Теоретические основы радиотехники. Часть вторая. Основы теории сигналов
Покупка
Тематика:
Теоретическая радиотехника
Год издания: 2004
Кол-во страниц: 332
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 5-9515-0018-4
Артикул: 680169.01.99
Доступ онлайн
В корзину
Во второй части курса «Теоретические основы радиотехники» излагаются основы теории радиотехнических сигналов. Здесь рассматриваются методы описания и
изучения свойств различных сигналов на временной и частотной осях (во временной и частотной областях), корреляционный анализ детерминированных и случайных
сигналов, теория модулированных сигналов, сигналов с ограниченным спектром и т.д. Книга рассчитана на студентов, аспирантов, инженеров и научных сотрудников, работающих в области радиотехники.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ФГУП Российский федеральный ядерный центр − ВНИИЭФ А.И. Астайкин, А.П. Помазков ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАДИОТЕХНИКИ Часть вторая Основы теории сигналов Под редакцией доктора технических наук, профессора А.И. Астайкина Саров 2004
ББК 32.841 А 91 УДК 621.396.1 Астайкин А.И., Помазков А.П. Теоретические основы радиотехники. Часть вторая. Основы теории сигналов. Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004, 332 с. ISBN 5-9515-0018-4 Во второй части курса «Теоретические основы радиотехники» излагаются основы теории радиотехнических сигналов. Здесь рассматриваются методы описания и изучения свойств различных сигналов на временной и частотной осях (во временной и частотной областях), корреляционный анализ детерминированных и случайных сигналов, теория модулированных сигналов, сигналов с ограниченным спектром и т.д. Книга рассчитана на студентов, аспирантов, инженеров и научных сотрудников, работающих в области радиотехники. Рецензенты: доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой ННГУ им. Лобачевского А.В. Якимов; доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой МГУ им. Огарева В.А. Горюнов; доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой МЭИ В.А. Пермяков ISBN 5-9515-0018-4 © ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004
Содержание 3 Содержание Список условных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. Радиотехнические сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1. Cигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1. Определения: сигнал, сообщение, информация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.2. Математическая модель сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3. Физические характеристики сигналов . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2. Основные радиотехнические процессы при передаче сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1. Порядок обработки сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2. Преобразование сигналов в радиотехнических системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3. Влияние длины волны на функционирование радиоканала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Классификация сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1. Классификация сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2. Комплексные и вещественные сигналы . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.3. Одномерные и многомерные сигналы . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.4. Детерминированные и случайные сигналы . . . . . . . . . . 23 1.3.5. Непрерывные и импульсные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.6. Аналоговые и дискретные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.7. Периодические и непериодические сигналы . . . . . . . . . 26 1.3.8. Узкополосные и широкополосные сигналы . . . . . . . . . . 27 2. Представление сигналов во временнóй области . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1. Принципы динамического представления сигналов . . . . . . . . 28 2.1.1. Способы описания сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2. Принципы динамического представления сигналов во временнóй области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Представление произвольного сигнала с помощью функции включения Хэвисайда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1. Понятие функции включения Хэвисайда . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2. Представление произвольного сигнала с помощью функции включения Хэвисайда . . . . . . . . . 32 2.3. Представление произвольного сигнала посредством дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1. Понятие дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2. Представление произвольного сигнала с помощью дельта-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.3. Энергетические характеристики сигналов . . . . . . . . . . . 38
Теоретические основы радиотехники 4 2.4. Представление сигналов с помощью ортогональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.1. Ортогональные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.2. Представление сигналов с помощью ортонормированных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Спектральный анализ сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1. Спектральное представление сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.1. Представление сигналов на временнóй и частотной осях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1.2. Спектральное представление сигналов . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Преобразование Фурье периодических сигналов . . . . . . . . . . . 47 3.2.1. Периодическая функция (периодический сигнал) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.2. Условия существования преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.3. Представление периодического сигнала рядом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.4. Переход к комплексной форме ряда Фурье . . . . . . . . . . . 50 3.2.5. Распределение мощности в спектре периодического сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3. Спектральное представление непериодических сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1. Спектральная плотность непериодического сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2. Физическая интерпретация спектральной плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.3. Симметричные свойства амплитудного и фазового спектров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.4. Сравнение спектров периодического и непериодического сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. Некоторые свойства интеграла Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.1. Комплекснозначность спектральной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.2. Изменение пределов интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.3. Свойства действительной и мнимой частей спектральной плотности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.4. Спектры четных и нечетных функций . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4.5. Теорема наложения (линейности) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.6. Теорема запаздывания (смещения сигнала во времени) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.7. Теорема смещения (переноса) спектра по частоте . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.4.8. Теорема об изменении масштаба времени (сжатие спектра) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.9. Спектр производной сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4.10. Спектр интеграла сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Содержание 5 3.4.11. Спектр скалярного произведения двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4.12. Спектр произведения двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4.13. Спектральная плотность свертки двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.14. Энергия непериодического сигнала . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.15. Симметрия аргументов t и ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.16. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.17. Спектральная плотность δ-функции . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.4.18. Спектр сигналов в области низких частот . . . . . . . . . . . 72 3.5. Спектры некоторых сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.1. Спектр последовательности прямоугольных видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5.2. Спектр последовательности знакопеременных прямоугольных видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.3. Спектр последовательности треугольных видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.4. Спектр двух видеоимпульсов одной полярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.5.5. Спектр двух разнополярных видеоимпульсов . . . . . . . . 80 3.5.6. Спектр одиночного видеоимпульса sin ( ) c x . . . . . . . . . . 82 3.5.7. Спектр одиночного треугольного видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.5.8. Спектр одиночного трапецеидального видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.5.9. Спектр косинусоидального видеоимпульса . . . . . . . . . . 86 3.5.10. Спектр колоколообразного (Гауссова) видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5.11. Спектральная плотность функции включения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.6. Спектры неинтегрируемых сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.6.1. Понятие спектра неинтегрируемых сигналов . . . . . . . . 91 3.6.2. Спектр постоянного напряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6.3. Спектр комплексного экспоненциального сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6.4. Спектр гармонического колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.6.5. Спектральная плотность радиоимпульса . . . . . . . . . . . . 96 3.6.6. Связь между спектром радиоимпульса и спектром его огибающей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.6.7. Спектр промодулированного импульса . . . . . . . . . . . . . 100 3.6.8. Спектр «обрывка» гармонического колебания («отрезка» синусоиды) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.7. Соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Теоретические основы радиотехники 6 3.7.1. Сущность вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.7.2. Общая закономерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.7.3. Определение длительности сигнала и ширины его спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.8. Распределение энергии в спектрах одиночных видеоимпульсов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.8.1. Расчетные соотношения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.8.2. Расчет ширины первых лепестков спектра . . . . . . . . . . 113 3.8.3. Сравнение импульсов различной формы по энергиям в полосе частот первого лепестка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.9. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.9.1. Вводные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.9.2. Преобразование Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.9.3. Условия существования изображения Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.9.4. Преобразование Лапласа от производной сигнала по времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.9.5. Преобразование Лапласа для некоторых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4. Принципы корреляционного анализа. Энергетические спектры сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1. Корреляционный анализ сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.1.1. Импульсные сигналы во временнóй области . . . . . . . . 122 4.1.2. Корреляционный анализ сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2. Автокорреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.1. Автокорреляционная функция импульсных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.2.2. АКФ прямоугольного видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.3. АКФ пачки прямоугольных видеоимпульсов . . . . . . . . 129 4.2.4. АКФ треугольного видеоимпульса . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.2.5. АКФ экспоненциального видеоимпульса . . . . . . . . . . . 133 4.2.6. АКФ гармонического колебания и периодической функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.2.7. АКФ прямоугольного радиоимпульса . . . . . . . . . . . . . . 138 4.2.8. Сравнение АКФ импульсного и периодического сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.3. Взаимная корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3.1. Взаимная корреляционная функция . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.3.2. ВКФ гармонических сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.4. Связь корреляционных функций с энергетическими спектрами сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.4.1. Энергетический спектр импульсного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Содержание 7 4.4.2. Энергетический спектр периодического сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.4.3. Взаимный энергетический спектр двух сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.4.4. Связь АКФ с энергетическим спектром . . . . . . . . . . . . 148 4.4.5. Связь ВКФ с взаимным энергетическим спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5. Модулированные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1. Понятие несущей частоты и модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.1. Модуляция и демодуляция несущего колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1.2. Виды модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.1.3. Условия «медленности» модулирующих функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.2. Амплитудно-модулированные сигналы (амплитудно- модулированные колебания) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.1. Понятия и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2.2. Спектральное представление АМК . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.2.3. Векторные диаграммы АМК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.2.4. Автокорреляционная функция АМК . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.2.5. Энергетические характеристики АМК . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2.6. Амплитудно-манипулированные сигналы . . . . . . . . . . 172 5.3. Сигналы с угловой модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3.1. Виды угловой модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.3.2. Сигналы с фазовой модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.3.3. Сигналы с частотной модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 5.3.4. Эквивалентность выражений для мгновенных значений ЧМК и ФМК . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.3.5. Сигналы с однотональной УМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.3.6. Сигналы с многотональной УМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.3.7. Спектральное представление сигналов с УМ . . . . . . . . 184 5.3.8. Спектры сигналов с однотональной УМ . . . . . . . . . . . . 186 5.3.9. Спектр колебаний с УМ при малых индексах модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 5.3.10. Спектр колебаний с УМ при больших индексах модуляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.4. Сигналы с внутриимпульсной частотной модуляцией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.4.1. Принципы линейной частотной модуляции (ЛЧМ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.4.2. Спектр прямоугольного ЛЧМ-импульса . . . . . . . . . . . . 194 5.4.3. Автокорреляционная функция ЛЧМ-импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6. Сигналы с ограниченным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.1. Сигналы с ограниченным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Теоретические основы радиотехники 8 6.1.1. Характеристики сигналов, простые и сложные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.1.2. Сигналы с ограниченным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.1.3. Примеры сигналов с ограниченным спектром. Радиотелеграфный сигнал азбуки Морзе . . . . . . . . . . . 202 6.2. Теорема Котельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.1. Теорема Котельникова и ее физический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.2.2. Обратная задача дискретизации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.2.3. Теорема Котельникова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.3. Узкополосные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.3.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.3.2. Математическая модель узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.3.3. Преобразование Гильберта и его свойства . . . . . . . . . . 217 6.3.4. Огибающая, полная фаза и мгновенная частота узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.3.5. Комплексная огибающая узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.3.6. Спектр комплексной огибающей . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.3.7. Преобразование Гильберта узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.4. Аналитический сигнал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.4.1. Определение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.4.2. Основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей . . . . . . . . . . . . . . . 229 6.4.3. Теорема Котельникова для узкополосного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7. Основы теории случайных сигналов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.1. Элементы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.1.1. Случайные сигналы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.1.2. Случайные события, вероятность события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.1.3. Классификация случайных событий . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.1.4. Аксиомы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.1.5. Действия над вероятностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.2. Случайные величины и их характеристики . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.2.1. Случайная величина (СВ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.2.2. Вероятностные (статистические) характеристики СВ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.2.3. Функции распределения вероятностей . . . . . . . . . . . . . 242 7.2.4. Плотность вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.2.5. Многомерные функции распределения . . . . . . . . . . . . . 245 7.2.6. Независимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.2.7. Усреднение случайных величин и функций . . . . . . . . . 248
Содержание 9 7.2.8. Числовые (моментные) характеристики случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 7.2.9. Дисперсия случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 7.2.10. Моменты совокупности двух случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 7.2.11. Некоторые законы распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 254 7.2.12. Комплексная случайная величина . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.2.13. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7.3. Функции от случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.3.1. Функции от случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.3.2. Характеристическая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.3.3. Преобразование одномерных функций распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7.3.4. Преобразование двухмерных функций распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 7.3.5. Преобразование многомерных функций распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.3.6. Среднее значение функции от случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7.3.7. Среднее значение и дисперсия суммы случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7.3.8. Функция распределения модуля и фазы случайного вектора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7.4. Случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.4.1. Сигналы как случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 7.4.2. Реализации, ансамбль реализаций, сечение ансамбля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 7.4.3. Интегральные функции распределения . . . . . . . . . . . . . 270 7.4.4. Плотность вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.4.5. Некоторые свойства вероятностных характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.4.6. Моментные и корреляционные функции случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.4.7. Классификация случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . 276 7.4.8. Нормальные случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.5. Основы корреляционной теории стационарных случайных процессов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.5.1. Корреляционная теория стационарных СП . . . . . . . . . . 282 7.5.2. Моментные и корреляционные функции стационарных СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.5.3. Некоторые свойства корреляционной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.5.4. Теорема Винера – Хинчина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.5.5. Интервал корреляции и эффективная ширина спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Теоретические основы радиотехники 10 7.6. Аналитические случайные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.6.1. Комплексное представление СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.6.2. Некоторые свойства аналитических СП . . . . . . . . . . . . 298 7.6.3. Распределения огибающей и фазы аналитического СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.7. Некоторые примеры стационарных случайных процессов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 7.7.1. Случайный модулированный сигнал . . . . . . . . . . . . . . . 304 7.7.2. Квазибелый шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.7.3. Белый шум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.7.4. Высокочастотный квазибелый шум . . . . . . . . . . . . . . . . 308 7.7.5. Гармонический процесс со случайной начальной фазой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 7.8. Узкополосные стационарные случайные процессы . . . . . . . . 310 7.8.1. Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 7.8.2. Некоторые примеры узкополосных СП . . . . . . . . . . . . . 311 7.8.3. Математическая модель узкополосного СП . . . . . . . . . 314 7.8.4. Статистическая задача описания узкополосного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7.8.5. Порядок решения задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 7.8.6. Определение огибающей и фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 7.8.7. Свойства сопряженного СП . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 7.8.8. Представление огибающей квадратурными составляющими . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 7.8.9. Распределение квадратурных составляющих . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.8.10. Совместное распределение огибающей и фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 7.8.11. Одномерные плотности вероятности огибающей и фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 7.8.12. Одномерное распределение фазы . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 7.8.13. Одномерное распределение огибающей . . . . . . . . . . . 327 7.8.14. Огибающая и фаза суммы гармонического сигнала и шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
Список условных обозначений 11 Список условных обозначений АКФ – автокорреляционная функция АМ – амплитудная модуляция АМК – амплитудно-модулированное колебание ВБЧ – верхняя боковая частота ВКФ – взаимная корреляционная функция ВБПЧ – верхняя боковая полоса частот ВЧ – высокочастотный КФ – корреляционная функция МК – модулированное колебание НБЧ – нижняя боковая частота НБПЧ – нижняя боковая полоса частот НК – немодулированное колебание РЦИС – радиотехнические цепи и сигналы СВ – случайная величина СП – случайный процесс СС – случайный сигнал СПМ – спектральная плотность мощности ОПБМ – однополосная боковая модуляция ПВ – плотность вероятности УМ – угловая модуляция ФМ – фазовая модуляция ФМК – фазо-модулированное колебание ФР – функция распределения ЧМ – частотная модуляция ЧМК – частотно-модулированное колебание ЭМВ – электромагнитная волна СКО – среднеквадратическая ошибка C τ – длительность сигнала C H – динамический диапазон сигнала C F – ширина спектра сигнала А, В – амплитуда сигнала, антенна, комплексная огибающая , k a kb – коэффициенты разложения в ряд Фурье a – норма сигнала ( ), ( ), ( ) a t s t u t – мгновенное значение сигнала с – скорость распространения электромагнитного сигнала С – емкость , Dξ 2 ξ σ – дисперсия СВ или СП ∇ – оператор «набла» ( )t γ – аналитический сигнал Е, Э – энергия сигнала F – частота повторения 0, f f – частота сп F Δ – ширина полосы частот
Теоретические основы радиотехники 12 δ(t) – дельта-функция Дирака ( )t σ – функция Хэвисайда Н – динамический диапазон, преобразование Гильберта ( ) Kξ τ – ковариационная функция 0 k – волновое число ( ) K jω – частотный коэффициент передачи λ, 0 λ – длина волны М – коэффициент модуляции, среднее значение СВ m – индекс угловой модуляции, среднее значение СВ L – индуктивность , a μ a ε – электродинамические параметры среды [ ( )] k k M t ξ – момент k-го порядка СП n – мерность ФР и ПВ ξ – случайная величина ( )t ξ – мгновенное значение СП ( ), ( ) t t ξ < ξ > – среднее значение СП 0 ( )t ξ – центрированный СП p(t) – мгновенная мощность P – мощность p(x) – плотность вероятности Q – добротность S( jω), F( jω) – спектральная плотность ( ) Φ ω – модуль спектральной плотности R(τ) – корреляционная функция СП 12( ), R τ ( ) R ξη τ – взаимная корреляционная функция ( ) ρ τ – коэффициент корреляции ( ) n S n t ⋅Δ – выборка сигнала T, 0 T – период колебаний, отрезок времени τ – длительность сигнала t – текущее время U – амплитуда, комплексная огибающая ф υ – фазовая скорость ЭМВ ϕ, ψ – фаза колебаний W – спектральная плотность мощности 12 ЭS – взаимная энергия сигналов x, y, z – координаты н x – пороговые значения ˆ( ) x t – сопряженное по Гильберту значение ω, Ω – круговая частота
1. Радиотехнические сигналы 13 1. Радиотехнические сигналы 1.1. Сигналы 1.1.1. Определения: сигнал, сообщение, информация Термины «сигнал», «сообщение», «информация» очень часто встречаются как в научно-технической литературе, так и в повседневной жизни. Не задумываясь о строгости терминологии, их часто отождествляют, и это не приводит к большим недоразумениям, так как слово «сигнал», происходящее от латинского «signum» − «знак», обычно имеет самое широкое смысловое значение. Тем не менее в научно-технических вопросах эти три термина строго разделены и имеют каждый свое четкое определение [1−3]. Под информацией в общем случае понимают совокупность всевозможных сведений об объекте информации – предметах, событиях, явлениях, процессах. Такая информация может быть записана, отображена, представлена в некоторой форме на каком-то носителе, держателе. Такую записанную информацию можно хранить, передавать, трансформировать. Запись, отображение, представление информации на носителе обычно делается с помощью каких-то условных знаков, например человеческой речи, текстов, рисунков, математических формул, формы колебаний и т.д. Записанная таким образом на носитель информация и составляет сообщение, которое можно хранить, изучать, размножать, передавать и т.д. (телеграмма, телевизионное изображение). Под сигналом понимают процесс изменения во времени физического состояния какого-то объекта или его параметра, служащего для отображения, регистрации и передачи сообщений; сигнал – это физический процесс, отображающий и несущий передаваемое сообщение. Между сигналом и сообщением существует однозначное соответствие [1−3]: по принятому сигналу всегда восстанавливается переданное сообщение, из которого и извлекается передаваемая информация. В радиотехнике сообщения передаются с помощью электрических сигналов, под которыми понимаются изменения во времени − колебания тех или иных параметров (напряжения или тока) по законам изменения во времени передаваемых сообщений. При этом затрагивается только физический облик сигнала, т.е. сигнала как колебания и законов колебания, и опускаются смысл заключенного в сигнале сообщения и его ценность. Такие сигналы в радиотехнике называют радиотехническими сигналами. Для сигналов, представленных в непрерывном и квазинепрерывном виде, мерой информативности является ширина спектра, для некоторых видов импульсных (дискретных) сигналов, например для сигналов в виде двоичного
Теоретические основы радиотехники 14 кода, оказалась эффективной иная мера информативности – бит, т.е. число двоичных сигналов в единицу времени. 1.1.2. Математическая модель сигнала Содержанием курса теории сигналов является изучение всевозможных сигналов и их свойств и обработка этих сигналов радиотехническими цепями, устройствами, системами. Изучение общих свойств сигналов и способов их обработки при взаимодействии с различными устройствами, системами (прохождении через эти устройства) возможно только тогда, когда есть теоретические эквивалентные схемы замещения сигналов и устройств, которые могут быть записаны аналитически. Только в этом случае возможен анализ процесса прохождения сигнала через известное устройство. Под математической моделью сигнала понимают функциональную зависимость какой-либо величины (тока i, напряжения u, частоты ω, фазы ϕ и т.п.) от времени, т.е. ( ), i i t = ( ), u u t = ( )t ϕ = ϕ и т.п., где ( ), i t ( ), u t ( )t ϕ − известные функции; сама запись математической модели представляется в виде ( ), s s t = (1.1.1) где s − любой сигнал (ток, напряжение и т.п.), т.е. электрическое колебание, изменяющееся по закону изменения сообщения; ( ) s t − известная функция; t − аргумент, текущее время. Математическая модель сигнала ( ) s t (1.1.1) дает возможность: а) выделить те свойства сигнала, которые являются определяющими в рамках поставленной задачи, и отбросить те его свойства, которые играют второстепенную роль и не являются определяющими; б) сравнивать сигналы по тем или иным свойствам; в) находить оптимальные сигналы для конкретных задач [1−4]. 1.1.3. Физические характеристики сигналов Сигналы являются объектом передачи (транспортировки) зашифрованных в них сообщений. С точки зрения передачи, для сигналов выбирают такие его наиболее экономные показатели, которые наиболее полным образом характеризуют сигнал при передаче. В качестве таких показателей наиболее подходящими являются длительность сигнала C, τ динамический диапазон C H и ширина спектра C F [1, 3], − эти показатели называют главными физическими характеристиками сигналов. Длительность сигнала C τ − наиболее простая и в то же время практически важная характеристика, определяющая интервал времени, в котором сигнал существует и передается по радиотехническим цепям. Динамический диапазон C H сигнала определяется как отношение наибольшей мгновенной мощности сигнала к той наименьшей мощности, которую можно отличить от нуля при приеме. Выбор этой наименьшей мощности обычно связан с уровнем помех, которые при передаче называют шумами, и
1. Радиотехнические сигналы 15 качеством передачи. Динамический диапазон измеряют обычно в логарифмических единицах и выражают в децибелах. Например, у диктора C H = 25 30 дБ, = ÷ у вокального ансамбля C 45 55 дБ, H = ÷ у симфонического оркестра C 65 75 дБ, H = ÷ в радиовещании принят диапазон C 35 45 дБ H = ÷ [3]. Если передаваемый сигнал выйдет за рамки установленного динамического диапазона, то он либо вообще может быть не принят, либо будет приниматься с искажениями. Ширина спектра C F сигнала однозначно связана как с длительностью сигнала C, τ так и со скоростью изменения сигнала внутри интервала длительности C. τ Чем короче сигнал C τ и быстрее скорость его изменения внутри интервала C, τ тем шире полоса спектра C, F необходимая для его передачи. Ширина спектра C F может быть неограниченной. Однако основная энергия сигналов (90 % и более) обычно сосредоточена в ограниченном диапазоне частот, который и принимается за ширину спектра C. F Поэтому в радиотехнике вместо сигналов с бесконечным (неограниченным) спектром всегда имеют дело с сигналами с ограниченным спектром. Чтобы при телефонной связи речь была разборчива и корреспонденты могли узнать друг друга, спектр сигнала, ширина которого составляет C тел 3 кГц, F ≈ можно ограни чить частотами от 30 до 3000 Гц. Для примера найдем необходимую ширину спектра C F при передаче телеграфных (азбука Морзе) и телевизионных сигналов [3]. Телеграфный сигнал рис. 1.1 представляет собой ряд посылок тока («точек») различной длительности 1 2 3 ≠ ≠ τ τ τ и пауз между ними. Самый невыгодный для передачи случай показан на рис. 1.2,а, когда точки (посылки тока) и паузы между точками оказываются одинаковой длительности, в этом случае сигнал изменяется наиболее быстро. Из рис. 1.2,а видно, что это периодический сигнал с периодом 0 T и частотой повторения 0 0 1/ , f T = называемой частотой манипуляции. Спектр периодической функции ( ) i t (рис. 1.2,а) безграничен (см. далее), однако можно отбросить высшие гармоники, положив сп 0 3 . F f ≈ При этом форма принимаемых сигналов ухудшится и примет вид рис. 1.2,б. Но такой сигнал можно принять и достаточно легко извлечь все полезное сообщение. Для определения ширины спектра сп 0 3 F f ≈ подсчитаем, сколько отдельных знаков (точек и пауз) можно передать при ручной передаче за единицу времени, т.е. найдем скорость ручной передачи. Хорошей скоростью считается передача 200 слов в минуту. Обычно принимают, что в среднем, в слове содержится шесть букв, следовательно, передается 1200 букв в минуту или 20 букв в секунду, которая и является единицей времени. При использовании азбуки Морзе принято, что средняя продолжительность одной буквы, выраженная через длительность одной точки, равна 10, поэтому в секунду передается 20·10 = 200 интервалов, равных длительности одной точки. Так как между каждой точкой должна находиться пауза такой же длительно- сти, причем длительность точки и паузы и составляют период 0 T сигнала
Теоретические основы радиотехники 16 Рис. 1.1 а б Рис. 1.2 (рис. 1.2,а), то за секунду передается 100 периодов точка-пауза и частота манипуляции 0f равна 0 100 Гц, f ≈ а достаточная ширина спектра C F для передачи телеграфных сигналов равна сп 0 3 3 100 300 Гц. F f ≈ = ⋅ = (1.1.2) Рассмотрим телевизионный сигнал. Его спектр ограничивают с учетом разрешающей способности человеческого глаза. Этим и определяется требуемая четкость изображения, зависящая от числа строк – у нас 625 строк на один кадр. В свою очередь, каждая строка делится на 625 элементов, поэто му число элементов в кадре на экране телевизора составляет 4 625 625 3⋅ ⋅ = 5 520833 5 10 , = ≈ ⋅ где 4:3 – отношение длины экрана к его ширине. Самый
1. Радиотехнические сигналы 17 невыгодный случай для передачи изображения получается тогда, когда элементы в строках представляют чередование «точка-пауза» или черных (точка) и белых (пауза) полей, как на шахматной доске. Длительности точек и пауз одинаковы, каждые точка и пауза (черное и белое поля) составляют период следования элементов, следовательно в каждом кадре располагается 5 5 5 10 :2 2,5 10 ⋅ = ⋅ периодов. В каждую секунду передается 25 кадров, что связано с разрешающей способностью глаза. Следовательно, частота 0f следования черно-белых элементов (периодов пауза-точка) на экране и ширина спектра сп. тел F телевизионного сигнала равны 5 6 сп. тел 0 25 2,5 10 6,25 10 6,25 МГц. F f = = ⋅ ⋅ = ⋅ ≈ (1.1.3) 1.2. Основные радиотехнические процессы при передаче сигналов 1.2.1. Порядок обработки сигналов Все многочисленные области использования радиотехники связаны с основной особенностью: сигнал, несущий информацию, передается от предыдущего звена к последующему (промежуточному или конечному), и эта передача всегда связана с обработкой сигнала. Самая общая схема обработки сигнала при его передаче может быть выражена рис. 1.3 [5, 6]. Рис. 1.3
Доступ онлайн
В корзину