Текстовые фрагменты публикации
Министерство образования и науки Российской Федерации
Министерство высшего и среднего специального
образования Республики Узбекистан
Сибирский федеральный университет
Национальный университет Узбекистана
имени Мирзо Улугбека
Г. Худайберганов, А. М. Кытманов, Б. А. Шаимкулов
КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
Монография
Красноярск, Ташкент
2011
УДК 517.55
ББК 22.161
Х98
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Л.А. Айзенберг
д-р физ.-мат. наук, проф. А.К. Варисов
Х98 Худайберганов, Г.
Комплексный анализ в матричных областях / Г. Худайберганов,
А.М. Кытманов, Б.А. Шаимкулов. – Красноярск: Сибирский
федеральный ун-т, 2011. – 290 с.
ISBN 978-5-7638-2199-4
Монография посвящена комплексному анализу в матричных областях многомерного
комплексного пространства. В ней рассмотрены интегральные представления для
голоморфных функций и их различные приложения к вопросам голоморфного продолжения,
построению локального вычета и др.
Предназначена для студентов, аспирантов и специалистов по многомерному
комплексному анализу.
УДК 517.55
ББК 22.161
ISBN 978-5-7638-2199-4 © Сибирский
федеральный
университет, 2011
© Национальный
университет
Узбекистана имени
Мирзо Улугбека,
2011
Оглавление
Предисловие……….…………………………………………………...8
ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ОТ
НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ .………………………………………………….9
§ 1. Некоторые матричные области в пространстве ……..9
1.1.
Матричный единичный круг…………..…………………..9
1.2.
Матричная верхняя полуплоскость………..……………11
1.3.
Матричный единичный поликруг…………………..…...11
1.4.
Матричный шар…………….……………………….……12
1.5.
Матричная область Зигеля второго рода…….…….........13
1.6.
Матричная область Рейнхарта.…………………………..13
§ 2. Степенные ряды от матриц…………………………………….….16
2.1.
Матричная норма …………………………….……..........16
2.2.
Степенные ряды в ……………….....………….17
2.3.
Формула Коши-Адамара…………………………………22
2.4.
Области сходимости степенных рядов………….………23
2.5.
Степенные ряды в .……….………………….24
2.6.
Критерий (абсолютной) сходимости……………………25
2.7.
Логарифмически выпуклая оболочка области в
........………...………………………………………….27
2.8.
Теорема Гартогса………………….……………………..29
§ 3. Голоморфные функции и области голоморфности в
.……………………………………………………………...30
3.1.
Определения………………………………………………30
3.2.
Связь между голоморфными функциями от nm2
переменных и голоморфными функциями от нескольких
матриц …………………………………………………………….33
3.3.
Области сходимости – области голоморфности…..........35
3.4.
Кратная интегральная формула Бохнера-Хуа Локена ....36
3.5.
Доказательство основного результата главы 1…………40
Примечания к главе 1……………..…………….……..……………….44
ГЛАВА 2. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА...45
§ 4. Многомерные граничные теоремы Морера в поликруге и шаре45
4.1.
Известные результаты…….………………………..........45
4.2.
Граничная теорема Морера для поликруга…….………48
4.3.
Граничная теорема Морера для шара………….……….52
§ 5. Условия существования аналитического продолжения функций в
классических областях…………………………………………………56
5.1.
Классические области…………………………….……...56
5.2.
Условия существования продолжения………….………59
5.3.
Граничные теоремы Морера для классических
областей.…………………………………………………………...66
§ 6. Многомерные граничные теоремы Морера для неограниченной
реализации поликруга и шара…………………………………………70
6.1.
Граничная теорема Морера для неограниченной
реализации поликруга…………………………………...………70
6.2.
Граничная теорема Морера для неограниченной
реализации шара………………………………………..................77
Примечания к главе 2…………..………………………………………91
ГЛАВА 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ
КАРЛЕМАНА В МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………..……………92
§ 7. Интегральные представления……………………..………………92
7.1.
Автоморфизмы матричного шара……….…….…………93
7.2.
Интегральная формула Бергмана для матричного
шара...…………………………………………………………….102
7.3.
Ядра Коши-Сеге и Пуассона для матричного шара.….105
§ 8. Формулы Карлемана……………..………………………………115
8.1.
Формула Карлемана для функций от матриц…...……..115
8.2.
Формулы Карлемана в классических областях….….…117
8.3.
Формула Карлемана в матричном шаре.……….……...123
8.4.
Граничная теорема Морера для матричного шара.…...128
Примечания к главе 3…………………………………………………134
ГЛАВА 4. МНОГОМЕРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ МОРЕРА В
НЕОГРАНИЧЕННЫХ МАТРИЧНЫХ ОБЛАСТЯХ…………………135
§ 9. Граничная теорема Морера для матричной верхней
полуплоскости…………………..……………………………………135
§10. Теорема Морера в неограниченной реализации матричного
шара……………………….…….………………...............144
10.1. О неограниченной реализации матричного шара…….144
10.2. Об интегральных представлениях в области
Зигеля D...………………………………………………………150
10.3. Граничная теорема Морера для области Зигеля D…...154
Примечания к главе 4…………………………………………………164
ГЛАВА 5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ
ГОЛОМОРФНОГО ПРОДОЛЖЕНИЯ…………………………………165
§ 11. Критерии существования голоморфного продолжения непре-
рывной функции, заданной на части границы области в …….....165
§ 12. О возможности голоморфного продолжения в матричную
область функций, заданных на куске ее границы Шилова …….….172
§ 13. О возможности голоморфного продолжения в шар Ли функций,
заданных на части сферы Ли……………….………………………...181
§ 14. Об условиях голоморфной продолжимости в трубчатую
область функций, заданных на остове трубчатой области …….…..192
§ 15. Интерполяционные последовательности в классических
областях……….……………………………………………………….198
Примечания к главе 5…………………….……….…………………..215
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ЛОКАЛЬНОГО ВЫЧЕТА ДЛЯ
ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ…………………….….. 216
§ 16. Интегральные представления локального вычета для
голоморфных функций от матриц…………………………………...217
§ 17. Свойства локального вычета…….……………………………223
§ 18. Представление локального вычета через след и
распространение формулы Бишопа на функции от матриц………..227
§ 19. Формула Вейля и принцип Руше …….….........…..233
§ 20. Обобщенная интегральная реализация локального вычета ....238
20.1. Общий рецепт интегральной реализации локального
вычета Гротендика……………....………...…………….............240
20.2. Примеры и преобразование локального вычета
Гротендика при композициях отображений…..……….………242
Примечания к главе 6……………….………………………...………246
ГЛАВА 7. РАСШИРЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ТРУБА И КРУГ.…..…247
§ 21. Труба будущего……….………………………………..……….247
21.1. Определения………….…………..………..…….………247
21.2. Касательное пространство. Форма Леви…………...….248
21.3. Групповая структура. Автоморфизмы ….………...…...250
§ 22. Труба будущего как классическая область………..…………..251
22.1. Реализация трубы будущего в виде матричного
единичного круга………………………………………………..251
22.2. Геометрия матричного единичного круга….…..……...252
22.3. Реализация трубы будущего в виде шара Ли …………255
§ 23. Расширенный матричный круг. Определения и гипотезы.… 258
§ 24. Критерий голоморфной выпуклости для областей в ,
инвариантных относительно действия компактных групп Ли….....260
24.1. Факторы относительно действия групп………...……..260
24.2. Теорема Гильберта…….………………………………...263
24.3. Орбитальная выпуклость……..………………………....264
24.4. Эквивариантная теорема продолжения……..................264
24.5. Критерий голоморфной выпуклости……..………….…265
§ 25. Доказательство гипотезы о расширенном матричном круге...266
25.1. Насыщенные орбитально псевдовыпуклые области …267
25.2. Орбитально выпуклые области………………..………..268
25.3. Расширенный матричный круг является орбитально
выпуклым……………………………………………………...…269
25.4. Расширенный матричный круг является
насыщенным…………………………………………………..…269
25.5. Основной результат……….……….………....................270
§ 26. Гипотеза о расширенной матричной трубе……..............…….270
26.1. Частные случаи………………...…………………...........271
26.2. Матричная формулировка гипотезы о расширенной трубе
будущего…………………………………………………………272
26.3. Схема доказательства гипотезы о расширенной
матричной полуплоскости………………………………………274
Примечания к главе 7……………………………………..…………..277
Список литературы………………………….………………………..278
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная монография посвящена комплексному анализу в матрич-
ных областях пространства . В ней изложены результаты, полученные в
течение последних 30 лет в Красноярском государственном университете
(ныне Сибирский федеральный университет), Национальном университете
Узбекистана (кроме главы 7). В монографии рассмотрены различные мат-
ричные области – матричный круг, матричный поликруг, матричная верх-
няя полуплоскость, классические области Картана, области Зигеля второго
рода, матричные области Рейнхарта.
В такого вида областях получены многомерные граничные теоре-
мы Морера и теоремы о функциях с одномерным свойством голоморфного
продолжения. Построены формулы Карлемана, восстанавливающие значе-
ния голоморфной функции в области по ее значениям на части границы.
Доказаны критерии существования голоморфного продолжения функций,
непрерывных на части остова матричных областей различного вида – клас-
сических областей первого типа, шара Ли, трубчатых областей. Построена
теория локального вычета для голоморфных функций от матриц. Рассмот-
рены известные гипотезы о расширенном матричном круге и о расширен-
ной трубе будущего.
Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем, лемм, пред-
ложений и формул – двойная и состоит из номера параграфа и номера тео-
ремы, леммы, предложения или формулы. Конец доказательства отмечает-
ся знаком □.
ГЛАВА 1. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ И ГОЛОМОРФНЫЕ
ФУНКЦИИ ОТ НЕСКОЛЬКИХ МАТРИЦ
§ 1. Некоторые матричные области в пространстве
[
]
n m
m
×
Рассмотрим пространство m2 комплексных переменных, обозна-
чаемое
2
m
. В некоторых вопросах точки Z
этого пространства удобно
представлять в виде квадратных
]
[
m
m×
-матриц, т.е. в виде
,
1
(
)
m
ij
i j
Z
z
=
=
.
При таком представлении точек пространство
2
m
будем обозначать
[
]
m
m
×
. Прямое произведение
[
]
[
]
n
m m
m m
×
×⋅⋅⋅×
×
n экземпляров про-
странств
]
[
m
m ×
-матриц обозначим
[
]
n m
m
×
. Теперь опишем некото-
рые простейшие матричные области.
1.1. Матричный единичный круг. Матричный единичный круг
(классическая область первого типа по классификации Э. Картана) опре-
деляется как множество
{
}
*
[
]:
Z
m
m
ZZ
I
τ =
∈
×
<
,
где
'
*
Z
Z
=
– матрица, сопряженная и транспонированная к Z , запись
I
ZZ <
*
(I=Im – единичная
]
[
m
m ×
-матрица) означает, что эрмитова мат-
рица
*
ZZ
I −
положительно определена, таким образом, все ее собствен-
ные значения положительны. Граница τ состоит из множества
{
}
*
*
[
]:det(
)
0,
Z
m m
I
ZZ
ZZ
I
τ
∂
=
∈
×
−
=
≤
,
т.е. из множества матриц Z , для которых матрица
*
ZZ
I −
является неот-
рицательно определенной, но не положительно определенной эрмитовой
матрицей (ее собственные значения неотрицательны и хотя бы одно равно
нулю). На границе лежит множество
{
}
*
( )
[
]:
,
S
Z
m m
ZZ
I
τ =
∈
×
=
которое называется остовом τ (заметим, что
)
(τ
S
является границей
Шилова для τ ). Ясно, что множество
)
(τ
S
есть множество всех унитар-
ных
]
[
m
m ×
-матриц (множество унитарных матриц порядка n обозначает-
ся как обычно ). Следует отметить, что множество матриц
}
0
)
det(
:
{
* =
− ZZ
I
Z
содержит ограниченную компоненту, выделяемую
условием
I
ZZ ≤
*
, и неограниченную, для которой
I
ZZ ≥
*
. Эти компо-
ненты пересекаются по остову
)
(τ
S
.
При
2
=
m
множество τ допускает представление
{
}
[2 2]:
( )
0 ,
Z
Z
τ
ψ
=
∈
×
<
где
( )
2
2
2
2
11
12
21
22
0
( )
max
1,
1,
Z
z
z
z
z
Z
ψ
ψ
⎡
⎤
=
+
−
+
−
⎣
⎦ ,
*
*
0( )
det
1,
Z
ZZ
SpZZ
ψ
=
+
−
а есть след (шпур) матрицы Z (данное представление нетрудно по-
лучить из критерия Сильвества положительной определенности матриц).
Полезно заметить, что если
[
]
Z
m
m
∈
×
, то
.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
Кроме того, условия
0
* >
− ZZ
I
и
0
*
>
−
Z
Z
I
эквиваленты. Это верно
даже для прямоугольных матриц (см. лемму 13 из [29]).
Лемма 1.1. Если Z – матрица из p строк и q столбцов, то соотношения
и эквивалентны.
Доказательство. Справедливость этого утверждения вытекает из то-
ждества
0
0
0
0
.
Отсюда же вытекает и равенство определителей
.)
det(
)
det(
*
*
Z
Z
I
ZZ
I
−
=
−
1.2. Матричная верхняя полуплоскость. Матричная верхняя полуплос-
кость определяется как множество матриц
[
]
{
}
: Im
0
Z
m
m
Z
ℑ =
∈
×
>
,
где
)
(
2
1
Im
*
Z
Z
i
Z
−
=
. Граница ∂ℑ этой области состоит из матриц Z , для
которых
Z
Im
– неотрицательно определенная, но неположительно опре-
деленная эрмитова матрица (ее собственные значения неотрицательны и
хотя бы одно равно нулю). Так как обращение в нуль собственных значе-
ний эрмитовой матрицы выражается вещественно аналитическим равенст-
вом, то ∂ℑ состоит из кусков вещественно аналитических поверхностей
размерности
1
2
2 −
m
.
Множество
{
}
( )
: Im
0
S
Z
Z
ℑ =
=
которое лежит на ∂ℑ, называется остовом верхней полуплоскости ℑ.
Оно состоит из всех эрмитовых матриц. Условие эрмитовости выражается
2
m независимыми уравнениями, поэтому вещественная размерность
( )
S ℑ
равна m2.
1.3. Матричный единичный поликруг. Матричный единичный поли-
круг в
[
]
n m
m
×
определим как прямое произведение n раз
области τ , т. е.
, … , : , 1, … , .
Граница является объединением поверхностей
[
]
{
}
:
,
,
n
Z
m m
Z
Z
ν
ν
μ
γ
τ
τ μ
ν
=
=
×
∈∂
∈
≠
,
каждая из которых есть
)1
2
(
2 −
nm
-мерная поверхность (так как
2
2nm ко-
ординат точки
Z связаны одним действительным соотношением
0
)
det(
* =
−
ν
ν Z
Z
I
). Поэтому и вся граница
∪
n
T
1
=
=
∂
ν
ν
γ
является
)1
2
(
2 −
nm
-мерной. Множество
( )
( )
( )
n
S T
S T
S T
T
=
×⋅⋅⋅×
⊂ ∂
назовем остовом Т. Оно
2
nm -мерное.
1.4. Матричный шар. Пусть
(
)
n
Z
Z
Z
,...,
1
=
– вектор, составленный из
квадратных матриц порядка m, рассматриваемых над полем комплекс-
ных чисел . Можно считать, что – элемент пространства
[
]
2
n
nm
m
m
×
≅
.
Матричное «скалярное» произведение для
[
]
,
n
Z W
m m
∈
×
определим
так:
*
*
1
1
,
.
n
n
Z W
Z W
Z W
=
+
+
Область
n
m
B , пространства
[
]
n m
m
×
:
{
},
0
,
:
,
>
−
=
Z
Z
I
Z
B
n
m
где I, как обычно, единичная матрица порядка m, есть матричный шар.
Остов этой области есть многообразие вида:
{
}.
,
:
,
I
Z
Z
Z
X
n
m
=
=
Очевидно, действительная размерность остова равна
)1
2
(
2
−
n
m
и при
1
>
m
не совпадает с размерностью границы матричного шара.
В частности, при
,1
1,
m
n
B
=
– матричный круг из
[
]
m
m
×
, а
1,
m
X
–
множество всех унитарных матриц.
При
1,
1,
n
m
B
=
– шар из
n
, а
n
X ,1 – единичная сфера.
При
1,1
1,
m
n
B
=
=
– единичный круг из , а
1,1
X – единичная ок-
ружность.
1.5. Матричная область Зигеля второго рода. Пусть
[
]
{
}
,
1
: Im
,
'
0 ,
n
m n
D
Z
C
m
m
Z
Z Z
=
∈
×
−
>
где
(
)
*
1
1
1
1
Im
2
Z
Z
Z
i
=
−
,
*
*
2
2
,
'
n
n
Z Z
Z Z
Z Z
=
+
+
.
Остов этой области:
[
]
{
}
,
1
: Im
,
' .
n
m n
Z
C
m
m
Z
Z Z
=
∈
×
=
R
В частности, при
,1
1,
m
n
D
=
– матричная верхняя полуплоскость, а
остов
1,
m
R
– множество всех эрмитовых матриц.
При
1,
1,
n
m
D
=
– область Зигеля второго рода (шар Пуанкаре) в
n
,
а остов
{
}
2
1,
1
2
.
n
n
n
y
z
z
=
=
+
+
R
При
1,1
1,
m
n
D
=
=
– верхняя полуплоскость в , а остов
1,1
R
– дей-
ствительная ось.
1.6. Матричная область Рейнхарта. Множество
[
]
n
G
m
m
⊂
×
на-
зовем матричной областью Рейнхарта, если она обладает следую-
щим свойством: вместе с каждой точкой
1
2
(
,
,...,
)
n
Z Z
Z
множество G со-
держит точки вида
1
1 1
2
2
2
(
,
,...,
)
n
n
n
U Z V U Z V
U Z V , где
,
U
V
ν
ν – произвольные уни-
тарные матрицы,
1,2,...,n
ν =
. Другими словами, матричная область Рейн-
харта является инвариантной относительно действия группы
на
[
].
n m
m
×
Матричную область Рейнхарта назовем полной , если вместе с каж-
дой точкой
0
0
0
1
2
(
,
,...,
)
n
Z
Z
Z
этой области ей принадлежат и все точки вида
S
S
n
Z
Z
Z
Z
Z
||
||
||
:||
)
,...,
,
(
0
2
1
ν
ν
≤
,
1,2,..., ,n
ν =
т.е. весь матричный поликруг
0
1
2
{(
,
,...,
) :||
||
||
||
n
S
S
Z Z
Z
Z
Z
ν
ν
≤
,
1,2,..., }.
n
ν =
Здесь
S||
||⋅
– спектральная норма матрицы (определение спектраль-
ной нормы см. ниже).
Напомним представление произвольной невырожденной матрицы
[
]
Z
m
m
∈
×
в полярных координатах.
Пусть Z – невырожденная матрица, тогда она представима в виде
произведения эрмитовой и унитарной SV, причем если первый множитель
положительно определен, то это представление единственно [12, с. 243].
Положительно определенную эрмитову матрицу S всегда можно унитар-
ным преобразованием привести к диагональному виду (см., например, [12,
с. 81]), отсюда получаем представление матрицы Z в виде
V
U
Z
Λ
=
, (1.1)
где U , V – унитарные матрицы, а
1
2
[
,
,...,
]
m
λ λ
λ
Λ =
– диагональная
матрица, причем
0
...
2
1
>
≥
≥
m
λ
λ
λ
.
Если
G
Z ∈
,
то
из
(1.1)
1
1
1
1
U ZV
U U VV
=
Λ
= Λ
при
*
*
1
1
,
.
U
U
V
V
=
=
Таким образом, каждую точку
G
Z ∈
можно получить
из вектора (
)
1
2
,
,...,
n
Λ Λ
Λ
диагональных матриц с помощью указанного
полярного представления. Поэтому изучение таких областей эквивалентно
изучению их образов в подпространстве
,
n m
n
n
m
+
+
+
=
×⋅⋅⋅×
пространства
[
]
n m
m
×
при отображении, когда каждой точке
)
,...,
,
(
2
1
n
Z
Z
Z
из G
ставится в соответствие единственная точка (
n
Λ
Λ
Λ
,...,
,
2
1
).
Образ области G при отображении
)
,...,
(
)
,...,
(
1
1
n
n
Z
Z
Λ
Λ
→
бу-
дем называть матричной диаграммой Рейнхарта и обозначим через
Λ
G .
Множество
будем называть логарифмическим образом области G .
Область G называется логарифмически выпуклой, если множест-
во
Λ
G
ln
выпукло в пространстве
nm
.
{
}
1
1
1 1
ln
ln
(ln
,...,ln
)
:
(
,...,
)
,det
0,
1,2,...,
nm
n
n
n
n
G
Z
U
V
U
V
G
n
ν
ν
Λ =
Λ =
Λ
Λ
∈
=
Λ
Λ
∈
Λ ≠
=
Матричная область Рейнхарта не обязательно является областью
Рейнхарта в , но мы всегда можем сопоставить ей открытое (возмож-
но, несвязное) множество Рейнхарта (т.е. множество, инвариантное
относительно действия тора) в , а именно
, … , : диагональные матрицы, 1 .
Отметим, что это множество, очевидно, содержит матричную диа-
грамму Рейнхарта
Λ
G . Более того, полярное представление (1.1) влечет,
что логарифмический образ области совпадает с логарифмическим обра-
зом области .
Рассмотрим примеры матричных областей Рейнхарта.
Пример 1.1. Матричный единичный круг τ . Для всех унитарных матриц
,
,
U V W
τ
∈
имеет место соотношение
.
0
)
(
)
)(
(
>
−
=
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
U
WW
I
U
U
UWW
I
UWV
UWV
I
Следовательно,
τ
∈
)
(UWV
, т.е. τ – матричная область Рейнхарта. Из не-
равенства
[
]
0
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
>
−
+
−
+
−
=
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
QQ
I
Q
WW
I
W
RR
I
W
Q
QWR
QWR
I
при
,
,
Q R W
τ
∈ вытекает, что τ является полной матричной областью
Рейнхарта в
[
]
m
m
×
. Так как множество
выпуклое, то τ логарифмически выпуклое множество. Здесь
m
−
– множе-
ство всех отрицательно определенных диагональных действительных
]
[
m
m ×
-матриц (т.е. множество m-мерных действительных векторов с от-
рицательными координатами).
Пример 1.2. Матричный единичный поликруг
n
T
τ
τ
×
×
=
...
.
{
}
1
1
1
ln
ln
:
ln
0
m
m
X
τ Λ
−
=
Λ ∈
=
Λ <
=
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
