Основы механики сплошной среды. Курс лекций

УДК 532+539.3
ББК 22,25
П 41
П о б е д р я Б. Е.,
Ге о р г и е в с к и й Д. В.
Основы механики
сплошной среды. Курс лекций. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. —
272 с. — ISBN 5-9221-0649-X.
Книга представляет собой оригинальный курс лекций. Излагаются
кинематика сплошной среды, теория деформированного и напряжённого состояний, законы сохранения, анализ размерностей. Вводятся изотермические модели идеальной жидкости, вязкой жидкости, упругого
тела. Даются основы феноменологической термодинамики, и с привлечением её законов формулируются замкнутые постановки задач
для неизотермических моделей, в том числе связанных задач термомеханики, электротермоупругости, магнитной гидродинамики. Особое
внимание уделяется теории определяющих соотношений. Приводится
программа курса «Механика сплошной среды».
Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности «Механика».

Учебное издание

ПОБЕДРЯ Борис Ефимович
ГЕОРГИЕВСКИЙ Дмитрий Владимирович

ОСНОВЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ.

КУРС ЛЕКЦИЙ

Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Е.А. Королева
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 3.10.2005. Формат 60
90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 17. Уч.-изд. л. 17,0. Тираж 1500 экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 5-9221-0649-X

ISBN 5-9221-0649-X

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006
c⃝ Б. Е. Победря, Д. В. Георгиевский,
2006

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Л Е К Ц И Я 1. ПОДХОДЫ К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ . . . . . . .
7

Л Е К Ц И Я 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА . . . . . . . . .
20

Л Е К Ц И Я 3. ИНВАРИАНТНОСТЬ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Л Е К Ц И Я 4. МЕРЫ ДЕФОРМАЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Л Е К Ц И Я 5. МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Л Е К Ц И Я 6. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Л Е К Ц И Я 7. ОСНОВНЫЕ ПОСТУЛАТЫ (продолжение) . . . . . . .
81

Л Е К Ц И Я 8. НАПРЯЖ¨ЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ . . . . . . .
90

Л Е К Ц И Я 9. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТЕЙ . . . . . . . . 99

Л Е К Ц И Я 10. ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ТВ¨ЕРДЫХ ТЕЛ . . . . 110

Л Е К Ц И Я 11. РАЗМЕРНОСТИ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН . . . 123

Л Е К Ц И Я 12. ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ . . . . . . . . 136

Л Е К Ц И Я 13. ВТОРОЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ . . . . . . . . . 146

Л Е К Ц И Я 14. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОСТУЛАТЫ МСС . 157

Л Е К Ц И Я 15. НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . . . . . . . . . . . . . 168

Л Е К Ц И Я 16.
ЭЛЕМЕНТЫ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Л Е К Ц И Я 17. МАКРОВЕЛИЧИНЫ И ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ СОСТОЯНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Л Е К Ц И Я 18. ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТОДИНАМИКИ . . 195

Л Е К Ц И Я 19. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Содержание

Л Е К Ц И Я 20. СВЯЗАННЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОМАГНИТОТЕРМОМЕХАНИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Л Е К Ц И Я 21.
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ
ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ
СООТНОШЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Л Е К Ц И Я 22. УСЛОВИЯ НА ПОВЕРХНОСТЯХ РАЗРЫВА.
ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

ПРИЛОЖЕНИЕ. Программа курса “Механика сплошной среды”.. 265

ВВЕДЕНИЕ

Вот уже почти 40 лет на механико-математических факультетах классических университетов одним из основных курсов является курс механики сплошной среды (МСС). Его основателями и
первыми лекторами были великие уч¨еные-механики, профессора
МГУ Леонид Иванович Седов и Алексей Антонович Ильюшин.
Оба они написали прекрасные учебники [15, 52], многократно переиздававшиеся и перевед¨енные на многие иностранные
языки. На этих учебниках воспитывалось большое количество
отечественных уч¨еных и научных сотрудников. За прошедшее
время у нас и за рубежом вышло довольно много лекционных
курсов и монографий по данному предмету.
Программа курса механики сплошной среды непрерывно модифицировалась, в не¨е включались новые актуальные разделы
и уточнялось дедуктивное описание на основе появляющегося
нового математического аппарата, компьютерной техники и инженерных задач. Авторы также принимали участие в этом процессе, регулярно излагая свои мысли в курсах механики сплошной среды, читаемых студентам-механикам 2-го и 3-го курсов
и студентам-математикам 5-го курса механико-математического
факультета, а также студентам 3-го курса факультета наук о материалах (ФНМ) МГУ. Накопленное выносится теперь на суд
читателя.
Мы рассчитываем, что таким читателем будет всякий, кто
интересуется современным университетским курсом механики
сплошной среды и знает математику в объ¨еме первого курса
ВТУЗа. Весь необходимый математический аппарат да¨ется по
ходу изложения. При этом почти везде он представлен только
в минимальном виде, с тем чтобы объяснить основную концепцию механики сплошной среды. Вдумчивый и любознательный
читатель сможет расширить свои математические познания, используя литературу, на которую, в частности, ссылаются авторы.
В МСС излагаются общие свойства континуальных моделей
и предметом исследования могут быть разнообразные объекты.
Законы, изучаемые в МСС, позволяют прогнозировать явления

Введение

самой различной природы, и потому знакомство с МСС облегчит
труд во многих областях науки и техники по расшифровке
свойств моделей, выявлению всех следствий и т. д.
Программа курса МСС, читаемого в течение многих лет
студентам-механикам
механико-математического
факультета
МГУ профессором Б.Е. Победрей, представлена в приложении.
Материал, изложенный в настоящей книге, соответствует только
части программы (второму семестру 2-го курса). Поэтому книга
названа “Основы механики сплошной среды”. В ней излагаются
основные модели МСС сначала для изотермических процессов,
а затем с использованием основных законов термодинамики.
Для лучшего понимания изложенного в книге материала авторы рекомендуют читателям воспользоваться сборниками задач
и упражнений [18, 30].
Авторы признательны доценту кафедры механики композитов МГУ Л.В. Муравл¨евой, внимательно прочитавшей рукопись
и сделавшей ряд полезных для авторов замечаний.
Авторы с благодарностью примут отзывы читателей и постараются максимально учесть их в дальнейших изданиях.

Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский

Л Е К Ц И Я 1

ПОДХОДЫ К ОПИСАНИЮ ДВИЖЕНИЯ

По-разному можно определить предмет механики сплошной
среды, впрочем как и всей механики. Объективности здесь не
может быть никакой и вс¨е зависит от точки зрения исследователя. Однако в любом определении будет утверждаться, что
механика сплошной среды (МСС) — наука феноменологическая.
Это означает, что в е¨е основу положен аксиоматический подход, хотя и не в таком законченном виде, как в математике.
Дело в том, что одним из элементов построения МСС является
эксперимент. Понятие “эксперимент” многогранно и требует
подробного разъяснения, о ч¨ем немного говорится в дальнейшем.
Априорное присутствие этого понятия в формулировке задачи
МСС заставляет исследователей в области механики именовать
“кирпичики” феноменологического подхода не аксиомами, а постулатами.
В последнее время приобрело особую популярность словосочетание математическое моделирование. Именно моделированием и занимается механика. В частности, МСС занимается
моделированием процессов деформирования. Подобно тому как
в геометрии каждый вводит понятия: шар, конус, параллелепипед и т. д., не заботясь о том, существуют ли реально такие
объекты в природе, в МСС оперируют такими моделями, как
упругое тело, идеальная жидкость, совершенный газ и т. п., хотя
реальные среды описываются названными моделями лишь при
определ¨енных допущениях.
Сплошная среда (или континуум) вводится для описания
дискретных физических объектов, с тем чтобы воспользоваться мощным аппаратом математического анализа. Сама по себе
сплошная среда никакими априорными свойствами не обладает.
Подобно тому как любое множество только после введения некоторой структуры становится пространством, сплошная среда,
чтобы стать объектом построения моделей, нуждается во введении системы аксиом и постулатов. Они будут рассмотрены
в последующих лекциях.

Лекция 1

Рис. 1
Рис. 2

Отметим, что принцип континуализации, используемый для
введения сплошной среды, не решает всех проблем. После постановки задачи МСС требуется привлечение вычислительной
техники для е¨е решения. Для этого задачу требуется превратить
в алгебраическую, т. е. провести процесс дискретизации. В целях анализа полученного решения и сравнения его с экспериментальными результатами приходится вновь континуализировать
задачу.
Таким образом, процессы дискретизации и континуализации
задачи МСС повторяются несколько раз на различных уровнях.
Частично такими проблемами занимается бурно развивающийся
раздел механики — вычислительная механика [42]. Об этом
пойд¨ет речь в дальнейшем.
Для описания событий, происходящих в сплошной среде,
выберем некоторую систему отсч¨ета. Чаще всего это будет инерциальная система отсч¨ета: R1 × Ω. Одномерное пространство R1 называется временн´ым: 0 ⩽ t < ∞, а пространство Ω —
координатным. Инерциальной системой отсч¨ета она называется
потому, что в ней справедлив закон инерции, т. е. она либо
покоится, либо движется относительно другой инерциальной
системы поступательно, равномерно и прямолинейно. Геометрические свойства и размерность пространства Ω выбираются
в зависимости от цели предпринимаемого исследования.
Предположим, что существуют двумерные создания, живущие в плоскости листа (рис. 1). Чтобы сделать операцию на
сердце такому созданию, двумерный хирург должен сначала
рассечь тело пациента. Мы же, тр¨ехмерные люди, можем коснуться его сердца, не производя никаких разрезов. Если такие двумерные создания живут на “гофрированной” двумерной
поверхности, которую сжали с обеих сторон двумя ж¨есткими
плитами, то они будут испытывать “напряж¨енное состояние”, от
которого нельзя освободиться никакими силами, действующими

Подходы к описанию движения
9

в плоскости деформированного гофра (рис. 2). Ведь гофр может
разгрузиться только в тр¨ехмерном пространстве, которое для
двумерных созданий является математической абстракцией.
Точно так же в нашем реальном тр¨ехмерном мире возникают
напряжения (например, при сварке), от которых можно освободиться только выходя, вообще говоря, в шестимерное евклидово пространство. Поэтому, чтобы изучать такое напряж¨енное
состояние, нужно в качестве Ω рассматривать шестимерное евклидово пространство R6 или тр¨ехмерное риманово пространство V3 [38, 39].
Однако чаще всего за координатное пространство Ω принимается тр¨ехмерное евклидово пространство R3, которое будем
также называть вмещающим ящиком Я. В н¨ем всегда может
быть введена прямоугольная декартова система координат, благодаря чему любая точка вмещающего ящика Я описывается
радиусом-вектором ⃗r = xi⃗ki, где ⃗ki — векторы ортонормированного базиса 1) . Величины xi называются пространственными
координатами данной точки или данного места в ящике Я.
Определим далее тело B (сплошную среду) как тр¨ехмерное
дифференцируемое многообразие. Под многообразием понимается множество E, представленное в виде объединения {U}
конечного или сч¨етного числа областей. Для каждой области U
задано взаимно однозначное отображение е¨е в открытую область
тр¨ехмерного евклидова пространства R3 (задан гомеоморфизм
в R3). Тем самым в каждой области заданы координаты ξ1, ξ2, ξ3
(U — координатная окрестность или карта; совокупность карт
называется атласом). Пересечение U ∩ U′ каждой пары областей
в каждом множестве E является областью, в которой действуют
две системы координат: ξ1, ξ2, ξ3 (в U) и ξ1′, ξ2′, ξ3′ (в U′). При
этом одна система координат выражается через другую соотношениями
ξ′
i = ξ′
i(ξ1, ξ2, ξ3) ,
i = 1, 2, 3 .
(1.1)

Функции ξ′
i непрерывно дифференцируемы достаточное число
раз. Кроме того, во всех точках якобиан преобразования (1.1)
отличен от нуля:
∂ξ′
i

∂ξi

̸= 0 ,
(1.2)

1)По повторяющемуся индексу i производится суммирование от 1
до 3 (см. стр. 11).

Лекция 1

т. е. преобразование ξi −→ ξ′
i невырожденно или локально обратимо. Тогда по теореме о неявной функции существует обратное
к (1.1) преобразование

ξi = ξi(ξ′
1, ξ′
2, ξ′
3) ,
i = 1, 2, 3.
(1.3)

Таким образом, с каждым телом B можно связать атлас
(в двумерном случае сфера состоит из двух карт). Если же
тело B само является евклидовым пространством R3 или его частью, то атлас состоит из одной карты и может рассматриваться
одна система координат ξi для всех окрестностей U — элементов
многообразия B ∈ R3.
Элементы тела B называются частицами X, а величины ξi
(i = 1, 2, 3) — материальными координатами этих частиц. Конфигурацией Ξ тела B назов¨ем гладкий гомеоморфизм B в область тр¨ехмерного евклидова пространства R3. Таким образом,
название частиц связано с одной из таких конфигураций. Движением тела B будем называть однопараметрическое семейство
конфигураций Ξ(t) с временн´ым параметром t. Это означает,
что в каждый момент времени t имеется “фотография” тела B
в ящике Я.
Итак, конфигурация тела B в момент времени t представляет
собой множество всех мест x, которые занимают составляющие
это тело частицы X: x = Ξ(B, t) = {Ξ(X, t), X ∈ B}. Предполагается, что отображение B −→ Ξ(B, t) биективно, т. е. две
различные частицы в одно и то же время не могут находиться
в одном месте ящика и, наоборот, никакая частица ни в один
момент врмени не может занимать два различных места. Это
положение носит название гипотезы непроницаемости.
Конфигурация
в
момент
времени
t = t0
называется
отсч¨етной конфигурацией: x0 = Ξ(B, t0), а в текущий момент t — актуальной конфигурацией: x = Ξ(B, t). Координаты
ящика
x0
1, x0
2, x0
3,
соответствующие
отсч¨етной
конфигурации,
называются лагранжевыми координатами. Они могут, как и
материальные координаты, служить наименованием частицы X
(е¨е “названием”). В отличие от материальных координат ξ1, ξ2, ξ3,
лагранжевы координаты связаны с выбором параметра t = t0.
Поэтому
может
быть
установлено
непрерывное
и
взаимно
однозначное соответствие:
x = x(x0, t) .
(1.4)

Подходы к описанию движения
11

Рис. 3

Итак, после введения отсч¨етной и актуальной конфигураций
можно определить движение тела
как отображение отсч¨етной конфигурации в актуальную, т. е. заниматься только отображениями
“фотографий” тела, а не самим
телом (рис. 3). В силу гипотезы
непроницаемости
отображение (1.4) будет биективным.
Место, занимаемое частицей X в отсч¨етной конфигурации,
описывается радиусом-вектором ⃗r0:

⃗r0 = ⃗r0(ξ1, ξ2, ξ3, t0) = x0
i (ξ1, ξ2, ξ3, t0)⃗ki ,
(1.5)

а в актуальной конфигурации — радиусом-вектором ⃗r:

⃗r = ⃗r (ξ1, ξ2, ξ3, t) = xi(ξ1, ξ2, ξ3, t)⃗ki ,
(1.6)

где xi — эйлеровы координаты или координаты места в ящике Я, занимаемого частицей, которая в момент t = t0 занимала
место с координатами x0
i . Из (1.5), (1.6) следует, что соотношение (1.4) можно записать в виде

xi = xi(x0
1, x0
2, x0
3, t)
или
⃗r = ⃗r (⃗r0, t).
(1.7)

В соотношениях (1.5) и (1.6), как и всюду далее в книге,
используются следующие общепринятые правила суммирования
[29, 55]:
а) индекс, изображающийся малой латинской буквой, изменяется от 1 до 3;
б) индекс, изображающийся большой латинской буквой, изменяется от 1 до 2;
в) латинские индексы могут встречаться в каждом одночлене
либо один, либо два раза; если индекс встречается два раза,
он называется немым и по нему производится суммирование
от 1 до 3 (если он изображается малой буквой) или от 1 до 2
(если большой), прич¨ем для краткости знаки суммы опускаются;
если индекс встречается один раз, он называется свободным
(во всех одночленах данной формулы свободные индексы должны
совпадать);
г) индексы,
обозначающиеся
греческими
буквами,
могут
встречаться
в
каждом
одночлене
произвольное
число
раз,
и по ним суммирование не производится (если, разумеется,

Лекция 1

специально не написан знак суммы); разным греческим буквам
в индексах в данной формуле обязательно соответствуют разные
числовые индексы.
Так, например, компактная запись
aiJkLbαkcαL = fαiJ
эквивалентна системе восемнадцати уравнений (каждое из следующих шести уравнений надо взять при α = 1, 2, 3):
a1111bα1cα1 + a1112bα1cα2 + a1121bα2cα1 +
+ a1122bα2cα2 + a1131bα3cα1 + a1132bα3cα2 = fα11;

a1211bα1cα1 + a1212bα1cα2 + a1221bα2cα1 +
+ a1222bα2cα2 + a1231bα3cα1 + a1232bα3cα2 = fα12;

a2111bα1cα1 + a2112bα1cα2 + a2121bα2cα1 +
+ a2122bα2cα2 + a2131bα3cα1 + a2132bα3cα2 = fα21;

a2211bα1cα1 + a2212bα1cα2 + a2221bα2cα1 +
+ a2222bα2cα2 + a2231bα3cα1 + a2232bα3cα2 = fα22;

a3111bα1cα1 + a3112bα1cα2 + a3121bα2cα1 +
+ a3122bα2cα2 + a3131bα3cα1 + a3132bα3cα2 = fα31;

a3211bα1cα1 + a3212bα1cα2 + a3221bα2cα1 +
+ a3222bα2cα2 + a3231bα3cα1 + a3232bα3cα2 = fα32.

Сравнение двух предыдущих формул, без сомнения, убедит читателя в преимуществах использования тензорной алгебры.
Верн¨емся к соотношениям (1.7). Они устанавливают связь
между отсч¨етной и актуальной конфигурациями, т. е. описывают
закон движения сплошной среды. В силу условий непроницаемости
∂xi
∂x0
j

≡
∂xi
∂ξk

∂ξk
∂x0
j

̸= 0
(1.8)

соотношения (1.7) можно обратить следующим образом:

x0
i = x0
i (x1, x2, x3, t)
или
⃗r0 = ⃗r0(⃗r, t).
(1.9)
Если в отсч¨етной конфигурации зафиксировать материальную частицу (например, имеющую лагранжевы координаты x0
i =
= Ci), то из закона движения (1.7) получим уравнение линии:

xi = xi(C1, C2, C3, t).
(1.10)
Эта линия называется траекторией частицы.