Математические методы в управлении: Часть 1. Компьютерный практикум
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Эконометрика
Издательство:
Всероссийский заочный финансово-экономический институт
Год издания: 2011
Кол-во страниц: 76
Дополнительно
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОУ ВПО ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В УПРАВЛЕНИИ
Компьютерный практикум и методические указания по выполнению лабораторной работы
Для магистрантов первого года обучения, направление 080500.68 «Магистр менеджмента»
Часть I
МОСКВА 2011
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В УПРАВЛЕНИИ Компьютерный практикум и методические указания по выполнению лабораторной работы для магистрантов первого года обучения, направление 080500.68 «Магистр менеджмента» Часть I Финансово-кредитный факультет Кафедра экономико-математических методов и моделей Москва 2011
ББК22.1
Компьютерный практикум и методические указания разработали: кандидат экономических наук, профессор А.Н. Гармаш, кандидат экономических наук, профессор И.В. Орлова, кандидат экономических наук, старший преподаватель Е.Н. Горбатенко, старший преподаватель В.А, Большаков
Компьютерный практикум и методические указания обсуждены на заседании кафедры экономико-математических методов и моделей Зав. кафедрой доктор физико-математических наук, профессор В,В. Угрозов
Учебно-методическое издание утверждено на заседании Научно-методического совета ВЗФЭИ
Проректор, председатель НМС, профессор Д.М. Дайитбегов
Математические методы в управлении. Компьютерный практикум и методические указания по выполнению лабораторной работы для магистрантов первого года обучения, направление 080500.68 «Магистр менеджмента». Часть I. - М.: ВЗФЭИ, 2011.
ББК22.1
© Всероссийский заочный финансово-экономический институт (ВЗФЭИ), 2011
Предисловие
Изучение дисциплины «Математические методы в управлении» предусматривает проведение практических занятий на ПК. Основная цель практических занятий на ПК - формирование у магистрантов навыков использования математических методов и моделей для решения прикладных задач, связанных с принятием управленческих решений.
В процессе проведения практических занятий осуществляется более углубленное изучение студентами учебного материала, формируются навыки самостоятельного решения задач по отдельным разделам следующих тем: «Оптимизационные экономико-математические модели, методы получения оптимальных решений», «Методы исследования операций в принятии решений», «Методы и модели сетевого планирования и управления», «Математические методы управления в условиях неполной информации», «Методы и модели эконометрики, производственные функции».
Итогом практических занятий на ПК является самостоятельное выполнение студентами лабораторной работы.
Цель лабораторной работы - промежуточный контроль знаний магистрантов и оценка степени усвоения ими учебного материала дисциплины.
Учебное пособие предназначено для магистрантов первого года обучения, направление 080500.68 «Магистр менеджмента» в качестве руководства при проведении компьютерного практикума и вы
4
полнении лабораторной работы по дисциплине «Математические методы в управлении».
При решении задач части I используются средства Microsoft Excel (MS Excel), при решении задач Части II - специальные системы компьютерного моделирования MS Project 2007 (сетевое планирование и управление) и GPSS World (имитационное моделирование).
Приводятся разнообразные примеры хозяйственных ситуаций с иллюстрацией компьютерного получения управленческих решений, излагаются организационные вопросы и задания для выполнения лабораторной работы, порядок ее выполнения и оформления отчета.
Раздел L Компьютерный практикум, использование средств MS Excel
С учетом широкого применения в бизнес-расчетах и управлении электронных таблиц, которые в настоящее время являются, по сути, языком делового общения, при решении большинства задач учебной дисциплины используются средства Microsoft Excel (MS Excel).
1. Методы и модели оптимизации
Экономические и математические основы оптимизации достаточно подробно рассмотрены в учебных пособиях [3,7,9].
Оптимизационные (экстремальные) модели являются математическим описанием (представлением, выражением) оптимального подхода (принципа оптимальности) к планированию и управлению. Реализовать на практике принцип оптимальности и получить оптимальное решение в конкретной альтернативной хозяйственной ситуации - значит провести моделирование и получить решение
задачи оптимизации вида:
найти максимум (минимум) функции
/(X)=/(Xi,x₂, ...,хп)
при ограничениях л
g,(XᵥXᵥ = >Н,
g₂(x₁,x₂,...,xₙ)<!<,=,>^₂, >
(1.1)
(1-2)
х>0, j= 1,2,..., w, (1.3)
где f(X) - математическая запись критерия оптимальности, целевая функция.
Оптимизационную задачу (1.1)-(1.3) называют общей задачей оптимального (математического) программирования, или ЭММ оптимизации (оптимизационной ЭММ).
Выбору того или иного метода решения (получения оптимальных значений переменных и целевой функции) конкретной задачи оптимального программирования предшествует ее идентификация, то есть отнесение ее к одному из классов оптимизационных задач [3].
Компания Frontline Systems разработала несколько версий программы поиска оптимальных решений Solver для фирмы Microsoft, одна из которых поставляется вместе с программой Excel. Надстройка Solver в русской версии Excel получила название Поиск решения. Компания Frontline Systems также разработала несколько расширенных коммерческих программ-оптимизаторов, в том числе надстройку Premium Edition Solver. Эта надстройка представляет собой расширенную версию программы поиска оптимальных решений Поиск решения.
Перед проведением оптимизации надстройку Поиск решения необходимо активизировать через основное меню Сервис/Над -стройки или Офис (кнопка)/Параметры/Надстройки в Excel 2007 (см. «Справочные материалы» в конце данного раздела).
Технология решения задач линейной, нелинейной и дискретной оптимизации с использованием средств Microsoft Excel подробно рассмотрена в литературе [3, 6, 7]. Укажем на некоторые основные, принципиальные вопросы реализации оптимизационной ЭММ средствами этой надстройки.
Первым шагом при работе с надстройкой (основное меню Сер-вис/Поиск решения или Данные/Поиск решения в Excel 2007) является создание специализированного (рабочего) листа, то есть специальной записи ЭММ в терминах электронной таблицы Excel (иногда говорят о формировании табличной модели на рабочем листе Excel [6]).
Для этого необходимо определить в электронной таблице целевую ячейку, в которой записывается целевая функция модели, а так
7
же одну или несколько изменяемых (переменных) ячеек. Изменяемые (переменные) ячейки, как правило, отвечают основным переменным модели, их значения могут изменяться для достижения экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Для успешного поиска решения необходимо, чтобы каждая из переменных ячеек (в общем случае можно задать до двухсот ячеек) влияла на целевую ячейку. Иначе говоря, формула в целевой ячейке должна опираться в вычислениях на значения переменных ячеек. В противном случае при выполнении команды Поиск решения появляется сообщение об ошибке (Результаты целевой ячейки не сходятся).
Ограничения модели определяются с помощью значений соответствующих ячеек-функций, которые должны находиться в определенных пределах или удовлетворять граничным условиям. Ограничения могут налагаться как на целевую, так и на переменные ячейки (по два ограничения для каждой изменяемой ячейки с указанием верхнего и нижнего пределов, а также до ста дополнительных). Таким образом, на специализированном листе должны содержаться ячейки (ячейки-функции), в которых вычисляются ограничиваемые величины.
После оформления рабочего листа переходят ко второму этапу решения - оформлению диалогового окна Поиск решения, которое появляется после выполнения команды Сервис (основное меню)/ Поиск решения или Данные (основное меню)/Поиск решения. Тип каждого из ограничений модели (<, =, >) задается (вводится) в специальном окне Ограничения диалогового окна Поиск решения. Численные значения самих ограничений включать в специализированный лист необязательно, они могут вводиться в специальном окне Ограничения диалогового окна Поиск решения.
Для большинства небольших моделей очень редко возникает необходимость в изменении установленных по умолчанию параметров специального окна Параметры диалогового окна Поиск решения (исключение составляют параметры Линейная модель и Неотрицательные значения). Общая информация, касающаяся установки параметров специального окна Параметры поиска решения, может быть получена в режиме Справка этого окна.
На третьем этапе решения проводится анализ результатов оптимизации. После команды Выполнить диалогового окна Поиск ре
шения осуществляется поиск оптимального решения, в итоге появляется диалоговое окно Результаты поиска решения.
В режиме Справка диалогового окна Результаты поиска решения содержатся сведения об итоговых сообщениях процедуры поиска решения. При успешном завершении решения задачи появляется диалоговое окно Результат поиска решения. Решение найдено. С помощью рубрики Результаты этого диалогового окна можно получить отчет по результатам решения. Рубрики Устойчивость и Пределы позволяют провести дополнительный экономико-математический анализ оптимального плана и получить отчеты по устойчивости и пределам.
Сообщения о неудачном завершении работы можно получить, используя режим Справка диалогового окна Поиск решения. Например, в случае несовместности системы ограничений Excel будет выдавать сообщение «Поиск не может найти подходящего решения». Если же решение задачи отсутствует вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то Excel будет выдавать сообщение «Значения целевой ячейки не сходятся».
Для линейной модели это сообщение означает, что найдено оптимальное решение, но, возможно, есть и другие решения с тем же значением целевой функции, то есть альтернативные оптимальные решения (случай неединственности решения).
Если решение невырождено и модель линейна, то о существовании альтернативных оптимальных решений сигнализируют [6] нулевые значения в столбцах Допустимое увеличение или Допустимое уменьшение для некоторых переменных решения в Отчете по устойчивости, генерируемом средством Поиск решения. Кроме этого, в отчете по устойчивости нет другой информации об альтернативных оптимальных решениях. Необходим повторный запуск программы Поиск решения с немного отличающимися значениями переменных для нахождения другого оптимума.
Для нелинейной модели это сообщение означает, что найден локальный оптимум или, при наличии у задачи соответствующих свойств, глобальный оптимум. Из отчетов программы Поиск решения невозможно узнать, является решение локальным или глобальным оптимумом и есть ли альтернативные оптимумы. Единственный способ обнаружить другие оптимумы - провести процесс мно
8
гократной оптимизации с помощью некоторой систематической стратегии перебора начальных значений переменных задачи [6].
Не для всякой экономической задачи нужна своя собственная модель. Многие хозяйственные ситуации с содержательной и математической точек зрения однотипны и могут описываться одинаковыми моделями. В оптимальном программировании существует ряд типовых моделей, к которым приводятся модели многих конкретных задач.
Решение типовых задач оптимизации средствами MS Excel рассматривается в литературе [3, 6, 7].
Рассмотрим технологию получения оптимальных решений средствами MS Excel на примере решения типовой задачи об инвестициях.
1.1. Задача об инвестициях (вариант: портфельные инвестиции)
Постановка задачи. Рассматривается задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг. В этой задаче приняты следующие обозначения:
т. - ожидаемая средняя доходность j-й ценной бумаги, j = 1, п (т. называют эффективностьюj-й ценной бумаги);
V. = о - дисперсия случайной доходностиу-й ценной бумаги,
7 = 1, п (Tj = yjvj называют рискому-й ценной бумаги);
о.. - ковариация доходности ценных бумаг i nj (i = 1, n, J = 1, и);
Д - верхняя граница доли, которую ценные бумаги j могут составлять в структуре портфеля, j = 1, п •
Необходимо сформировать оптимальный портфель ценных бумаг минимального риска при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля тр (портфель Марковица минимального риска).
Математическая модель. Пусть х;, 7 = 1, п, - доля капитала, потраченная на покупку ценных бумагу-го вида (весь выделенный капитал принимается за единицу). С учетом этих обозначений мо
дель задачи формирования портфеля ценных бумаг с минимальной дисперсией (вариацией портфеля) имеет вид:
найти х; , 7 = 1, п, минимизирующие дисперсию доходности портфеля ценных бумаг
п п
i-1 j=i
при условиях:
а) обеспечивается заданное значение эффективности портфеля т , то есть
^т^>тр,
>1
б) верхняя граница доли ценных бумаг j в структуре портфеля составляет не более А., то есть г
xⱼ < Д., 7 = 1, п\ j j j ’
в) весь выделенный для инвестиций капитал в целях моделирования принимается за единицу, то есть
7=1
X; >0, 7 = 1, П.
J ¹ J
Получена модель задачи нелинейного программирования (НЛП), нелинейной является целевая функция. Данная модель представляет собой модель квадратичного программирования, и для нее локальное решение обязательно является глобальным решением.
> Пример 1.1. Предстоит принять решение о финансовых вложениях временно свободных денежных средств предприятия [6]. В качестве объекта финансовых вложений рассматриваются три вида ценных бумаг, для которых есть данные о доходности за последние 12 лет, - акции компаний AT&T, GM и USS (US Steel). Показатели доходности акций приведены в таблице.
Доходность акций за последние 12 лет, %
Год AT&T GM USS
1 30,0 22,5 14,9
2 10,3 29,0 26,0
3 21,6 21,6 41,9
4 -4,6 -27,2 -7,8
5 -7,1 14,4 16,9
6 5,6 10,7 -3,5
7 3,8 32,1 13,3
8 8,9 30,5 73,2
9 9,0 19,5 2,1
10 8,3 39,0 13,1
11 3,5 -7,2 0,6
12 17,6 71,5 90,8
Необходимо сформировать портфель из трех ценных бумаг так, чтобы минимизировать дисперсию доходности инвестиционного портфеля при условии, что ожидаемая доходность составит не менее 15%. Дополнительно должно быть учтено условие, что в акции одного вида можно вложить не более 50% общей суммы временно свободных денежных средств предприятия.
Математическое моделирование. На основе данных таблицы проведем оценку доходности (эффективности) ценных бумаг (функция = СРЗНАЧ Мастера функций Excel): = 0,089083,
т₂ = 0,213667, m₃ = 0,234583. Для оценки ковариации доходности ценных бумаг воспользуемся инструментом Ковариация в надстройке Анализ данных.
И
Матрица ковариаций
AT&T GM USS
AT&T 0,009907
GM 0,011373 0,053526
USS 0,011986 0,050808 0,086375
Введем необходимые обозначения. Пусть х (j = 1,2,3) - доли соответствующих ценных бумаг в портфеле. Тогда математическая модель рассматриваемой задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг имеет вид:
min/(хр х₂, х₃) = 0,009907x2 ₊ о,О53526х² + 0,086375х² + 2 • 0,011373xₜx₂ +
+ 2 • 0,011986x^3 + 2 • 0,050808х2Х₃;
0,089083л; + 0,213667х₂ + 0,234583х₃ > 0,15;
х. <0,50, j = 1,2,3;
xₜ + х₂ + х₃ = 1;
х. >0, j= 1,2, 3.
Получение решения. Приведенная ЭММ является моделью квадратичного программирования [3]. Проведем оптимизацию средствами надстройки Поиск решения.
Рабочий лист может быть подготовлен в виде, представленном на рис. 1.1.
12
Рис. 1.1. Рабочий лист
Диалоговое окно, отвечающее приведенному на рис. 1.1 рабочему листу, представлено на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Диалоговое окно
Оптимальное решение х₁ = 0,5000, х₂ = 0,4725, х₃ = 0,0275 (рис. 1.3) предусматривает, что 50% будут составлять акции компании AT&T, 47,25% - акции компании GM, 2,75% - акции компании USS.
Оппсл решение 0,5000 0,4”25 0.02”5 1 CO-’JO 1 '
•Ограничения доли С.5о С-.50
Огадзечьш Д‘?хсд -%5% 065% if 2)% 15 tC%
ЦФ= 0.02151$ дисперсия портфеля
Структура портфеля
0.5-3GD
AT&T
Рис. 1.3. Результаты решения
Ожидаемая годовая доходность портфеля равна 15,20%, вариация годовой доходности портфеля составляет примерно 0,0215. Таким образом, стандартное (среднеквадратическое) отклонение равно 14,67%.
В предположении о нормальном распределении доходности инвестиционного портфеля со средним значением 15,20% и среднеквадратическим отклонением 14,67% с вероятностью 95% можно ожидать, что в следующем году такой портфель будет иметь доходность от -14,14 до +44,54% (правило «двух сигм»). ►
1.2. Задача об инвестициях (вариант: капиталовложения)
Постановка задачи. Предлагается п инвестиционных проектов в основной капитал, тщательная экономическая экспертиза которых позволяет получить для каждого из проектов достаточно убедительные экономические оценки ожидаемого эффекта от их реализации cᵥ с₂,..., сп и объемов необходимых капиталовложений pₜ,p₂, ...,рп. Общий объем возможных капиталовложений ограничен величиной В. Необходимо так распорядиться имеющимися финансовыми ресурсами, чтобы максимизировать суммарный эффект от инвестиций.
15
Математическая модель. Введем необходимые обозначения. Пусть х. (j = 1,2,п):
[1, если у-й проект следует финансировать,
х- = <[
[О в противном случае.
Таким образом, формально инвестиционный план - это вектор Х-{хх, х₂, Xj, С учетом этих обозначений задача
по критерию «максимум экономического эффекта» математически запишется следующим образом:
п
шах/(Х) = ^с₇хр М
Тогда математическая модель рассматриваемой задачи по критерию «максимум суммарного эффекта от инвестиций» запишется следующим образом:
шах/(хр х₂, х₃, х₄) = 80xₜ + 50х₂ + 75х₃ + 40х₄ + 45х₅,
11 0х. + 60х₉ + 80х, + 15х, + ЗОх, < 200,
1 2 3 4 5 ⁷
х,-=<’ / = 1,2,3,4,5.
⁷ [0
Получение решения. Рассматриваемая ЭММ является моделью задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП) с булевыми переменными (особые условия дискретности). При реализации полученной модели средствами MS Excel указанные условия дискретности учитываются в диалоговом окне Поиск решения с помощью опции:
>1
fl,
х- = < 7 = 1, 2, ..., п.
⁷ |(Г
|Ху - двоичное, 7 = 1, 5 j.
Рабочий лист и диалоговое окно, отвечающее приведенному рабочему листу, показаны на рис. 1.4.
Полученная модель является моделью задачи целочисленного линейного программирования (ЦЛП) с булевыми переменными (особые условия дискретности).
>Пример 1.2. Предлагается пять инвестиционных проектов, тщательная экономическая экспертиза которых позволяет получить для каждого из проектов достаточно убедительные экономические оценки ожидаемого эффекта от их реализации (80, 50, 75, 40, 45) и объемов необходимых капиталовложений (110,60,80,15,30). Общий объем возможных инвестиций ограничен величиной 200.
Необходимо так распорядиться имеющимися финансовыми ресурсами, чтобы максимизировать суммарный эффект от инвестиций.
Математическое моделирование. Введем необходимые обозначения. Пусть х. (j = 1, 2,3,4,5):
fl,если j-йпроект следует финансировать,
х- = <
[0 в противном случае.
=CyV.\iTTPOII3B:B; г? B4F
Задача об инвестициях
объему инвестиций
Рис. 1.4. Начальная рабочая таблица и диалоговое окно
А
16
Результаты реализации ЭММ рассматриваемой задачи об инвестициях приведены на рис. 1.5.
а..........з с ’ t ■' е ?
1 • Задача об инвестициях
2 :
3 : Перемзннь:? X: X; X; Xi X;.
4 : ячейки С 1111
•:$ .•••Показатели ЦФ 85 50 75 40 45
$ ;;
7 Ограничение пс 116 60 60 15 30
8 ; объему инвес
С/ммзрнын
'ИННЙ
Рис. 1.5. Результаты решения
Таким образом, рекомендуемое управленческое решение с позиций принятого критерия оптимальности - следует финансировать все проекты, кроме первого. В этом случае ожидается максимальный эффект от инвестиций, равный 210 у.е., при этом 15 у.е. денежных средств будет не использовано (их можно использовать на другие цели). ►
Задания для самостоятельной работы и самопроверки
1. Предприятие располагает двумя способами производства данного вида продукции. В течение рассматриваемого периода времени необходимый объем продукции равен 100 = Х{ + Х₂, где Х{ и Х₂ -объемы производства по соответствующему технологическому способу. Затраты производства S при каждом способе зависят от объемов нелинейно. Получены следующие эконометрические модели:
S(Xᵢ) = 3 + 2Х} + X*,
S(X₂) = 5 + Х₂ + 2%2.
Необходимо объем производства так распределить между технологическими способами, чтобы минимизировать общие затраты производства.
Ответ. Оптимальное решение определяется вектором, компоненты которого задают объемы выпуска продукции по технологиям производства. Оптимальное решение (66,5; 33,5), минимальные затраты производства составят 6841,25 у.е.
2. Предприниматель имеет шесть торговых точек по продаже продуктов питания. На следующий рабочий день он располагает пятью продавцами (один из продавцов не успел оформить медицинскую книжку). Проанализировав объем ежедневной выручки в прошлом, предприниматель провел оценку среднедневного объема продаж продуктов в различных торговых точках каждым из продавцов (провел оценку элементов матрицы эффективностей назначений). Результаты этой оценки представлены в таблице:
Продавец Среднедневной объем продаж по торговым точкам, у.е.
1 II III IV V VI
А 56 60 58 63 61 59
Б 35 38 45 25 27
В 40 42 47 45 53 36
Г 62 70 68 67 69 70
Д 65 63 69 70 72 68
Назначение продавца Б на торговую точку III недопустимо по медицинским показаниям, то есть в матрице эффективностей проставлен запрет «-».
Определить, как предприниматель должен осуществить назначение продавцов по торговым точкам, чтобы достичь максимального объема продаж.
Ответ. Оптимальное решение определяется матрицей назначений X = (х.). Результаты решения содержатся в таблице.