Математические методы в управлении. Методические указания

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ
ФИНАНСОВОЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В УПРАВЛЕНИИ

Методические указания по написанию реферата
для самостоятельной работы студентов I курса,
обучающихся по направлению 521500 (080500.68)
«Магистр менеджмента»

Финансовокредитный факультет
Кафедра экономикоматематических методов и моделей

Москва 2009

ББК 22.1

Методические указания разработали
доктор экономических наук, профессор В.А. Половников,
кандидат экономических наук, доцент А.Н. Гармаш,
доктор физикоматематических наук, профессор В.Я. Габескирия,
кандидат экономических наук, профессор И.В. Орлова,
доктор педагогических наук, профессор А.И. Пилипенко

Учебнометодическое издание одобрено на заседании
Научнометодического совета ВЗФЭИ

Проректор, председатель НМС, профессор Д.М. Дайитбегов

Математические методы в управлении. Методические указания
по написанию реферата для самостоятельной работы студентов
I курса, обучающихся по направлению 521500 (080500.68) «Магистр
менеджмента». — М.: ВЗФЭИ, 2009.

ББК 22.1

© Всероссийский заочный
финансовоэкономический
институт (ВЗФЭИ), 2009

Введение

Широкое использование математических методов является необходимым условием эффективной научной и практической деятельности современного специалиста. Эти методы приобретают все большее
значение при принятии управленческих решений, когда для их обоснования требуется найти рациональные и логические аргументы.
При изучении рассматриваемой дисциплины важно освоить не
только методы количественного (математического) моделирования
в процессе принятия решений, но и, с учетом все более широкого
применения электронных таблиц в практике управления, реализацию принятых решений средствами Excel. При этом задача состоит в обучении студентов направления «Магистр менеджмента»
профессиональным навыкам разработки и реализации моделей деловых ситуаций, не углубляясь в алгоритмические и математические тонкости расчетов.
Для успешного изучения основ принятия управленческих решений с применением математических методов и приобретения начальных профессиональных навыков разработки экономикоматематических моделей (ЭММ) студентаммагистрантам заочной формы
обучения необходим значительный объем самостоятельной работы.
Основная цель самостоятельной работы — приобретение навыков и умений работать с учебной и научной литературой, самостоятельно систематизировать и анализировать материал.

Студентаммагистрантам предлагаются методические указания,
в которых приводятся: программа самостоятельной работы с кратким комментарием тем, вопросов и указанием литературных источников для их изучения (не ставится задача предложить краткий
конспект лекций!); контрольные вопросы и задания к темам для
самопроверки; порядок выбора и образцы оформления реферата и
отчета по итогам самостоятельной работы; перечни тем реферата и
отчета, общий список рекомендуемой литературы.

1. Программа самостоятельной работы
студентамагистранта над темами дисциплины

Учебной программой по дисциплине «Математические методы в
управлении» предусмотрена самостоятельная работа студентамагистранта над темами данной дисциплины.
В соответствии с Учебной программой дисциплины предлагают
ся следующие темы для самостоятельной работы.

Тема 1. Введение

Математическое моделирование в принятии управленческих решений. Экономикоматематические методы и модели управления
и принятия решений, основные понятия и определения. Классификация экономикоматематических методов и моделей управления
сложными системами. Основные этапы в процессе принятия решений с применением математических методов. Примеры и иллюстрации понятий и определений.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 4.

Тема 2. Оптимизационные экономикоматематические
модели, методы получения оптимальных решений

Принцип оптимальности в планировании и управлении. Общая
задача оптимального (математического программирования). Классификация задач оптимизации. Случаи неразрешимости оптимизационной задачи.

Задачи и методы линейного программирования. Свойства задач
линейного программирования (ЗЛП), универсальный метод решения (метод последовательного улучшения плана). Особые случаи
решения ЗЛП. Анализ оптимального плана.
Задачи и методы нелинейного и дискретного программирования.
Основные понятия и постановка задач нелинейного и дискретного
программирования. Трудности в реализации, порождаемые нелинейностью и дискретностью; общие сведения о методах реализации
моделей нелинейного и дискретного программирования.
Метод динамического программирования, принцип оптимальности Беллмана, иллюстрация применения на конкретном примере.
Примеры экономикоматематических моделей оптимизации, используемых при управлении производственными, финансовыми,
маркетинговыми и хозяйственными процессами.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 18.

Тема 3. Решение задач оптимизации с помощью Excel

Технология решения задач линейной, нелинейной и дискретной
оптимизации средствами Excel: оформление рабочего листа, окна
диалога, анализ результатов оптимизации. Анализ оптимального
решения: использование отчета по результатам, отчета по устойчивости, отчета по пределам. Параметрический анализ. Графическое
представление результатов решения.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 16.

Тема 4. Методы исследования операций в принятии решений

Модели систем массового обслуживания (СМО). Классификация, основные понятия, элементы модели, расчет основных характеристик.
Классификация систем управления запасами, модель Уилсона и
ее модификации. Методы расчета текущего и страхового запасов.
Элементы теории игр. Основные понятия теории игр. Матричные игры. Кооперативные игры. Игры с природой.
Иллюстрация понятий и определений. Примеры практических
приложений.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 24.

Тема 5. Методы и модели сетевого планирования
и управления

Основные понятия и правила построения сетевой модели (СМ).
Основные характеристики СМ. Методы расчета характеристик
СМ. Определение критического пути. Сетевое планирование в условиях неопределенности. Корректировка и оптимизация сетевых
графиков. Анализ сетевого графика по ресурсам. График Ганта.
Оптимизация сети по времени.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 20.

Тема 6. Математические методы управления
в условиях неполной информации

Методы экспертных оценок. Предпосылки использования экспертных методов. Эксперты и методы обработки информации, получаемой от экспертов. Экспертные методы при принятии решений. Примеры применения методов экспертных оценок.
Статистический анализ и моделирование. Статистический анализ
и проверка гипотез. Метод статистических испытаний. Основные
понятия и принципы построения имитационных моделей. Примеры
использования имитационных моделей.
Автоматизация вычислений, реализация прикладных моделей и
расчетов средствами пакета Excel, использование в конкретных
хозяйственных ситуациях.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 18.

Тема 7. Методы и модели эконометрики,
производственные функции

Статистические связи в экономике, эконометрические модели.
Оценка тесноты статистической связи. Методы и модели парной и
множественной регрессии.
Производственные функции и их свойства. Анализ взаимозаменяемости (эластичности) производственных факторов. Однородные и линейные производственные функции. Использование про7

изводственных функций для анализа норм затрат и взаимодополняемости производственных факторов. Примеры использования
производственных функций.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 16.

Тема 8. Методы финансовой математики

Доходность как показатель эффективности финансовой операции, расчет ставки полной доходности по некоторым коммерческим
операциям. Расчет наращенных сумм в условиях инфляции. Анализ и выбор условий в коммерческих контрактах.
Методы анализа инвестиционных проектов. Критерии эффективности долгосрочных инвестиций. Примеры оценки эффективности
проектов.
Оптимизационные расчеты в инвестиционном анализе. Задача об
инвестициях: постановка задачи, оптимизационная модель и ее реализация. Портфельные инвестиции. Постановка задачи об оптимальном портфеле, модели Марковица и Тобина.
Численные примеры, автоматизация расчетов средствами пакета
Excel.
Плановое количество часов самостоятельной работы по теме —
не менее 14.
Общее плановое количество часов самостоятельной работы — не
менее 130.
Одна из форм контроля проделанной самостоятельной работы —
представление и защита студентоммагистрантом реферата или
отчета.

2. Методические указания
по изучению тем дисциплины

При изучении темы 1 (введение в дисциплину) необходимо понять суть метода моделирования в исследовании экономических
процессов и принятии решений; усвоить основные, базовые понятия и определения, используемые в дисциплине: экономикоматематическая модель (ЭММ) и экономикоматематические методы,

общая классификация экономикоматематических методов и моделей управления сложными системами; цели и основные принципы
построения ЭММ; основные этапы в процессе принятия решений
с применением математических методов и их характеристика.
Необходимо уметь привести примеры и иллюстрации понятий и
определений. Основной литературный источник [1], полезно привлечь литературу [10, 11, 12].

Тема 2. Оптимизационные экономикоматематические
модели, методы получения оптимальных решений

При изучении данной темы следует в первую очередь понять экономические основы оптимизации и суть принципа оптимальности
в планировании и управлении [1].
Оптимизационные (экстремальные) модели в экономике являются математическим выражением (представлением) принципа
оптимальности (оптимального подхода к планированию и управлению), то есть реализовать на практике принцип оптимальности в
планировании и управлении — это значит решить задачу оптимизации вида:
найти максимум (минимум) функции
f(X) = f(x1, x2, …, xn)
(1.1)
при ограничениях
g1(x1, x2, …, xn){≤, =, ≥} b1,

g2(x1, x2, …, xn) {≤, =, ≥} b2,
(1.2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gm(x1, x2, …, xn) {≤, =, ≥} bm,

xj ≥ 0, j = 1, 2, …, n,
(1.3)
где f(X) — математическая запись критерия оптимальности — целевая функция.
Условие (1.3) необязательно, но его всегда можно добиться. Обозначение {≤, =, ≥} говорит о том, что в конкретном ограничении возможен один из знаков ≤, = или ≥.
Оптимизационную задачу (1.1)–(1.3) называют общей задачей
оптимального (математического) программирования, иначе —
ЭММ оптимизации (оптимизационной ЭММ).

Студентам надо знать определения области допустимых решений
(ОДР), допустимого и оптимального решения этой задачи; понимать, в каких случаях задача оптимизации может не иметь решений
и причины этого.
Выбору того или иного метода решения (получения оптимальных значений переменных и целевой функции) конкретной задачи оптимального программирования предшествует ее классификация, то есть отнесение к одному из классов оптимизационных
задач [1].
Для изучения методов решения (методов получения оптимальных решений) задачи (1.1)–(1.3) необходимо знание ряда разделов
высшей математики.
Матрицы, действия над матрицами. Обратная матрица, ее вычисление. Ранг матрицы и его вычисление.
Определители, их свойства. Вычисление определителей. Миноры и алгебраические дополнения, их вычисление.
Системы линейных уравнений, решение методом обратной матрицы. Исследование систем линейных уравнений методом Жордана–Гаусса.
Векторы и простейшие действия над ними. Линейная зависимость и независимость системы векторов, базис системы векторов.
Линейные векторные пространства. Базис пространства, естественный базис, переход от одного базиса к другому.
Выпуклые множества, выпуклые и вогнутые функции, их свойства.
Необходимый минимум материала по приведенным вопросам
содержится, например, в учебном пособии [1].
Наиболее изученными задачами оптимизации являются задачи
линейного программирования (ЗЛП).
Для решения ЗЛП существует универсальный метод — метод последовательного улучшения плана, или симплексметод, который состоит из двух вычислительных процедур: симплексметода с естественным базисом и симплексметода с искусственным базисом.
Выбор конкретной вычислительной процедуры осуществляется
после приведения исходной ЗЛП к каноническому виду (КЗЛП):

1
max(min) (
)
;

n

j
j
j

f X
c x

=
=∑

1
,
1,2,...,
;

n

ij
j
i
j
a x
b i
m

=
=
=
∑

0,
1, 2,..., ;
0,
1, 2,...,
.
j
i
х
j
n b
i
m
≥
=
≥
=

При изучении симплексметода надо обратить внимание на особые случаи симплексного метода (признаки неразрешимости, неединственности оптимального решения) [1, 3, 11, 12, 13, 15].
Существуют многие экстремальные задачи, которые не могут
быть решены методами линейного программирования (ЛП). Необходимость исследования таких задач привела к созданию других
разделов математического программирования.
Задача (модель) нелинейного программирования (НЛП) формулируется так же, как и общая задача оптимального программирования со следующими требованиями к целевой функции (ЦФ) и допустимой области: целевая функция f(x1, x2, ..., xn) и (или) одна из
функций gi(x1, x2, ..., xn) являются нелинейными —

1
2
min(max) (
,
,
,
);
n
f x x
x
…

1
2
(
,
,
,
){ , , } ,
1,
;
i
n
i
g
x
x
x
b
i
m
≤ = ≥
=
…

0,
1, .
jx
j
n
≥
=

У произвольной задачи НЛП некоторые или все свойства, характерные для задач ЛП, отсутствуют [1]. Вследствие этого задачи
НЛП несравнимо сложнее задач ЛП и для них не существует общего универсального метода их решения (аналогично симплексному
методу).
Есть целый ряд методов решения задач НЛП, некоторые из них
рассмотрены в [1, 1014, 16, 22].
Следует, на наш взгляд, согласиться с Б.Я. Курицким [9], что для
практического решения задачи оптимизации суть этих методов
знать не обязательно. Однако необходимо помнить, что существующие методы дают возможность находить только локальные оптимумы (помимо случаев, когда задачи обладают соответствующими
свойствами выпуклости и вогнутости [1]). Если же есть подозрение,
что в допустимой области ЦФ может иметь несколько оптимумов,
то эту область следует разбить на ряд областей и в каждой из них
определить свои локальные оптимумы, а затем из всех локальных
оптимумов выбрать глобальный. В таком практическом подходе

задача поиска глобального оптимума сводится к решению ряда задач, в которых ищется свой (локальный) оптимум.
Следует отметить, что в подавляющем большинстве практических задач оптимизации существует только один оптимум [9].
Задачи оптимизации, в результате решения которых искомые
значения переменных должны быть целыми числами, называются
задачами (моделями) целочисленного (дискретного) программирования:

1
2
min(max) (
,
,
,
);
n
f x
x
x
…

1
2
(
,
,
,
){ , , } ,
1,
;
i
n
i
g
x
x
x
b
i
m
≤ = ≥
=
…

целые неотрицательные
.
j
j
x
n′
−
∀ ∈ <
>

Если множество индексов 
{1, 2,
, },
n
n
n
′
<
> = <
> =
…
 то задачу называют полностью целочисленной, если 
,
n
n
′
<
> ⊂ <
>  то частично
целочисленной.
Существуют различные методы решения задач целочисленного
программирования (дискретной оптимизации). Общие сведения о
методах реализации моделей дискретного программирования можно получить, например, в литературе [1, 9, 11, 22].
Динамическое программирование представляет собой вычислительный метод для решения некоторых типов задач математического программирования [1, 11, 22]. Как показывает название, динамическое программирование связано с временны´м процессом. Однако этот метод используется и в таких задачах, где время вообще не
фигурирует. Динамика, таким образом, заключается не в решенных
задачах, а в методе решения. Процесс решения расчленяется на этапы, решаемые последовательно во времени и приводящие в конечном счете к искомому решению.
В основе метода динамического программирования лежит принцип оптимальности Беллмана (по имени американского ученого,
автора метода динамического программирования): «Оптимальное
поведение обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение в начальный момент, последующие
решения должны составлять оптимальное поведение относительно
состояния, получающегося в результате первого решения».
Конкретное применение теории динамического программирования обычно иллюстрируется на некоторых типовых задачах, напри12

мер, в [1] рассматривается задача распределения ресурсов. Для решения задач методом динамического программирования не предлагается подходящих программных средств — разобраться в сути
принципа оптимальности Беллмана следует «с карандашом в руке».
После изучения всех тем учебной программы следует вернуться
к теме 2, обобщить и систематизировать примеры линейных, нелинейных и дискретных моделей оптимизации, используемых при
управлении производственными, финансовыми, маркетинговыми
и хозяйственными процессами.

Задания для самопроверки

1. При построении (разработке) оптимизационной экономикоматематической модели необходимо руководствоваться следующими основными принципами:
а) оптимальности
б) системности и адекватности
в) оптимальности, системности и адекватности.

2. Сколько существует основных причин неразрешимости задачи
оптимального программирования:
а) одна
б) две
в) три
г) более трех.

3. Решить задачу оптимального программирования (реализовать
оптимизационную ЭММ) — это значит найти:
а) оптимальный план
б) оптимальное значение целевой функции
в) оптимальный план и оптимальное значение целевой функции
задачи.

4. В классической задаче оптимизации:
а) отсутствуют прямые ограничения
б) отсутствуют функциональные ограничения
в) отсутствуют прямые ограничения и все функциональные ограничения записаны в виде ограниченийнеравенств
г) отсутствуют прямые ограничения и все функциональные ограничения записаны в виде ограниченийравенств.