О минимизации функционала на выпуклом множестве нормированного пространства


ТРУДЫ МФТИ. — 2011. — Том 3. № 1

153

УДК 517.988.8

А.А. Фонарёв
Московский физико-технический институт (государственный университет)




                О минимизации функционала на выпуклом множестве нормированного пространства




          Исследуется минимизация функционала на выпуклом множестве вещественного нормированного пространства без наличия рефлексивности пространства и коэрцитивности функционала. С использованием итерационного процесса строится релаксационная последовательность, которая минимизирует функционал при наличии выпуклости функционала.

          Ключевые слова: функционал, минимизация, итерационный процесс.

   Рассматривается аналог итерационного процесса из абстрактных результатов работы [1], связанных с краевой задачей Дирихле [1], сводящейся к вариационному неравенству в нерефлексивном банаховом пространстве с монотонным потенциальным оператором, потенциал которого не обладает свойством коэрцитивности. В рассматриваемом аналоге итерационного процесса из [1] используются приближения к операторам, применяемым в[1].
   При построении итерационного процесса используются аппроксимации выпуклого множества выпуклыми множествами типа внутренней аппроксимации [2, с. 54]. Итерации итерационного процесса строятся с использованием решений экстремальных задач.
   Пусть E — вещественное нормированное пространство с нормой ||х|| для х е E, E* — сопряженное с пространством E пространство с нормой ||у||* = sup {у,х) для линейного ограничен-хЕЕ, Ы = 1
ного функционала у е E*, где {у, х) — значение функционала у е E * на эле менте х е E, K С E — выпуклое множество, {Ki}°=1 — такая последовательность выпуклых множеств, что Ki С Ki₊₁ для i > 1 и для любо го элемента х е K существует последовательность xi е Ki (i > 1), сходящаяся в E к х, Eᵢ — линейная оболочка множества Ki (i > 1). И иусть D = S Ki.
i =1
   Предположим, что в линейном многообразии E₀ пространства E, являющемся линейной оболочкой множества D, задана норма ||х|₀ для х е е E₀, которая может не совпадать с нормой пространства E.
   Говоря далее о пространстве E ₀ с нор мой || • || ₀ будем иметь в виду линейное многообразие E₀ с нормой ||х|0 для х е E0. При этом в сопряженном с пространством E₀ с нормой || • || ₀ пространстве E* будем использовать норму ||у||* = sup {у, х)₀ хЕЕо , 11х|1 0 = 1
для у е E *, г де {у, х) ₀ — значение функционала у е E * на эле менте х е E ₀.

   Предположим, что выполняются следующие условия:
1) заданы такие функционал
f : D ^ R¹,
   где R¹ — одномерное евклидово пространство, и оператор
                   F : D ^ E*, что функционал f является ограниченным снизу на D, т. е. существует
d0 = inf f (х) е R¹, x- D
   и выполняется неравенство
   f (u) - f (v) >
    > {Fu, u - v)0 - M (max(||u||0, ||v||0)) ||u - v||0 для всех u, v е D, с постоянной a > 1 и неубывающей неотрицательной функцией M (t), заданной для t > 0;
2) Fit Ki ^ E* (i > 1) — такая последовательность операторов, что при всяком i > 1 для каждого u е Ki норма сужения функционала Fiu-Fu е E*нa Ei+1 (т. е. sup {Fiu-Fu, v)₀) vEEi +1,
                             II v H 0 = 1
   не превосходит L(||u||₀)Si, где {Ф})=1 — последовательность неотрицательных чисел, сходящаяся к нулю в R 1, a L (t) — неубывающая неотрицательная функция, заданная для t > 0;

3) {Pi }(= 1 и {щ})=1 — такие последовательности положительных чисел, что yi 6 1 и pi + yipi. । 6 6 Pi +1 для i > 1,
   Pi ^ Ж, yi ^ ⁰, Pi = L ⁽pi ⁾⁽pi ⁺ pi +1⁾ 5i ⁺
        + M⁽pi +1⁾⁽Pi + Pi+1)ayp ¹ ^ ⁰ ⁽i — ^),
         <x>
   n ряд 52 yi расходится.
         i =1
   Функционал f не является коэрцитивным на множестве D, т. е. отсутствует условие
f (u) ^ + <х> (u е D, ||u||0 ^ ж).
   Зафиксируем произвольное число q е (0, 1). Пусть Di = {u е Kp ||u|0 6 Pi} (i > 1)-