Методы и алгоритм определения полного набора совместимых материальных констант пьезокерамических материалов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение 

высшего профессионального образования

«ЮжНыЙ ФЕДЕРАЛЬНыЙ уНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

В. А. Акопьян, А. Н. Соловьев, С. Н. Шевцов 

Методы и АлгоритМ определеНия

полНого НАборА СоВМеСтиМых

МАтериАльНых коНСтАНт

пьезокерАМичеСких МАтериАлоВ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2008

уДК 51:661.3/.7
ББК 22.1+35.41
       А 38

Печатается по решению редакционно-издательского совета 

Южного федерального университета

рецензент

доктор технических наук, профессор, академик РИА Панич А. Е.

Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта 

«Образование» по «Программе развития федерального государственного 
образовательного учреждения высшего профессионального образования 

“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

Акопьян В. А., Соловьев А. Н., Шевцов С. Н.

Методы и алгоритм определения полного набора совместимых мате
риальных констант пьезокерамических материалов / В. А. Акопьян, 
А. Н. Соловьев, С. Н. Шевцов. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФу, 2008. – 
144 с.

ISBN 978-5-9275-0474-9
Монография содержит описание нового теоретически обоснованного мето
да и алгоритма определения полного набора совместимых материальных констант пьезокерамики и усовершенствованной методики расчета ее технических 
модулей упругости на основе результатов теоретико-экспериментального анализа и идентификации различных мод колебаний электроупругих стержней и 
пластин. В дополнение к этому, на основе модифицированной методики определения пьезомодуля dзз в квазистатическом режиме установлены физические 
и геометрические ограничения на форму образцов, позволяющие рассчитать 
научно достоверные значения dзз пьезокерамики, и определены границы применимости этой методики.

Предназначена для научных работников, аспирантов, инженеров и студен
тов, занятых исследованиями и техническими разработками в области экспериментальной механики, приборостроении и в других отраслях современной 
техники.

ISBN 978-5-9275-0474-9 
 
 
 
 
    Удк 51:661.3/.7

 
  
 
 
 
 
 
    ббк 22.1+35.41

© Акопьян В. А., Соловьев А. Н., Шевцов С. Н., 2008
© Южный федеральный университет, 2008
© Оформление. Макет. Издательство
   Южного федерального университета, 2008

А 38

оглАВлеНие

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................... 6

ГЛАВА 1 

ПОСТАНОВКА КРАЕВыХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ 
МАТЕРИАЛОВ И НЕКОТОРыЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
МОДЕЛИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОуПРуГОСТИ ........................................ 13

1.1. уравнения состояния электроупругих сред ......................... 13

1.2. Задача электроупругости о продольных колебаниях 

поперечно-поляризованного стержня ................................. 23

1.3. Задача о продольных колебаниях стержня 

в продольном электрическом поле ..................................... 32

1.4. Задача о сдвиговых колебаниях, возбуждаемых 

в пластинке с толщинной поляризацией ............................ 37

1.5. Задача о планарных колебаниях в тонкой пластинке, 

поляризованной по толщине, приближенные соотношения 
для констант упругости .................................................... 40

ГЛАВА 2 

МЕТОДы ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНСТАНТ 
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ ....................................... 48

2.1. Методы определения упругих пьезоэлектрических 

констант в динамическом режиме ..................................... 48

2.2. Методы определения пьезомодулей в статическом 

и квазистатическом режимах ............................................ 55

ГЛАВА 3

ИДЕНТИФИКАЦИЯ МОД КОЛЕБАНИЙ 
И ПОСТРОЕНИЕ ПОЛНОЙ МАТРИЦы СОВМЕСТИМыХ 
МАТЕРИАЛЬНыХ КОНСТАНТ ПЬЕЗОКЕРАМИКИ ......................... 59

3.1. Идентификация различных мод колебаний 

пьезокерамического прямоугольного 
призматического стержня ................................................. 60

3.1.1. Идентификация изолированных продольных 

и толщинных мод колебаний поперечнополяризованного стержня и экспериментальное 
определение их резонансов ...................................... 60

3.1.2. Теоретический анализ амплитудно-частотных 

характеристик и форм колебаний поперечнополяризованного стержня. Сопоставление 
расчетных данных с экспериментом ......................... 82

3.2. Методика и алгоритм построения полной матрицы 

совместимых материальных констант пьезокерамики, 
измерительное устройство для их реализации .................... 94

3.2.1. Методика и алгоритм определения 

полной матрицы констант ....................................... 94

3.2.2. Измерительное устройство для реализации 

методики определения констант ............................... 99

3.2.3. Результаты измерений и расчета 

компонент полной матрицы констант 
некоторых составов пьезокерамики 
и сравнительный анализ их с известными 
данными, оценка погрешностей .............................. 100

ГЛАВА 4

уСОВЕРШЕНСТВОВАННАЯ МЕТОДИКА 
И уСТРОЙСТВО ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО 
МОДуЛЯ d33 В КВАЗИСТАТИЧЕСКОМ РЕжИМЕ 
И АНАЛИЗ ДОСТОВЕРНОСТИ РЕЗуЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ .......... 113

4.1. Соотношения для расчета пьезомодуля dзз

и схема его определения ................................................. 113

4.2. усовершенствованная методика и устройство 

для определения пьезомодуля dзз
в квазистатическом режиме ............................................ 116

4.3. Анализ достоверности и погрешности 

результатов измерений dзз ................................................ 118

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................................................... 127

ЛИТЕРАТуРА ............................................................................. 129

ПРИЛОжЕНИЕ ........................................................................... 140

ВВедеНие

В настоящее время акустоэлектроника, как одно из приори
тетных направлений развития науки и техники (Постановление 
Правительства РФ от 21.07.96 г. № 2727/ п-П8), заняла прочное 
место среди других и продолжает бурно развиваться. Созданы и 
продолжают совершенствоваться разнообразные акусто- и пьезоэлектрические устройства, нашедшие широкое применение в радиоэлектронике, гидроакустике, приборостроении, в системах неразрушающего контроля.

Обзор устройств из пьезокерамических материалов (ПКМ), 

свойства и поведение при разнообразных воздействиях изложены в 
монографиях и статьях у. Мэзона, Е. Т. Смажевской, Н. Б. Фельдмана, В. З. Бородина, Е. Г. Фесенко, О. П. Крамарова, Р. И. Кажиса, у. Кэди, Р. Г. Джагупова, А. А. Ерофеева, А. А. Ананьева, 
В. В. Лавриненко и др. [1–9]. Вначале пьезокерамика нашла применение в гидроакустике: от гидрофонов для приема гидроакустических сигналов для приемопередающих акустических станций, у 
которых акустическая антенна представляет собой цилиндр диаметром 2–4,5 м, на поверхности которого расположены несколько 
сот пьезоэлементов (например, антенна гидролокатора AN/SQS-26 
ВМС США содержит 576 пьезоэлементов).

В дальнейшем бурное развитие пьезоэлектроники привело к со
зданию пьезотрансформаторов, пьезодвигателей, линий задержки и 
многого другого [10]. Понятно, что разнообразные типы устройств 
из ПКМ работают в широком диапазоне давлений и температуры.

Достижение надежной работы и выбор оптимальных условий 

функционирования устройств из ПКМ возможно лишь при полном 
изучении свойств таких материалов, а это привело к расширению 
фронта их исследований. Этой теме посвящено много теоретических и экспериментальных работ [11–29].

Среди наиболее значимых работ по разработке математических 

моделей в электроупругости необходимо отметить ряд основополагающих монографий и статей И. И. Воровича, А. В. Белоконя, 
В. Т. Гринченко, В. Л. Карлаша, В. В. Мелешко, А. В. Наседкина, 
Б. С. Аронова, Б. А. Кудрявцева, В. З. Партона, Н. А. Сеника, 
R. Holland, H. F. Tiersten, R. Bechman, А. О. Ватульяна, А. Ф. улит

ко, Ю. А. устинова, Н. А. Шульги и др. [10, 30–42], посвященных 
постановкам и методам решения задач электроупругости.

Для инженерных расчетов хорошо зарекомендовала себя и ис
пользуется линейная теория электроупругости, в которой свойства 
ПКМ описываются с помощью набора упругих и пьезоэлектрических модулей и диэлектрических проницаемостей, причем предполагается, что пьезокерамическое тело представляет собой однородную среду.

Проблема определения полного набора совместимых материаль
ных констант, характеризующих физические свойства анизотропных материалов с трансверсально-изотропной симметрией, таких 
как ПКМ, в настоящее время не решена в полном объеме с требуемой степенью достоверности значений констант.

Тем не менее, в настоящее время на практике используется 

стандартный экспериментальный метод «резонанса–антирезонанса 
(Р–А)», базирующийся на соотношениях, выведенных из линейной теории электроупругости [43–45].

Метод Р–А позволяет рассчитать полный набор несовместимых 

констант ПКМ, описывающих, по существу, свойства пьезоэлементов, которые отличаются от материальных констант исходного материала. Значения констант, рассчитываемых по методу 
Р–А, вполне достоверны для конкретных типов пьезопреобразователей, геометрия которых совпадает с формой образцов, использованных для расчета определенной константы, однако на 
их значения накладываются погрешности, вызванные разбросом 
свойств образцов. В силу того, что константы ПКМ определяются 
на образцах, выполненных по различным технологическим режимам, они не могут считаться совместимыми, так как большинство 
экспериментальных данных свидетельствует о существенной неоднородности физических свойств ПКМ, возникающей в процессе 
спекания и поляризации пьезоэлементов, имеющих различные 
геометрические формы.

Методы определения совместимых материальных констант, по
явившиеся в последние годы [12, 46], позволяют рассчитать набор 
констант, как правило, для монокристаллов.

Известны работы С. В. Богданова [47], в которых набор кон
стант пьезокристаллов определяется акустическим методом на 
4 типах образцов, и при этом не достигается совместимость значений констант. В работах [12–15] полный набор констант пьезоке

рамики определяется ультразвуковым методом на 4-х образцах одного материала, и также не достигается их полная совместимость.

В. Н. Лазуткин и В. А. Сухова [12] предложили метод опреде
ления полного набора констант пьезокерамики методом Р–А на 
4-х типах образцов, вырезанных из одного исходного. Однако на 
одном из этих типов образцов удаляются старые и наносятся на 
других гранях новые электроды, внося тем самым дополнительную 
погрешность, не обеспечивающую полную совместимость набора 
констант.

Известна, наконец, работа H. Wang и W. Cao [46], в которой 

предложен иммерсионный метод определения полного набора констант пьезокерамики по фазовым скоростям поляризованных поразному образцах на частоте 30 МГц. Здесь также не обеспечивается полная совместимость набора констант, причем константы, 
измеренные на высоких частотах, не всегда совпадают с их значениями, измеренными на килогерцевых рабочих частотах большинства пьезопреобразователей, что ранее было показано в работах А. В. Турика [25].

Кроме того, ни один из известных методов, в том числе и наибо
лее применяемые метод Р–А и импульсный, не позволяют определить константы в широком диапазоне повышенных температур с 
приемлемой для практики погрешностью. В то же время многие 
пьезопреобразователи используются в зонах повышенных температур различных объектов, таких как, например, двигатели летательных аппаратов и агрегаты энергетики.

Актуальность рассматриваемой в монографии научной задачи 

заключается в том, что методика и алгоритм определения полного 
набора материальных констант пьезокерамики, обеспечивающие 
полную их совместимость, крайне необходимы для совершенствования физических моделей пьезоэлектричества, разработки научно 
обоснованной технологии спекания и поляризации заготовок из 
пьезокерамики, создания методов расчета новых типов пьезопреобразователей.

В частности, без определения полного набора совместимых кон
стант пьезокерамики весьма затруднительно решение ряда важных научно-технических задач, таких как:

1) выбор режимов прессования, спекания и поляризации пьезо
керамики, позволяющих получить максимальные коэффициенты 
электромеханической связи и предельно высокую чувствитель

ность в пьезоэлементах в заданных диапазонах рабочих частот и 
температур;

2) разработка многорезонансных пьезопреобразователей стерж
невого и дискового типа с повышенной чувствительность на нескольких частотах резонансов различных мод колебаний, генерируемых на одном и том же пьезоэлементе. С помощью таких 
преобразователей можно обнаруживать дефекты, имеющие заранее 
заданные размеры, что весьма важно для систем технической диагностики конструкций;

3) создание пьезокомпозитных элементов интеллектуальных 

конструкций (фермы спутниковых антенн и оптических зеркал, 
лопасти несущего винта вертолета), включающих в себя заформованные в композит пьезоэлементы и работающих в режиме максимальных амплитуд различных мод колебаний на одном типе 
образца, расчет и моделирование которых выполняется после определения набора совместимых констант пьезокерамики и композита, описывающих электрофизические характеристики композитного элемента определенной геометрической и физической 
конфигурации.

Предложенный нами ранее метод определения полной матрицы 

совместимых материальных констант пьезокерамики, основанный 
на теоретико-экспериментальной идентификации различных мод 
колебаний в тонкой прямоугольной призме в совокупности с методом изгибно-крутильных колебаний стержневых пьезоэлементов 
из поляризованной и неполяризованной керамики при повышенных температурах, позволяет в значительной степени исключить 
отмеченные выше недостатки известных методов [56].

Новизна методов, изложенных в работе, подтверждена автор
скими свидетельствами РФ на изобретения [60, 61].

Монография состоит из введения, четырех глав, заключения, 

списка литературы и приложения. 

Глава 1 посвящена постановке краевых задач для пьезоэлектри
ческой среды на основе четырех эквивалентных форм определяющих соотношений для линейного пьезокерамического материала, 
выведенных из ряда термодинамических потенциалов: внутренней энергии, электрической и механической энтальпии [1, 2, 3], а 
также описанию ряда математических моделей электроупругости. 
В разделе 1.1 приведен вывод уравнений состояния электроупругих сред, описывающих электроупругие свойства пьезокерамики. 

уравнения выведены для случая выбора в качестве независимых 
переменных механических напряжений и напряженности электрического поля, которые записываются в тензорной форме и были 
после замены индексов преобразованы в матричную форму. В результате была получена упругопьезоэлектрическая матрица констант пьезокерамики [2, 10], компоненты которой включают в себя 
10 независимых констант, достаточных для описания физических 
свойств пьезокерамики. С учетом того, что пьезоэлектрические 
материалы являются трансверсально-изотропной средой кристаллографического класса 6mm, имеющих полярную ось упругой 
симметрии бесконечного порядка (соблюдаются условия трансверсально-изотропной симметрии), очевидно, что для описания электромеханических свойств пьезокерамики достаточно знать пять 
независимых упругих постоянных, две диэлектрические проницаемости и три пьезоэлектрические постоянные. В разделе 1.2–1.5 
приведены математические модели задач электроупругости, используемые в экспериментах. В том числе, в 1.2 дано решение 
задачи о продольных колебаниях пьезокерамического прямоугольного призматического стержня, где показано, что из наблюдаемых 
в спектре резонансов 4-х типов один из них принадлежит пьезоэлектрической поперечной моде CHt, а другой – толщинной моде 
ПСр. При этом идентификация этих мод колебаний возможна при 
определенных геометрических размерах пьезоэлементов. Оценка 
степени достоверности результатов идентификации мод CHt и ПСр
была проведена на основе численных экспериментов по расчету 
АЧХ стержня и пластинки и построению форм их колебаний с 
помощью конечно-элементного программного комплекса ACELAN 
[68]. Численные эксперименты подтвердили достаточно высокую 
степень надежности результатов измерений.

Далее, в следующих разделах 1.3–1.5 приведены решения задач 

электроупругости о продольных колебаниях стержня в продольном электрическом поле, о сдвиговых колебаниях, возбуждаемых 
в пластинке, с толщинной поляризацией, а также задачи о планарных колебаниях в тонкой пластинке, поляризованной по толщине. 
Там же дан вывод соотношений для расчета полного набора констант пьезокерамических материалов. 

В главе 2 приведен краткий анализ известных эксперименталь
ных и аналитических методов определения упругих и пьезоэлектрических констант пьезокерамики. В разделе 2.1 описаны методы 

определения упругих и пьезоэлектрических констант в динамическом режиме, систематизация которых выполнена по одному из 
значимых параметров – частоте нагружения образца исследуемого 
материала. Сравнительный анализ этих методов показал, что с помощью метода Р–А [43–45] можно определить полный набор констант пьезокерамики, которые не являются совместимыми в силу 
того, что частоты резонансов при этом измеряются на трех различных по геометрии и степени поляризации образцах. В меньшей 
степени это относится к импульсному методу [65, 66] и методу фазовых скоростей [67], в которых измерения скоростей проводятся 
на двух разных образцах, что опять-таки не обеспечивает полной 
совместимости констант. Кроме того, при использовании этих методов можно рассчитать константы, описывающие свойства пьезоэлементов разной конфигурации, отличающиеся от свойств самого 
материала пьезокерамики. В разделе показано, что с помощью метода Р–А невозможно определить константы неполяризованной керамики, а температурные зависимости констант при повышенных 
температурах могут быть получены с большими погрешностями. 
Для исключения недостатков описанных известных методов нами 
разработана усовершенствованная методика определения полной 
матрицы совместимых материальных динамических констант пьезокерамики, дополненная новой методикой определения модулей 
упругости поляризованной и неполяризованной керамики при повышенных температурах методом изгибно-крутильных колебаний. 
В разделе 2.2 приведен анализ известных методов измерения пьезомодулей пьезокерамики, из которого следует, что квазистатические методы позволяют измерять пьезоконстанты с меньшими 
погрешностями, чем другие сравниваемые методы.

Глава 3 посвящена проблеме идентификации мод колебаний и 

построению на их основе полной матрицы совместимых материальных констант пьезокерамики. Раздел 3.1 включает в себя результаты исследований по идентификации различных мод колебаний пьезокерамического прямоугольного призматического стержня, в том 
числе продольных и толщинных мод поперечно-поляризованного 
стержня. Здесь приведены результаты экспериментального определения частот резонансов этих мод, а также теоретический анализ 
амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и форм колебаний 
стержня, приведено сопоставление расчетных данных с экспериментом. В разделе 3.2 описана методика и алгоритм определения 

полной матрицы совместимых материальных констант пьезокерамики, а также измерительное устройство для их реализации. Там 
же приведены результаты измерений компонент полной матрицы 
констант пьезокерамики составов ПКР-1, ПКД-124, ЦТБС-3, дана 
оценка их погрешностей, влияние параметров микроструктуры 
пьезокерамики на константы упругости, а также сравнительный 
анализ полученных значений с известными данными.

В главе 4 описаны усовершенствованная методика и устройство 

для определения пьезоэлектрического модуля d33 в квазистатическом режиме, причем здесь вначале приведены выведенные нами 
соотношения для расчета пьезомодуля d33, описана методика и результаты измерений с последующей оценкой их достоверности и, в 
заключение, сделан расчет погрешностей значений пьезомодуля. 

глАВА 1

поСтАНоВкА крАеВых зАдАч 
для пьезоэлектричеСких МАтериАлоВ 
и Некоторые МАтеМАтичеСкие 
Модели зАдАч электроУпрУгоСти

1.1. Уравнения состояния электроупругих сред

Поляризация диэлектрика – это явление, связанное с тем, что в 

твердом диэлектрике, помещенном в электрическое поле, возникают связанные заряженные частицы, способные под действием поля 
смещаться на малые расстояния, ограниченные их взаимодействием со всей кристаллической решеткой.

Если объемную плотность связанных зарядов в диэлектрике 

обозначить через 
, то вектор поляризации 
 с компонентами 

можно ввести с помощью равенства [36] 

, (i = 1, 2, 3).

Здесь и далее предполагается суммирование по повторяющимся 

индексам.

Вектор 
 называется вектором диэлектрической поляризации 

и определяет объемную плотность связанных зарядов, а также 
поверхностную плотность связанных зарядов, распределенных на 
поверхности поляризованного диэлектрика. Физический смысл 
вектора поляризации можно раскрыть через полный дипольный 
момент всех связанных зарядов в диэлектрике с объемом V

.

После подстановки в это выражение приведенной выше форму
лы для 
 можно получить 

.

Из этого следует, что полный дипольный момент всех связан