Эконометрика

ÂÛÑØÅÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÅ

ЭКОНОМЕТРИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва
ИНФРА-М
2006

ñåðèÿ îñíîâàíà â 1996 ã.

А.И. НОВИКОВ

Рекомендовано
Учебно-методическим объединением
по образованию в области экономики
и экономической теории в качестве учебного
пособия для студентов, обучающихся по направлению
521600 «Экономика» и экономическим специальностям

УДК 330.115(075.8)
ББК 65в6я73
       Н73

Рецензенты:
Б.И. Клячин, канд. физ.-мат. наук, доцент,
заведующий кафедрой математики Московской высшей школы бизнеса
М.Ю. Крылков, канд. техн. наук, доцент кафедры математики
Московского горного института

Новиков А.И.
Эконометрика: Учеб. пособие. — М.: ИНФРА-М,
2006. — 106 с. — (Высшее образование).
ISBN 5-16-001613-9

Учебное пособие содержит систематическое изложение основ
эконометрики, подготовленное в соответствии с требованиями государственного стандарта. Рассмотрены линейная модель парной
и множественной регрессии, проверка гипотез, гетероскедастичность и автокорреляция ошибок. Отдельные главы посвящены динамическим моделям и системам одновременных уравнений.
Книгу отличает доступность изложения, основанная на простых
правилах суммирования и правилах расчета ковариации.
Предназначено для студентов экономических вузов, ориентированных на прикладные задачи моделирования и прогнозирования в
экономике.

ББК 65в6я73

ISBN 5-16-001613-9
© А.И. Новиков, 2003

Н73

Ïðåäèñëîâèå

В современных программах подготовки экономистов курс эконометрики наряду с микро- и макроэкономикой занял одно из ключевых мест.
Экономисты используют количественные данные для наблюдения за развитием экономики, для ее анализа и прогнозов. Набор статистических методов, используемых для этих целей, и составляет в
совокупности эконометрику.
При изложении курса эконометрики используется минимальный
математический аппарат, основанный на понятиях и свойствах ковариации и дисперсии. В начале курса приведены необходимые элементы математической статистики.
Все излагаемые методы и подходы в эконометрике иллюстрируются примерами и упражнениями с использованием пакета анализа
данных Excel.
Эта книга предназначена студентам, впервые приступающим к
изучению эконометрики.

Ââîäíàÿ ãëàâà

ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÝÊÎÍÎÌÅÒÐÈÊÓ

Закономерности в экономике выражаются в виде зависимостей
экономических показателей и математических моделей их поведения.
Такие зависимости и модели могут быть получены только путем обработки реальных статистических данных, с учетом внутренних связей и случайных факторов.
Эконометрика — наука, изучающая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике методами математической
статистики.
Цель эконометрики — эмпирический вывод экономических законов.
Задачи эконометрики — построение экономических моделей и
оценивание их параметров, проверка гипотез о свойствах экономических показателей и формах их связи.
Эконометрический анализ служит основой для экономического
анализа и прогнозирования, создавая возможность для принятия
обоснованных экономических решений.

ТИПЫ ДАННЫХ

При моделировании экономических процессов оперируют двумя типами данных: пространственными и временными.
Пространственные данные — это данные по какому-либо экономическому показателю, полученные от разных однотипных объектов
(фирм, регионов и т.п.), но относящиеся к одному и тому же моменту
времени (пространственный срез). Например, данные об объеме производства, количестве работников, доходе разных фирм в один и тот
же момент времени.
Временные ряды — это данные, характеризующие один и тот же
объект в различные моменты времени (временной срез). Например,
ежеквартальные данные об инфляции, средней заработной плате,
данные о национальном доходе за последние годы.
Отличительная черта временных данных — упорядоченность во
времени. Кроме того, наблюдения в близкие моменты времени часто бывают зависимы.

Любые экономические данные представляют собой характеристики какого-либо экономического объекта. Они формируются под
воздействием множества факторов, не все из которых доступны
внешнему контролю. Неконтролируемые (неучтенные) факторы
обусловливают случайность данных, которые они определяют.
Поскольку экономические данные имеют статистическую природу, для их анализа и обработки необходимо применять специальные методы.

КЛАССЫ МОДЕЛЕЙ

Можно выделить три основных класса моделей: модели временных рядов, регрессионные модели с одним уравнением и системы
одновременных уравнений.
К моделям временных рядов относятся модели тренда и модели сезонности. Тренд представляет собой устойчивое изменение уровня
показателя в течение длительного времени. Сезонность характеризует устойчивые внутригодовые колебания уровня показателя.
Кроме того, к этому классу относится множество более сложных
моделей, таких, например, как модель адаптивного прогноза, модель
авторегрессии.
 Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного ряда исходя только из его предыдущих значений.
В регрессионных моделях с одним уравнением объясняемая переменная представляется в виде функции от объясняющих переменных. Примером служит модель спроса на некоторый товар в зависимости от его цены и дохода.
По виду функции регрессионные модели делятся на линейные и
нелинейные. Существуют эффективные методы оценки и анализа линейных регрессионных моделей. Анализ линейных регрессионных
моделей является базовым в прикладной эконометрике.
 Область применения регрессионных моделей, даже линейных,
значительно шире, чем моделей временных рядов.
Системы одновременных уравнений описываются системами уравнений, состоящими из тождеств и регрессионных уравнений, в каждом из которых помимо объясняющих переменных содержатся
объясняемые переменные из других уравнений системы. Примером
служит модель формирования доходов.
Все три класса моделей могут использоваться при моделировании экономических процессов.
Обычно предполагают, что все факторы, не учтенные явно в экономической модели, оказывают на объект некое результирующее воздействие, величина которого задается случайной компонентой.

Введение случайной компоненты в экономическую модель делает ее доступной для эмпирической проверки на основе статистических данных.

ОЦЕНИВАНИЕ МОДЕЛЕЙ

После того как экономическая модель сформулирована, необходимо проверить совместимость модели с реальными экономическими данными. При этом следует различать два уровня анализа: теоретический и эмпирический.
На теоретическом уровне предполагаем, что известны все возможные реализации экономических показателей (генеральная совокупность).
 Зная или предполагая статистические свойства генеральной совокупности, можно теоретически определить параметры модели.
На практике множество возможных исходов неизвестно, можно
наблюдать только случайно выбранные значения интересующих показателей.
На эмпирическом уровне, располагая лишь выборочными значениями экономических показателей (выборочная совокупность), можно оценить, а не определить точно значения параметров модели. Эти
оценки являются случайными.
 Цель оценивания — получить как можно более точно значения
неизвестных параметров генеральной совокупности.

ТИПЫ ЗАВИСИМОСТЕЙ

В экономических исследованиях одной из основных задач является анализ зависимостей между переменными. Зависимость может
быть строгой (функциональной) либо статистической.
Функциональная зависимость задается в виде точной формулы,
в которой каждому значению одной переменной соответствует строго
определенное значение другой, воздействием случайных факторов
при этом пренебрегают.
В экономике функциональная зависимость между переменными
проявляется редко.
Статистической зависимостью называется связь переменных, на
которую накладывается воздействие случайных факторов. При этом
изменение одной переменной приводит к изменению математического ожидания другой переменной.
Уравнение регрессии — это формула статистической связи между
переменными. Если эта формула линейна, то имеем линейную регрессию.

Формула статистической связи д в у х  переменных называется
парной регрессией, зависимость от  н е с к о л ь к и х  переменных —
множественной регрессией.
Приведем необходимые элементы математической статистики,
используемые в эконометрике.

ÝËÅÌÅÍÒÛ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ

ОПЕРАЦИЯ СУММИРОВАНИЯ

Пусть величина X задается последовательностью данных x1, x2, …, xn,

каждое из которых можно записать как xi, i
n
= 1,
.

Сумма этих чисел обозначается следующим образом:

 
    
x
x
x
x
i
n
i

n
=
+
+
+
=∑
1
2
1
...
, причем  

    
x
x
i
j
j

n

i

n
=
=
=
∑
∑
1
1
.

Если из контекста ясно, каковы начальный и конечный суммируемые члены, то часто используют сокращенные обозначения:

     
x
x
x
i
i
i

n
=
=
∑
∑
∑
=1
.

Сумма квадратов этих чисел обозначается следующим образом:

    x
x
x
x
i
n
2
1
2
2
2
2
∑
=
+
+
+
...
.

Обозначим:

x
n
xi
=
∑
1

 — среднее значение величины X;

x
n
xi
2
2
1
=
∑
 — среднее значение величины X 2;

xy
n
x y
i
i
=
∑
1

 — среднее значение величины XY.

Имеет место неравенство

x
x
( ) ≤
2
2.

Правила суммирования (a, b — константы):
1. 
a
na
=
∑
.

2. 
bx
b
x
bnx
i
i
=
=
∑
∑
.

3. 
a
bx
na
bnx
i
+
(
) =
+
∑
.

4. 
x
y
x
y
n x
y
i
i
i
i
+
(
) =
+
=
+
(
)
∑
∑
∑
.

5.
x
x
i −
(
) =
∑
0.

6. 1
2
2
2
n
x
x
x
x
i −
(
) =
− ( )
∑
.

7. 1
n
x
x
y
y
xy
x y
i
i
−
(
)
−
(
) =
−
∑
.

Упражнение. Докажите эти правила.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной величиной (переменной) называется величина, которая под воздействием случайных факторов может с определенными
вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.
Случайные величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения — малыми.
 Для полной характеристики случайной величины должны быть
указаны не только все ее значения, но и их вероятности.
Универсальным способом задания случайной величины X является задание ее функции распределения.
Функцией распределения F (x) случайной величины X называется
вероятность того, что величина X принимает значение меньшее x, т.е.

F (x) = P (X < x), 
x ∈ R.

Свойства функции распределения:
1. 0 ≤ F (x) ≤ 1 при любых x ∈ R.
2. P (x1 ≤ X ≤ x2) = F (x2) – F (x1).
3. F (x) — неубывающая функция.

4. 

    
lim
( )
,
lim
( )
.
x
x
F x
F x
→−∞
→∞
=
=
0
1

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.
1. Дискретной называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения. Число возможных значений дискретной случайной величины к о н е ч н о  или
с ч е т н о.

Дискретную случайную величину удобнее задавать не в виде функции распределения, а в виде ряда распределения.
При табличном задании ряда распределения первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины, а вторая —
соответствующие им вероятности, т.е.

    

x
p
x
p

1

1

2

2

...
... ,

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟   где     p
P X
x
p
i
i
i
=
=
(
)
=
∑
,
.1

Графическое изображение ряда распределения называется полигоном распределения.
2. Непрерывной называется случайная величина, множество значений которой непрерывно заполняет некоторый числовой промежуток. Число возможных значений непрерывной случайной величины  б е с к о н е ч н о.
 Задать непрерывную случайную величину рядом распределения
невозможно, поэтому ее задают функцией распределения F (x).
Вместо функции распределения F (x) для непрерывной случайной величины обычно используется плотность распределения вероятностей f (x).
Плотностью распределения f (x) непрерывной случайной величины
называется производная от функции распределения, т.е. f (x) = F'(x).
Из определения производной вытекает вероятностный смысл
плотности распределения:

f x
F x
F x
x
F x
x
P x
X
x
x
x
x
x
( )
( )
lim
(
)
( )
lim
(
) ,
=
′
=
+
−
=
<
<
+

→
→
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
0
0

т.е. предел отношения вероятности попадания случайной величины X в интервал (x, x + Δx) к длине этого интервала при Δx → 0 равен значению плотности распределения вероятностей f (x).
Из определения плотности распределения следует, что функция
распределения F (x) является первообразной для плотности распределения f (x).
Свойства плотности распределения:

1.  f (x) ≥ 0 при любых x ∈ R.

2. 

    
P x
X
x
f x
x
x

x
(
)
( )
.
1
2

1

2
≤
≤
= ∫
d

3. 

    
f x
x
( )
.
d =
−∞

∞
∫
1

В основе математической статистики лежат понятия генеральной
и выборочной совокупностей.
Генеральная совокупность — это множество всех значений (исходов) случайной величины, которые она может принять в процессе наблюдения. Например, данные о доходах всех жителей страны.
Выборочная совокупность (выборка) — это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности.
Для любой случайной величины важную роль помимо функции
распределения играют числовые характеристики ее распределения.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

I. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им
вероятности, т.е.

  M X
x p
i
i
(
)
,
= ∑

где суммирование осуществляется по всем возможным значениям
случайной величины.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется выражением

    M x
x f x
x
( )
( )
,
= ∫
d

где интегрирование осуществляется на всем интервале, в котором
определена f (x).
Математическое ожидание случайной величины — это среднее ее
значение по генеральной совокупности, обозначается M(X ) = μx.
Геометрически математическое ожидание случайной величины —
это центр ее распределения.

Свойства математического ожидания (a, b — константы; X, Y —
случайные величины):
1. M(a) = a.
2. M(bX ) = bM(X ).
3. M(a + bX ) = a + bM(X ).
4. M(X + Y ) = M(X ) + M(Y ).
5. M(X – μx) = 0.