Основы квантово-механических представлений о строении атома

Д. А. НорАНович

ОснОвы квантОвО-механических 

представлений О стрОении атОма 

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2011

МИнИстеРство обРазованИя И наукИ РоссИйской ФеДеРацИИ

Федеральное государственное автономное образовательное 
учреждение высшего профессионального образования
«Южный федеральный университет»

© норанович Д. а., 2011                                                            
© Южный федеральный университет, 2011
©  оформление. Макет. Издательство 
    Южного федерального университета, 2011

Удк 539.18
ББк 24.5
ISBN 978-5-9275-0852-5

н 82

уДк 539.18
ббк 24.5
        н 82

Печатается по решению редакционно-издательского совета  
Южного федерального университета

рецензенты:

кандидат физико-математических наук, профессор, 
Богатин А. С.; 

кандидат физико-математических наук, доктор философских наук, 
профессор Минасян Л. А. 

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках национального проекта
«Образование» по «Программе развития федерального государственного 
образовательного учреждения высшего профессионального образования
“Южный федеральный университет” на 2007–2010 гг.»

норанович д. а. 
основы квантово-механических представлений о строении атома: 
учеб. пособие. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФу, 2011. –  100 с.

ISBN 978-5-9275-0852-5
Пособие «основы квантово-механичесих представлений о строении атома» 
к курсу «физика атома и атомных явлений» предназначено для студентов классического потока физического факультета специальностей «физика», «радиофизика», «медицинская физика». в пособии рассматриваются такие темы, как уравнение Шредингера, квантование, барьерные задачи, основные сведения из теории 
операторов, момент импульса частицы, оператор квадрата момента импульса частицы, теория Шредингера атома водорода, многоэлектронный атом, периодическая таблица элементов Менделеева, спектры щелочных металлов, термы многоэлектронного атома. Изложенный в теме материал покрывает раздел программы 
курса «Физика атома и атомных явлений» «основы квантово-механических представлений о строении атома», изложенной в государственных стандартах вышеуказанных специальностей. Данное пособие содержит четыре модуля и может использоваться для преподавания части курса по программе для специалистов,  
а также для преподавания отдельного курса кредитно-модульной системы. Рассмотренные в пособии темы необходимы как для формирования мировоззрения 
будущего физика, так и для успешного изучения последующих курсов, таких как 
«Физика ядра и ядерных частиц», «квантовая теория» и др.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ........................................................................................................................... 4

Модуль 1. Уравнение Шредингера и простейшие 
                   случаи движения микрочастиц ....................................................... 6

УРАВНЕНИЕ  ШРЕДИНГЕРА .................................................................................................. 10
КВАНТОВАНИЕ .................................................................................................................... 16
БАРЬЕРНЫЕ ЗАДАЧИ  ............................................................................................................ 26
Тест рубежного контроля ........................................................................................... 37

Модуль 2. Основы теории операторов .............................................................. 38

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ  ИЗ ТЕОРИИ ОПЕРАТОРОВ ....................................................................... 40
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЧАСТИЦЫ  ............................................................................................. 47
ОПЕРАТОР  КВАДРАТА  МОМЕНТА  ИМПУЛЬСА ........................................................................... 52
Тест рубежного контроля ............................................................................................ 58

Модуль 3. Движение частиц в центрально-симметричном 
                   поле. Атом водорода ........................................................................... 60

ТЕОРИЯ  ШРЕДИНГЕРА  АТОМА  ВОДОРОДА  ........................................................................... 64
Тест рубежного контроля  .......................................................................................... 70

Модуль 4. Строение и спектры 
                   многоэлектронных атомов .............................................................. 72

МНОГОЭЛЕКТРОННЫЙ  АТОМ ................................................................................................. 75
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ  ТАБЛИЦА  ЭЛЕМЕНТОВ М ЕНДЕЛЕЕВА .......................................................... 79
СПЕКТРЫ  ЩЕЛОЧНЫХ  МЕТАЛЛОВ ......................................................................................... 86
ТЕРМЫ  МНОГОЭЛЕКТРОННОГО  АТОМА  .................................................................................. 89
Тест рубежного контроля ........................................................................................... 96

Заключение  .................................................................................................................. 98

Литература .................................................................................................................... 99

ВВеДение

К 20-м гг. прошлого века был накоплен огромный материал о строении вещества. Тем не менее, не существовало удовлетворительной теории, 
объясняющей у атомов наличие дискретного спектра и спектральных закономерностей, а также волновых свойств микрочастиц. Экспериментальные данные не могли быть объяснены с помощью существовавшей тогда 
классической теории, поэтому рядом выдающихся физиков, таких как Гейзенберг, Борн, Йордан, Шредингер, Дирак и др. была создана новая теория – квантовая механика, объяснившая наблюдавшиеся закономерности. 
Квантовая механика, хотя и дает количественные предсказания, достаточно хорошо согласующиеся с измеренными величинами, однако затрудняется объяснить, почему и как происходят некоторые явления. При этом, 
в этой новой теории «ломаются» некоторые бытовые представления человека о поведении окружающих нас объектов. Например, для микрочастиц 
теряет смысл такое понятие, как траектория. Несмотря на трехступенчатое преподавание физики (школьный курс, курс общей физики, курс теоретической физики), основные понятия квантовой механики впервые вводятся в курсе «Физика атомов и атомных явлений». Эти понятия трудны 
для понимания не только из-за того, что у студента существенно изменяется представление об окружающем мире, но и в силу интенсивного использования в теории достаточно сложного математического аппарата. Без изучения основ квантовой механики невозможно понимание строения атомов, 
молекул, твердых тел, а также закономерностей движения микрочастиц. 
Данный материал необходим для понимания студентами как курса 
ядерной физики и элементарных частиц, так и курсов цикла теоретической 
физики и ряда спецкурсов, не говоря уже о том, что без знания основ квантовой физики образование по физике будет неполным. При этом, материал, рекомендованный стандартом по специальностям «физика», «радиофизика», «медицинская физика», оказывается разбросанным по разным учебникам и учебным пособиям, в которых он излагается с различных позиций. Таким образом, возникает необходимость в создании учебного пособия, которое охватывает материал раздела программы «Основы квантовомеханических представлений о строении атома» с единых позиций, кратко, чтобы студенты смогли изучить его за отведенное программой время, и 
в то же время полно, чтобы у них сложились правильные представления об 
изучаемом предмете. 
Цель данного пособия – ознакомить студентов с основами квантовой 
механики, показать, как основные положения данной теории применяются 

к строению атома, познакомить с основами математического аппарата теории и применением полученных знаний на практике. Пособие может использоваться как для изучения части курса «Физика атома и атомных явлений», так и для преподавания самостоятельного курса «Основы квантовой механики», состоящего из четырех модулей («Уравнение Шредингера 
и простейшие случаи движения микрочастиц»; «Основы теории операторов»; «Движение частиц в центрально-симметричном поле. Атом водорода»; «Строение и спектры многоэлектронных атомов»), а также для самообразования.

Модуль 1

УрАВнение ШреДингерА и прОСтейШие 
СЛУчАи ДВижения МикрОчАСтиц

Цели: познакомить обучаемых с соображениями, которые привели 
Шредингера к постулированию нерелятивистского квантового уравнения, 
указать границы применения теории Шредингера, изучить свойства волновой функции, объяснить, как возникает квантование, рассмотреть движение свободных и связанных частиц, а также применить теорию на практике на примере простейших одномерных задач.

проектное задание
Частица массы m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Показать, что собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные 
функции (0 < x < l) имеют вид 

2
2

2
2

2
n
ml
En

,
l
nx
sin
l
x
n
2
,
,...
,
n
2
1
Рассмотрим решение проектного задания.

5 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Проектное задание 

Частица массы 
m  находится в одномерной прямоугольной 

потенциальной яме шириной l  с бесконечно высокими стенками. 

Показать, 
что 
собственные 
значения 
энергии 
частицы 
и 
ее 

нормированные 
собственные 
функции 
(
l
x
0
) 
имеют 
вид 

2
2

2
2

2
n
ml
En

, 
l
nx
sin
l
x
n
2
, 
,...
,
n
2
1
 

Рассмотрим решение проектного задания. 

 

Граничные условия 

0
0
0
l

l
0

U

x

0
0

1
2
3

Граничные условия

0

0
0

l
7

В области [0; l] U = 0.
Запишем в соответствии с этим уравнение Шредингера.

x
E
x
m
2

2
2

2

,

0
2

2
2

2

mE
x
0
2

2
2

2

mE
x

Обозначим 
2
2
2
k
mE 
, тогда

mE
k
2
0
2
2

2
k
x
.

Запишем характеристическое уравнение (
1
0 ,
2
2

2
x
):

0
2
2
k
,

2
2
k
,

ik
,
2
1
.

 , тогда
2
2
2
k
mE 
, тогда

mE
k
2
0
2
2

2
k
x

.

Запишем характеристическое уравнение (
1
0 ,
2
2

2
x
):

0
2
2
k
,

2
2
k
,

ik
,
2
1
.

Запишем характеристическое уравнение (
1
0 ,
2
2

2
x

):

0
2
2
k
,

2
2
k
,

ik
,
2
1
.

:

0
2
2
k
,

2
2
k
,

ik
,
2
1
.

2
2
k
,

ik
,
2
1
.
ik
,
2
1
Решение такого характеристического уравнения можно представить в виде:

sin
cos
x
A
kx
B
kx
Подставляем в выражение для sin
cos
x
A
kx
B
kx
граничные условия:

0
sin
0
cos
0
0
1
0
A
k
B
k
A
B
B
Так как В = 0, то решение уравнения Шредингера теперь представляется в виде 
kx
sin
A
x .

0
kl
sin
A
l
Отсюда можно сделать следующие выводы:
Коэффициент А не может равняться нулю, так как тогда 
x .

0
kl
sin
A
l
тождественно обратится в ноль. Поэтому в этом случае 
kx
sin
A
x .

0
kl
sin
A
l
.

,

.

,

,

.

;

.

.

,

kl = πn, причем n = 1, 2, 3,.., n ≠ 0 так как в этом случае 
x .

0
kl
sin
A
l
тождественно обратится в ноль.  

l
n
k
, отсюда
2

2
2

2
2
l
n
mE


,
2

2

2
2
2
ml
n
m
E


.

l
nx
sin
A
kx
sin
A
x
n
.

 
, отсюда 

2

2
2

2
2
l
n
mE


,
2

2

2
2
2
ml
n
m
E




.

l
nx
sin
A
kx
sin
A
x
n
.

Для определения коэффициента А используем условие нормировки 

1

0

2
l
dx
|
|.

1

0

2
2
l
dx
l
nx
sin
A
,

1
2 dx
|
|
. Однако в областях 
0
;
 и 
;l
 (на рисунке они 

обозначены как области 1 и 3) волновая функция 
x  тождественна равна 0. 

Поэтому условие нормировки естественно упрощается и приобретает вид: 

1

0

2
l
dx
|
|
. 

1

0

2
2
l
dx
l
nx
sin
A
, 

Чтобы взять интеграл понизим вторую степень синуса до первой по 

формуле 
x
cos
x
sin
2
2
1
2
1
2
. 

1
2
2
1
2
1

0

2
l
dx
l
nx
cos
A
, 

1
2
2
2
0

2

0

2
l
l
dx
l
nx
cos
A
dx
A
, 

1
2
2
2
2
0

2

0

2
l
l

l
nx
sin
n
l
A
x
A
, 

1
2 dx
|
|
. Однако в областях 
0
;
 и 
;l
 (на рисунке они 

обозначены как области 1 и 3) волновая функция 
x  тождественна равна 0. 

Поэтому условие нормировки естественно упрощается и приобретает вид: 

1

0

2
l
dx
|
|
. 

1

0

2
2
l
dx
l
nx
sin
A
, 

Чтобы взять интеграл понизим вторую степень синуса до первой по 

формуле 
x
cos
x
sin
2
2
1
2
1
2
. 

1
2
2
1
2
1

0

2
l
dx
l
nx
cos
A
, 

1
2
2
2
0

2

0

2
l
l
dx
l
nx
cos
A
dx
A
, 

1
2
2
2
2
0

2

0

2
l
l

l
nx
sin
n
l
A
x
A
, 

Однако в областях (–∞; 0) и (l; +∞) (на рисунке они обозначены как области 1 и 3) волновая функция 
x .

0
kl
sin
A
l
равна 0. Поэтому условие 
нормировки естественно упрощается и приобретает вид:

1

0

2
l
dx
|
|.

1

0

2
2
l
dx
l
nx
sin
A
Чтобы взять интеграл понизим вторую степень синуса до первой по 

формуле
 

2
1
1
sin
cos2
2
2
x
x
.

        
1
2
2
1
2
1

0

2
l
dx
l
nx
cos
A
,

1
2
2
2
0

2

0

2
l
l
dx
l
nx
cos
A
dx
A
,

1
2
2
2
2
0

2

0

2
l
l

l
nx
sin
n
l
A
x
A
,

.

0
2
2

2
2
A
l
A
,

1
2

2
l
A
,

l
A
2
,

l
nx
sin
l
x
n
2
.

УРАВНЕНИЕ  ШРЕДИНГЕРА

Известно, что микрочастицы, такие как электрон, обладают волновыми свойствами. Де Бройль предположил, что движение свободной частицы 
можно описать плоской волной.

(
)
i pr
Et
Как будет двигаться частица, попавшая, например, в электрическое 
поле? Нужно записать уравнение, которое описывало бы движение микрочастицы в произвольном случае.
Также мы установили, что атомы обладают дискретными уровнями 
энергии. Бору удалось объяснить спектр атома водорода, предположив, что 
электрон движется по круговым орбитам вокруг ядра, однако не все орбиты возможны.
Выделить возможные орбиты позволило правило квантования, которое 
было получено с помощью подгонки термов, предсказанных теорией Бора 
под Бальмеровский вид. Однако желательно иметь общее правило квантования для любой микросистемы, в частности для многоэлектронного атома или молекулы.
Для решения вышеуказанной проблемы Шредингером было найдено 
волновое уравнение, которое в случае свободного электрона дает плоскую 
волну. Это уравнение – нерелятивистское, т. е. в него не входит скорость 
света. И оно описывает ситуацию, когда не происходит рождение и уничтожение частиц, имеющих ненулевую массу покоя, и такие частицы движутся со скоростями, меньшими скорости света. При этом могут испускаться и 
поглощаться фотоны. Последние движутся со скоростью света.
Уравнение, которое описывает поведение микрочастиц, должно быть 
линейным, т. е. сумма решений данного уравнения должна быть также решением. Это называется принципом суперпозиции и является экспериментальным фактом, проявляющимся, например, в опытах по дифракции и интерференции электронов. В этом случае (дифракция волн де-Бройля) у нас 
складываются волны от нескольких источников или щелей. 
Свободно движущаяся  частица с массой m, импульсом p  и энергией E описывается волной де-Бройля (1). Мы хотим получить уравнение, 
описывающее движение частицы массы m с произвольным импульсом 
и энергией.
Рассмотрим скалярное произведение r
p
z
y
x
.

Продифференцируем (1) по x дважды:

)
Et
r
p
(
i

xe
p
i
A
x



;

)
(

2

2
)
(

2

2
Et
r
p
i
x
Et
r
p
i

x
x
e
p
A
e
p
i
p
i
A
x






.

:

z
p
y
p
x
p
r
p
z
y
x
.

(1)

Продифференцируем (1) по x дважды:

)
Et
r
p
(
i

xe
p
i
A
x



;

)
(

2

2
)
(

2

2
Et
r
p
i
x
Et
r
p
i

x
x
e
p
A
e
p
i
p
i
A
x






.

Аналогично можно найти производные и по другим пространственным 
переменным. 
Сумма вторых производных  равна

  

2
2

2

2

2

2

2
z
y
x

, где

2
- оператор Лапласа,
2

2

2

2

2

2
2
z
y
x
.

Тогда имеем:

)
Et
r
p
(
i

z
y
x
e)
p
p
p
(
A



2
2
2
2
22
2
2
2
z
y
x
p
p
p
p
, где

2
∇  – оператор Лапласа, 

2
2

2

2

2

2

2
z
y
x
, где

2
- оператор Лапласа,
2

2

2

2

2

2
2
z
y
x
.

Тогда имеем:

)
Et
r
p
(
i

z
y
x
e)
p
p
p
(
A



2
2
2
2
22
2
2
2
z
y
x
p
p
p
p
.

Тогда имеем:

 
)
Et
r
p
(
i

z
y
x
e)
p
p
p
(
A




2
2
2
2
22
2
2
2
z
y
x
p
p
p
p
– квадрат полного импульса системы, тогда

)
Et
r
p
(i
e
p
A


2

2
2.

Откуда

)
Et
r
p
(
i
e
A
p

2
2
2
(2).

Теперь найдем производную (1) по времени:

)
Et
r
p
(
i
e
iE
A
t



.

Откуда

)
Et
r
p
(
i
e
t
A
i
E


(3).

Откуда

)
Et
r
p
(
i
e
A
p

2
2
2
(2).

Теперь найдем производную (1) по времени:

)
Et
r
p
(
i
e
iE
A
t



.

Откуда

)
Et
r
p
(
i
e
t
A
i
E


(3).

Теперь найдем производную (1) по времени:

)
Et
r
p
(
i
e
iE
A
t





.

Откуда

)
Et
r
p
(
i
e
t
A
i
E


(3).

,

(2)
.

.

Откуда 

)
Et
r
p
(
i
e
t
A
i
E


Для свободной нерелятивистской частицы полная энергия совпадает с 
кинетической энергией. Воспользовавшись связью между импульсом и ки
нетической энергией   – 
E
m
p
2

2

- подставим сюда (2) и (3).

)
Et
r
p
(
i
)
Et
r
p
(i
e
A
i
t
e
A
m





2
2

2
1
.

Получаем

t
i
m


2
2

2

  –  подставим сюда (2) и (3).

)
Et
r
p
(
i
)
Et
r
p
(i
e
A
i
t
e
A
m





2
2

2
1
.

Получаем

t
i
m


2
2

2

Тогда 

t
i
m


2
2

2

Мы получили уравнение, описывающее движение свободной частицы 
массой m  с произвольными энергией и импульсом. Как будет двигаться несвободная частица? В случае потенциальных сил действие других частиц 
на данную будет описываться с помощью потенциальной энергии U ( )
r
(
U
). 
Мы рассмотрим случай, когда U  не зависит от времени. Если частицу поместить в поле U ( )
r
(
U
) , то ее кинетическая энергия равна E – U ( )
r
(
U
) и 

2

Движение частицы с заданным значением энергии можно описать суперпозицией волн де-Бройля с разными импульсами, при этом все эти волны будут содержать множитель
Et
i
e 
. В этом случае (4) примет вид

E
E
)
i
(
i
m



2

2
.

. В этом случае (4) примет вид

E
E
)
i
(
i
m



2

2

(4)

(3)
.

.

.

.

.