Комплексный анализ в матричных областях

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Министерство  высшего  и  среднего  специального 

образования  Республики Узбекистан 

Сибирский федеральный университет 

Национальный университет Узбекистана 

имени Мирзо Улугбека 

Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов 

КОМПЛЕКСНЫЙ  АНАЛИЗ  В  МАТРИЧНЫХ  ОБЛАСТЯХ 

Монография 

Красноярск, Ташкент  

2011 

УДК 517.55 

ББК 22.161 

  Х98 

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Л.А. Айзенберг 

                      д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Варисов  

Х98    Худайберганов, Г. 

Комплексный анализ в матричных областях / Г. Худайберганов, 

А.М. Кытманов, Б.А. Шаимкулов. – Красноярск: Сибирский 

федеральный ун-т, 2011. –  290  с. 

ISBN 978-5-7638-2199-4 

Монография посвящена комплексному анализу в матричных областях многомерного 

комплексного пространства. В ней рассмотрены интегральные представления для 
голоморфных функций и их различные приложения к вопросам голоморфного продолжения, 
построению локального вычета и др. 

Предназначена для студентов, аспирантов и специалистов по многомерному 

комплексному анализу.   

УДК 517.55 

ББК 22.161 

ISBN 978-5-7638-2199-4                                    © Сибирский        
                                                                                 федеральный       
                                                                                 университет, 2011 

© Национальный     

университет                                    
Узбекистана имени                       
Мирзо Улугбека, 
2011 

Оглавление 

Предисловие……….…………………………………………………...8 

ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ 

НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ .………………………………………………….9 

 
§ 1. Некоторые матричные области в пространстве ……..9 

1.1. 
Матричный единичный круг…………..…………………..9 

1.2. 
Матричная верхняя  полуплоскость………..……………11 

1.3. 
Матричный единичный поликруг…………………..…...11 

1.4. 
Матричный шар…………….……………………….……12 

1.5. 
Матричная область Зигеля второго рода…….…….........13 

1.6. 
Матричная область Рейнхарта.…………………………..13 

          § 2. Степенные ряды от матриц…………………………………….….16 

2.1. 
Матричная норма …………………………….……..........16 

2.2. 
Степенные ряды в ……………….....………….17 

2.3. 
Формула Коши-Адамара…………………………………22 

2.4. 
Области сходимости степенных рядов………….………23 

2.5. 
 Степенные ряды в .……….………………….24 

2.6. 
 Критерий (абсолютной) сходимости……………………25 

2.7. 
Логарифмически выпуклая оболочка области в 

........………...………………………………………….27 

2.8. 
 Теорема Гартогса………………….……………………..29 

§ 3. Голоморфные функции и области голоморфности в     

.……………………………………………………………...30  

3.1. 
Определения………………………………………………30 

3.2. 
Связь между голоморфными функциями от nm2  

переменных и голоморфными функциями от нескольких  

матриц …………………………………………………………….33 

3.3. 
Области сходимости – области голоморфности…..........35 

3.4. 
Кратная интегральная формула Бохнера-Хуа Локена ....36 

3.5. 
Доказательство основного результата главы 1…………40 

Примечания к главе 1……………..…………….……..……………….44 

ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА...45 

§ 4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре45 

4.1. 
 Известные результаты…….………………………..........45 

4.2. 
 Граничная теорема Морера для поликруга…….………48 

4.3. 
 Граничная теорема Морера для шара………….……….52 

§ 5. Условия существования аналитического продолжения функций в 

классических областях…………………………………………………56 

5.1. 
 Классические области…………………………….……...56 

5.2. 
 Условия существования продолжения………….………59 

5.3. 
Граничные теоремы Морера  для классических 

областей.…………………………………………………………...66 

§ 6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной 

реализации поликруга и шара…………………………………………70 

6.1. 
Граничная теорема Морера   для неограниченной 

реализации   поликруга…………………………………...………70 

6.2. 
Граничная теорема Морера для неограниченной 

реализации шара………………………………………..................77 

         Примечания к главе 2…………..………………………………………91 

ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ 

КАРЛЕМАНА В МАТРИЧНЫХ     ОБЛАСТЯХ…………..……………92 

§ 7. Интегральные представления……………………..………………92 

7.1. 
Автоморфизмы матричного шара……….…….…………93 

7.2. 
Интегральная формула Бергмана для  матричного 

шара...…………………………………………………………….102 

7.3. 
Ядра Коши-Сеге и Пуассона для матричного шара.….105 

§ 8. Формулы Карлемана……………..………………………………115 

8.1. 
Формула Карлемана для функций от матриц…...……..115 

8.2. 
Формулы Карлемана в классических областях….….…117 

8.3. 
Формула Карлемана в матричном шаре.……….……...123 

8.4. 
Граничная теорема Морера для матричного шара.…...128 

          Примечания к главе 3…………………………………………………134 

ГЛАВА 4. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА В 

НЕОГРАНИЧЕННЫХ МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………………135 

§ 9. Граничная теорема Морера для матричной верхней 

 полуплоскости…………………..……………………………………135 

§10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного 

шара……………………….…….………………...............144 

10.1. О  неограниченной реализации матричного шара…….144 

10.2. Об интегральных представлениях в области  

Зигеля D...………………………………………………………150 

10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D…...154 

Примечания к главе 4…………………………………………………164 

ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ  

ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ…………………………………165 

§ 11. Критерии существования голоморфного продолжения непре
рывной функции, заданной на части границы области в …….....165 

§ 12. О возможности голоморфного продолжения в матричную  

область функций, заданных на куске ее границы Шилова …….….172 

§ 13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций, 

заданных на части сферы Ли……………….………………………...181 

§ 14. Об условиях голоморфной продолжимости в трубчатую  

область функций, заданных на остове трубчатой области …….…..192 

§ 15. Интерполяционные последовательности в классических  

областях……….……………………………………………………….198 

Примечания к главе 5…………………….……….…………………..215 

ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЫЧЕТА ДЛЯ                                

ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ…………………….….. 216 

§ 16. Интегральные представления локального вычета для  

голоморфных функций от матриц…………………………………...217 

§ 17. Свойства  локального  вычета…….……………………………223 

§ 18. Представление локального вычета через след и  

распространение формулы Бишопа на функции от матриц………..227 

§ 19. Формула Вейля и принцип Руше   …….….........…..233 

§ 20. Обобщенная интегральная реализация локального вычета ....238  

20.1. Общий рецепт интегральной реализации локального  

вычета Гротендика……………....………...…………….............240 

20.2. Примеры и преобразование локального вычета  

Гротендика при композициях отображений…..……….………242 

Примечания к главе 6……………….………………………...………246 

ГЛАВА 7. РАСШИРЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ТРУБА И КРУГ.…..…247 

§ 21. Труба будущего……….………………………………..……….247 

21.1. Определения………….…………..………..…….………247 

21.2. Касательное пространство. Форма Леви…………...….248 

21.3. Групповая структура. Автоморфизмы ….………...…...250  

§ 22. Труба будущего как классическая область………..…………..251 

22.1. Реализация трубы будущего в виде матричного 

единичного круга………………………………………………..251 

22.2. Геометрия матричного единичного круга….…..……...252 

22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли …………255 

§ 23.  Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы.… 258 

§ 24. Критерий  голоморфной  выпуклости для областей в ,  

инвариантных относительно действия компактных групп Ли….....260 

24.1. Факторы  относительно действия групп………...……..260 

24.2. Теорема Гильберта…….………………………………...263 

24.3. Орбитальная выпуклость……..………………………....264 

24.4. Эквивариантная теорема продолжения……..................264 

24.5. Критерий голоморфной выпуклости……..………….…265 

§ 25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге...266 

25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области …267 

25.2. Орбитально выпуклые области………………..………..268 

25.3. Расширенный матричный круг является орбитально  

выпуклым……………………………………………………...…269 

25.4. Расширенный матричный круг является  

насыщенным…………………………………………………..…269 

25.5. Основной результат……….……….………....................270 

§ 26. Гипотеза о расширенной матричной трубе……..............…….270 

26.1. Частные случаи………………...…………………...........271 

26.2. Матричная формулировка гипотезы о расширенной трубе 

будущего…………………………………………………………272 

26.3. Схема доказательства гипотезы о расширенной  

матричной полуплоскости………………………………………274 

Примечания к главе 7……………………………………..…………..277 

Список литературы………………………….………………………..278 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данная монография посвящена комплексному анализу в матрич
ных областях пространства . В ней изложены результаты, полученные в 

течение последних 30 лет в Красноярском государственном университете 

(ныне Сибирский федеральный университет), Национальном университете 

Узбекистана (кроме главы 7). В монографии рассмотрены различные мат
ричные области – матричный круг, матричный поликруг, матричная верх
няя полуплоскость, классические области Картана, области Зигеля второго 

рода, матричные  области Рейнхарта. 

В такого вида областях получены многомерные граничные теоре
мы Морера и теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного 

продолжения. Построены формулы Карлемана, восстанавливающие значе
ния голоморфной функции в области по ее значениям на части границы. 

Доказаны критерии существования голоморфного продолжения функций, 

непрерывных на части остова матричных областей различного вида – клас
сических областей первого типа, шара Ли, трубчатых областей.  Построена 

теория локального вычета для голоморфных функций от матриц. Рассмот
рены известные гипотезы о расширенном матричном круге и о расширен
ной трубе будущего. 

Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, пред
ложений и формул – двойная и состоит из номера параграфа и номера тео
ремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечает
ся знаком  □. 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ 

ФУНКЦИИ  ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ 

§ 1. Некоторые матричные области в пространстве 

[
]
n m
m
×
Рассмотрим пространство m2  комплексных переменных, обозна
чаемое 

2
m
. В некоторых вопросах точки  Z
 этого пространства удобно 

представлять в виде квадратных  
]
[
m
m×
-матриц, т.е. в виде 
,
1
(
)
m
ij
i j
Z
z
=
=
.  

При таком представлении точек пространство  

2
m
будем обозначать 

[
]
m
m
×
. Прямое произведение 
[
]
[
]

n
m m
m m
×
×⋅⋅⋅×
×
n экземпляров про
странств  
]
[
m
m ×
-матриц обозначим  
[
]
n m
m
×
. Теперь опишем некото
рые простейшие матричные области.  

1.1. Матричный   единичный   круг.  Матричный   единичный   круг  

(классическая область первого типа по классификации Э. Картана)   опре
деляется как множество 

{
}
*
[
]:
Z
m
m
ZZ
I
τ =
∈
×
<
, 

где  
'
*
Z
Z
=
 – матрица, сопряженная и транспонированная  к  Z , запись 

I
ZZ <
*
  (I=Im  – единичная 
]
[
m
m ×
-матрица) означает, что эрмитова мат
рица  
*
ZZ
I −
 положительно определена, таким образом, все ее собствен
ные значения положительны. Граница τ  состоит из множества 

{
}

*
*
[
]:det(
)
0,
Z
m m
I
ZZ
ZZ
I
τ
∂
=
∈
×
−
=
≤
, 

т.е. из множества матриц Z , для которых матрица 
*
ZZ
I −
 является   неот
рицательно определенной, но не положительно определенной  эрмитовой  

матрицей (ее собственные значения неотрицательны и хотя бы одно равно 

нулю). На границе лежит множество 

{
}

*
( )
[
]:
,
S
Z
m m
ZZ
I
τ =
∈
×
=
которое называется  остовом   τ  (заметим,  что 
)
(τ
S
 является границей 

Шилова для τ ).  Ясно, что множество 
)
(τ
S
 есть множество всех унитар
ных  
]
[
m
m ×
-матриц (множество унитарных матриц порядка n обозначает
ся как обычно ). Следует отметить, что множество матриц  

}
0
)
det(
:
{
* =
− ZZ
I
Z
 содержит ограниченную компоненту, выделяемую 

условием  
I
ZZ ≤
*
, и неограниченную, для которой 
I
ZZ ≥
*
.  Эти компо
ненты пересекаются по остову   
)
(τ
S
. 

При 
2
=
m
  множество τ   допускает представление 

{
}
[2 2]:
( )
0 ,
Z
Z
τ
ψ
=
∈
×
<
где 

( )
2
2
2
2
11
12
21
22
0
( )
max
1,
1,
Z
z
z
z
z
Z
ψ
ψ
⎡
⎤
=
+
−
+
−
⎣
⎦ , 

*
*
0( )
det
1,
Z
ZZ
SpZZ
ψ
=
+
−
 

а есть след (шпур) матрицы Z (данное представление нетрудно по
лучить из критерия Сильвества положительной определенности матриц). 

         Полезно заметить, что если   
[
]
Z
m
m
∈
×
,  то 

.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
 

Кроме того, условия  
0
* >
− ZZ
I
  и  
0
*
>
−
Z
Z
I
     эквиваленты. Это верно 

даже для прямоугольных матриц (см. лемму 13 из [29]). 

Лемма 1.1. Если Z – матрица из  p строк и q столбцов, то соотношения 

и  эквивалентны. 

        Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из то
ждества 

0
0
0
0
. 

Отсюда же вытекает и равенство определителей 
.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
 

1.2. Матричная верхняя  полуплоскость.  Матричная  верхняя полуплос
кость  определяется как множество матриц 

[
]
{
}
: Im
0
Z
m
m
Z
ℑ =
∈
×
>
, 

где 
)
(
2
1
Im
*
Z
Z
i
Z
−
=
.  Граница ∂ℑ  этой области состоит из матриц  Z , для 

которых  
Z
Im
– неотрицательно определенная, но неположительно опре
деленная эрмитова матрица  (ее собственные  значения неотрицательны и 

хотя бы одно равно нулю). Так как обращение в нуль собственных значе
ний эрмитовой  матрицы выражается вещественно аналитическим равенст
вом, то ∂ℑ состоит из кусков вещественно аналитических поверхностей  

размерности 
1
2
2 −
m
.   

Множество  

{
}
( )
: Im
0
S
Z
Z
ℑ =
=
 

которое лежит на  ∂ℑ, называется  остовом  верхней полуплоскости  ℑ. 

Оно состоит из всех эрмитовых матриц.  Условие эрмитовости выражается  

2
m  независимыми уравнениями, поэтому вещественная размерность 
( )
S ℑ

равна  m2. 

1.3. Матричный  единичный  поликруг.  Матричный  единичный  поли
круг    в  
[
]
n m
m
×
определим  как прямое произведение  n раз  

области τ , т. е. 

, … , : , 1, … , . 

Граница  является объединением поверхностей 

[
]
{
}
:
,
,
n
Z
m m
Z
Z
ν
ν
μ
γ
τ
τ μ
ν
=
=
×
∈∂
∈
≠
, 

каждая из которых есть
)1
2
(
2 −
nm
-мерная поверхность (так как 
2
2nm  ко
ординат точки 
Z связаны одним действительным  соотношением 

0
)
det(
* =
−
ν
ν Z
Z
I
).  Поэтому и вся граница  
∪

n
T

1
=
=
∂

ν

ν
γ
 является  

)1
2
(
2 −
nm
-мерной. Множество 

( )
( )
( )

n
S T
S T
S T
T
=
×⋅⋅⋅×
⊂ ∂
назовем   остовом     Т.  Оно 
2
nm -мерное. 

1.4. Матричный  шар. Пусть 
(
)
n
Z
Z
Z
,...,
1
=
 – вектор, составленный из 

квадратных матриц  порядка m, рассматриваемых над полем комплекс
ных чисел . Можно считать, что –  элемент пространства 

[
]

2
n
nm
m
m
×
≅
. 

 Матричное  «скалярное» произведение для  
[
]
,
n
Z W
m m
∈
×
определим 

так: 

*
*
1
1
,
.
n
n
Z W
Z W
Z W
=
+
+
Область 
n
m
B ,  пространства 
[
]

n m
m
×
: 

{
},
0
,
:
,
>
−
=
Z
Z
I
Z
B
n
m
      

где I,  как обычно, единичная матрица порядка m, есть матричный шар. 

Остов этой области есть многообразие вида: 

{
}.
,
:
,
I
Z
Z
Z
X
n
m
=
=
 

 
Очевидно, действительная размерность остова равна 
)1
2
(
2
−
n
m
 и при 

1
>
m
 не совпадает с размерностью границы матричного шара. 

В частности, при 
,1
1,
m
n
B
=
 – матричный  круг из 
[
]
m
m
×
, а 
1,
m
X
 – 

множество всех унитарных матриц. 

При  
1,
1,
n
m
B
=
– шар из
n
, а 
n
X ,1  – единичная сфера. 

При  
1,1
1,
m
n
B
=
=
– единичный круг из , а 
1,1
X  – единичная ок
ружность. 

1.5.  Матричная  область  Зигеля  второго  рода. Пусть 

 
[
]
{
}
,
1
: Im
,
'
0 ,
n
m n
D
Z
C
m
m
Z
Z Z
=
∈
×
−
>
 

где 
(
)
*
1
1
1
1
Im
2
Z
Z
Z
i
=
−
, 

*
*
2
2
,
'
n
n
Z Z
Z Z
Z Z
=
+
+
. 

        Остов этой области: 

[
]
{
}
,
1
: Im
,
' .
n
m n
Z
C
m
m
Z
Z Z
=
∈
×
=
R
 

В частности, при 
,1
1,
m
n
D
=
 – матричная верхняя полуплоскость, а 

остов 
1,
m
R
– множество всех эрмитовых матриц. 

При  
1,
1,
n
m
D
=
 – область Зигеля второго рода (шар Пуанкаре) в 
n
, 

а остов 
{
}

2
1,
1
2
.
n
n
n
y
z
z
=
=
+
+
R
 

При  
1,1
1,
m
n
D
=
=
 – верхняя полуплоскость в , а остов 
1,1
R
– дей
ствительная ось. 

1.6.  Матричная  область  Рейнхарта.  Множество   
[
]
n
G
m
m
⊂
×
на
зовем   матричной    областью     Рейнхарта, если    она обладает следую
щим   свойством: вместе с каждой точкой  
1
2
(
,
,...,
)
n
Z Z
Z
 множество  G  со
держит точки вида 
1
1 1
2
2
2
(
,
,...,
)
n
n
n
U Z V U Z V
U Z V , где 
,
U
V
ν
ν  – произвольные уни
тарные матрицы, 
1,2,...,n
ν =
. Другими словами, матричная область Рейн
харта является инвариантной относительно действия группы на   
[
].
n m
m
×
Матричную область Рейнхарта назовем   полной ,  если вместе с каж
дой точкой  
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
n
Z
Z
Z
 этой области  ей принадлежат и все точки вида 

S
S
n
Z
Z
Z
Z
Z
||
||
||
:||
)
,...,
,
(
0
2
1
ν
ν
≤
, 
1,2,..., ,n
ν =
 т.е. весь матричный поликруг 

         

0
1
2
{(
,
,...,
) :||
||
||
||
n
S
S
Z Z
Z
Z
Z
ν
ν
≤
, 
1,2,..., }.
n
ν =

Здесь 
S||
||⋅
 – спектральная норма матрицы (определение спектраль
ной нормы см. ниже). 

Напомним представление произвольной невырожденной матрицы  

[
]
Z
m
m
∈
×
в полярных координатах.  

Пусть  Z – невырожденная матрица, тогда она представима в виде 

произведения эрмитовой и унитарной SV, причем если первый множитель 

положительно определен, то это представление единственно [12, с. 243]. 

Положительно определенную эрмитову матрицу S всегда можно унитар
ным преобразованием привести к диагональному виду (см., например, [12, 

с. 81]), отсюда получаем представление матрицы Z в  виде  

                                          
V
U
Z
Λ
=
,                                                    (1.1)                      

 где   U , V     – унитарные матрицы,    а  
1
2
[
,
,...,
]
m
λ λ
λ
Λ =
 – диагональная 

матрица,  причем 
0
...
2
1
>
≥
≥
m
λ
λ
λ
. 

 Если 
G
Z ∈
, 
то 
 
из 
(1.1) 
1
1
1
1
U ZV
U U VV
=
Λ
= Λ  
при 

*
*
1
1
,
.
U
U
V
V
=
=
 Таким образом, каждую точку  
G
Z ∈
 можно получить 

из вектора (
)
1
2
,
,...,
n
Λ Λ
Λ
 диагональных матриц с помощью указанного 

полярного представления. Поэтому изучение таких областей эквивалентно 

изучению их образов в подпространстве 
,
n m
n
n

m

+
+
+
=
×⋅⋅⋅×
пространства 

[
]
n m
m
×
при отображении, когда   каждой   точке 
)
,...,
,
(
2
1
n
Z
Z
Z
 из G  

ставится в соответствие   единственная  точка   (
n
Λ
Λ
Λ
,...,
,
2
1
). 

Образ области   G  при отображении  
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
n
n
Z
Z
Λ
Λ
→
 бу
дем называть матричной диаграммой Рейнхарта   и обозначим через  
Λ
G .  

         Множество  

 

будем называть логарифмическим  образом    области  G .  

 
Область  G   называется    логарифмически  выпуклой, если множест
во  
Λ
G
ln
 выпукло в пространстве  
nm
.   

{
}
1
1
1 1
ln
ln
(ln
,...,ln
)
:
(
,...,
)
,det
0,
1,2,...,
nm
n
n
n
n
G
Z
U
V
U
V
G
n
ν
ν
Λ =
Λ =
Λ
Λ
∈
=
Λ
Λ
∈
Λ ≠
=
15

Матричная область Рейнхарта  не обязательно является областью 

Рейнхарта в , но мы всегда можем сопоставить ей открытое (возмож
но, несвязное) множество Рейнхарта (т.е. множество, инвариантное 

относительно действия тора) в , а именно 

  , … , : диагональные матрицы, 1 . 

Отметим, что это множество, очевидно, содержит матричную диа
грамму Рейнхарта 
Λ
G . Более того, полярное представление (1.1) влечет, 

что логарифмический образ области совпадает с логарифмическим обра
зом области . 

Рассмотрим примеры матричных областей Рейнхарта.    

Пример 1.1.  Матричный единичный круг  τ .  Для всех унитарных матриц 

,
,
U V W
τ
∈
имеет место соотношение  

.
0
)
(
)
)(
(
>
−
=
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
U
WW
I
U
U
UWW
I
UWV
UWV
I
 

Следовательно, 
τ
∈
)
(UWV
,  т.е.  τ – матричная область Рейнхарта. Из не
равенства  

[
]
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
>
−
+
−
+
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
QQ
I
Q
WW
I
W
RR
I
W
Q
QWR
QWR
I
 

при  
,
,
Q R W
τ
∈  вытекает, что   τ  является полной матричной областью 

Рейнхарта в 
[
]
m
m
×
. Так как множество  

 

 выпуклое, то τ логарифмически выпуклое множество. Здесь 
m
−
– множе
ство всех отрицательно определенных диагональных действительных 

]
[
m
m ×
-матриц (т.е. множество m-мерных действительных векторов с от
рицательными координатами). 

Пример 1.2.  Матричный единичный поликруг 

n
T
τ
τ
×
×
=
...
. 

{
}
1
1
1
ln
ln
:
ln
0
m
m
X
τ Λ
−
=
Λ ∈
=
Λ <
=
16

В силу примера  1.1  T  является полной матричной областью Рейнхарта. 

Его логарифмический образ   

{
}
1
ln
(ln
,...,ln
)
:
ln
0,
1,...,
...
nm
m
m
n

n
T
X
n
ν
ν
ν
Λ
−
−
=
Λ
Λ
∈
=
Λ <
=
=
×
×
является  выпуклым множеством и поэтому T логарифмически выпуклая 

область.  

Пример 1.3.  Область   

{
}
1
1
1
(
,...,
)
[
]:| det
|
| det
|
1 ,
n
n
n
n
D
Z
Z
m m
Z
Z
α
α
=
∈
×
⋅⋅⋅
<
где 
n
α
α
,
...
,
1
– ненулевые действительные числа, является полной логариф
мически выпуклой матричной областью Рейнхарта.  

Пример 1.4. Область 
{
}
(
[
]:
(
)
1
D
Z
m m
Sp ZZ ∗
=
∈
×
<
является полной ло
гарифмически выпуклой матричной областью Рейнхарта.  

Отметим, что области в примерах 1.1, 1.2, 1.3 не являются областями 

Рейнхарта в скалярном смысле  в пространствах  

2
m
, 

2
nm
и  

2
nm
соот
ветственно, а область в примере 1.4 является полной областью Рейнхарта в 

скалярном смысле в  

2
m
.   

 

§ 2. Степенные ряды от матриц 

2.1. Матричная норма.  Напомним определение матричной нормы. Функ
ция с вещественными значениями, определенная на всех квадратных мат
рицах  А с комплексными элементами, называется   матричной     нормой   

и обычно записывается в виде   
||
|| A , если она удовлетворяет следующим 

аксиомам (см., например, [21, с. 411]). 

1) 
0
||
||
≥
A
 и  
0
||
||
=
A
  тогда и только тогда, когда А = 0;     

2) ||
|| |
| ||
||
A
A
α
α
=
 для любого комплексного числа  α ; 

3) 
||
||
||
||
||
||
B
A
B
A
+
≤
+
; 

4) 
||
||
||
||
||
||
B
A
AB ≤
 для всех квадратных матриц  А, В одного и того 

же порядка. 

Пусть  
m
μ
μ
μ
,...,
,
2
1
 – собственные значения матрицы   АА*  и 

|
|
max
1
i
m
j
A
μ
μ

≤
≤
=
 – спектральный радиус АА*. Функция 

2
1
||
||
A
S
A
μ
=
 

называется спектральной нормой  матрицы  А. Очевидно, что спектральная 

норма унитарных матриц равна единице. 

Следует отметить, что спектральный радиус самой матрицы не явля
ется матричной нормой для нее. Действительно, рассмотрим матрицу 

0
1
.
0
0
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 

Все ее собственные  значения нулевые и, следовательно, ее спектральный 

радиус равен нулю. Так как сама матрица ненулевая, то спектральный ра
диус не удовлетворяет первой аксиоме  для матричной нормы.   

2.2. Степенные ряды в 
[
]
m
m
×
. Одним из основных результатов тео
рии кратных степенных рядов (от комплексных скалярных переменных) 

является тот факт, что области сходимости таких рядов суть полные лога
рифмически выпуклые области Рейнхарта  [86]. Здесь мы приводим аналог 

этого результата для степенных рядов от нескольких матричных перемен
ных. Указанный аналог позволяет доказать следующее утверждение: пол
ная матричная область Рейнхарта является областью голоморфности тогда 

и только тогда, когда она логарифмически выпукла. 

 
Следует отметить, что степенные ряды от одной и нескольких мат
риц были изучены в работах И.А. Лаппо-Данилевского [52]. Но понятия 

абсолютной сходимости рядов, введенные в [52] и нами различные. Точ
нее, из абсолютной сходимости рядов в нашем смысле  следует абсолют
ная сходимость в смысле [52].