Теория поверхностей

Розендорн Э.Р.

Теория поверхностей

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 514.14
ББК 22.151
Р 64

Ро з е н до р н Э. Р. Теория поверхностей. — 2-е изд., перераб. и доп. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 304 с. — ISBN 5-9221-0685-6.

Книга предназначена для первоначального знакомства с геометрией поверхностей. Изложение доведено до разделов, имеющих важные приложения
в механике, технике, оптике. Особенно наглядно применение полученных
результатов в механике: на них опираются методы расчета упругих тонкостенных конструкций. Также в книге обсуждаются некоторые нетрадиционные
приложения геометрии и связанные с ними нерешенные вопросы.
Для студентов вузов, аспирантов, преподавателей, научных сотрудников и
инженеров.
Ил. 245. Библиогр. 130 назв.

ISBN 5-9221-0685-6

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ Э. Р. Розендорн, 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Из предисловия к первому изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Ч а с т ь I

Г л а в а 1.
Поверхности вида z = f(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 1. Касательная плоскость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 2. Нормаль. Гауссово сферическое отображение . .. . . . . . . . . . . . .
15
§ 3. Площадь поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 4. Кривизна нормальных сечений и классификация точек поверхности . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24

Ч а с т ь II

Г л а в а 2.
Поверхности,
заданные
параметрически.
Локальное
строение поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 5. Вектор-функции двух аргументов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
§ 6. Параметрическое задание поверхностей . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
34
§ 7. Преобразование координат на поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . .
43
§ 8. Первая квадратичная форма . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
50
§ 9. Вычисление углов и площадей. Понятие о внутренней геометрии
поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
§ 10. Кривизна линий на поверхности. Теорема Менье . .. . . . . . . . . .
63
§ 11. Вторая квадратичная форма . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
§ 12. Главные кривизны и главные направления. Теорема Родрига.
Линии кривизны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
78
§ 13∗. Развертывающиеся и минимальные поверхности . .. . . . . . . . . .
92
§ 14. Ортонормированный сопровождающий трехгранник . . . . . . . . .
96

Г л а в а 3.
Поверхность в целом. Задание поверхности двумя квадратичными формами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
§ 15. Общее понятие поверхности
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
§ 16. Теорема единственности. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116

Оглавление

§ 17. Внешнее произведение линейных дифференциальных форм и
внешний дифференциал . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
§ 18. Уравнения Гаусса–Петерсона–Кодацци . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
126

Г л а в а 4.
Внутренняя геометрия и изгибание поверхностей. . . . . .
129
§ 19. Изометрия и изгибание. Теорема Гаусса . .. . . . . . . . . . . . . . . .
129
§ 20∗. Неизгибаемость сферы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
§ 21. Геодезическая кривизна . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146
§ 22. Геодезические линии и полугеодезические координаты . .. . . . . .
150
§ 23. Поворот кривой на поверхности. Формула Гаусса–Бонне и ее
следствия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
§ 24. Двумерная риманова метрика . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
161
§ 25∗. Доказательство формулы Гаусса–Бонне . .. . . . . . . . . . . . . . . .
165

Ч а с т ь III

Г л а в а 5.
Ортогональные криволинейные координаты в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
§ 26. Геометрическое истолкование пространственных криволинейных
координат . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
§ 27. Ортогональные координаты. Коэффициенты Ламе. .. . . . . . . . . .
176
§ 28. Теорема Дюпена . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
184
§ 29. О построении пространственных ортогональных и приближенно
ортогональных координат . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
§ 30. Деривационные формулы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
§ 31∗. Дифференциальные параметры Бельтрами. .. . . . . . . . . . . . . .
202

Г л а в а 6.
Огибающая и дискриминанта семейства поверхностей . .
205
§ 32. Огибающая . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
§ 33. Дискриминанта . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217

Г л а в а 7.
Бесконечно-малые изгибания и жесткость поверхностей
230
§ 34. Постановка задачи. Уравнения бесконечно малых изгибаний . .. .
230
§ 35. Диаграмма вращений . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
234
§ 36. Начальное поле скоростей деформации. Связь бесконечно малых
изгибаний с изгибаниями поверхности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
§ 37. Понятие о жесткости поверхностей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
247
§ 38∗. Бесконечно малые изгибания поверхностей вращения . .. . . . . .
256
§ 39∗. Жесткость овалоидов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260

Оглавление
5

Д о б а в л е н и я . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
§ 40∗. Деривационные формулы Гаусса. Символы Кристоффеля. Вычисление геодезической кривизны в произвольных криволинейных
координатах. Теорема Бура . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269
§ 41∗. Геометрические подходы в математическом описании цветового
зрения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278

Заключение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292

Предметный указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
293

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
297

Предисловие

Математика весьма абстрактна, и многие ее разделы находят применения внутри нее самой. А среди тех, что непосредственно «выходят
на приложения», есть такие, которые эти «выходы» нашли лишь после
сотен лет развития. Например, теория чисел недавно получила важные
применения в шифровании, в так называемой защите информации.
Другой пример связан с приложением геометрии в технике. Оболочками называют конструкции, толщина которых много меньше их
протяженности по двум другим направлениям. Это — корпуса ракет и
самолетов, морских и речных судов, емкости для горючего, купола, перекрывающие пространство в десятки метров при толщине в несколько
сантиметров, и т. п. Все чаще встречаются ситуации, когда технические
требования вынуждают придавать оболочкам сложную геометрическую
форму. Примером могут служить самолеты, у которых полые крылья и
фюзеляж образуют единую оболочку.
Оказалось, что не только материал оболочки, но и геометрическая
форма влияют на ее прочность, устойчивость и другие механические
свойства. То же самое относится и к ребрам жесткости и другим конструктивным элементам, предназначенным для повышения прочности
оболочки: важно, по каким линиям они расположены. Вот почему для
грамотного расчета конструкций, содержащих оболочки, необходимо
знание теории поверхностей. Разумеется, это ее приложение — не
единственное, однако оно не только актуально и быстро развивается,
но и ставит новые задачи перед геометрией.
Тем разделам теории поверхностей, которые наиболее тесно связаны
с теорией оболочек, посвящены § 19, 20∗, 29, глава 7 и п. 12◦ в § 40∗.
Для второго издания написаны § 26–41, частично переработан § 15 и
связанные с ним пункты. Исправлены замеченные опечатки, добавлены некоторые примеры и пояснения. Обновлен и расширен список
литературы, включены более новые задачники [29, 78]; нумерация
библиографических ссылок приведена в соответствие с расширенным
списком литературы.

Апрель 2005 г.
Э. Р. Розендорн

Из предисловия к первому изданию

Пособие предназначено для первоначального знакомства с теорией
поверхностей. Параграфы 1–13 образуют законченный раздел, которым
может ограничиться читатель, интересующийся только локальными вопросами. Законченный раздел образуют также вместе параграфы 1–12,
14 и 15, 17–19 и 21, 22 (см. схему, приведенную после оглавления).
Возможны и другие варианты сокращенного изучения пособия. Так,
например, можно пропустить параграфы, пункты и задачи, помеченные
звездочками. Параграфы 1 и 2, а также 4 и 5, можно использовать
при изучении дифференциального исчисления для функций двух переменных. Более подробные сведения о поверхностях в трехмерном
евклидовом пространстве читатель может найти в учебниках [20, 31,
82, 91] и [99], а с многомерным случаем познакомиться по книгам [106] и [123]. Для упражнений на закрепление теоретического
материала можно использовать задачники [79] или [104], задачи из
учебников [91] и [99].

Март, 1972 г.
Э. Р. Розендорн

Ч а с т ь I

Первая часть книги служит развернутым введением. Она состоит
из одной главы и на простом наглядном материале знакомит с важными
для дальнейшего понятиями.

Г л а в а 1

ПОВЕРХНОСТИ ВИДА Z = F(X, Y )

§ 1. Касательная плоскость

1◦. Изучение поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве
R3 мы начнем с частного случая, указанного в названии главы.
Общее определение поверхности будет сформулировано ниже, в начале главы 3 (см. § 15).

2◦. Пусть в R3 выбрана декартова прямоугольная система координат
(x, y, z) и пусть в некоторой области D на плоскости (x, y) задана
функция f(x, y), непрерывная вместе с ее частными производными
первого порядка.
Геометрическое место точек пространства R3, координаты которых
удовлетворяют уравнению

z = f(x, y),
(1)

называют гладкой поверхностью; обозначим ее буквой S. Обратим
еще раз внимание на то, что мы имеем здесь дело лишь с частным
случаем поверхности.

3◦. Выберем на S какую-нибудь точку M0(x0, y0, z0), z0 = f(x0, y0) и
наряду с функцией f рассмотрим ее дифференциал, взятый при x = x0,
y = y0:
dz = fx(x0, y0) dx + fy(x0, y0) dy.

Здесь и всюду в дальнейшем производные по какому-либо аргументу
обозначены с помощью нижнего буквенного индекса, в частности:

fx = ∂f

∂x,
fy = ∂f

∂y .

Построим плоскость Π с уравнением

z = z0 + fx(x0, y0) · (x − x0) + fy(x0, y0) · (y − y0).
(2)

§ 1. Касательная плоскость
9

Считая, что dx = x − x0, dy = y − y0, уравнение (2) можно переписать
так:

z = z0 + dz
(2a)

(здесь и выше dz берется при x = x0, y = y0).

О п р е д е л е н и е 1. Плоскость (2) называется касательной плоскостью к поверхности (1) в точке M0.
Посмотрим, чем характеризуется расположение касательной плоскости по отношению к поверхности.
Положим ρ =
dx2 + dy2 =
(x − x0)2 + (y − y0)2 . Вследствие
дифференцируемости функции f(x, y) имеем при x → x0, y → y0

f(x, y) = z0 + dz + o(ρ).
(3)

Величина o(ρ) в формуле (3) представляет собой расстояние от поверхности до касательной плоскости, измеренное в направлении оси z
(рис. 1). Пользуясь обозначениями рис.1, мы можем написать, что

MN = o(ρ), то есть
lim
M′→M′
0

MN
M ′
0M ′ = 0.
(4)

Рис. 1

Таким образом, уклонение MN точки поверхности от касательной
плоскости имеет более высокий порядок малости, чем смещение ρ.
С наглядной точки зрения это означает, что вблизи точки M0 поверхность S почти совпадает с плоскостью Π. Поэтому во многих

1. Поверхности вида z = f(x, y)

локальных вопросах можно заменить поверхность S ее касательной
плоскостью.

4◦. Сформулированное выше определение касательной плоскости
связано с выбранной в R3 координатной системой. Однако сама плоскость Π от выбора координат не зависит. Прежде, чем убедиться
в этом, сделаем некоторые вспомогательные построения и рассмотрим их.

Рис. 2

5◦. Из точки M опустим перпендикуляр MP
на плоскость Π
(рис. 2). Его длина тоже характеризует уклонение поверхности от касательной плоскости, но в отличие от длин MN и M ′
0M ′ она не зависит
от направлений координатных осей в R3.
Из (4) сразу следует, что

lim
M→M0
MP
M0M = 0.
(5)

В самом деле, MP ⩽ MN, M0M ⩾ M ′
0M ′, и мы имеем

0 ⩽ MP

M0M ⩽ MN

M ′
0M ′
при M → M0.

З а м е ч а н и е. Запись M → M0 означает, что пространственное расстояние M0M стремится к нулю. Подробнее, пусть r > 0 — некоторое
число; построим шар с центром M0 и радиусом r; точку M будем брать
в той части поверхности S, которая содержится внутри этого шара;
равенство (5) означает, что для любого ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0
такое, что
MP

M0M
< ε, если только r < δ(ε).

§ 1. Касательная плоскость
11

Аналогичный смысл имеют пределы других величин при M → M0,
встречающиеся ниже.
Заметим, что M0P ⩽ M0M ⩽ M0P + MP. Поэтому наряду с равенством (5) справедливы соотношения

lim
M→M0
M0P
M0M = 1,
lim
M→M0
MP
M0P = 0.
(6)

Из точки M0 в точку M проведем вектор −−−→
M0M и представим его в
виде следующей суммы:

−−−→
M0M = −−−→
M0P + −−→
PM.
(7)

Вектор −−−→
M0P, входящий в (7), расположен в касательной плоскости
Π. При M → M0 он представляет собой главную часть вектора −−−→
M0M.
Вектор −−→
PM ортогонален плоскости Π; вследствие (5) и (6) его длина
является бесконечно малой более высокого порядка, чем длины векторов −−−→
M0M и −−−→
M0P.

Рис. 3

6◦. Покажем теперь, что никакая
другая плоскость не может так тесно, как касательная, прилегать к поверхности S в окрестности точки M0.
Пусть Π — какая-нибудь плоскость,
P — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на плоскость Π.
Если Π не проходит через M0, то длина M P вообще не является бесконечно малой при M → M0. Предположим,
что плоскость Π проходит через точку M0. Двугранный угол между плоскостями Π и Π обозначим через α.
Проведем через M0 вспомогательную
плоскость Π1, ортогональную Π и Π
(рис. 3).
Выберем точку M на линии пересечения плоскости Π1 и поверхности S. Тогда точки M, M0, P и P расположены в одной плоскости Π1
(см. рис. 3–5).
Сравним порядки малости длин M P и M0M. Имеем

lim
M→M0
M P
M0M =
lim
M→M0 sin ∠MM0 P = sin α,
(8)

поскольку
∠M0M P = α ± ∠MM0P,
(9)

1. Поверхности вида z = f(x, y)

а ∠M0MP → 0 вследствие (5). Знак «±» в (9) зависит от взаимного
расположения плоскостей Π и Π и поверхности S: плюс имеет место
в случае, показанном на рис. 4, минус — в случае, показанном на рис.5.

Рис. 4
Рис. 5

З а м е ч а н и е. В равенствах (8) нужно считать, что точка M приближается к M0, оставаясь на линии пересечения поверхности S и
плоскости Π1.
Если Π ̸= Π, то sin α ̸= 0, и тогда (8) показывает, что существует
по крайней мере одна линия, на которой расстояние M P имеет такой
же порядок малости, как M0M (но не более высокий!).
Если же M P = o(M0M), то sin α = 0, а это значит, что плоскость
Π совпадает с плоскостью Π.
Поэтому можно дать другое определение касательной плоскости,
эквивалентное первоначальному.

О п р е д е л е н и е 2. Плоскость Π называется касательной плоскостью к поверхности S в точке M0, если для текущей точки M
поверхности S длина перпендикуляра MP, опущенного на плоскость
Π, является бесконечно малой более высокого порядка, чем расстояние
M0M (при M → M0).
Второе определение никак не связано с выбором системы координат
в R3. Отсюда видно, что если мы от координат (x, y, z) перейдем к новым декартовым координатам (x′, y′, z′) и будем искать касательную
плоскость в точке M0 согласно определению 1, то мы получим ту же
самую плоскость Π.

7∗. При определении касательной плоскости можно было бы не
требовать непрерывности частных производных fx и fy в области D.
Достаточно предположить, что функция f(x, y) дифференцируема при
x = x0, y = y0. Тогда по формуле (2а) определится плоскость Π, для
которой справедливы проведенные выше рассуждения и удовлетворяется определение 2.

§ 1. Касательная плоскость
13

Верно и обратное: из существования касательной плоскости в смысле определения 2 вытекает дифференцируемость функции f(x, y). Точнее, справедлива

Т е о р е м а. Пусть поверхность S задана уравнением (1), где
f(x, y) — непрерывная функция. Пусть в точке M0 поверхность S
имеет касательную плоскость Π в смысле определения 2, не параллельную оси z. Тогда функция f(x, y) дифференцируема в точке
(x0, y0).

З а м е ч а н и е. Непрерывность функции f(x, y) естественно потребовать, исходя из геометрической постановки задачи. Если функция
f разрывна, то геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению (1), поверхностью обычно не называют.
Д о к а з а т е л ь с т в о
т е о р е м ы. Воспользуемся обозначениями,
показанными на рис.1 и рис. 2. Кроме того, положим θ = ∠PMN,
а через θ1 обозначим острый угол между отрезками M0N и M ′
0M ′
(рис. 6). Угол θ равен углу между плоскостью Π и плоскостью (x, y),
а угол θ1 не превышает этого угла:

0 ⩽ θ1 ⩽ θ < π

2 .
(10)

Рис. 6

Неравенство (10) вытекает из следующего свойства: если даны две
плоскости и прямая в одной из них, то угол θ1 между этой прямой и
второй плоскостью не превышает угла θ между плоскостями (рис. 7).
Для доказательства теоремы достаточно проверить, что из равенства (5) вытекает (4). Тем самым будет установлено, что для функции
f справедливо разложение (3), причем уравнение (2 а) будет задавать
именно плоскость Π.