Методы робастного обращения динамических систем

Ильин А.В.

Коровин С.К.
Фомичев В.В.

Методы робастного

обращ ения

динам ических систем

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.926
ББК 22.16
И 46

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 09-07-07031

И л ь и н А. В., К о р о в и н С. К., Ф о м и ч е в В. В. Методы робастного
обращения динамических систем. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. — 224 с. —
ISBN 978-5-9221-1171-3.

В монографии систематически изложен новый метод решения задач обратной динамики, основанный на использовании математической модели рассматриваемой динамической системы и робастных методов стабилизации неопределенных систем по выходу. Наиболее полно эта теория излагается для линейных
конечномерных стационарных скалярных и многосвязных систем. Показано,
что при таком подходе центральная роль отводится нулевой динамике исходной системы, которая, когда она существует, предполагается экспоненциально
устойчивой. Установлено, что в многосвязных системах нулевая динамика,
относительный порядок и соответствующие уравнения движения не определяются однозначно и для корректного решения задачи обращения приходится вводить дополнительные предположения, вообще говоря, ограничивающие
класс инвертируемых систем. Специальное внимание уделено синтезу простейших инверторов, т.е. динамических систем наименьшего порядка, решающих
задачу обращения. Установлено также, что разработанные методы обращения
сохраняют работоспособность при конечных вариациях параметров исходной
задачи и при воздействии неконтролируемых внешних возмущений, не влияющих непосредственно на внутреннюю динамику системы.
Для специалистов в области теории управления и ее приложений, а также
аспирантов и студентов, специализирующихся в указанном направлении.

ISBN 978-5-9221-1171-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2009

c⃝ А. В. Ильин, С. К. Коровин,
В. В. Фомичев, 2009

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а 1.
Скалярные линейные стационарные системы. . . . . . . . .
12

§ 1. Система с первым относительным порядком . .. . . . . . . . .. . . . . . .
12
1.1. Постановка задачи обращения. Простейший алгоритм инвертирования с использованием глубокой обратной связи (12).
1.2. Алгоритм инвертирования с разрывной обратной связью (16).
1.3. Неидеальности в релейном элементе (20).
1.4. О влиянии ошибок измерения выхода на точность инвертирования (24).
1.5. Зависимость процедуры инвертирования от вариации параметров системы (27).

§ 2. Обращение систем с произвольным относительным порядком . .. . .
29
2.1. Инвертирование систем с максимальным относительным порядком (29).
2.2. Инвертирование системы с произвольным относительным порядком (34).

§ 3. Обращение систем с неустойчивой нулевой динамикой. .. . . . . . . .
38

§ 4. Обращение систем при известной волновой модели . .. . . . . . . . . .
43

§ 5. Обращение управляемых систем. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.1. Постановка задачи (48).
5.2. Обращение по состоянию (50).
5.3. Обращение по выходу (52).

Г л а в а 2.
Обращение линейных многомерных стационарных систем
60

§ 1. Вспомогательные утверждения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.1. Понятие нулевой динамики для линейных стационарных систем (61). 1.2. Скалярные системы (62). 1.3. Нулевая динамика и
относительный порядок векторных систем (67). 1.4. Канонические
формы векторных систем, форма с выделением нулевой динамики (82).
1.5. Каноническое представление с выделением нулевой
динамики (87).

§ 2. Обращение векторных систем по фазовому вектору . .. . . . . . . . . .
92

§ 3. Наблюдатели для векторных систем в условиях неопределенности
96
3.1. Наблюдатели для гипервыходных систем (96).
3.2. Метод
псевдовходов (101).
3.3. Наблюдатели
для
квадратных
систем (107).

Оглавление

Г л а в а 3.
Минимальные инверторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114

§ 1. Минимальные инверторы при известном фазовом векторе. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114

§ 2. Функциональные наблюдатели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118

§ 3. Минимальные функциональные наблюдатели . .. . . . . . . . . . . . . .
130

Г л а в а 4.
Обращение нелинейных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188

§ 1. Обращение нелинейных систем по состоянию. .. . . . . . . . . . . . . .
188

§ 2. Обращение нелинейных систем по выходу . .. . . . . . . . . . . . . . . .
208

Заключение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218

Предметный указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223

Предисловие

Обратные задачи — классика современного естествознания. Как
правило, эти задачи некорректно поставлены и потому весьма сложны
для решения. Дополнительные и весьма значительные трудности приходится преодолевать при обращении динамических систем, в особенности, когда это нужно делать, так сказать, «в темпе с процессом», т. е.
по текущим измерениям. Но именно такие методы обращения сегодня
востребованы практикой и используются при решении задач измерений
мгновенных значений физических переменных, при идентификации параметров систем и действующих на них сигналов, в робототехнике при
планировании траекторий, при синтезе высокоточных систем наведения
и т. д.
При этом предпочтение, безусловно, отдается методам, решающим
задачу обращения робастно, т. е. когда качественные свойства решения
сохраняются при конечных вариациях параметров инвертируемой системы и действующих на нее сил.
К настоящему времени разработан большой арсенал методов решения обратных задач динамики, различающихся объемом информации
о системе и внешних силах, действующих на систему; типами систем,
описываемых обыкновенными дифференциальными уравненияим, уравнениями в частных производных, функционально-дифференциальными
или же разностными уравнениями; а также отличающихся финитными или асимптотическими, ретроспективными или он-лайновыми
способами (алгоритмами) решения задачи обращения; наличием или
отсутствием дополнительных помех, неучтенных параметров или немоделируемой динамики.
В данной книге излагаются робастные он-лайновые асимптотические методы решения обратных задач для конечномерных стационарных, по большей части линейных, динамических систем.
Суть развиваемого подхода состоит в использовании управляемой модели инвертируемой системы, выход которой должен повторять
(с точностью до переходных процессов) выход системы. Оказывается,
что при определенных условиях из этого факта можно сделать вывод
о близости управляющего сигнала модели к неизвестному входному
сигналу инвертируемой системы и, следовательно, сигнал управления
может быть принят за оценку неизвестного входа системы.
Конечно, на такой способ обращения негативное влияние оказывает
ряд фактов, таких, например, как неполнота информации о системе,
наличие помех, неточность используемой модели и т. п., однако робастность такого способа обращения удается обеспечить за счет использования современных методов робастной стабилизации неопределенных динамических систем по выходу. Таким образом, математическая
модель системы и робастная обратная связь — две ключевые идеи

Предисловие

развиваемого подхода, обеспечивающие приемлемое качество решения
задачи обращения при минимальной информации об инвертируемой
системе и действующих на нее сил.
Следует отметить, что при таком подходе важная роль отводится
так называемой нулевой динамике системы, устойчивость которой является, вообще говоря, обязательной.
Трудность, однако, состоит в том, что в многосвязных системах
нулевая динамика, описывающие ее уравнения, а также размерность
не определяются однозначно, а являются результатом некоторого компромисса. В книге описаны подходы к преодолению этой технической
сложности для тех или иных классов систем.
Значительное влияние в книге уделено проблеме синтеза инвертора
минимального динамического порядка, в решении которой центральное
место отводится теории функциональных наблюдателей состояния.
Указана возможность переноса основных идей и методов инвертирования на некоторые классы неопределенных или нелинейных динамических систем.
Исследования
по
данной
проблематике
проводились
в
МГУ
им. М. В. Ломоносова на кафедре «Нелинейные динамические системы
и процессы управления» (nds@cs.msu.su) факультета Вычислительной
математики и кибернетики на протяжении последних 15 лет.
Авторы благодарят руководство факультета ВМК и, в особенности,
зав. кафедрой НДСиПУ академика РАН Емельянова Станислава Васильевича за постоянное внимание к работе и создание комфортных
условий для проведения исследований. Книга ориентирована на специалистов по теории автоматического управления, а также преподавателей, студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Книга издается при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 07-09-07031д.
Москва, 2009

Введение

Монография посвящена одной из классических задач теории автоматического управления, а именно, задаче обращения (инвертирования) динамических систем, т. е. задаче восстановления (оценивания)
неизвестного входа динамической системы по ее измеряемому выходу.
Значение для теории систем и ее приложений задачи обращения
динамических систем обусловлена тем фактом, что она находит применение при решении практических задач, таких, как задача идентификации помех и параметров систем, задачи управления системами
в условиях неопределенности, задачи построения измерительных систем для сложных динамических процессов и т. д.
Задача обращения динамических систем имеет давнюю и богатую
историю.
Еще в 60-е годы прошлого века появились работы [69, 70], где
рассматривалась принципиальная разрешимость задачи обращения динамических систем.
Позднее основное внимание исследователей сосредоточилось на поиске практически применимых алгоритмов обращения. При этом можно
выделить два класса задач обращения. Первый класс — это расчетные
задачи, т. е. задачи восстановления неизвестного входа в случае, когда
известны измерения выхода на всем интервале времени (как правило,
в этом случае речь идет о конечном интервале). Такие задачи возникают в геологии, томографии и т. д.
Второй класс задач — задачи обращения в реальном времени (в режиме on-line). При этом, как правило, рассматривается решение задачи
в асимптотике. К таким задачам сводится, например, построение различных измерительных комплексов для сложных процессов.
Кроме того, важным аспектом при решении задачи обращения является то, что при практическом использовании алгоритмов обращения
особенно важна их робастность, т. е. устойчивость этих алгоритмов
к влиянию различных факторов неопределенности, как то: к погрешности измерения выхода системы, различным классам параметрических
возмущений, неидеальностям в работе некоторых элементов (например,
релейных элементов) и т. д.
Именно о таких, робастных алгоритмах обращения, решающих задачу для линейных и нелинейных конечномерных систем в режиме
реального времени, и идет речь в данной монографии.
Существуют различные подходы к ее решению. Алгоритмы обращения, предложенные в работах (см. [70, 72, 81]) оказались не пригодны
для решения задачи в режиме реального времени. Позднее появились
более практичные алгоритмы (например, в работах [33, 34]), которые
могут быть использованы для работы в режиме on-line.

Введение

Алгоритмы, предложенные в работе [34], основаны на идее дискретизации уравнения движения системы и построении кусочно-постоянной аппроксимации неизвестного входного сигнала. Однако эти алгоритмы применимы лишь для систем с полностью определенной динамикой (допускается только погрешность измерений выхода) и требуют
информацию о полном фазовом векторе системы.
Ситуация качественно меняется, если рассматривается задача обращения по выходу с неточно известной динамикой объекта. В этом
случае многие известные алгоритмы не применимы либо требуют серьезных изменений.
В монографии рассматриваются алгоритмы обращения систем, которые были разработаны авторами за последние 10–15 лет. Основная
идея этих алгоритмов заключается в сведении задачи обращения к задаче стабилизации динамической системы в условиях неопределенности, что позволяет использовать при решении весь арсенал алгоритмов
стабилизации в условиях неопределенности. Такой подход позволил
получить ряд новых алгоритмов обращения, эффективно решающих
поставленную задачу.
Для прояснения основной идеи развиваемого подхода рассмотрим
следующую неформальную постановку задачи обращения линейной
динамической системы. Пусть задан линейный оператор P, отображающий входные функции ξ(t) в выходные w(t), т. е.

w(t) = Pξ(t),

требуется по измерениям выхода сформировать текущую оценку ξ(t)
входного сигнала. Алгоритм формирования оценки назовем алгоритмом обращения (инвертирования), а динамическую систему формирующую такую оценку, назовем инвертором.
Основная проблема заключается в том, что обратный оператор
P −1 физически нереализуем, поэтому для решения задачи надлежит
построить его физически осуществимую аппроксимацию P такую, что
функцию
ξ = Pw(t) = PPξ(t)

можно принять за оценку неизвестного входного сигнала.
Один из способов построения такой аппроксимации основан на
использовании управляемой модели исходной системы:

w(t) = Pu(t),

в которой управление u(t) выбирается из условия обнуления разницы
между выходами системы и модели y(t) = w(t) − w(t). Если ошибка
y(t) = 0, то
P(u − ξ) = 0

и, значит, с точностью до функции ξ0(t) из ядра оператора имеет место
равенство
u(t) = ξ(t) + ξ0(t).

Введение
9

Из этих простых соображений следует, в частности, необходимое условие обратимости системы: ядро оператора должно содержать только
исчезающие функции, т. е. ξ0(t) → 0 при t → ∞ (эти условия получены
еще в работе [70]). В частности, для линейных динамических систем
это условие тесно связано минимальной фазовости системы. В этом
случае в качестве оценки входа ξ(t) может быть взята функция u(t),
т. е.
ξ = u(t) ∼ ξ(t).

Понятно, что при таком подходе свойства алгоритма обращения определяются свойствами оператора P и методом синтеза стабилизирующего
управления u(t).
Разумеется, это лишь самое общее представление о схеме решения
задачи. На самом деле проблема сложнее, в частности, стабилизирующее управление u(t) и функция ξ(t) могут принадлежать к различным
классам функций (например, u(t) кусочно-постоянная, т. е. разрывная
функция, а ξ(t) — непрерывная или непрерывно дифференцируемая
функция). В этом случае требуется дополнительное преобразование
(с помощью подходящего фильтра) F этого управления u(t) с тем, чтобы результат этого преобразования можно было принять за приемлемое
приближение функции ξ(t), т. е.

ξ(t) = Fu(t) ∼ ξ(t).

Подобный подход уже описывался в литературе (см. [33, 34, 70]),
причем особенность применяемого метода определялась выбором модели системы и типом стабилизирующего управления: так, в работе [70]
использовалась точная непрерывная модель системы, а закон управления состоял из двух компонент: обратной связи по состоянию и прямой
связи по многократным производным выхода. Ясно, что такой алгоритм
обращения нереализуем точно и не является робастным. В работах
[33, 34] использовалась дискретная модель системы и кусочно-постоянная стабилизирующая обратная связь, которая при определенных
условиях и устремлении шага дискретизации к нулю аппроксимирует
неизвестный вход. Однако в силу специфики этого метода заранее
отвергается скользящий режим и, соответственно, разрывные законы
управления, которые, как известно, наделяют систему повышенной
устойчивостью по отношению к вариациям параметров задачи и различным факторам неопределенности. Отчасти поэтому в данной монографии широко используются возможности разрывных управлений
в задачах робастного обращения.
Монография состоит из четырех глав. В первой главе рассматривается задача обращения для линейной конечномерной скалярной
стационарной системы (т. е. системы со скалярным входом ξ(t) и выходом w(t)):
˙z = Az + Bξ,
w = Cz,
(0.1)

Введение

где z ∈ Rn — фазовый вектор системы, A, B и C – постоянные
известные матрицы соответствующих порядков. В главе 1 подробно
исследованы методы обращения таких систем, основанные на идее
использования управляемой модели системы, например, вида
˙z = Az + Bu,
w = Cz.
(0.2)

При использовании такой модели задача сводится к стабилизации
системы в отклонениях x = z − z:
˙x = Ax + B(u − ξ),
y = Cx,
(0.3)

при этом решается задача стабилизации системы по измеряемому
выходу y(t) при наличии возмущения ξ(t). Особенности алгоритмов
обращения определяются как выбором стабилизирующей обратной связи (глубокая обратная связь, разрывные законы управления), так и
особенностями системы (возможности по стабилизации системы (0.3)
сильно зависят, например, от относительного порядка системы).
В главе 1 не только приведены алгоритмы обращения, получены
оценки их точности, но так же проведен анализ их прочности по
отношению к различного рода помехам. Так, исследована устойчивость
алгоритмов обращения по отношению к неидеальностям в работе релейных элементов (типа запаздывания, петли гистерезиса или мертвой
зоны) для алгоритмов, основанных на использовании разрывных законов управления. Кроме того, рассмотрен случай неточного измерения
выхода системы, когда вместо истинного выхода w(t) доступна лишь
его оценка w(t) = w(t) + e(t), |e(t)| ⩽ E0, где E0 — известная мажоранта. Исследован также случай, когда неточно известна динамика
системы (0.1), т. е. случай параметрически возмущенной системы
˙z = (A + ΔA)z + Bξ,
w = Cz,
(0.4)

где |ΔA| ⩽ E0, E0 — известная мажоранта. Во всех этих случаях
исследована точность предложенных алгоритмов обращения, получены
соответствующие оценки.
В главе 2 результаты главы 1 обобщаются на случай векторных систем (т. е. систем с векторным входом ξ(t) и векторным выходом w(t)).
Как было отмечено выше, для решения задачи обращения чрезвычайно
важную роль играет свойство минимальной фазовости системы (которое является необходимым условием обратимости), а также относительный порядок системы (который во многом определяет выбираемый
метод обращения). Если для скалярных систем эти понятия хорошо
изучены, то для векторных систем само корректное определение относительного порядка требует отдельного изучения. Этот вопрос, а также
связь относительного порядка с нулевой динамикой системы (а ми

Введение
11

нимальная фазовость есть устойчивость нулевой динамики) подробно
изучаются во второй главе.
Введенные понятия использованы при синтезе алгоритмов обращения векторных систем, свойства которых подробно изучены в главе 2.
В третьей главе изучается возможность решения данной задачи
минимальными средствами. Как указано выше, требуемая оценка неизвестного входного сигнала ξ(t) формируется с помощью некоторой
динамической системы, называемой инвертором. В рамках описанной
схемы обращения в качестве инвертора может использоваться полная
модель системы (0.2). Тогда порядок инвертора совпадает с порядком
самой системы. Однако в ряде случаев задача может быть решена
с помощью инверторов пониженного порядка (за счет использования
редуцированной модели системы, за счет использования наблюдателей
пониженного порядка и т. д.).
Изучение возможностей понижения порядка инвертора составляет
основное содержание третьей главы.
В четвертой главе рассматривается задача обращения нелинейных
систем. Изучается возможность обращения нелинейных систем по полному фазовому вектору, по выходу. Приведены алгоритмы обращения,
обобщающие результаты для линейного случая на некоторые классы
нелинейных систем.

Г л а в а 1

СКАЛЯРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ

СИСТЕМЫ

В этой главе рассматривается задача обращения для линейных
скалярных стационарных систем, т. е. для динамических систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями и имеющих
скалярный выход и скалярный неизвестный вход.
Рассматриваемые алгоритмы обращения зависят от свойств исследуемой системы, в частности, от относительного порядка системы.
Особое внимание уделено чувствительности инвертора по отношению
к различным факторам неопределенности. Кроме того, изучены дополнительные возможности, которые возникают в том случае, когда
обращаемая система управляема.

§ 1. Система с первым относительным порядком

1.1. Постановка задачи обращения. Простейший алгоритм инвертирования с использованием глубокой обратной связи.
Рассмотрение задачи начнем с простого скалярного случая. Рассматривается линейная динамическая система вида
˙z = Az + bξ,
w = cz,
(1.1)

где z(t) ∈ Rn, ξ(t), w(t) ∈ R, t ∈ [ 0, ∞), A, b, c — матрица и векторы с постоянными вещественными коэффициентами соответствующей
размерности. Необходимо по известному выходу w(t) построить оценку
неизвестного входного сигнала ξ(t).
Будем считать, что для системы (1.1) выполнены следующие предположения:

Предположение 1.1. Пара {A, b} управляема, пара {c, A} наблюдаема.