теоретические основы радиотехники 
18 

( )
( ).
Y t
T X t
=
(1.1.3) 

Закон связи между воздействием 
( )
X t
на входе и откликом 
( )
Y t
на выходе определяется некоторой функцией Т, которую называют системным оператором (или характеристикой, или функцией, или коэффициентом передачи (КП)) 

характеристика
функция
КП
Т =
=
=
=  

функция отклика ( )
( ) .
функция воздействия ( ) 
( )

y t
Y t
x t
X t
=
=

(1.1.4) 

Математическое выражение системного оператора Т чаще всего называют функцией. Чтобы полностью определить задачу нахождения отклика ( )
y t  
на входное воздействие ( ),
x t  нужно еще задать: а) область 
x
D  − область определения допустимых входных воздействий ( )
x t  (вид сигнала ( )
x t  и его величину) и б) область 
y
D  − область задания (определения) выходных откликов. 

Системный оператор Т совместно с областями определения 
x
D  и 
y
D  

называют математической моделью системы. Математическая модель системы позволяет теоретически анализировать взаимодействие сигналов с системами и находить отклик ( )
y t  по известному входному воздействию ( ).
x t  

1.1.2.  Примеры системных операторов 

Пример а). Задано 
( )
( )
15
.
dx t
y t
dt
=
 Системный оператор 
15 d
T
dt
=
 озна
чает, что в структуре системы есть масштабное звено, изменяющее масштаб 
входного сигнала в 15 раз (например, идеальный усилитель) и дифференцирующее звено по времени 
/
.
d dt  
Пример б). На рис. 1.2 приведены три системы. Найти их системные 
операторы. 

 
                      а                                                 б                                                   в 

Рис. 1.2 
Рис. 1.2,а:  

1
( )
( );
x t
i t
=
   ( )
( );
R
y t
U
t
=
   
1
( )
( );
y t
Ri t
=
   
.
T
R
=
 
Рис. 1.2,б: 

1) 
1
( )
( );
x t
i t
=
   ( )
( );
C
y t
U
t
=
   
1
0

1
( )
( )
;
t

C
U
t
i t dt
C
=
∫
   

0

1
;
t
T
dt
C
=
∫
 

     2) 
1
( )
( )
( );
C
x t
U t
U
t
=
=
   ( )
( );
C
y t
i
t
=
   
( )
( )
;
C
C
dU
t
i
t
C
dt
=
   
.
d
T
C dt
=
 

1.  Воздействие сигналов на линейные стационарные системы. Методы расчета 
19

Рис. 1.2,в: 

 1) 
1
( )
( );
x t
i t
=
   ( )
( );
L
y t
U
t
=
   
( )
( )
;
L
L
dU
t
U
t
L
dt
=
   
;
d
T
L dt
=
 

2) ( )
( );
L
x t
U
t
=
   ( )
( );
L
y t
i
t
=
   

0

1
( )
( )
;
t

L
L
i
t
U
t dt
L
=
∫
   

0

1
.
t
T
dt
L
=
∫
 

1.1.3.  Классификация систем 

Системы классифицируются по различным признакам, характеризующим существенные свойства систем. 
Стационарные и нестационарные системы. Стационарными называют системы, у которых отклик ( )
y t  не зависит от того, в какой момент времени поступает входное воздействие ( );
x t  стационарная система инвариантна к 
началу отсчета времени. Математическое определение стационарности: 
если  ( )
( ),
y t
Tx t
=
 то 
0
0
(
)
(
),
y t
t
Tx t
t
±
=
±
                                            (1.1.5) 

где  0t  − любое действительное число. 
Стационарные системы называют также системами с постоянными во 
времени параметрами. 
Если же параметры системы не постоянны во времени (не инвариантны 
относительно начала отсчета времени), то такую систему называют нестационарной (или системой с переменными во времени параметрами, параметрической). 
Линейные и нелинейные системы. Линейными называют системы, у 
которых суммарный отклик 
( )
y t  на сумму отдельных воздействий 
1( ),
x t  

2( ),...,
( )
n
x t
x t  равен сумме откликов на каждое отдельное воздействие 

1 1
2 2
1
1
2
2
(
...
)
...
,
n n
n
n
T
x
x
x
Tx
Tx
Tx
α
+ α
+
+ α
= α
+ α
+
+ α
            (1.1.6) 

где 
i
α  − произвольное число. 
Условие (1.1.6) выражает фундаментальный принцип суперпозиции 
(наложения, независимости действий) линейных систем, поэтому линейность 
иногда определяют и так: линейными считают те системы, для которых справедлив принцип суперпозиции. 
Принцип суперпозиции поясняется цепью рис. 1.3. Сложная РЦ содержит 
N ветвей и (N − 1) источников энергии. Оставим в РЦ один источник 
1,
E  все 

другие замкнув накоротко. В N-й ветви от источника 
1
E  пойдет ток 
(1).
N
I
 Ос
тавим в цепи источник 
2,
E
 все остальные замкнув накоротко. В N-й ветви от 

источника 
2
E  пойдет ток 
(2).
N
I
 Продолжим такие действия до последнего 
1
N
E
−  

источника.  От  каждого  m-го источника 
m
E  в  N-й  ветви  идет  свой ток 
(
).
m
N
I
 
В соответствии с принципом суперпозиции суммарный ток 
N
I
 в 

N-й ветви равен сумме токов 
( )
k
N
I
 
в этой ветви от каждого отдельного источника 
 
Рис. 1.3