Методы нелинейной математической физики

Н.А. КУДРЯШОВ  

2010

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ 
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Н.А. Кудряшов
Методы нелинейной математической физики: Учебное пособие
/ Н.А. Кудряшов– Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект»,
2010. – 368 с.
ISBN 9785915590884

Основное внимание в книге уделено методам построения аналитических
решений нелинейных дифференциальных уравнений. Для уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния: уравнения Кортевега—де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Синус—Гордона — представлены пары Лакса и преобразования Бэклунда, а также изложены схемы
решения задач Коши. Для ряда других нелинейных дифференциальных уравнений предложены методы нахождения точных решений.
Для демонстрации методов, представленных в книге, выбраны наиболее
популярные нелинейные дифференциальные уравнения: уравнение Кортевега–де–Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Синус–Гордона, уравнение Курамото–Сивашинского, уравнение Гинзбурга–Ландау, уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова, уравнение Бюргерса–Хаксли,
уравнение нелинейной теплопроводности и хорошо известные системы дифференциальных уравнений: система Лоренца и система Хенона–Хейлеса.
Книгу можно рассматривать как справочник по наиболее известным нелинейным дифференциальным уравнениям и методам их решения. В ней
дается вывод известных нелинейных дифференциальных уравнений и предлагается информация о физических процессах, при описании которых они
встречаются.
Предназначена для студентов, аспирантов и научных работников, интересующихся нелинейными математическими моделями, теорией солитонов и
методами построения решений нелинейных дифференциальных уравнений.

ISBN 9785915590884
© 2010, Н.А. Кудряшов
© 2010, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 1
Нелинейные математические модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.1.
Уравнение Кортевега—де Вриза для описания волн на воде . . . .
13
1.2.
Иерархия уравнений Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.3.
Уравнение Кадомцева–Петвиашвили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.4.
Модель для описания возмущений в цепочке одинаковых масс . .
23
1.5.
Иерархия модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза . .
29
1.6.
Уравнение Буссинеска. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.7.
Фазовая и групповая скорости волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.8.
Нелинейное уравнение Шредингера для огибающей волнового пакета
34
1.9.
Уравнение Гинзбурга–Ландау . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.10. Уравнение Синус–Гордона для описания дислокаций в твердом теле
38
1.11. Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса . . . . . . .
42
1.12. Иерархия уравнения Бюргерса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.13. Уравнение Кортевега—де Вриза—Бюргерса для описания волн в
вязкоэластичной трубке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1.14. Уравнение Курамото–Сивашинского для описания волновых процессов
53
1.15. Уравнения для описания волн в жидкости с пузырьками газа . . .
55
1.16. Уравнение для описания волн в жидкости с конвекцией . . . . . .
64
1.17. Уравнение
пятого
порядка
для
описания
волн
под
ледяным
покровом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.18. Нелинейное уравнение шестого порядка для описания процессов
турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1.19. Уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова . . . . . . . . . . .
66
1.20. Уравнение Бюргерса–Хаксли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
1.21. Уравнения фильтрации газа в пористой среде . . . . . . . . . . . . . .
67
1.22. Нелинейное уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.23. Модель Хенона–Хейлеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.24. Система Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

Оглавление

Глава 2
Элементы группового анализа дифференциальных уравнений
82

2.1.
Однопараметрическая группа преобразований Ли . . . . . . . . . . .
82
2.2.
Касательное векторное поле. Уравнения Ли . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.3.
Инварианты. Инфинитезимальный оператор группы преобразований
85
2.4.
Инвариантные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.5.
Групповой анализ дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . .
89
2.6.
Группы преобразований, допускаемые обыкновенным дифференциальным уравнением 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
2.7.
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений, допускающих группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
2.8.
Группы преобразований для линейного уравнения теплопроводности
98
2.9.
Группы преобразований для нелинейного уравнения теплопроводности
101
2.10. Группы преобразований для уравнения Кортевега—де Вриза . . . .
103

Глава 3
Аналитические свойства нелинейных дифференциальных
уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105

3.1.
Классификация особых точек функций комплексной переменной .
105
3.2.
Неподвижные и подвижные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . .
108
3.3.
Уравнения, не имеющие решений с критическими подвижными
особыми точками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
3.4.
Задача Ковалевской о волчке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
3.5.
Определение свойства Пенлеве и уравнения Пенлеве. . . . . . . . .
117
3.6.
Второе уравнение Пенлеве как модель электрического поля в полупроводниковом диоде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
3.7.
Алгоритм Ковалевской анализа дифференциальных уравнений . .
122
3.8.
Локальные представления решений дифференциальных уравнений
127
3.9.
Трансцендентная зависимость решений первого уравнения Пенлеве
134
3.10. Преобразования Бэклунда для решений второго уравнения Пенлеве
138
3.11. Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве
140
3.12. Полиномы Яблонского–Воробьева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
3.13. Дискретные уравнения Пенлеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
143
3.14. Пары Лакса для уравнений Пенлеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
3.15. Высшие аналоги уравнений Пенлеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
3.16. Алгоритм Конта–Форди–Пикеринга для анализа уравнений на тест
Пенлеве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.17. Применение алгоритма Конта–Форди–Пикеринга . . . . . . . . . . .
152
3.18. Автомодельные решения уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . .
155

Оглавление
5

3.19. Автомодельные решения уравнения Синус–Гордона . . . . . . . . . .
156
3.20. Тест Абловица–Рамани–Сигура для нелинейных уравнений в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
3.21. Метод Вайса–Табора–Карневейля для анализа нелинейных уравнений
161
3.22. Пенлеве-анализ
уравнения
Бюргерса
методом
Вайса–Табора–
Карневейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.23. Анализ уравнения Кортевега—де Вриза методом Вайса–Табора–
Карневейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.24. Построение пары Лакса для уравнения Кортевега—де Вриза методом Вайса–Табора–Карневейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166

Глава 4
Методы решения интегрируемых нелинейных уравнений
в частных производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168

4.1.
Общие, частные и точные решения дифференциальных уравнений
168
4.2.
Общее решение уравнения Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
4.3.
Простейшие решения уравнения Бюргерса . . . . . . . . . . . . . . . .
172
4.4.
Решение задачи Коши для уравнения Бюргерса . . . . . . . . . . . .
173
4.5.
Точные решения уравнений иерархии Бюргерса . . . . . . . . . . . .
175
4.6.
Автомодельные решения уравнений иерархии Бюргерса . . . . . . .
182
4.7.
Простейшие решения уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . . . .
186
4.8.
Преобразование Миуры и пара Лакса для уравнения Кортевега—
де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
4.9.
Законы сохранения для уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . . .
193
4.10. Построение иерархии уравнений Кортевега—де Вриза . . . . . . . .
195
4.11. Отображения и преобразования Бэклунда . . . . . . . . . . . . . . . .
197
4.12. Преобразования Бэклунда для уравнения Кортевега—де Вриза . .
199
4.13. Метод обратной задачи рассеяния решения задачи Коши для уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
4.14. Метод Хироты для нахождения солитонных решений уравнения
Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203
4.15. Решения уравнения Кортевега—де Вриза пятого порядка в переменных бегущей волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
4.16. Солитонные, рациональные и специальные решения уравнений
иерархии Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
4.17. Простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега—
де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
4.18. Построение автомодельных решений модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
220
4.19. Преобразования Бэклунда для решений модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221

Оглавление

4.20. Применение метода Хироты для построения солитонных решений
модифицированного уравнения Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . .
222
4.21. Уединенные волны, описываемые нелинейным уравнением Шредингера, и групповой солитон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223
4.22. Преобразования Бэклунда для решений нелинейного уравнения
Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
4.23. Метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши нелинейного уравнения Шредингера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
4.24. Применение метода Хироты для нелинейного уравнения Шредингера
227
4.25. Простейшие решения уравнения Синус–Гордона и топологический
солитон . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
4.26. Преобразования Бэклунда для уравнения Синус–Гордона . . . . . .
231
4.27. Метод обратной задачи рассеяния для решения задачи Коши для
уравнения Синус–Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
4.28. Метод Хироты для построения солитонных решений уравнения
Синус–Гордона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

Глава 5
Методы построения точных решений нелинейных
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237

5.1.
Метод укороченных разложений для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
5.1.1.
Точные решения уравнения Бюргерса–Хаксли . . . . . . . .
238
5.1.2.
Точные решения обобщенного уравнения Кортевега—де Вриза
241
5.1.3.
Точные решения уравнения Кортевега—де Вриза—Бюргерса
243
5.2.
Упрощенный метод укороченных разложений для поиска точных
решений нелинейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . .
248
5.2.1.
Точные
решения
уравнения
Колмогорова–Петровского–
Пискунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
5.2.2.
Точные решения уравнения Гарднера с учетом диссипации
250
5.2.3.
Точные решения уравнения для нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
5.3.
Метод гиперболического тангенса для поиска точных решений
нелинейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
254
5.3.1.
Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка .
256
5.3.2.
Точные решения уравнения Гинзбурга–Ландау . . . . . . . .
257
5.3.3.
Точные решения уравнения Островского в переменных бегущей волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260
5.3.4.
Простейшее решение уравнения для генератора с жестким
возбуждением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262

Оглавление
7

5.4.
Метод простейших уравнений для поиска точных решений . . . .
263
5.4.1.
Уединенные волны, описываемые уравнением Курамото–
Сивашинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
5.4.2.
Периодические волны уравнения Курамото–Сивашинского
269
5.4.3.
Уединенные волны на поверхности жидкости с конвекцией
270
5.4.4.
Периодические волны на поверхности жидкости с конвекцией
271
5.5.
Применение многоугольников при построении точных решений . .
272
5.5.1.
Автомодельные решения уравнения Кортевега—де Вриза
пятого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
5.5.2.
Автомодельные
решения
модифицированного
уравнения
Кортевега—де Вриза пятого порядка. . . . . . . . . . . . . . . .
277
5.5.3.
Уединенные волны нелинейного эволюционного уравнения
шестого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
279
5.6.
Метод G′/G-разложения для поиска точных решений . . . . . . . .
283
5.7.
Метод экспоненциальных функций для поиска точных решений .
286
5.8.
Аналитические свойства системы уравнений Лоренца . . . . . . . .
288
5.8.1.
Тест Пенлеве для системы уравнений Лоренца . . . . . . . .
288
5.8.2.
Первые интегралы системы уравнений Лоренца . . . . . . .
292
5.8.3.
Точно решаемые случаи системы Лоренца . . . . . . . . . . .
295
5.8.4.
Частные решения системы уравнений Лоренца . . . . . . . .
297
5.9.
Аналитические свойства системы уравнений Хенона–Хейлеса . . .
300
5.9.1.
Тест на свойство Пенлеве для системы уравнений Хенона–
Хейлеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
5.9.2.
Точные решения системы уравнений Хенона–Хейлеса . . .
303
5.10. Решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений с
произвольной степенью нелинейности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
305
5.10.1. Точные решения обобщенного уравнения Бюргерса . . . . .
308
5.10.2. Точные
решения
обобщенного
уравнения
Кортевега—
де Вриза—Бюргерса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
5.10.3. Точные решения обобщенного уравнения Курамото–Сивашинского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
310
5.10.4. Точные волновые решения обобщенного эволюционного уравнения пятого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
5.11. Автомодельные решения задач нелинейной теплопроводности . . .
314
5.11.1. Автомодельные решения задачи о распространении тепловой волны от мгновенного точечного источника . . . . . . . .
314
5.11.2. Приближенные решения задачи нелинейной теплопроводности при заданной температуре на границе . . . . . . . . . . . .
316
5.11.3. Приближенные решения задачи нелинейной теплопроводности при экспоненциальной зависимости температуры от
времени на границе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
5.11.4. Автомодельные решения одномерной задачи при заданном
потоке на границе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323

Оглавление

5.12. Применение вычислительной среды MAPLE для поиска точных
решений нелинейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . .
328
5.13. Типичные ошибки, возникающие при построении точных решений
нелинейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .
333

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339

Именной указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346

ПРЕДИСЛОВИЕ

При описании процессов в физике, биологии, экономике,
химии и в ряде других наук используются нелинейные математические
модели, основу которых составляют нелинейные дифференциальные
уравнения. Детальное изучение нелинейных математических моделей,
как правило, проводится с помощью вычислительных экспериментов,
однако поиск возможных аналитических решений также является важным этапом исследования. Это объясняется тем, что при численном
моделировании задач возможно появление ошибок, которые могут быть
устранены при сравнении результатов с аналитическими решениями.
Аналитическое изучение нелинейных моделей часто используется при
анализе устойчивости разностных схем, по которым проводятся расчеты. Кроме того, найденные аналитические решения математических
моделей чрезвычайно полезны и сами по себе, поскольку в ряде случаев
их знание упрощает понимание изучаемых физических процессов и
позволяет оценить роль тех или иных параметров решаемой задачи.
В данной книге обсуждаются методы, основанные на работах
С. В. Ковалевской, А. Пуанкаре, П. Пенлеве и других выдающихся ученых. В настоящее время такие методы носят название методов Пенлеве
и являются предметом изучения аналитической теории дифференциальных уравнений. Подход, предложенный Пенлеве, является одним
из самых эффективных при построении точных решений нелинейных
дифференциальных уравнений.
Как нередко бывает в науке, направление, заданное Пенлеве, прошло и этап бурного развития, и последующее за ним забвение и, наконец, возрождение, когда многие подходы и методы были открыты вновь.
Однако в настоящее время методы Пенлеве стали мощным инструментом решения задач, и с их помощью даны ответы на многие вопросы
теории дифференциальных уравнений.
Для демонстрации методов, предложенных в книге, выбраны наиболее популярные нелинейные дифференциальные уравнения: уравнение
Бюргерса, уравнение Кортевега—де Вриза, нелинейное уравнение Шре

Предисловие

дингера, уравнение Синус–Гордона, уравнение Кортевега—де Вриза—
Бюргерса, уравнение Курамото–Сивашинского, уравнение Гинзбурга–
Ландау, уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова, уравнение
Бюргерса–Хаксли, нелинейное уравнение теплопроводности и знаменитые системы уравнений: система Лоренца и система Хенона–Хейлеса.
Книгу можно рассматривать как справочник по наиболее известным
нелинейным дифференциальным уравнениям и методам их решения.
В ней дается краткая история открытия известных нелинейных дифференциальных уравнений и предлагается информация о физических
процессах, при описании которых эти уравнения встречаются. Отличительной особенностью книги является тот факт, что основное внимание
в ней уделено построению точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Еще одна отличительная черта книги — для
успешного и эффективного применения представленных в ней методов
следует использовать математические пакеты вычислений, такие, как
MAPLE и MATHEMATICA.
Уравнения, рассматриваемые в данной книге, условно можно разделить на два класса. К первому классу относятся нелинейные уравнения
в частных производных, для которых может быть решена задача Коши
при начальном условии достаточно общего вида. О таких уравнениях
будем говорить как о точно решаемых нелинейных уравнениях. В зарубежной литературе, а в последнее время и в русскоязычной об уравнениях этого типа говорят как об интегрируемых уравнениях. Для наиболее популярных нелинейных уравнений математической физики —
Кортевега—де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и Синус–
Гордона — можно сказать, что они являются и точно решаемыми, и интегрируемыми нелинейными дифференциальными уравнениями. Точно
решаемых нелинейных уравнений в частных производных в настоящее
время известно достаточно много. Строго говоря, их бесконечно много, если принять во внимание тот факт, что каждому интегрируемому
уравнению соответствует целая иерархия уравнений.
Второй класс уравнений условно можно назвать классом частично
интегрируемых уравнений. Задача Коши для них в общем случае не
решается. При поиске точных решений уравнений указанного класса
обычно используются автомодельные переменные или переменные бегущей волны. Задача Коши для таких уравнений может быть решена
только для конкретного, как правило, заранее неизвестного начального
условия.
Предлагаемая читателю книга состоит из пяти разделов. В первом
приводятся наиболее популярные нелинейные дифференциальные уравнения (уравнение Кортевега—де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Синус–Гордона, уравнение Бюргерса, уравнение Кура

Предисловие
11

мото–Сивашинского и др.) и известные нелинейные системы дифференциальных уравнений. Предлагаются выводы некоторых уравнений
и дается информация о физических процессах, при описании которых
встречаются обсуждаемые дифференциальные уравнения.
Во втором разделе обсуждаются элементы группового анализа дифференциальных уравнений. Решения нелинейных дифференциальных
уравнений в частных производных часто находятся путем перехода к
обыкновенным дифференциальным уравнениям и использования инвариантных переменных, полученных с помощью групп преобразований.
Применение методов теории группового анализа в настоящее время
детально изложено в целом ряде книг (см., например, монографии [47,
104,105]), здесь же данный раздел носит вспомогательный характер.
В третьем разделе книги обсуждаются аналитические свойства нелинейных дифференциальных уравнений. В этом разделе описаны наиболее общепринятые в настоящее время алгоритмы анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на выполнение свойства Пенлеве.
Представлены шесть уравнений Пенлеве и их свойства, рассматривается связь нелинейных уравнений в частных производных с обыкновенными дифференциальными уравнениями, обладающими свойством
Пенлеве.
В четвертом разделе предложены методы решения широко известных нелинейных уравнений в частных производных: уравнения Бюргерса, уравнения Кортевега—де Вриза, модифицированного уравнения
Кортевега—де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и уравнения
Синус–Гордона. Задача Коши для перечисленных уравнений решается
методом обратной задачи рассеяния, но их простейшие решения можно найти с помощью перехода к обыкновенным дифференциальным
уравнениям, используя переменные бегущей волны. Для уравнения
Кортевега—де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и уравнения
Синус–Гордона предложены пары Лакса, позволяющие решать задачи
Коши для этих уравнений, и даются выводы преобразований Бэклунда.
В этом же разделе обсуждается метод обратной задачи рассеяния,
применяемый при решении задачи Коши для уравнений Кортевега—
де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Синус–
Гордона. Рассмотрен метод Хироты, с помощью которого находятся
солитонные решения точно решаемых нелинейных уравнений в частных производных. Часть материала, относящаяся к методу обратной
задачи рассеяния, изложена конспективно. Для более подробного ознакомления с указанным методом можно обратиться к недавно изданной
книге автора: Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — М.–Ижевск: Институт компьютерных
исследований, 2004.

Предисловие

В пятом разделе содержится ряд методов, которые применяются при
построении точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Методы, предлагаемые в этом разделе, могут использоваться и при
нахождении точных решений интегрируемых уравнений, но наиболее
эффективны они при поиске решений уравнений, для которых задача
Коши в общем случае не решается. Процедура построения решений
обычно содержит этап перехода к обыкновенным дифференциальным
уравнениям, и методы по существу применяются для построения решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
Автор надеется, что книга будет полезна студентам и аспирантам,
научным сотрудникам и преподавателям, интересующимся построением нелинейных математических моделей и методами нахождения аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений.
Предлагаемая книга написана на основе курса лекций, читаемого
автором более двадцати лет студентам четвертого и пятого курсов
кафедры Прикладная математика Национального исследовательского
ядерного университета «МИФИ». Вопросы, затронутые в книге, неоднократно обсуждались на научных семинарах с коллегами по кафедре,
а также на конференциях, посвященных изучению нелинейных эволюционных уравнений и динамических систем. Особенно полезны были
дискуссии с профессорами А. В. Аксеновым, В. И. Громаком, М. Крускалом, Р. Контом, Э. Пикерингом и В. В. Цегельником. Автор выражает им свою искреннюю признательность.
При подготовке рукописи к печати оказали помощь Н. Б. Логинова, П. Н. Рябов, Д. И. Синельщиков, М. Б. Сухарев, М. А. Чмыхов и
А. Г. Шинкарюк, которым автор выражает благодарность.

Г Л А В А
1

НЕЛИНЕЙНЫЕ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

1.1.
УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА—ДЕ ВРИЗА
ДЛЯ ОПИСАНИЯ ВОЛН НА ВОДЕ

Явление распространения волн на поверхности воды издавна привлекало к себе внимание исследователей. Это пример волн
каждый из нас мог наблюдать еще в детстве: они распространены в природе и, как правило, демонстрируются в рамках школьного курса физики. Однако этот тип волн довольно сложен. По выражению Ричарда
Фейнмана, «более неудачного примера для демонстрации волн придумать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет;
здесь собрались все трудности, которые могут быть в волнах» [120].
Если рассмотреть бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы
жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмущения будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы
тяжести. Эволюция этого явления приведет к распространению волны
на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а
приблизительно по окружностям, поэтому волны на воде не являются
ни продольными, ни поперечными. Они как бы являются смесью тех и
других. Радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, с глубиной уменьшаются до нуля [121].
Если проанализировать скорость распространения волны на воде,
то окажется, что эта скорость зависит от амплитуды волны. Скорость
длинных волн пропорциональна корню квадратному из произведения
ускорения свободного падения на сумму амплитуды волны и глубины
бассейна. Причиной возникновения таких волн является сила тяжести.
Для коротких волн возникновение восстанавливающей силы обусловлено силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких
волн пропорциональна корню квадратному из частного, в числителе
которого стоит поверхностное натяжение, а в знаменателе — произведе

Глава 1. Нелинейные математические модели

ние длины волны на плотность воды. Для волн средней длины скорость
их распространения зависит от всех перечисленных выше параметров
явления.
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон
Скотт Рассел в 1834 г. Рассел занимался изучением пропускной способности канала Юнион, который начинается у Эдинбурга и соединяет
через канал Форз-Клайд два берега Шотландии. Обратимся к замечательному описанию этого наблюдения самим Расселом [113,131,302].
«Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому
каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса
воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо
этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной
скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т. е.
округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не
снижая скорости. Я поскакал за ним верхом, и, когда я нагнал его, он
по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или
девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения
длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной.
Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 г. мне впервые
довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я
назвал волной трансляции; теперь это название общепринято».
Джон Рассел на протяжении всей своей жизни неоднократно возвращался к наблюдению за уединенной волной. Он верил, что открытая
им волна играет очень важную роль во многих явлениях природы.
Им были установлены некоторые свойства такой волны. Во-первых, он
заметил, что уединенная волна движется с постоянной скоростью и
без изменения формы. Во-вторых, он нашел зависимость скорости этой
волны от глубины h канала и амплитуды a волны:

C =
g(a + h),

где g — ускорение свободного падения, причем a < h. В-третьих, Рассел
обнаружил, что возможен распад одной большой волны на несколько
волн. В-четвертых, он отмечал, что в экспериментах наблюдаются только волны возвышения. Известно также, что Рассел заметил, что открытые им уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо
изменений, но на это очень важное свойство он не обратил серьезного
внимания.
Работа Рассела, опубликованная в 1844 г. как «Доклад о волнах» [302],
вызвала осторожную реакцию в среде ученых. В европейских странах

1.1. Уравнение Кортевега—де Вриза
15

работу не заметили, но в самой Англии на нее обратили внимание Эйри
и Стокс. Эйри подверг критике результаты экспериментов, которые
наблюдал Рассел, отметив, что выводы Рассела противоречат теории
длинных волн на мелкой воде, и утверждая, что длинные уединенные
волны не могут сохранять неизменной формы.
Один из основателей современной гидродинамики — Джордж Габриэль Стокс — также не согласился с полученными Расселом результатами наблюдений уединенных волн, и критически отнесся к факту их
существования.
После столь негативной реакции тема уединенной волны на долгое
время оказалась забыта всеми, кроме самого Рассела. Даже приближаясь к старости, он писал: «Это самое прекрасное и необычайное
явление; день, когда я впервые увидел его, был лучшим днем моей
жизни. Никому никогда не посчастливилось наблюдать его раньше или,
во всяком случае, понять, что оно значит. Теперь оно известно как
уединенная волна трансляции. Никто прежде и вообразить не мог, что
уединенная волна возможна. Когда я описал ее сэру Джону Гершелю,
он сказал: «Это просто вырезанная половина обычной волны». Но это
не так, поскольку обычные волны идут отчасти ниже поверхности воды;
кроме того, ее форма совсем иная. Это не половина волны, а, несомненно, вся волна целиком, с тем отличием, что волна как целое не
находится попеременно то ниже, то выше поверхности, а всегда выше
ее. Этого вполне достаточно, чтобы такой холм воды не стоял на месте,
а двигался».
Определенную ясность в результаты наблюдений Рассела внесли
Буссинеск (1872 г.) и Рэлей (1876 г.), которые независимо друг от друга
получили зависимость от расстояния, описывающую характер возвышения свободной поверхности на воде в виде квадрата гиперболического секанса, и вычислили скорость распространения уединенной волны
на воде.
Позже опыты Рассела были повторены другими исследователями,
подтвердившими его результаты.
Окончательная ясность в проблеме изучения уединенной волны наступила после опубликования работы датских ученых Кортевега и де
Вриза, которые попытались разобраться в существе дела. Эти ученые,
обобщив метод Рэлея, вывели в 1895 г. уравнение для описания одноволнового приближения при распространении волн на воде.
Следуя их работе, рассмотрим процесс распространения малых (но
конечных) возмущений на поверхности жидкости. О таких возмущениях обычно говорят как о гравитационных волнах, подчеркивая тем
самым, что ответственными за возникновение и распространение этих
волн являются гравитационные силы.

Глава 1. Нелинейные математические модели

Предположим, что плотность жидкости при возмущениях поверхности не меняется (ρ0 = const), тогда уравнение непрерывности имеет
вид [52,70,89]
div u = 0.
(1.1.1)

Уравнение движения жидкости в поле силы тяжести можно представить в виде
u
t + (u, ∇)u + 1

ρ0 ∇P = −gj,
(1.1.2)

где P — давление в жидкости, u — вектор скорости движения, g —
ускорение свободного падения, j — единичный вектор в направлении
силы тяжести.
Как правило, при распространении возмущений движение жидкости
можно считать безвихревым, поскольку типичные задачи, возникающие
в теории волн, рассматриваются при первоначально покоящейся жидкости или в однородном потоке. Известно, что если в начальный момент
времени вихрь ω = rot u = 0, то и в последующие моменты времени
ω = 0 [86].
Если ввести потенциал скорости ϕ, определенный выражением

u = grad ϕ,
(1.1.3)

то уравнение (1.1.1) перейдет в уравнение Лапласа:

∆ϕ = 0.
(1.1.4)

Пользуясь формулой векторного анализа

u × (rot u) + (u, ∇)u = 1

2∇(u2),

уравнение (1.1.2) для безвихревого движения можно привести к виду

u
t + 1

2∇(u2) + ∇P

ρ0 + gj = 0,
(1.1.5)

откуда после интегрирования по z с учетом (1.1.3) получаем

ϕ
t + 1

2(∇ϕ)2 + P − P0

ρ0
+ gz = 0.
(1.1.6)

В формуле (1.1.6) принято, что ось z направлена вертикально вверх
против ускорения свободного падения (рис. 1.1), произвольная функция
от времени, полученная при интегрировании уравнения (1.1.5) по z,
включена в потенциал ϕ, P0 — давление окружающей атмосферы на
поверхность жидкости.