Геометрическое и программно-математическое моделирование линейных и поверхностных форм автомобильных дорог

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ

АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Сальков Николай Андреевич

УДК 519.6:625.72

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И ПРОГРАММНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ

ФОРМ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ

Специальность 05.01.01 – Прикладная геометрия 

и инженерная графика

Диссертация на соискание ученой степени

Кандидата технических наук

Научный руководитель – к.т.н.,

профессор Н.Н. Рыжов

Москва – 1990

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ГЛАВА 1. НАУЧНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ИССЛЕДОВАНИЯ . . . . . . . . . . . . .9

1.1. Геометрический анализ существующих методов

проектирования поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Дорога с точки зрения геометрии: терминология и понятия . . .13
1.3. Основные геометрические аспекты проектирования дорог . . . .14
1.4. Постановка задачи исследования. Обобщенный 

алгоритм решения задачи при системном подходе . . . . . . . . . . 19

Выводы по 1 главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

ГЛАВА 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ 

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ И ПОВЕРХНОСТНЫХ 
ФОРМ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1. Моделирование оси автомобильной дороги . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2. Разработка обобщенных геометрической и математической

моделей поверхностных форм автомобильных дорог . . . . . . .  25

2.3. Разработка обобщенных геометрической и математической 

моделей линейных форм автомобильных дорог . . . . . . . . . . . . 31

2.4. Моделирование поверхности откоса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Математическое обеспечение получения проектных

(красных) горизонталей поверхностных форм 
автомобильных дорог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Выводы по 2 главе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

ГЛАВА 3. ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ 

НА ВИРАЖНЫХ УЧАСТКАХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1. Математическая модель оси участка отгона виража . . . . . . . . .  41
3.2. Математические модели поверхности проезжей части 

и ее кромки на участке отгона виража . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Математические модели поверхности обочины, 

линии бровки земляного полотна на участке отгона виража . .  52

3.4. Разработка математического обеспечения для

 автоматизированного получения локальных
 характеристик линейных и поверхностных форм 
автомобильной дороги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Выводы по 3 главе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

ГЛАВА 4.РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО 

ОБЕСПЕЧЕНИЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ И 
ПОВЕРХНОСТНЫХ ФОРМ АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ . . . . . 62

4.1. Математическое обеспечение получения координат 

точек линейных и поверхностных форм 
автомобильных дорог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2. Алгоритм получения локальных характеристик линейных

и поверхностных форм автомобильной дороги . . . . . . . . . . . . . 66

4.3. Визуализация автомобильной дороги и ее элементов 

в автоматизированном режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  69

4.4. Математическое обеспечение для оценки 

перспективных изображений автомобильных дорог 
в автоматизированном режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Выводы по 4 главе  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  84
ЛИТЕРАТУРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
ПРИЛОЖЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  94

ВВЕДЕНИЕ

Развитие методов математического моделирования объектов и процессов 

является одним из важнейших слагаемых задачи расширения автоматизации 
проектно-конструкторских и научно-исследовательских работ с применением 
электронно-вычислительной техники, поставленной в «Основных направлениях 
экономического и социального развития СССР на 1986-1990 годы и на период 
до 2000 года» [74] в целях повышения эффективности проектирования и научных исследований. В эту задачу входит, как составляющая ее часть, развитие 
геометрического и математического моделирования поверхностей.

Развитие исследований поверхностных форм инженерных изделий и со
оружений является очевидным требованием для прогресса техники и развития 
современных технологий. Так, несомненным является необходимость применения новых методов моделирования в проектировании поверхностей, движущихся с большими скоростями в газовых и жидкостных средах. На такие поверхности накладываются определенные дифференциально-геометрические 
требования с одной стороны, а с другой – жесткие требования в отношении отклонения формы серийных образцов от проектной формы.

 Кроме гидро- и аэродинамических поверхностей, существует ряд других 

поверхностей, связанных со скоростным перемещением. Такими поверхностями являются поверхности автомобильных дорог, взлетные полосы аэродромов, 
поверхности земляных насыпей железных дорог, поверхности спортивных сооружений: велосипедных треков, лыжных трамплинов, бобслейных трасс, автодромов и другие.

В области проектирования автомобильных дорог развивается комплексная 

САПР-АД. Необходимость ускоренного развития этой системы основывается 
на совершенствовании качества современных дорог и планах реконструирования и строительства дорожной сети в ближайшее время. Так, в текущем пятилетии необходимо построить и реконструировать 167 тыс. километров автомобильных дорог [74].

Современная практика проектирования автомобильных дорог поставила 

перед инженером достаточно объемный круг задач, связанный с повышением 
качества и экономической эффективности проекта, что предопределило усложнение технических требований при оценке геометрических свойств элементов 
дороги. В настоящее время проводится большая научно-исследовательская работа по развитию и усовершенствованию методов автоматизированного проектирования [1, 9, 29, 30, 31, 32, 33, 38, 63, 68, 99, 120, 122, 123, 124, 142, 145, 146, 
148, 149, 150, 155]. Однако, дальнейшее развитие САПР-АД требует более глубокой систематизации геометрического модуля (системы геометрических задач) в технологической цепи проектирования. Кроме анализа существующих 
геометрических модулей, требуется дальнейшее совершенствование и прогнозирование более сложных геометрических моделей при решении задач САПРАД методами и средствами машинной графики.

Анализ методик проектирования автомобильных дорог приводит к необ
ходимости совершенствования геометрии оси дороги, кромок проезжей части, 

бровок земляного полотна, а также поверхностей проезжей части, обочины, откосов. Основное внимание в мовременном проектировании дорог занимает 
проложение на плане местности горизонтальной проекции оси дороги [1, 2, 5, 
10, 31, 145, 148, 149]. Этой важной задаче посвящено большинство работ по автоматизированному проектированию автомобильных дорог [10, 20, 27, 29-33, 
ё123, 124, 138, 145, 148, 149, 150, 152]. Окончательный вариант плана оси дороги представляет собой сочетание отрезков прямых, дуг окружностей и клотоид 
[45, 124].

Отдельно рассматривается продольный профиль оси [1, 2, 5, 11, 120, 124, 

131], представляющий собой график изменения высотных отметок по длине горизонтальной проекции оси дороги. Результатом является отсутствие проекционной связи между планом оси и продольным профилем, и, хотя об оси дороги 
и говорится как о пространственной кривой [4, 5, 19, 38, 68, 109], представляется она двумя плоскими кривыми, проекционно не связанными друг с другом, 
что затрудняет математическое моделирование оси, а следовательно, и всестороннее исследование, оптимизацию локальных и интегральных характеристик и 
др.

Имеющиеся математические модели оси дороги [9, 31, 68, 108, 123] или 

аппроксимируют эскизный проект трассы для упрощения перехода к заданию 
оси традиционными элементами, или аппроксимируют уже спроектированную 
трассу для упрощения расчета ее зрительной плавности. Однако, все эти аппроксимации не уточняют трассу и не улучшают ее характеристики, а выводят 
на математические модели в разных вариантах.

В зависимости от кривизны в точках горизонтальной проекции оси дороги 

выбирают типовые уклоны прямолинейных образующих проезжей части на 
стыках линий, из которых составлена горизонтальная проекция оси дороги. Изменение уклона между этими образующими производят по линейной зависимости от длины оси в плане. Таким образом, определяя с учетом этой зависимости 
уклоны образующих проезжей части через 10-20 метров по горизонтальной 
проекции оси дороги, получают каркас поверхности проезжей части. Однако, 
очевидно, что, не имея однозначно определенного геометрического положения 
в пространстве оси дороги, мы не имеем и геометрически однозначно определенной поверхности. Применение же линейных зависимостей изменения уклона образующих не способствует улучшению качества поверхности.

Неясен также вопрос о машинном обеспечении для определения проект
ных (красных) горизонталей поверхностных форм автомобильных дорог, необходимых для задач вертикальной планировки, возникающих при проектировании городских улиц и пересечений дорог в одном уровне. Эта работа производится вручную ввиду отсутствия математического обеспечения.

Наконец, нет четкого определения вида геометрических поверхностей, из 

которых образуются поверхности дорог: линейчатые, циклические или другие 
[5, 19, 69, 109]. Только по косвенным деталям, таким как рисунки или ссылки 
на поперечные уклоны [5, 19, 109] поверхностей, можно определить, что все 
поверхности, составляющие дорогу, проектируются как линейчатые.

Из анализа геометрического модуля в задачах дорожного проектирования 

вытекает следующие выводы:

- отсутствует системный подход к геометрическому модулю в задачах до
рожного проектирования, что сказывается на имеющихся способах конструирования поверхностей и линий автомобильной дороги;

- отсутствуют адекватные математические модели линейных и поверхно
стных форм автомобильных дорог;

- Отсутствует удовлетворительное математическое обеспечение  получе
ния проектных горизонталей.

Предметом исследования настоящей работы являются линейные и поверх
ностные формы автомобильных дорог, образование которых подчинено кинематическому принципу. В настоящее время они проектируются без учета дифференциально-геометрических характеристик и поэтому разработка математических моделей, учитывающих эти характеристики, является актуальной задачей.

Исследования, проведенные в диссертации, представляют собой решение 

задач геометрического модуля как составной части САПР-АД, повышающей 
эффективность применения ЭВМ в проектировании и строительстве автомобильных дорог, обеспечивающей повышение качества проекта, повышение производительности труда проектировщиков, расширение возможностей разработки новых технологий строительства дорог.

Цель диссертации: исходя из потребностей машинных методов конструи
рования и проектирования, создать систему геометрических и математических 
моделей линейных и поверхностных форм автомобильных дорог; на алгоритмах и программах машинной графики и автоматизированного конструирования 
показать высокий уровень реализуемости полученной системы на ЭВМ.

На основании вышеизложенной цели были сформулированы следующие 

задачи:

- провести теоретические исследования по созданию геометрической мо
дели оси автомобильной дороги;

- провести теоретические исследования по созданию геометрических мо
делей поверхности проезжей части, линии кромки проезжей части, поверхности 
обочины и линии бровки земляного полотна, поверхности откоса;

- разработать способ формирования математических моделей искомых ли
нейных и поверхностных форм;

- разработать методику получения отсеков линейчатых поверхностей ав
томобильных дорог;

- разработать методику визуализации линейных и поверхностных форм ав
томобильных дорог;

- разработать математическое обеспечение  получения проектных (крас
ных) горизонталей;

- внедрить полученные результаты исследований в проектную практику и 

учебный процесс.

При решении поставленных задач использовались методы начертательной, 

аналитической, проективной, дифференциальной, параметрической геометрии, 
методы вычислительной математики и других наук.

Теоретической базой проведенных в работе исследований по вопросам 

геометрического моделирования, теории геометрических преобразований, теории изображений, прикладной геометрии поверхностей являются работы А.В. 
Бубенникова, И.И. Котова, В.С. Обуховой, А.Л. Подгорного, Н.Н. Рыжова, Н.Ф. 
Четверухина, а также М. Пратта, А. Фокса и многих других.

В области проектирования автомобильных дорог: О.В. Андреева, В.Ф. 

Бабкова, П.Я. Дзениса, М.С. Замахаева, Е.М. Лобанова, Е.С. Томаревской, Auberlen R., Ajimine A., Calogero V., Fulczyk A.G., Kondo M., Kuhn W.

В области автоматизации проектирования: В.Н. Бойкова, М.А. Григорьева, 

Ю.Я. Науджуна, Ю.Г. Сорокина, В.А. Федотова, Г.А. Федотова, О.К. Кульминского, Я.В. Хомяка, Karli F., Klumpp R., Lindenmann H.P., Linkwitz K., Schwenkel D., Scureman L.R.

На защиту выносятся следующие положения:
- приложение метода каркасно-параметрического моделирования поверх
ностей в синтезе с методом сплайн-функций к созданию моделей линейных и 
поверхностных форм автомобильных дорог;

- геометрические и математические модели моделей линейных и поверхно
стных форм автомобильных дорог;

- геометрическая и математическая модели поверхности откоса земляного 

полотна, разработанные по единой с другими поверхностными формами методике конструирования;

- рекомендации по математическому моделированию и по автоматизиро
ванному получению проектных горизонталей и поверхностных форм автомобильных дорог;

- геометрическая и математическая модели линейных и поверхностных 

форм виражного участка;

- алгоритмы и программы расчета и визуализации линейных и поверхност
ных форм автомобильных дорог.

Новизна исследований:
- в связи с потребностью развития методов САПР-АД осуществлен сис
темный подход к математическому моделированию линейных и поверхностных 
форм автомобильных дорог;

- для моделирования линейных и поверхностных форм автомобильных до
рог и решения геометрических задач был привлечен каркасно-параметрический 
метод конструирования поверхностей, объединенный с методом сплайнфункций;

- полностью автоматизирован весь цикл проектирования линейных и по
верхностных форм автомобильных дорог;

- при формировании геометрической модели линейных форм автомобиль
ных дорог решена задача определения линии пересечения линейчатой поверхности общего вида с циклической поверхностью общего вида;

- решена задача конструирования и визуализации отсеков линейчатых по
верхностей общего вида.

Теоретическую ценность представляют:

- объединение каркасно-параметрического метода конструирования по
верхностей с методом сплайн-функций;

- геометрические идеи, положенные в основу создания математических 

моделей линейных и поверхностных форм автомобильных дорог;

- системный подход к математическому моделированию всех линейных и 

поверхностных форм автомобильных дорог.

Практическая значимость результатов исследования:
- разработаны математические модели линейных и поверхностных форм 

автомобильной дороги, удобные в практике проектирования и позволяющие 
оптимизировать  конечный результат проектирования;

- разработаны математические модели линейных и поверхностных форм 

виражного участка дороги, удобные в практике проектирования и позволяющие 
оптимизировать  конечный результат проектирования;

- на основе полученных теоретических результатов созданы программы 

автоматизированного конструирования поверхностей автомобильной дороги с 
визуализацией ее на экране дисплея или на графопостроителе, позволяющие 
визуально «проехать» по дороге;

- даны практические рекомендации расчета локальных характеристик ли
нейных и поверхностных форм автомобильных дорог.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были 

доложены и обсуждены:

- на 46-ой научно-методической и научно-исследовательской конференции

МАДИ (г. Москва, 27 января – 3 февраля 1988 г.), секция проектирования автомобильных дорог;

- на ХIV научной конференции профессорско-преподавательского состава 

и аспирантов Азербайджанского инженерно-строительного института с участием представителей научных, производственных и проектных организаций (г, 
Баку, 10-15 апреля 1989 г.г.);

- на семинарах аспирантов при кафедре начертательной геометрии и чер
чения Московского автомобильно-дорожного института (г. Москва, 1987-1989 
г.г.).

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 4 научные 

статьи, в которых полностью отражены теоретические и прикладные результаты проведенных в диссертации исследований.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, за
ключения, библиографии и приложения. Она содержит 120 машинописных 
страниц текста, 39 рисунков, 1 таблицу и 158 наименований использованных 
источников.

В первой главе диссертационной работы рассмотрен весь комплекс задач 

геометрического модуля, имеющего место в проектировании автомобильных 

дорог. В результате анализа этих задач определены основные направления их 
решения, конкретно реализованные в следующих главах.

Вторая глава посвящена разработке общей методики моделирования ли
нейных и поверхностных форм автомобильных дорог и приведению геометрических условий к виду, удобному для программирования. В общем виде разработаны:

- математическая модель оси автомобильной дороги как пространственной 

кривой;

- математические модели поверхности проезжей части, ее кромки, поверх
ности обочины и линии бровки земляного полотна, поверхности откоса;

- методика определения ряда дифференциально-геометрических характе
ристик линейных и поверхностных форм автомобильных дорог;

- математическое обеспечение получения проектных (красных) горизонта
лей поверхностных форм автомобильных дорог.

В третьей главе рассмотрены: локальные особенности автомобильных до
рог на виражных участках, применение общей теории моделирования линейных 
и поверхностных форм к виражному участку, дан алгоритм получения каркаса 
поверхности виражного участка.

В четвертой главе на основе рассмотрения конкретного контрольного уча
стка автомобильной дороги приводится общий алгоритм получении я каркасов 
линейных и поверхностных форм автомобильных дорог, исследуется вопрос их 
визуализации, даются рекомендации по определению количественной оценки
зрительной плавности дороги без построения ее перспективного изображения.

В приложении представлены акты внедрения, подтверждающие возмож
ность применения на практике теоретических результатов, полученных в работе.

ГЛАВА 1. НАУЧНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ИССЛЕДОВАНИЙ

1.1 Геометрический анализ существующих методов проектирования 

поверхностей

Первоначально поверхность проектировалась исключительно в виде чер
тежа. С потребностью увеличить точность конструирования графическая модель стала дополняться аналитической. В настоящее время в связи с повышением роли ЭВМ в науке и производстве основным носителем информации служит 
математическая модель, на базе которой и с помощью ЭВМ в автоматизированном режиме получают чертежи и другую проектную документацию, проводят исследования проектируемой поверхности, обеспечивают ее воспроизводство.

В СССР становление и развитие методов математического моделирования 

поверхностей в прикладной геометрии связано с работами таких ученых как 

профессор Четверухин Н.Ф. [132, 133], профессор Котов И.И. [54,53], профессор Рыжов Н.Н. [84-101].

В области конструирования, задания и исследования линейчатых поверх
ностей большое значение имеют работы таких ученых как А.В. Бубенникова 
[12,13,14], В.С. Обуховой [70-72], А.Л. Подгорного [79], А.М. Тевлина [114].

Методы конструирования поверхностей можно разделить на две группы 

[46]. В первую группу входят методы, при помощи которых поверхность формируется как единая, монофункциональная фигура. Во вторую группу – когда 
поверхность формируется как пространственный обвод, состоящий из отсеков 
нескольких поверхностей, «сшитых» между собой с учетом каких-то накладываемых условий.

Приведем краткий анализ тех методов конструирования поверхностей, ко
торые явились базой для настоящей работы.

Кинематический 
метод 
конструирования 
поверхностей 

[12,46,54,73,82,84,104,136] предполагает образование поверхности некоторой 
линией постоянной или переменной формы, перемещающейся в пространстве 
по определенному закону [14,54,82,83,104]. Этот метод отличается большой наглядностью и простотой, что и определило его широкое применение в инженерной практике.

Значительная часть исследований в прикладной геометрии поверхностей 

направлена на конструирование каркасов поверхностей. В области теории каркаса фундаментальными являются работы профессора Рыжова Н.Н. [87,89,90 и 
др.]. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей лает общую 
точку зрения на вопросы геометрического конструирования поверхностей, задания их в пространстве и на чертеже, обобщает различные способы и приемы 
прикладной геометрии поверхностей. В работах [85,92,98,100] получают развитие идея формализации процесса конструирования поверхностей как по отдельным вопросам, так и всего метода в целом. Формализация таких вопросов 
как составление закона каркаса, выявление определителя поверхности, получение линии каркаса как элемента непрерывного каркаса поверхности, является 
главным моментом в проблеме автоматизации этих процессов.

Конструирование поверхностей получением их каркасов имеет определен
ные преимущества перед другими традиционными математическими методами, 
так как в реальных условиях производства поверхность изготавливается не как 
непрерывное двухпараметрическое множество точек, а как дискретное семейство линий, которое при необходимости сглаживается.

Дискретный каркас с наперед заданной плотностью расположения линий 

можно получить из заданного непрерывного каркаса. Современные технические средства позволяют получить и воспроизводить дискретные каркасы с 
плотностью, на несколько порядков превосходящей требуемую в инженерной 
практике. Это дает возможность при решении инженерных задач пользоваться 
приближенными методами там, где решение классическими методами анализа 
по тем или иным причинам затруднено.

Однопараметрическое множество линий, образующее каркас некоторой 

поверхности, можно получить двумя способами: наложением геометрических 

условий на элементы многопараметрического множества или размножением 
первоначально заданной производящей линии путем преобразования пространства. Оба способа получили широкое распространение в прикладной геометрии 
поверхностей и являются основными при конструировании каркасных поверхностей.

Вопросы геометрического моделирования каркасных поверхностей реша
лись применительно к архитектурно-строительной практике в работах [79,134]. 
Параметризации геометрических условий и поверхностей, алгоритмам перехода от конструктивно-кинематического задания поверхностей к аналитическому 
посвящены 
работы 
[37, 
48, 
52, 
84, 
85, 
88, 
91, 
94, 
96, 
97, 

100,101,103,107,115,133].

В течение последних 35 лет под научным руководством профессора Рыжо
ва Н.Н. ведется методически последовательная, целенаправленная работа по 
исследованию каркасно-параметрического метода задания и конструирования 
поверхностей. Исследуются общие вопросы каркасной теории задания и конструирования поверхностей [24, 48, 53, 87, 90, 95], параметризации фигур и геометрических условий, образующих эти фигуры [48, 88, 91, 94, 96, 100, 101, 
107], свойств многопараметрических линий и поверхностей [24, 25, 89, 95], Алгоритмизации и формализации конструирования поверхностей [23, 48, 84, 92,
98], получения их уравнений, параметризации чертежа поверхности и др.

Рассмотрим основные положения, раскрывающие сущность каркасно
параметрического метода.

Наперед заданные требования к конструируемой поверхности предъявля
ются в виде геометрических условий, каждое из которых выступает или в виде 
параметра элемента каркаса, или в виде функций, устанавливающих определенную зависимость между параметрами элемента каркаса. Каждое из геометрических условий задает определенное число связей между параметрами элементов каркаса, это число называется параметрическим числом данного условия.

При каркасно-параметрическом методе конструирования поверхностей ∞1

(однопараметрическое множество) линий, представляющих собой каркас поверхности, получается выделением этого множества из ∞е (е-параметрического 
множества) линий некоторого пространства. Если элемент каркаса в некотором 
пространстве определен по форме и положению е параметрами (е = р+q, где р –
число параметров формы, а q – число параметров положения), то это означает, 
что все пространство заполнено ∞е этих линий. Задавая 1,2, … , (е-1) параметр, 
можно из ∞е выделить ∞е-1, ∞е-2, … , ∞1 линий. Оставшийся свободным е-й параметр выступает в качестве параметра каркаса.

К аналогичному результату можно прийти, связывая функционально пара
метры элемента каркаса αi (i=1,2, … ,e) соответственно 1,2, … , (е-1) связью. 
Такая связь устанавливается заданием геометрических условий, предъявляемых 
к линии – элементу каркаса. Совокупность геометрических условий, выделяющих линейный каркас из ∞е линий, образует закон каркаса. Поскольку каждое 
из геометрических условий 

Может иметь различное от других условий параметрическое число, то ко

личество таких условий в законе каркаса должно быть таким, чтобы сумма их 
параметрических чисел равнялась (е+1).

Геометрические условия, входящие в закон каркаса, несут информацию 

также и об определителе. Эта информация содержится в виде описания тех 
геометрических образов, через которые осуществляется связь параметров элементов каркаса.

Каркасно-параметрический метод конструирования поверхностей состоит 

в обобщенном виде из следующих частей.

1. Определение исходного ∞е линий, из которых выделяется каркас.
2. Выбор геометрических условий, обеспечивающих наперед заданные 

требования.

3. Параметрическая оценка геометрических условий.
4. Составление закона каркаса.
5. Выявление принципиального определителя по закону каркаса.
6. Определение метода получения линии каркаса.
7. Реализация метода получения линии каркаса.
8. воспроизведение линии в каком-нибудь виде.
Каркасно-параметрический метод задания и конструирования поверхно
стей позволяет осуществить переход от конструктивно-кинематического задания поверхности к аналитическому.

Все многообразие ∞е кривых пространства можно записать в виде системы

  Ф1(X,Y,Z, α1, α2, … , αe)=0;

Ф2(X,Y,Z, α1, α2, … , αe)=0,
(1.1)

где αi – параметр элемента каркаса.

Закон каркаса можно выразить системой из (е-1) уравнений

Ψi(α1, α2, … , αe)=0; i=1,2, … , (е-1).
      (1.2)

Исключив (е-1) параметр из (е+1) уравнений (1.1) и (1,2), получим уравне
ние каркаса с параметром каркаса αk

F1(X,Y,Z, αk)=0;
F2(X,Y,Z, αk)=0.
    (1.3)

Исключив параметр каркаса αk, можно получить уравнение поверхности в 

виде

F(X,Y,Z)=0.
(1.4)

Таким образом, каркасно-параметрический метод является достаточно 

универсальным методом прикладной геометрии поверхностей. Метод отличается высокой формализованностью и универсальностью его алгоритмов, что 
является важным моментом в вопросе автоматизации конструирования поверхностей.

Во вторую группу конструирования поверхностей входят такие методы как 

метод Кунса [26,81,115,127,143], метод Фергюсона [115,127,144], метод Безье 
[26,81,128,141], метод сплайнов [3,26,44,49,121,149].

Сущность этих методов заключается в доопределении поверхности в про
межутках между заданным точечным каркасом с соблюдением плавного изменения кривизны. Поверхность разбивается на ячейки, которые стыкуются меж