Электродинамика и распространение радиоволн

А.А. КУРАЕВ
Т.Л. ПОПКОВА
А.К. СИНИЦЫН

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 
И РАСПРОСТРАНЕНИЕ 
РАДИОВОЛН

2013

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

 
Минск 
Москва
 
«Новое знание» 
«ИНФРАМ»

УДК [537.8+621.371/.372](075.8)
ББК 22.336я73
 
К93

Кураев, А.А.
Электродинамика и распространение радиоволн : учеб. пособие / А.А. Кураев, Т.Л. Попкова, А.К. Синицын. — Минск : 
Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2013. — 424 с. : ил. — (Высшее 
образование: Бакалавриат).

ISBN 978-985-475-527-4 (Новое знание)
ISBN 978-5-16-006211-2 (ИНФРА-М)

Излагаются основы теории электромагнетизма. Рассматриваются 
процессы излучения, отражения и преломления волн, дифракция, распространение волн в волноводах, тропосфере и ионосфере, электромагнитные колебания в резонаторах, процессы в интегральных схемах 
СВЧ. Излагается теория возбуждения регулярных и нерегулярных 
волноводов и резонаторов с учетом потерь в стенках. Описываются 
особенности взаимодействия заряженных частиц с полями, имеющими пространственно-временную симметрию. Обсуждаются машинно-ориентированные методы оптимизации и синтеза электродинамических систем.
Для студентов, магистрантов и аспирантов радиотехнических специальностей.

УДК [537.8+621.371/.372](075.8)
ББК 22.336я73

К93

 
© Кураев А.А., Попкова Т.Л., 
Синицын А.К., 2012
 
© ООО «Новое знание», 2012

ISBN 978985475527-4 (Новое знание) 
ISBN 978-5-16-006211-2 (ИНФРА-М)

Рецензенты:
кафедра радиофизики БГУ;
доктор технических наук, профессор Военной Академии РБ Ю.П. Воропаев

Оглавление

Сокращения................................................................................ 9

Предисловие..............................................................................10

ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

1. Основные уравнения электродинамики......................................14

1.1. Интегральная формулировка уравнений Максвелла..............14
1.2. Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности............16
1.3. Физическое содержание первого уравнения Максвелла..........17
1.4. Материальные уравнения...................................................20

2. Граничные условия для векторов электромагнитного поля..........26

2.1. Граничные условия для тангенциальных составляющих

векторов электромагнитного поля.......................................26

2.2. Граничные условия для нормальных составляющих

векторов электромагнитного поля.......................................29

3. Энергия электромагнитного поля..............................................32

3.1. Удельная мощность сторонних источников в ЭМП.

Мощность сторонних источников........................................32

3.2. Баланс энергии в ЭМП. Теорема Умова — Пойнтинга............33

4. Комплексные амплитуды и теорема о комплексной мощности.....38

4.1. Уравнения Максвелла в комплексной форме........................38
4.2. Теорема о комплексной мощности.......................................40

5. Волновые уравнения и электродинамические потенциалы...........42

5.1. Волновые уравнения.........................................................42
5.2. Электродинамические потенциалы......................................44
5.3. Электричеcкий вектор Герца, или поляризационный

потенциал........................................................................48

5.4. Фиктивные магнитные токи и заряды.

Перестановочная двойственность уравнений
Максвелла. Магнитный вектор Герца..................................51

5.5. Граничные условия для величин Пz
m и Пz
e на идеально

проводящих продольных и поперечных поверхностях...........53

Оглавление

ЧАСТЬ II. НАПРАВЛЯЮЩИЕ СИСТЕМЫ, ИЛИ ВОЛНОВОДЫ

6. Общая теория регулярных волноводов......................................58

6.1. Типы направляющих систем..............................................58
6.2. Постановка и схема решения волноводных задач

(регулярные волноводы)....................................................62

6.3. Общие свойства электрических (Е)-волн в регулярных

волноводах.......................................................................66

6.4. Общие свойства магнитных (Н)-волн в регулярных

волноводах.......................................................................68

6.5. Тволны в направляющих системах.....................................69
6.6. Дисперсия собственных волн в регулярных волноводах.

Докритический и закритический диапазоны волновода.........70

6.7. Электрические (Е) типы волн в прямоугольном волноводе.....77
6.8. Магнитные волны в прямоугольном волноводе.....................80
6.9. Вырождение волн в прямоугольном волноводе. Доминантная

волна и рабочий диапазон прямоугольного волновода............82

6.10. Электрические (Е)-волны в волноводах с круговым

сечением..........................................................................83

6.11. Магнитные (H)-волны в круглом волноводе..........................88
6.12. Потери и затухание волн в волноводах................................92

7. Возбуждение регулярных волноводов сторонними источниками....98

7.1. Лемма Лоренца. Теорема взаимности..................................98
7.2. Ортогональность собственных волн в регулярных .
волноводах..................................................................... 100

7.3. Уравнения возбуждения регулярных волноводов

сторонними токами......................................................... 103

7.4. Способы возбуждения волноводов (примеры)...................... 106

8. Нерегулярные волноводы....................................................... 110

8.1. Неортогональные координатные системы........................... 110
8.2. Дифференциальные операторы......................................... 113
8.3. Продольноазимутально нерегулярный волновод.

Контравариантные компоненты уравнений Максвелла........ 114

8.4. Уравнение возбуждения произвольнонерегулярного

волновода сторонними токами.......................................... 117

8.5. Двумерные самосогласованные уравнения нелинейной

модели релятивистских ламп обратной волны и ламп
бегущей волны Отипа с замедляющей системой в виде
гофрированного волновода............................................... 120

8.6. Уравнения возбуждения произвольнонерегулярного

коаксиального волновода................................................. 124

Оглавление 
5

8.7. Уравнения возбуждения нерегулярных замедляющих 

систем .......................................................................... 133

8.8. Нерегулярные волноводы с прямоугольным сечением. 

Теория и приложения ..................................................... 136

8.9. Тфункции для решения двухточечных задач в теории 

нерегулярных волноводов ............................................... 157

9. Поперечные волны в линиях передачи ................................... 170

9.1. Телеграфные уравнения .................................................. 170
9.2. Расчет параметров коаксиальной и двухпроводной линий ... 175
9.3. Трансформирующие свойства отрезков линий передачи ...... 180
9.4. Короткозамкнутые и разомкнутые на конце отрезки 

линии передачи (шлейфы) ............................................... 182

9.5. Частичное отражение волн в линиях передачи ................... 186

10. Планарные линии передачи .................................................190

10.1. Понятие планарных линий передачи ................................190
10.2. Симметричная полосковая линия ..................................... 193
10.3. Несимметричная полосковая линия ................................. 195
10.4. Симметричная щелевая линия ......................................... 201
10.5. Несимметричная щелевая линия ..................................... 206
10.6. Модифицированный метод неортогональных рядов 

для расчета характеристик полосковых линий передачи ..... 209

10.7. Копланарная линия передачи .......................................... 229
10.8. Четная и нечетная моды в связанных полосковых 

линиях ......................................................................... 231

ЧАСТЬ III. ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

11. Основы теории объемных резонаторов .................................. 238

11.1. Типы объемных резонаторов ........................................... 238
11.2. Поля в объемных резонаторах как в отрезках регулярных 

волноводов с короткозамыкающими крышками ................ 240

11.3. Расчет полей в резонаторах с помощью потенциалов 

Герца ............................................................................ 242

11.4. Добротность собственных колебаний в резонаторах. 

Внешняя и нагруженная добротности ............................... 247

12. Возбуждение объемных резонаторов сторонними токами ........ 253

12.1. Постановка задачи ......................................................... 253
12.2. Свойства собственных функций резонатора ....................... 254
12.3. Уравнение возбуждения резонатора ................................. 257
12.4. Способы возбуждения резонаторов ................................... 264

Оглавление

ЧАСТЬ IV. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 

В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

13. Электромагнитное поле элементарного электрического 
излучателя в свободном пространстве ........................................ 268

13.1. Расчет полей с помощью электрического вектора Герца ...... 268
13.2. Анализ поля ЭЭИ в квазистатической (ближней) зоне ........ 272
13.3. Анализ поля ЭЭИ в волновой (дальней) зоне ...................... 273

14. Электромагнитное поле элементарного магнитного 
излучателя ............................................................................. 277

14.1. Расчет поля элементарного магнитного излучателя ............ 277
14.2. Анализ поля ЭМИ в квазистатической (ближней) зоне ........ 278
14.3. Анализ поля ЭМИ в волновой (дальней) зоне ..................... 278

15. Эквивалентные источники электромагнитного поля ............... 281

15.1. Понятие эквивалентного источника ................................. 281
15.2. Оптимизация профиля рупора на симметричных 

Еволнах по характеристике направленности .................... 283

16. Плоские электромагнитные волны ....................................... 295

16.1. Определение плоских электромагнитных волн ................... 295
16.2. Плоские волны в однородной изотропной среде 

без потерь. Поляризация плоских волн .................................. 297

16.3. Плоские волны в среде с потерями ...................................299

ЧАСТЬ V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 

В ПРИРОДНЫХ УСЛОВИЯХ

17. Диапазоны волн. Классификация радиоволн по механизму 
распространения ..................................................................... 302

18. Дифракция радиоволн ........................................................ 307

18.1. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгофа ............................ 307
18.2. Зоны Френеля. Область, существенная 

для распространения радиоволн ....................................... 314

18.3. Дифракция электромагнитных волн от края 

непрозрачного экрана .....................................................319

19. Отражение и преломление волн на границе раздела 
двух сред ................................................................................ 323

19.1. Отражение и прохождение волн при нормальном падении 

на плоскую границу раздела ............................................ 323

Оглавление 
7

19.2. Наклонное падение горизонтальнополяризованной волны 

на плоскую границу раздела двух сред .............................. 327

19.3. Наклонное падение вертикальнополяризованной волны 

на плоскую границу раздела двух сред .............................. 332

19.4. Отражение плоских волн от плоской границы среды 

с потерями .................................................................... 337

20. Влияние земной поверхности на распространение 
радиоволн ............................................................................... 341

20.1. Характеристики направленности реальных излучателей 

в свободном пространстве ................................................ 341

20.2. Напряженность поля излучателя, поднятого над плоской 

и однородной поверхностью земли на высоту h1 ................. 343

20.3. Поле вертикального вибратора над плоской отражающей 

поверхностью ................................................................ 345

20.4. Поле горизонтального вибратора, поднятого над плоской 

поверхностью земли на высоту h1 ..................................... 349

20.5. Распространение радиоволн над неоднородной 

и негладкой отражающей поверхностью ........................... 352

20.6. Формула Введенского ..................................................... 354
20.7. Учет сферичности земной поверхности ............................. 356
20.8. Распространение радиоволн вблизи земной поверхности. 

Поверхностные волны .................................................... 358

20.9. Дифракция радиоволн вокруг сферической земной 

поверхности .................................................................. 362

21. Распространение радиоволн в тропосфере ............................. 364

21.1. Строение тропосферы ..................................................... 364
21.2. Поглощение радиоволн в тропосфере ................................ 365
21.3. Рефракция радиоволн в тропосфере ..................................366

22. Распространение радиоволн в ионосфере .............................. 371

22.1. Строение ионосферы ....................................................... 371
22.2. Механизм ионизации и рекомбинации на больших 

высотах ........................................................................ 373

22.3. Электронная диэлектрическая проницаемость 

ионизированного газа без учета столкновений 
электронов с ионами и нейтральными молекулами ............ 375

22.4. Электронная диэлектрическая проницаемость 

ионизированного газа с учетом столкновения 
электронов с тяжелыми частицами .................................. 378

22.5. Преломление и отражение радиоволн в ионосфере ............. 382
22.6. Влияние магнитного поля Земли на распространение 

волн в ионосфере. Двойное лучепреломление ..................... 384

Оглавление

23. Интегралы движения заряженных частиц в ЭМП, 
обладающих симметрией...........................................................391

23.1. Понятие законов сохранения............................................391
23.2. Уравнения движения электрона в форме Лагранжа............. 392
23.3. Поступательная (трансляционная) симметрия....................393
23.4. Азимутальная симметрия................................................398
23.5. Вращающиеся поля......................................................... 400
23.6. Бегущие в направлении z волны....................................... 405

Приложения............................................................................409

1. Обратимость линейных изотропных электродинамических

структур с замкнутыми границами....................................... 409

2. О корректном представлении возбуждаемого поля

в теории ламп бегущей волны.............................................. 412

3. О преломлении и отражении реальных волн на плоской

границе раздела двух сред................................................... 418

Список использованных источников........................................... 419

Тематический указатель литературы по главам............................ 423

Сокращения

 
ИC — интегральная схема

 КВЧ — крайне высокие частоты
 МКА — метод комплексных амплитуд
 НПЛ — несимметричная полосковая линия
 НЩЛ — несимметричная щелевая линия
 СВЧ — сверхвысокие частоты
 СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений
 СПЛ — симметричная полосковая линия
 СЩЛ — cимметричная щелевая линия
 ЭМИ — элементарный магнитный излучатель
 ЭМП — электромагнитное поле
 
ЭЭИ — элементарный электрический излучатель

Предисловие

В последнее десятилетие существенно расширилась область 

использования электромагнитных волн сверхвысоких частот 
(СВЧ) и крайне высоких частот (КВЧ). Наряду с традиционными направлениями применения волн СВЧ и КВЧ диапазонов — 
наземные и космические телекоммуникационные системы, радиолокация, телеметрия, радионавигация, телевидение — появились новые области: медицина (диагностика и терапия), 
промышленность и сельское хозяйство (системы СВЧ обработки 
и синтеза материалов, продуктов и т.д.), информатика (тактовые частоты процессоров достигли СВЧ и КВЧ диапазонов), термоядерный синтез (нагрев термоядерной плазмы в КВЧ диапазоне), системы ПРО и ПВО нового поколения. Одновременно 
расширился круг электродинамических задач и методов их 
решения. Возникли задачи синтеза конфигураций (профилей) 
электродинамических систем, что потребовало создания теории произвольно-нерегулярных электродинамических систем 
с некоординатными границами, развития адекватных методов 
решения соответствующих граничных задач электродинамики. 
Повысились требования к точности и сходимости методов.

Оказалось, что некоторые традиционно входящие в учебни
ки решения не вполне корректны и соответствующие разделы 
должны быть заменены и изложены на основе современных 
достижений электродинамики (в частности, теория возбуждения электродинамических систем с омическими потерями). 
Кроме того, в истекшее десятилетие приобрели важное значение 
вычислительные методы, опирающиеся на использование современных ЭВМ. Применение вычислительного эксперимента, 
методов оптимизации лежит в основе современных разработок 
и проектирования радиоэлектронной аппаратуры СВЧ и КВЧ. 
В связи с этим немаловажное значение приобретают математические модели систем и устройств СВЧ — их точность и адекватность, удобная для применения вычислительных методов 
форма становятся необходимыми критериями их оценки. Методы решения краевых задач электродинамики также должны 
быть машинно-ориентированными.

Предисловие 
11

Между тем за последнее десятилетие учебная литература 

по электродинамике и распространению радиоволн не издавалась, и все перечисленные достижения в этой области, новые 
направления, а также определенная переориентация приоритетов остались вне доступной для студентов литературы. Предлагаемое читателю учебное пособие восполняет в определенной 
степени сложившийся информационный дефицит в указанной 
области.

Учебное пособие написано на основе лекций по курсам «Элек
тродинамика и распространение радиоволн», «Электромагнитные поля и волны», «Основы информационных технологий», 
читаемых авторами студентам Белорусского государственного 
университета информатики и радиоэлектроники, и предназначено для широкого ряда специальностей:

39.01.01 «Радиотехника»,
39.01.03 «Радиоинформатика»,
31.04.02 «Радиофизика»,
39.01.02 «Радиоэлектронные системы»,
95.02.31 «Телекоммуникационные системы»,
36.04.01 «Электронно-оптическое аппаратостроение»,
36.04.02 «Промышленная электроника»,
02.05.01 «Математика»,
02.05.03 «Математика. Физика»,
31.03.03 «Прикладная математика»,
02.05.02 «Физика»,
02.05.04 «Физика. Дополнительные специальности»,
38.01.03 «Электронные приборы»,
53.01.02 «Автоматизированные системы обработки инфор
мации».

Авторы придерживались концепции максимально возмож
ного баланса двух сторон описания электромагнитных явлений — математического и физического. Необходимость первого 
очевидна: задачи электродинамики составляют неотъемлемую 
часть математической физики и являются фундаментом расчета и проектирования систем и устройств СВЧ. Физическое же 
описание электромагнитных явлений формирует специфическое «электродинамическое мышление», определяющее творческий подход в решении исследовательских и инженерных 

Предисловие

задач в области радиоэлектроники и радиоинформатики СВЧ 
и КВЧ. Для улучшения восприятия физической картины электромагнитных полей и волн в книге принято их описание с помощью потенциалов Герца, которые, после определенных доказательств, позволяют изобразить геометрическую структуру 
волн целиком, без покомпонентного синтеза.

В книге имеется материал разной сложности. Например, 

глава 8 посвящена более сложной теме и содержит громоздкие 
выкладки, что необходимо для углубленного изучения материала студентами и аспирантами, ведущими научные исследования в области электромагнитной теории и техники СВЧ 
и КВЧ. Это также должно помочь преподавателям оптимальным образом формировать свои курсы лекций. Некоторые второстепенные вопросы изложены конспективно. В списке литературы наряду с традиционными учебниками даны специальные 
монографии, а также труды основоположников электродинамики сороковых-пятидесятых годов прошлого века. Они дают 
хороший материал для организации на высоком уровне самостоятельной работы студентов.

Авторы выражают благодарность профессору кафедры ра
диотехники Военной академии Республики Беларусь, доктору 
технических наук Воропаеву Юрию Павловичу и коллективу 
кафедры радиофизики Белорусского государственного университета за полезные замечания, которые были учтены при доработке текста рукописи данного учебного пособия.

ЧАСТЬ I

ОСНОВЫ ТЕОРИИ 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

Интегральная формулировка 
уравнений Максвелла

Под электромагнитным полем (ЭМП) следует понимать 

среду, пространственно-временное состояние которой полностью определяется (задается) четырьмя векторами:

E (х, y, z, t) — вектор напряженности электрического поля 

B
м
;

D (x, y, z, t) — вектор электрического смещения K
м2
;


B (x, y, z, t) — вектор индукции магнитного поля Вб
м2
;


H (x, y, z, t) — вектор напряженности магнитного поля A
м
.

Будем рассматривать ЭМП в объеме V с граничной поверх
ностью S, на которой происходит скачок свойств среды.

Во всех внутренних точках V, т.е. точках, не принадлежа
щих поверхности S, векторы поля непрерывны вместе с первой 
и второй производными по координатам, а также конечны. Эти 
векторы удовлетворяют четырем уравнениям Максвелла (УМ):

1) rot
;
) rot
;

) div
;
) div
,









H
D
t
E
B
t
D
B

=
+ ∂
∂
= − ∂
∂
=
=

δ

ρ

2

3
4
0

 
(1.1)

здесь 


d — вектор плотности электрического тока A
м2
; r — объ
емная плотность электрического заряда K
м3
.

1.1.

1.1. Интегральная формулировка уравнений Максвелла
15

Уравнения Максвелла являются фундаментальными зако
нами для ЭМП в макроскопическом приближении, и в настоящее 
время не существует более общих законов, следствиями которых они бы являлись.
Теория Максвелла содержит ряд постулатов, не следующих 
из каких-либо опытов, но ее предсказания привели к открытию ЭМП и до сих пор нет опытов или приборов, опровергающих теорию Максвелла.

В соответствии с законом Ампера справедливо

rot




H = δ.

Первое УМ — это обобщение закона Ампера. Оно имеет вид

rot





H
D
t
=
+ ∂
∂
δ
.

Дополнительное слагаемое ∂
∂


D
t  именуется плотностью тока 

смещения.
Для перехода к интегральной форме записи воспользуемся 
теоремой Стокса для некоторой поверхности S, опирающейся 
на контур l. Проинтегрируем обе части первого уравнения Максвелла по S:

rot






HdS
dS
D
t dS

S
S
S
=
+
∂
∂
∫
∫
∫
δ
.

Применяя к левой части равенства теорему Стокса, получим

Hdl
I
I

l
=
+
∫
см,
(1.2)

где I — электрический ток через поверхность S, I
dS

S
= ∫




δ
; Iсм — 

ток смещения через эту же поверхность,

I
D
t dS

S
см =
∂
∂
∫



.

Второе уравнение Максвелла — обобщение закона электромагнитной индукции в том смысле, что имеется в виду справед

1. Основные уравнения электродинамики

ливость этого закона для любого (не обязательно проводящего) 
контура l и любой среды. Интегральная форма этого уравнения 
получается из дифференциальной тем же путем, что и первое 
уравнение. В результате получим

Edl
B
t dS
d
dt
BdS
d
dt
S
l
S
= − ∂
∂
= −
= −
∫
∫
∫
Фм, 
(1.3)

где Фм — величина магнитного потока через поверхность S. 
Полная производная в правой части подразумевает, что величина S может зависеть от t (меняется во времени).

Третье уравнение Максвелла является обобщением уравне
ния Гаусса — Кулона на случай произвольной среды. Применяя интегрирование по V с границей S к обеим частям уравнения и используя теорему Остроградского — Гаусса, получим

DdS
dV
q

V
S
=
=
∫
∫
ρ
, 
(1.4)

где q — полный заряд, содержащийся внутри S.

Четвертое уравнение Максвелла подтверждает отсутствие 

магнитных зарядов и одновременно постулирует его справедливость для любой среды. Как и в предыдущем случае, можно 
получить интегральную форму этого уравнения:

BdS

S
=
∫
0. 
(1.5)

Закон сохранения заряда. 
Уравнение непрерывности

Центральным постулатом теории Максвелла является закон 

сохранения заряда. Полагается, что сумма электрических зарядов (положительных и отрицательных) в мировом пространстве постоянна.

Заряды не возникают и не исчезают (т.е. могут возникать 

или исчезать одновременно равные количества положительных 
и отрицательных зарядов, например, при ионизации, рекомби
1.2.