Анализ систем синхронизации при наличии помех

Москва
Горячая линия – Телеком

2016

УДК 621.37:621.391 
ББК 32.841 
    Ш32 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор А. И. Козлов;  
доктор техн. наук, профессор А. В. Пестряков 

Шахтарин Б. И., Сидоркина Ю. А., Сизых В. В. 
Ш32      Воздействие помех на системы синхронизации. – М.: Горячая 
линия – Телеком, 2016. – 268 с.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0533-7. 

Рассмотрены процессы, воздействующие на системы синхронизации 
(СС), содержащие, помимо сигнальной составляющей, аддитивно с 
ней смешанные шумовые и гармонические помехи. Исследованы как 
непрерывные процессы и СС, так и их дискретные версии. Приведены 
динамические и статистические характеристики СС. Результаты исследования получены приближенными аналитическими методами и 
методами моделирования. 

Для  специалистов, занимающимся практическими приложениями 

систем синхронизации, научных работников, будет полезна студентам 
и аспирантам вузов. 

ББК 32.841 

Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Шахтарин Борис Ильич, Сидоркина Юлия Анатольевна, 

Сизых Вадим Витальевич 
Воздействие помех на системы синхронизации
Монография

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было 
форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
©  Б. И. Шахтарин, Ю. А.Сидоркина, В. В. Сизых

Предисловие

Данная книга посвящена исследованию результатов воздействия на системы синхронизации (СС) аддитивной смеси сигнала и
двоякого рода помех: шумовых и гармонических. Исследуются как
непрерывные процессы и СС, так и их дискретные версии.
Получены динамические и статистические характеристики СС.
Для этого использованы аналитические приближенные методы и методы моделирования.
При расчете динамических характеристик СС применен приближенный метод гармонического баланса, а в основе получения статистических характеристик СС лежит метод марковских случайных
процессов, ранее используемый авторами при анализе СС в других
обстоятельствах.
Книга состоит из 3 частей. В первой части, включающей две
главы, рассматриваются непрерывные СС и воздействующие на них
процессы, а также методы решения уравнения Фоккера–Планка–
Колмогорова (ФПК). Во второй части, включающей главы 3–8, анализируется воздействие на СС комбинированных шумовой и гармонической помехи.
В третьей главе второй части представлены динамические характеристики ФАП, полученные методом фазовой плоскости, такие
как зависимости параметров ФАП от параметров сигнала и гармонической помехи. В данной главе, а также в четвертой главе исследования проводятся при воздействии на СС гармонической помехи
при отсутствии шумовой составляющей на входе системы.
В четвертой главе динамика СС исследована приближенным методом гармонического баланса. Получены зависимости параметров
предполагаемого решения исходного дифференциального уравнения
(ДУ) СС от параметров сигнала и гармонической помехи, в частности от отношения помеха/сигнал (ОПС). Найдены критические
значения параметров движения и системы.
В главах 5–7 на основе метода гармонического баланса найдены два варианта приближенных уравнений ФПК, Понтрягина и их
решение в случае СС первого порядка. Приводятся результаты сравнения указанных двух подходов к усреднению коэффициентов ДУ.
Рассмотрен случай прицельной и скользящей помехи.

Предисловие

В восьмой главе проведен анализ СС второго порядка на основе
обобщения метода, представленного в предыдущей главе.
Третья часть книги содержит 3 главы: в главе 9 исследована
система слежения за задержкой (ССЗ), в главе 10 проведен анализ
срыва слежения в СС, в главе 11 рассматриваются дискретные СС.
Участие авторов следующее: Б.И. Шахтарин — предисловие,
введение, главы 3, 5, 8; Ю.А. Сидоркина — главы 1, 4, 6, 7, 10;
В.В. Сизых — главы 2, 10, 11. Следует отметить, что при расчетах статистических характеристик ФАП при воздействии узкополосных помех были использованы алгоритмы и программы аспиранта
Т.Г. Асланова, в частности работы [115–117].

Введение

Задача анализа статистических характеристик аналоговых систем фазовой автоподстройки (ФАП) в настоящее время является
классической задачей статистической радиотехники. Первые работы
в этой области появились в конце 50-х — начале 60-х годов прошлого века. Так что можно отметить полувековой юбилей появления
первых работ Р.Л. Стратоновича [1, 2] и В.И. Тихонова [3, 4] в этой
области.
Достаточно быстро были получены основные аналитические и
численные результаты по исследованию влияния шумов на ФАП
первого порядка.
Это обусловлено тем, что уравнение Фоккера–
Планка–Колмогорова (ФПК) для плотности распределения вероятностей (ПРВ) фазовой ошибки в стационарном режиме интегрируется аналитически (при синусоидальной нелинейности его решение — распределение Тихонова).
При анализе срыва слежения в
ФАП первого порядка широко используется уравнение Понтрягина для моментов времени до срыва слежения, которое представляет
собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка,
допускающее понижение порядка. С точки зрения численных процедур уравнение Стратоновича–Тихонова (уравнение ФПК для ФАП
первого порядка) также является хорошим объектом.
Можно констатировать, что анализ систем первого порядка к
настоящему времени проведён в достаточном для практики объеме.
Хотя даже для такой простой системы до сих пор не решен ряд
интересных задач.
Например, практически отсутствуют аналитические результаты по переходному режиму, анализ которого, например, можно свести к исследованию собственных функций и собственных значений производящего оператора уравнения Старатоновича–
Тихонова, как это сделано для уравнения Матье.
Следует отметить, что значимый вклад в теорию синхронизации при наличии шумов внесли отечественные и зарубежные учёные: В. Линдсей, А. Витерби, Р. Таусворт, В.Н. Белых, М.И. Жодзижский, В.Н. Кулешов, В.Д. Разевиг, Н.Н. Удалов, Ю.И. Савватеев, В.В. Сизых, В.Д. Шалфеев, В.В. Шахгильдян, Б.И. Шахтарин,
В.А. Ходаковский и другие.
С анализом стохастической ФАП второго и более высоких порядков дело обстоит гораздо сложнее. Наверное, единственный точ

Введение

ный аналитический результат был получен для ФАП с интегрирующим фильтром (ИФ) в самом начале работ в этой области В.И. Тихоновым [4]. Это — решение уравнения Крамерса–Тихонова (уравнения ФПК для ФАП с ИФ) в стационарном режиме при нулевой
начальной расстройке. Впервые это уравнение получили Х.А. Крамерс [5] для описания химических реакций и В.И. Тихонов [4] для
ПРВ фазовой ошибки и ее производной для ФАП с ИФ.
Помимо этого, в [4] было получено приближенное решение уравнения Крамерса–Тихонова для большой постоянной времени интегрирующего фильтра в виде отрезка ряда Эджворта.
Этот прием
использовался в дальнейшем в ряде работ. Далее исследования статистических характеристик ФАП как нелинейной системы велись в
двух направлениях. К первому направлению, в котором сосредоточено наибольшее число работ, следует отнести процедуры исследования ФАП на основе приближенных аналитических методов. Сюда
следует отнести работы, посвященные методу усреднения [2, 5–13];
работы, посвященные анализу ФАП методами кумулянтов и статистической линеаризации [14–20]; работы, использующие приближенное вычисление условных математических ожиданий [21, 22].
Ко второму направлению можно отнести работы, посвященные
анализу статистических характеристик ФАП с использованием численных методов решения уравнений Колмогорова и Понтрягина [7,
23–34].
Необходимо отметить, что задача численного решения либо прямого уравнения Колмогорова, либо уравнения Понтрягина для ФАП
второго порядка, не говоря уже о системах более высокого порядка,
достаточно сложна.
Это обусловлено рядом причин.
Во-первых,
традиционно основное внимание ученых, занимающихся задачами
численного решения уравнений математической физики, уделяется
приложениям уравнений в гидро-, газодинамике, атомной физике.
Соответствующие уравнения имеют отличия от уравнений, рассматриваемых в теории статистического анализа ФАП. Самым близким
к уравнению ФАП является уравнение многомерной диффузии, теория численного решения которого разработана детально. Отличие
между этими уравнениями заключается в том, что основную роль в
уравнениях для ФАП играют члены, отвечающие за процесс переноса, это придает качественное своеобразие этим уравнениям. При
этом производящие операторы соответствующих уравнений Колмогорова становятся несамосопряженными. Экономичные методы решения многомерных уравнений диффузии основаны, в большинстве
случаев, на факторизации разностных операторов. Для корректной
факторизации соответствующие элементарные операторы должны

Введение
7

коммутировать.
В случае ФАП такую факторизацию выполнить
сложно. Далее, при анализе срыва слежения некоторые части границы области, в которой ищется решение, становятся нерегулярными.
Это еще более затрудняет решение.
В меньшем числе работ анализируется воздействие на непрерывную СС гармонических помех и совместное воздействие шумовых и
гармонических помех.
Очевидно, первой такой работой считается статья А.Г. Журавлева [35] — ученика В.И. Тихонова.
В силу недостаточной изученности данного вопроса приведем
основные работы, посвященные решению данной проблемы [36–40].
В большинстве приведенных работ решение задачи основано на применении приближенного метода гармонического баланса, впервые
предложенным в работе Д. Бруно [37].
В дальнейшем на основе метода Д Бруно получены динамические и статистические характеристики СС в [23, 36–48].
В [12, 49] показано применение метода фазовой плоскости для
получения динамических характеристик СС при воздействии на нее
лишь гармонической помехи и сигнала.
Воздействие дискретных сигналов и помех на дискретные (импульсные) СС рассмотрено в значительно меньшем числе работ, чем
в случае непрерывных процессов и структуры СС здесь следует отметить обзор [50], а также [51, 52, 54].
В [53, 54] показано применение приближенного метода Галеркина для анализа дискретной (импульсной) СС при наличии на входе
шумовой помехи.
Воздействие на непрерывную СС комбинированных помех (шум
и гармоническая помеха) рассмотрено в [55–58].
Воздействие на дискретную СС комбинированных помех (шум
или гармоническая помеха) рассмотрено в [51, 52, 59–55].
Схемы Костаса рассмотрены в [47, 76–82]. Воздействие на схему
Костаса комбинированных помех (шум плюс гармоническая помеха)
рассмотрено в [60].

Модели стохастической аналоговой
ФАП при воздействии гармонической
помехи

1.1. Модель ФАП n-го порядка при воздействии
белого шума и узкополосной помехи

Предположим, что на ФАП воздействует смесь полезного сигнала sс(˜t), детерминированной помехи sп(˜t), представляющей аддитивную смесь узкополосных синалов, и шума n(˜t). Будем считать,
что шум n(˜t) может быть содержать как узкополосную nу(˜t), так и
широкополосную nш(˜t) составляющие. В этом случае

sс(˜t) =
√

2A(t) sin(ω0˜t + θc(˜t));

sп(˜t) =
√

2

N
i=1
Aпi(t) sin(ω0˜t + θпi(˜t));

s(˜t) = sс(˜t) + sп(˜t);

nу(˜t) =
√

2nуc(˜t) cos ω0˜t −
√

2nуs(˜t) sin ω0˜t;

nш(˜t) =
√

2nшc(˜t) cos ω0˜t −
√

2nшs(˜t) sin ω0˜t;

n(˜t) = nу(˜t) + nш(˜t).

где A(t), Aпi(t) — среднеквадратические значения полезного сигнала
и узкополосной помехи; ω0 — несущая частота; θc(˜t), θпi(˜t) — соответственно законы изменения фаз полезного сигнала и помехи; nуc(˜t),
nуs(˜t) — квадратурные составляющие узкополосной помехи; nшc(˜t),
nшs(˜t) — квадратурные составляющие широкополосной помехи; N —
число узкополосных составляющих в детерминированной помехе.
Будем полагать, что Aпi(t) = εi(t)A(t), где εi(t) — некоторая
функция времени. Случайные процессы nуc(˜t), nуs(˜t), nшc(˜t), nшs(˜t)
считаем независимыми, кроме того, их часто полагают гауссовскими.
Сигнал на входе ФАП имеет вид

u(˜t) = s(˜t) + n(˜t).

Модели стохастической аналоговой ФАП
9

Рис. 1.1

Структурная схема ФАП изображена
на рис. 1.1, где ФД — фазовый детектор;
ФНЧ — фильтр нижних частот; УЭ —
управляемый элемент; УГ — управляемый
генератор.
Напряжение uг(˜t) на выходе управляемого генератора запишем в виде

uг =
√

2Aг cos(ω0˜t + θ(˜t)),

где Aг — среднеквадратическое значение напряжения на выходе
управляемого генератора; θ(˜t) — закон изменения фазы этого напряжения.
Считаем, что

dθ
d˜t = kuр(˜t),
(1.1)

где uр(˜t) — управляющее напряжение; k — постоянный коэффициент.
Допустим, что фазовый детектор действует как перемножитель
колебаний u(˜t) и uг(˜t) с коэффициентом умножения kд. Это справедливо, если пренебречь нелинейными искажениями. Тогда на выходе
фазового детектора получаем колебание вида

uд(˜t) = kдAAг
sin[θс(˜t) − θ(˜t)] +

N
i=1
εi(˜t) sin[θпi(˜t) − θ(˜t)]
+

+ kдAAг
sin[2ω0˜t +˜tс(˜t) + θ(˜t)] +

N
i=1
εi(˜t) sin[2ω0˜t + θпi(˜t) + θ(˜t)]
+

+ kдAгnc(˜t)[cos θ(˜t) + cos(2ω0˜t + θ(˜t))] −

−kдAгns(˜t)[sin(2ω0˜t + θ(˜t)) − sin θ(˜t)],

где εi(˜t) = Aпi(˜t)/A(˜t); nc(˜t) = nуc(˜t)+ nшc(˜t); ns(˜t) = nуs(˜t)+ nшs(˜t).
Поскольку после ФД расположен ФНЧ, который подавляет гармоники частоты 2ω0, то приближенно можно записать напряжение
uр(˜t) в виде

uр(˜t) = K(σ)kдAгA
sin[θс(˜t)−θ(˜t)]+

N
i=1
εi(t) sin[θпi(˜t)−θ(˜t)]+ n0(˜t)

A(˜t)

,

(1.2)
где σ — оператор дифференцирования по переменной ˜t; K(s) — передаточная функция ФНЧ; s — переменная преобразования Лапласа;

n0(˜t) = nc(˜t) cos θ(˜t) + ns(˜t) sin θ(˜t).

Г л а в а 1

Подставляя (1.2) в (1.1), получим

σθ = K(σ)kkдAгA
sin[θс(˜t)−θ(˜t)]+

N
i=1
εi(˜t) sin[θпi(˜t)−θ(˜t)]+ n0(˜t)

A(˜t)

.

(1.3)
Обозначим фазовую ошибку

x(˜t) = θс(˜t) − θ(˜t).
(1.4)

Учитывая (1.4), получим

σx(˜t) = σθс − σθ.

Тогда θпi(˜t) − θ(˜t) = x(˜t) + θпi(˜t) − θс(˜t) и уравнение (1.3) примет вид

σx = σθс(˜t) − K(σ)kkдAгA(˜t)×

×

sin x(˜t) +

N
i=1
εi(˜t) sin[x(˜t) + θпi(˜t) − θс(˜t)] − n0(˜t)

A(˜t)

.
(1.5)

Если обозначить hп(x,˜t) = sin x(˜t) +
N
i=1
εi(˜t) sin[x(˜t) + θпi(˜t) −

θс(˜t)], то получим ДУ ФАП в операторном виде

σx = σθс − K(σ)Ω(˜t)
hп(x,˜t) + n0(˜t)

A(˜t)

,

где Ω(˜t) = kkдAгA(˜t).
Это уравнение с точностью до обозначений совпадает с уравнением обычной системы ФАП.
Найдем дифференциальное уравнение (Ланжевена) относительно фазового рассогласования x(˜t) в случае дробно-рациональной
функции K(σ) = Q(σ)/R(σ), где Q(σ) = A0σm + A1σm−1 + . . . + Am,
R(σ) = B0σn−1 + B1σn−2 + . . . + Bn−1, m ⩽ n − 1.
В этом случае имеем ДУ ФАП в операторном виде

σR(σ)x(˜t) = σR(σ)θс(˜t) − Q(σ)Ω(˜t)
hп(x,˜t) +
1

A(˜t)n0(˜t)
.
(1.6)

Перейдем от ДУ (1.6) к системе ДУ в нормальной форме. Для
этого запишем ДУ (1.6) в виде

σR(σ)x = σR(σ)θс − Q(σ)h0(x,˜t),
(1.7)

где h0(x, t) = Ω(˜t)[hп(x,˜t)+n0(˜t)/A(˜t)]. В зависимости от вида функции θс(˜t) и передаточной функции ФНЧ переход можно осуществить
несколькими способами.