Бифуркация рождения цикла в динамических системах с симметрией и ее приложения в гидродинамике

Министерство образования и науки

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет математики, механики и компьютерных наук

И. В. Моршнева

БИФУРКАЦИЯ РОЖДЕНИЯ ЦИКЛА

В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С СИММЕТРИЕЙ

И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2010

УДК 532.5
ББК 22.253.3

M 80

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Южного федерального университета

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор В. А. Батищев;
кандидат физико-математических наук, доцент С. В. Рогожин;
доктор физико-математических наук, профессор А. Н. Соловьев;

кандидат физико-математических наук, доцент В. Г. Цибулин

Монография подготовлена и издана в рамках национального проекта
«Образование» по «Программе развития федерального государственного
образовательного учреждения высшего профессионального образования
“Южный федеральный университет” на 2007—2010 гг.»

Моршнева И. В.

М 80
Бифуркация рождения цикла в динамических системах
с симметрией и
ее приложения в гидродинамике / И. В. Моршнева. —
Ростов н/Д : Изд-во ЮФУ, 2010. — 140 с.

ISBN 978-5-9275-0727-6

В монографии представлена теория бифуркации рождения цикла
в динамических системах с конечными и с непрерывными группами симметрии, которые наиболее часто встречаются в задачах математической физики. Особенность и новизна изложения материала
состоит в том, что теория строится так, чтобы ее было удобно применить к исследованию задач гидродинамики, она приводит к явным
выражениям для асимптотик ответвившихся режимов и для величин, определяющих их характер и устойчивость. Приводится также
применение теории к задаче о возникновении автоколебаний в вертикальном слое жидкости.

Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов математических и физических факультетов.

ISBN 978-5-9275-0727-6
УДК 532.5
ББК 22.253.3

c⃝
И. В. Моршнева, 2010
c⃝
Южный федеральный университет, 2010
c⃝
Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2010

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1.
Бифуркация рождения цикла в системах

с O(2)-симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

1.1. Уравнения разветвления для систем с инверсионной
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.2. Четные, псевдонечетные циклы и циклы общего вида . . . . . . . . . . 19

1.2.1. Четные и псевдонечетные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2. Циклы общего вида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3. О четных и псевдонечетных относительно
дополнительной инверсии циклах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3. Возникновение циклов в системах с круговой симметрией . . . . . . 29
1.4. Устойчивость периодических режимов в системах
с круговой симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4.1. Устойчивость бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2. Устойчивость смешанного режима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.5. Фазовый портрет систем с круговой симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Глава 2.
Бифуркация рождения цикла в системах
с O(2) × O(2)-симметрией
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

2.1. Уравнения разветвления для систем с группой симметрии
ромба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

2.2. Четные и псевдонечетные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65

2.3. Уравнения разветвления для систем с двойной круговой
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

2.4. Инвариантные координатные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3

2.5. Циклы на инвариантных подпространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79

2.5.1. Циклы на подпространствах Γ+
k
(k = 1, 2, 3) . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.2. Циклы на подпространстве Γe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5.3. Циклы на подпространстве Γ+
i
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.5.4. Циклы на подпространстве Γ123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.6. Устойчивость циклов в системах с двойной круговой
симметрией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

2.6.1. Устойчивость бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.6.2. Устойчивость L3-четного режима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.6.3. Устойчивость инверсионно-симметричного цикла . . . . . . . . . . . . 97
2.6.4. Устойчивость периодического режима на Γ+
i
. . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.6.5. Устойчивость косых бегущих волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Глава 3.
Приложения теории к гидродинамическим
системам с симметрией
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

3.1. Автоколебания в вертикальном слое жидкости . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.1.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.1.2. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.3. Пространственный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.2. Автоколебания в вертикальном слое жидкости
с движущимися границами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

3.2.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.2. Двумерный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130

Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131

Введение

В этой книге изучается бифуркация рождения цикла из равновесия
в динамических системах с конечными группами симметрии Z2 и Z2 × Z2
и с непрерывными группами симметрии O(2) и O(2) × O(2) — применительно к задачам гидродинамики.

В различных прикладных задачах теории ветвления постоянно возникают системы с группой симметрии. Особенно часто встречаются группы SO(2), O(2), SO(3), SO(2) × O(2) и O(2) × O(2). Это вызвано тем,
что уравнения классической физики инвариантны относительно подгрупп
группы движений. А предположение периодичности по пространственным переменным рассматриваемых полей приводит к инвариантности относительно преобразований групп SO(2), SO(2)×SO(2). Иногда основное
стационарное решение таково, что нелинейные уравнения возмущений допускают дополнительную симметрию относительно отражений.

Изучение бифуркации рождения предельного цикла — возникновения
периодического автоколебательного режима при потере устойчивости равновесия (или стационарного движения) — восходит к работам А. Пуанкаре
и А. М. Ляпунова (1892). С именем А. Пуанкаре связано открытие предельных циклов. Ему принадлежит метод отыскания предельных циклов
в системах, близких к консервативным [49]. А. М. Ляпунов [34] дал метод исследования устойчивости сложных состояний равновесия динамической системы с чисто мнимыми характеристическими корнями и ввел
величины, получившие впоследствии название ляпуновских. Открыл бифуркацию рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы и обнаружил связь этой бифуркации с ляпуновскими величинами А. А. Андронов [62] (1930). Обобщение результатов
А. А. Андронова с двумерного случая на системы третьего, четвертого по

Введение

рядка, а также и на n-мерные системы, разложения правых частей которых не содержат квадратичных членов, выполнено Н. Н. Баутиным [6, 7].
В рассмотренных им случаях получены окончательные результаты, выражающиеся через коэффициенты исходной системы. Условия рождения
периодических движений в общем n-мерном случае получены Э. Хопфом
[77], Ю. И. Неймарком [48] и Н. Н. Брушлинской [10].

Для бесконечномерных систем, и в частности для уравнений Навье —
Стокса, исследование ответвления цикла от равновесия было проведено
в работах В. И. Юдовича, Ж. Иосса, Д. Джозефа и Д. Сэттинджера
(см. библиографию [36]). Еще раньше эта бифуркация в гидродинамике
изучалась нестрогими методами в работах Л. Д. Ландау, Дж. Т. Стюарта
и др. Отметим, что методы исследования отличаются выбором параметра
разложения (надкритичность, амплитуда — коэффициент при нейтральном возмущении в разложении Фурье и т. д.).

Для исследования бифуркации рождения цикла в книге применяется
метод теории ветвления — метод Ляпунова — Шмидта в форме, развитой в работе В. И. Юдовича [53]. Основателями теории ветвления решений функциональных уравнений являются А. М. Ляпунов [35] и Э. Шмидт
[87]. Исследования А. М. Ляпунова связаны с задачей о фигурах равновесия вращающейся жидкости, а Э. Шмидта — с общей теорией линейных
и нелинейных интегральных уравнений. В их работах показано, что задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений с аналитическими операторами сводится к исследованию уравнения разветвления — задаче ветвления решений систем неявных аналитических функций. Исследуя уравнения разветвления, можно получить информацию
о числе и виде всех решений исходной задачи. Дальнейшее развитие теория ветвления получила в работах А. И. Некрасова, Л. Лихтенштейна,
Н. Н. Назарова, Дж. Кронин, В. А. Треногина, М. А. Красносельского,
М. М. Вайнберга, Л. М. Грэйвса, А. Э. Стапана и др. [11, 24—26].

Впервые метод Ляпунова — Шмидта в условиях кратности спектра,
вызванной инвариантностью задачи относительно группы преобразований, был рассмотрен в работе В. И. Юдовича [61] и применен к задачам
о течении жидкости между вращающимися цилиндрами, о конвекции
в слое и другим задачам с трансляционной симметрией. Групповая инвариантность позволяет существенно упростить уравнения разветвления
и иногда найти их решения. Так, при определенных условиях оказыва

Введение
7

ется, что все решения получаются из одного решения преобразованиями группы симметрии задачи. Например, в задаче о вторичных течениях
жидкости между двумя вращающимися цилиндрами от основного режи
ма ответвляется течение Тейлора, определенное однозначно (с точностью
до сдвига вдоль оси цилиндра).

Результаты В. И. Юдовича были применены В. Г. Бабским в задаче
о ветвлении решений уравнения △u + λu = u2 на сфере S2 в R2 [4].
Частичное использование инвариантности исходного уравнения относительно группы вращений трехмерного пространства SO(3) позволило понизить на единицу порядок системы уравнений разветвления. В работе
В. Г. Бабского и И. Л. Скловской [5] полностью использованы аналогичные соображения при l = 1 в задаче о возникновении конвекции в самогравитирующем жидком шаре, нагреваемом изнутри.

Г. К. Тер-Григорьянц изучал задачу о возникновении стационарных
двоякопериодических конвективных режимов в горизонтальном слое жидкости, подогреваемом снизу [50—52]. Она инвариантна относительно двух
сдвигов и двух отражений в горизонтальной плоскости, т. е. группа симметрии задачи — O(2)×O(2). Уравнение разветвления представляет собой
систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Инвариантность
задачи относительно сдвигов позволяет понизить порядок этой системы
на две единицы. Двумерная система допускает полное исследование. В результате оказывается, что от состояния покоя ответвляется три разных
режима. Один из режимов представляет собой прямоугольную конвекцию [56], а два других — плоскую. В [52] показано, что плоская конвекция
устойчива, а прямоугольная неустойчива относительно возмущений той
же периодичности.

Далеко продвинутая теория ветвления решений нелинейных уравнений
с группой симметрии развита в работах Б. В. Логинова и В. А. Треногина
[30, 32 33] и в монографии Б. В. Логинова [31] (см. также библиографию
[31]).

Б. В. Логинов [31] (гл. 4, §§ 1—4) и Д. Сэттинджер [84] обобщили результаты работ В. И. Юдовича [61] и Г. К. Тер-Григорьянца [50—52] на случай
задач, инвариантных относительно группы движений в Rs.

Вопросу существования решений динамических систем, инвариантных
относительно подгрупп, посвящены также работы В. И. Юдовича [56],

Введение

А. Вандербауведа [91], Г. Сикогны [68, 69], М. Голубицкого и И. Стьюарта
[73, 74].

Бифуркация
рождения цикла в системах с симметрией
изучалась
во многих работах (см., например, [1—3, 12, 17, 18, 20—22, 27, 28, 36—47,
63—67, 70—76, 78—86, 88—90, 92]). Первая такая публикация принадлежит
Д. Рюэлю [79] (см. также [36], гл. 7).

Книга состоит из трех глав.
В гл. 1 рассматривается задача о бифуркации рождения цикла в динамических системах, обладающих инверсионной и инверсионно-вращательной (круговой) симметрией. Изложение построено так, чтобы можно было
увидеть, как происходит бифуркация при наличии одной лишь инверсионной симметрии и что нового вносит трансляционная симметрия. Основной
результат состоит в том, что в случае колебательной неустойчивости от
основного ламинарного режима ответвляется пара бегущих друг другу
навстречу простых волн, связанных инверсионной симметрией, а также
более сложно устроенный периодический режим, который
возникает
в результате нелинейного взаимодействия пары простых волн. Исследуется устойчивость этих режимов. Изучается также система амплитудных
уравнений на центральном многообразии.

Гл. 2 посвящена изучению бифуркации рождения цикла из равновесия динамических систем, инвариантных относительно группы четвертого порядка (группы симметрии ромба)
G4 и относительно группы
G =
G4 × SO(2) × SO(2) = O(2) × O(2). Сначала изучается возникновение циклов в системах с конечной группой симметрии G4 на инвариантных подпространствах. Далее рассматривается случай, когда, кроме
группы симметрии G4, имеется еще и группа симметрии SO(2) × SO(2).
Результаты исследования на подпространствах показывают возможность
ответвления шести семейств циклов. Изучается также их устойчивость.

В гл. 3 теория, развитая в предыдущих главах, примененяется к задачам гидродинамики. Рассматривается задача о возникновении автоколебаний в вертикальном слое жидкости с твердыми изотермическими границами при колебательной потере устойчивости основного стационарного
режима. В случае потери устойчивости относительно плоских возмущений уравнения возмущений имеют группу симметрии O(2) и применимы
результаты теории гл. 1. А в случае пространственных возмущений задача обладает двойной круговой симметрией O(2)×O(2) и к ней применима

Введение
9

теория гл. 2. Рассматривается также задача ветвления плоских периодических по времени режимов конвекции в вертикальном слое жидкости
с движущимися в противоположных направлениях границами. Уравнения возмущений, периодических по вертикальной переменной, инвариантны относительно группы симметрии O(2), как и в случае неподвижных
границ. Следовательно, и к этой задаче применимы результаты гл. 1.

Теория, изложенная в гл. 1, получена совместно с моим дорогим
и незабвенным Учителем Виктором Иосифовичем Юдовичем. Бифуркация рождения цикла в системах с симметрией, как уже было сказано
выше, рассматривалась многими авторами. Но в наших совместных работах с В. И. Юдовичем она изучалась применительно к решению задачи
возникновения автоколебаний в вертикальном слое жидкости, обладающей
круговой симметрией. Таков был общий подход, свойственный
моему Учителю, — развивать математическую теорию ради решения той
или иной задачи естествознания, в данном случае задачи гидродинамики. Он учил также, что надо стараться исследовать любую задачу в той
мере общности, которую она допускает, «создавать новые методы и доказывать новые общие теоремы. Тогда вместе с исходной задачей, уже
с гораздо меньшими затратами труда, получают решение и многие близкие задачи» [57].

Численное изучение возникновения автоколебаний в задаче конвекции
в вертикальном слое жидкости, результаты которого изложены в гл. 3,
проведено совместно со Светланой Наумовной Овчинниковой, которой
я искренне признательна за многолетнее сотрудничество и дружбу.

Автор от души благодарит Е. В. Ширяеву и Л. С. Шутько за доброжелательное отношение и помощь при оформлении работы.

Эта книга не появилась бы без поддержки и помощи моих родных,
которым я очень благодарна.

Работа выполнена при финансовой поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей
школы» (гранты №2.1.1/554 и №2.1.1/6095).

Глава 1

Бифуркация рождения цикла в системах
с O(2)-симметрией

В этой главе рассматривается задача о возникновении периодического автоколебательного режима при потере устойчивости стационарного
решения (бифуркация рождения цикла) в динамических системах, обладающих инверсионной и инверсионно-вращательной (круговой) симметрией.

Для отыскания периодических решений применяется метод Ляпунова — Шмидта в форме, развитой в работе В. И. Юдовича [53]. Сначала
строится система уравнений разветвления в случае инвариантности исходной задачи относительно преобразования инверсии L. Рассмотрение
этой системы на инвариантных подпространствах позволяет доказать существование L-четных и L-псевдонечетных (нечетных в линейном приближении) циклов. Рассмотрена также задача отыскания циклов общего
вида (не являющихся ни четными, ни псевдонечетными). Она сводится
к определению унитарных (равных по модулю единице) корней полинома восьмой степени. Каждому такому корню при выполнении некоторых
условий положительности отвечают два L-связанных предельных цикла
v и Lv. В случае дополнительной симметрии исходного уравнения относительно преобразования инверсии N, антикоммутирующего с L, доказывается существование N-четного и N-псевдонечетного циклов, L-связанных
между собой.

Затем изучается бифуркация рождения цикла в системах, обладающих, помимо инверсионной, еще и вращательной симметрией, т. е. кру

говой симметрией O(2). Бифуркация рождения цикла в системах с группой симметрии O(2) рассматривалась во многих работах [20, 21, 27, 28,
39, 41—44, 45—47, 63—67, 72, 74—76, 79, 80, 86, 88—90] в связи с изучением различных химических, биологических, механических, гидродинамических и других задач с круговой симметрией O(2). В статьях [3, 76]
в химических системах, инвариантных относительно представления группы O(2), кроме вращающихся волновых решений (азимутальных волн),
был обнаружен еще один тип решений — стоячие волны. Д. Сэттинджер
[86] и Т. Эрню [72], используя групповые методы, выяснили, что при колебательной потере устойчивости стационарного режима системы «реакциядиффузия» в круге, которая обладает O(2)-симметрией, в случае общего положения ответвляются периодические решения только двух типов:
волны, вращающиеся вокруг центра круга в противоположных направлениях (таких решений два), и стоячие волны — неоднородные по пространству решения, симметричные относительно некоторой оси, проходящей через центр круга (они образуют семейство). Кроме того, в работе Д. Сэттинджера [86] анонсировано, а в статье Т. Эрню [72] показано, что ответвившиеся вращающиеся волны имеют одинаковую устойчивость, но не могут быть устойчивыми одновременно со стоячей волной.
А. Баджадж [64] и П. Сефна [65—67] также изучали бифуркацию рождения цикла в системах с круговой симметрией в связи с задачей о движении труб, несущих жидкость. Показано, что возникает два типа периодических решений, авторы называют их круговыми («circular»; движение
трубы, если смотреть вдоль оси симметрии, будет круговым по часовой
стрелке или против нее) и плоским («planar»; движение в плоскости, которая проходит через ось симметрии, и таких движений целое однопараметрическое семейство) (см. также [88—90]). Изучены свойства симметрии,
характер ветвления и устойчивость найденных режимов. Проведены расчеты коэффициентов амплитудных уравнений для задачи о трехмерных
движениях труб.

Работы К. И. Бабенко, А. Л. Афендикова, С. П. Юрьева [1—3] о течении
жидкости между вращающимися цилиндрами (см. также
[36], гл. 7);
В. А. Вольперта, А. И. Вольперта [12] — о режимах горения кругового цилиндра; М. А. Гольдштика, Е. М. Ждановой, В. Н. Штерна [17, 18, 22] —
о струйных течениях посвящены изучению возникновения вторичных периодических решений в системах с цилиндрической симметрией O(2)×

Глава 1. Бифуркация рождения цикла в системах с O(2)-симметрией

×SO(2). Вращательная группа симметрии SO(2) возникает в изучаемых
задачах как следствие трансляционной симметрии уравнений в предположении периодичности рассматриваемых полей вдоль однородной переменной. Исследование бифуркации рождения циклов в системах с группой симметрии O(2) × SO(2) приводит (после редукции) к тем же уравнениям разветвления, что и в случае круговой симметрии O(2). Дополнительная симметрия SO(2) меняет структуру двух типов режимов, которые возникают в системах с группой симметрии O(2). Каждый из режимов представляет собой бегущую волну по той переменной, трансляционная симметрия по которой, в силу условий периодичности, порождает
группу SO(2). Так, например, в задаче о течении жидкости между вращающимися цилиндрами возникает два типа режимов, векторы скорости
которых имеют вид v(ct + lθ ± αz, x) и v(ct + lθ, αz, x), причем vr, vθ —
четные функции, vz — нечетная функция z для режима второго типа.

Д. Сэттинджер [80] вывел уравнения разветвления в случае задачи
о возникновении периодических режимов в общих системах с группой
симметри O(2) и показал, что существует два типа решений, которым отвечают стоячие и бегущие волны. Но использованный им метод не привел
к явным выражениям для асимптотик ответвившихся режимов и для величин, определяющих характер ветвления, что затрудняет применение
полученных результатов к конкретным системам уравнений. Эти недостатки ликвидированы в [42, 44], где для отыскания вторичных периодических по времени режимов в динамических системах, инвариантных относительно группы O(2), применяется метод Ляпунова — Шмидта
в форме, развитой в работе В. И. Юдовича [53]. Этод подход и излагается в гл. 1 и 2 данной книги. В п. 1.3 доказывается, что при критическом
значении параметра в условиях общего положения от нулевого равновесия ответвляется пара бегущих друг другу навстречу простых волн, связанных инверсионной симметрией L, а также более сложно устроенный
периодический режим, который возникает в результате нелинейного взаимодействия пары простых волн. Приводятся также явные выражения
для асимптотик ответвившихся режимов и для величин, определяющих
характер ветвления. Бегущим волнам в фазовом пространстве отвечают
циклы, а смешанному режиму — двумерный тор, заполненный циклами.
С помощью метода возмущений в п. 1.4 исследуется устойчивость этих
режимов.