Физическая реальность векторного потенциала. Эффект Ааронова-Бома и монополь Дирака

Е.З. МЕЙЛИХОВ

ФИЗИЧЕСКАЯ РЕАЛЬНОСТЬ 
ВЕКТОРНОГО ПОТЕНЦИАЛА

ЭФФЕКТ ААРОНОВА-БОМА И МОНОПОЛЬ ДИРАКА

Å.Ç. Ìåéëèõîâ
Ôèçè÷åñêàÿ ðåàëüíîñòü âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà. Ýôôåêò
Ààðîíîâà-Áîìà è ìîíîïîëü Äèðàêà: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Å.Ç. Ìåéëèõîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», 2015. – 64 ñ.

ISBN 978-5-91559-197-3

Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîñâÿùåíî óãëóáë¸ííîìó
ðàññìîòðåíèþ ïîíÿòèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà è ñâÿçàííûõ ñ íèì íòåðôåðåíöèîííûõ ýôôåêòîâ âîëíîâîé ìåõàíèêè. Èçëîæåíèå îñíîâàíî íà èñïîëüçîâàíèè ïðîñòûõ
ôèçè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé è ïîçâîëÿåò, íå âûõîäÿ çà ðàìêè
îáùåé ôèçèêè, îïèñàòü ôèçè÷åñêóþ ñóùíîñòü ðàçëè÷íûõ,
íî ïðèíöèïèàëüíî âàæíûõ ÿâëåíèé. Ñðåäè íèõ: äèôðàêöèÿ ýëåêòðîííûõ ïó÷êîâ íà «ñêðûòûõ» èñòî÷íèêàõ ìàãíèòíîãî ïîëÿ, îñöèëëÿöèè ïðîâîäèìîñòè êîëüöåâûõ
ñòðóêòóð, ñëàáàÿ ëîêàëèçàöèÿ íîñèòåëåé òîêà â ïðîâîäíèêàõ. Îñíîâíàÿ öåëü – ïîêàçàòü, ÷òî, âîïðåêè ïðèâû÷íûì
ïðåäñòàâëåíèÿì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, âïîëíå íàáëþäàåìûå ýôôåêòû â îòñóòñòâèå «èñòèííîãî» ìàãíèòíîãî ïîëÿ
ïðîèçâîäÿòñÿ åãî âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì.
  Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, èçó÷àþùèõ ýëåêòðîäèíàìèêó è ôèçèêó òâåðäîãî òåëà.

© 2015, Å.Ç. Ìåéëèõîâ
© 2015, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-197-3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Глава 2. Вектор-потенциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 3. Градиентная инвариантность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Глава 4. Обобщенный импульс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

Глава 5. Градиентное преобразование гамильтониана и волновой
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Глава 6. Эффект Ааронова–Бома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Глава 7. Квантование магнитного потока в сверхпроводнике . . .
32

Глава 8. Магнитный монополь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Краткая биография Дэвида Бома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Краткая биография Якира Ааронова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49

Aharonov Y., Bohm D. Significance of Electromagnetic Potentials in the
Quantum Theory (Phys. Rev., 1959) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

Aharonov Y., Casher A. Topological Quantum Effects for Neutral Particles
(Phys. Rev. Lett. 1984) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63

Г Л А В А
1

ВВЕДЕНИЕ

...вопреки выводам классической механики
потенциалы влияют на заряженные части-
цы даже в тех областях, где нет никаких
полей (а значит, нет и сил, действующих на
частицы).

Y. Aharonov, D. Bohm.
Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 485

...подобные вещи могут тридцать лет быть
на виду у всех, но из-за определенных предрассудков могут всеми игнорироваться.

Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс.
Фейнмановские лекции по физике.
Т. 6. М.: Мир, 1966. С. 24

Топологический эффект Ааронова–Бома — один из самых удивительных эффектов, предсказываемых квантовой механикой. Открытие этого
эффекта [1] опровергло фундаментальные представления о роли потенциалов в физике и привело к революции в нашем понимании природы.
Эффект Ааронова–Бома не соответствует никакому классическому
эффекту. В классической физике скалярный и векторный электромагнитные потенциалы вводятся только для математического удобства и
представляют собой всего лишь вспомогательные поля. Истинно физическими полями являются электрическое и магнитное поля, которые
локально воздействуют на частицы. В квантовой физике потенциалы —
более чем математическое удобство. Действительно, поскольку скалярный и векторный потенциалы входят в гамильтониан системы, они фигурируют и в уравнении Шредингера. Ааронов и Бом показали, что появление этих потенциалов приводит к удивительному следствию: электроны, двигающиеся в области, где нет электрического и магнитного

Глава 1. Введение
5

полей, тем не менее «чувствуют» эти поля. Многие физики, включая
Н. Бора, были поражены этим предсказанием. Однако уже через год после публикации статьи Ааронова и Бома W. H. Furry и N. F. Ramsey [2]
предложили мысленный эксперимент, который демонстрировал, что эффект Ааронова–Бома необходим с точки зрения принципов неопределенности и дополнительности. С тех пор этот эффект неоднократно подтверждался в различных экспериментах, первый из которых был описан
в работе R. G. Chambers [3]. Подробный разбор других многочисленных
экспериментов см. в обзорах [4, 5].
В эксперименте по наблюдению эффекта Ааронова–Бома электроны
движутся в области, где нет ни электрического, ни магнитного полей.
Если же, однако, эти поля есть в какой-либо другой (даже недоступной
для частицы) области, то скалярный и векторный потенциалы в области
нахождения частицы не равны нулю. Тот факт, что электроны «чувствуют» эти удаленные поля, ведет к одному из двух выводов. Первый —
на электроны локальным образом действуют сами потенциалы, т. е.
они являются истинными физическими полями. Второй — удаленные
электрическое и магнитное поля влияют на электроны с помощью нелокального взаимодействия. Хотя любой из этих выводов противоречит
основным положениям классической физики, мы вынуждены принять
какой-либо из них. Второй вывод кажется более предпочтительным,
поскольку все измеряемые величины градиентно-инвариантны, а потенциалы таковыми не являются, а значит, и не могут быть физическими
полями.
Топологические эффекты типа эффекта Ааронова–Бома появляются
в самых разнообразных областях современной физики — в космологии,
физике элементарных частиц, физике твердого тела, химической и молекулярной физике и др. Эти эффекты лежат в основе теории сверхпроводимости, квантового эффекта Холла, джозефсоновских переходов,
квантования магнитного потока и многих эффектов мезоскопической
физики, в которой электрические цепи малых (но более чем микроскопических) размеров демонстрируют квантовые эффекты.

Г Л А В А
2

ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ

Опыт показывает, что между проводниками, по которым
протекает электрический ток, возникают механические силы взаимодействия, зависящие от силы этих токов и расположения проводников. Это означает, что во всем пространстве, окружающем произвольный ток, всегда существует поле сил вне зависимости от того, проявляется ли существование таких сил в воздействии их на какой-либо
другой ток. Это поле сил называется магнитным полем тока. Опыт
также показывает, что магнитное поле в каждой точке пространства
может быть исчерпывающим образом охарактеризовано некоторым вектором H, носящим название напряженности магнитного поля. Совокупность опытных фактов приводит к следующему выражению для
силы dF, действующей в поле, характеризуемом вектором H, на элемент
длины dl, по которому течет ток силы J:

dF = J

c[dl × H].
(1)

Эту формулу можно рассматривать как определение понятия напряженности магнитного поля.
Теперь надо выяснить, как зависит напряженность магнитного поля
в произвольной точке пространства от характеристик тока, возбуждающего это поле (положение и форма контура тока, его сила и т. д.).
Этот вопрос можно свести к вопросу о поле, возбуждаемом отдельным
элементом тока, и рассматривать поле произвольной системы токов
как наложение (суперпозицию) полей отдельных элементов этих токов.
Опыт показывает, что напряженность поля, создаваемого двумя токами,
равна сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из этих токов
в отдельности. Закон, определяющий магнитное поле элемента тока и

Глава 2. Вектор-потенциал
7

также проистекающий из опыта, носит название закона Био–Савара и
может быть записан в виде

dH =
J
cr3 [dl × r],
(2)

где r — расстояние от элемента тока J dl, возбуждающего поле, до той
точки наблюдения, в которой определяется напряженность dH этого
поля.
Формулу (2) можно обобщить для проводника с током, имеющего
конечную площадь S поперечного сечения. В этом случае ток можно
разложить на совокупность бесконечно тонких нитей тока и применить
формулу (2) к элементам этих нитей. По отдельной нити протекает ток

dJ = j dS,

где j — плотность тока, dS — перпендикулярное к оси сечение нити.
Стало быть, фигурирующее в (2) произведение J dl для отрезка такой
нити может быть записано в виде

dJ dl = j dV,

где dV = dS|dl| — объем бесконечно малого отрезка нити и учтена
параллельность векторов dl и j (так как ось нити совпадает с линией
тока). Согласно (2) этот элемент объема создает поле

dH = dJ

cr3 [dl × r] = [j × r]

cr3
dV.
(3)

Поэтому магнитное поле любой системы токов есть

H = 1

c

[j × r]

r3
dV,
(4)

где интегрирование производится по всему объему тока, т. е. по объему
всех проводников, по которым течет ток.
С помощью формул векторной алгебры последнее уравнение можно
преобразовать к более удобному для вычислений виду.

1. Заметим, что

grad
1

r

=
»∂(1/r)

∂r

–
grad r,

и учтем, что grad r = r/r (последнее соотношение легко получить непосредственным вычислением в декартовых координатах). Таким образом,

Физическая реальность векторного потенциала

grad(1/r) = −r/r3 и подинтегральное выражение в (4) можно записать
в виде
[j × r]

r3
= −
j × grad
1

r

=
grad
1

r

× j
.
(5)

Существенно, что в этих соотношениях дифференцирование происходит
по координатам точки наблюдения, т. е. координатам конца вектора r.

2. С помощью дифференциального оператора

∇ = i
∂

∂x

+ j
∂

∂y

+ k
∂

∂z

ротор вектора j может быть записан в виде

rot j = [∇ × j].

Отсюда следует:

rot
j

r

=
∇ ×
j

r

=
∇
1

r

× j

+
1

r

[∇ × j].

Прежде чем применить это соотношение для преобразования правой
части соотношения (5), еще раз напомним, что фигурирующее там дифференцирование происходит по координатам точки наблюдения. А поскольку значения токов j от этих координат никоим образом не зависят,
следует считать [∇ × j] = 0. Таким образом,

rot
j

r

=
grad
1

r

× j
,
(6)

что вместе с (5) дает
[j × r]

r3
= rot
j

r

.
(7)

Таким образом, (4) можно записать в виде

H = 1

c

rot
j

r

dV = rot
1

c

j

r

dV
,
(8)

или

H = rot A,
где A = 1

c

j

r

dV
(9)

— вектор, который принято называть векторным потенциалом.
Введение (пока чисто формальное) векторного потенциала значительно облегчает изучение магнитного поля постоянных токов, подобно

Глава 2. Вектор-потенциал
9

тому как введение скалярного потенциала ϕ облегчает изучение электрического поля стационарной системы электрических зарядов. Аналогия между ролью векторного и скалярного потенциалов особенно отчетливо выявляется при сопоставлении формул для электростатического и
магнитного полей:

ϕ =
ρ dV

r
,
A = 1

c

j dV

r ,
(10)

E =
ρ r
r3 dV,
H = 1

c

[j × r]

r3
dV,
(11)

E = − grad ϕ,
H = rot A.
(12)

Формулы (10) определяют потенциалы стационарных электрического и магнитного полей соответственно. Они указывают на то, что стационарные электрические поля порождаются электрическими зарядами
(ρ — объемная плотность электрического заряда), а стационарные магнитные поля — токами. Вектор плотности тока играет для магнитного
поля такую же роль, как скаляр плотности зарядов для поля электрического. Принципиальное различие этих двух источников полей (вектор
и скаляр) приводит к тому, что и генерируемые ими стационарные поля
существенно различны: электрическое поле имеет «особые точки» –
электрические заряды, в которые сходятся (или из которых расходятся) силовые линии поля, а магнитное поле таких точек не имеет, что
означает отсутствие «магнитных зарядов». С другой стороны, силовые
линии магнитного поля всегда замкнуты (напоминают «вихри»), а в
электрическом поле таких линий нет.
В заключение этого раздела укажем, что в нестационарном случае
вектор-потенциал определяет не только магнитное поле H, но и индукционную часть электрического поля E, т. е. ту его часть, которая
описывается уравнением Максвелла:

rot E = − 1

c
∂H
∂t .

Принимая во внимание (12), из последнего соотношения получаем

E = − grad ϕ − 1

c
∂A
∂t .
(13)

Г Л А В А
3

ГРАДИЕНТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ

Рассмотрим вопрос о том, насколько однозначно определяется вектор-потенциал A. При этом мы будем исходить из того, что поле
проявляется через то действие, которое оно оказывает на находящиеся в
нем заряды. Такое действие описывается силами, зависящими не от потенциалов полей ϕ и A, а от их напряженностей E и H. Поэтому физически тождественными являются такие поля, которые характеризуются
одинаковыми векторами E и H. Однако из (12) видно, что одному и тому
же полю могут соответствовать разные потенциалы, что означает их
неоднозначность. Это позволяет выбрать потенциалы так, чтобы каждый из них удовлетворял какому-либо дополнительному условию. Так,
электростатический потенциал ϕ определяется с точностью до произвольной постоянной, которую можно выбрать таким образом, чтобы он
имел определенное значение в определенной точке пространства (или
на определенной эквипотенциальной поверхности). Часто выбирают потенциал ϕ так, чтобы он был равен нулю на бесконечности (или на
«заземленной» поверхности).
Что касается вектор-потенциала A, то он определяется с точностью
до градиента grad f произвольной функции f(r). Это видно непосредственно из (12), так как для любой функции rot(grad f) = 0. Итак, преобразование вектор-потенциала

A′ = A + grad f
(14)

оставляет неизменным магнитное поле H. Физический смысл имеют
лишь те величины, которые инвариантны по отношению к этому преобразованию (т. е. не изменяются после преобразования (14)). Такую
инвариантность называют градиентной.
Обычно бывает удобно уменьшить «свободу» выбора векторного потенциала, накладывая на него некоторое дополнительное условие, назы

Глава 3. Градиентная инвариантность
11

ваемое калибровкой. Чаще всего используют кулоновскую калибровку
div A = 0, которая автоматически выполняется1), если определять A
с помощью соотношения (9). Заметим, что такой «откалиброванный»
вектор-потенциал все еще остается неоднозначным: к нему можно прибавить градиент любой функции, дивергенция которой равна нулю (например, постоянный вектор). Последнее условие эквивалентно уравнению Лапласа div(grad f) = ∆f = 0 для функции f.
Рассмотрим теперь несколько простых частных случаев.

1. Однородное магнитное поле H = {0, 0, H} с напряженностью H,
параллельное оси z. В этом случае из (12) следует

Hx = ∂Az

∂Ay − ∂Ay

∂Az = 0,

Hy = ∂Ax

∂Az − ∂Az

∂Ax = 0,

Hz = ∂Ay

∂Ax − ∂Ax

∂Ay = H.

(15)

Простейшие решения этой системы уравнений имеют вид

A = {−Hy, 0, 0}
и
A = {0, Hx, 0}.
(16)

Нетрудно видеть, что они удовлетворяют условию кулоновской калибровки. Еще одно решение — это линейная комбинация последних двух:

A = 1

2{−Hy, Hx, 0}.
(17)

Нетрудно проверить, что его можно записать в следующем векторном
виде

A = 1

2[H × r],
(18)

где r = {x, y, 0} — кратчайший вектор, соединяющий ось z с раcсматриваемой точкой пространства. Сравнивая это выражение, например,
с соотношением v = [ω × r] для поля скоростей в теле, вращающемся
вокруг оси z, заключаем, что вектор-потенциал однородного магнитного
поля циркулирует вокруг его направления.

2. Магнитное поле внутри бесконечного соленоида радиусом R с
осью, параллельной z. Это принципиально важный случай магнитного
поля, отличного от нуля лишь в части пространства (в данном случае —

1) Несложное доказательство последнего утверждения имеется, например, в
книге Тамм И. Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1989. — С. 176.